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2.1 函数的概念及其表示
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考点一 函数概念的辨析
【例1-1】（2024 上海奉贤）以下图形中，不是函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A 选项中存在一个自变量对应两
个函数值，所以A 不是函数图象.故选：A
【例1-2】（2024 山东青岛）中国清朝数学家李善兰在1859 年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函
数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合
，
，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从
到
的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，在集合
中任意一个数在
中有且只有一个与之对应，
选项A 中集合
中2 对应的数有两个，故错误；
选项B 中集合
中3 没有对应的数，故错误；
选项C 中对应法则为从
到
的函数，箭头应从
指向
，故错误；
选项D 中集合
中任意一个数在集合
中都有唯一数与之对应，故D 正确，故选：D
【一隅三反】
1．（2024 北京·期中）若函数
的定义域为
，值域为
，那么函数
的图
象可能是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A：函数的定义域为
，但是值域不是
，故A 错误；
对于B：函数的定义域不是
，值域为
，故B 错误；
对于C：函数的定义域为
，值域为
，故C 正确；
对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D 错误.
故选：C
2．（2024 浙江湖州）（多选）下列对应关系
：
是集合
到集合
的函数关系的是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】AC
【解析】对于A 中，集合
，
，可得
为多对一对应，
所以
是函数关系，符合题意；
对于B 中，集合
，可得集合
中的元素，在集合
中没有元素与之对应，所以
不
是函数关系，不符合题意；
对于C 中，集合
，
，可得
为多对一对应，
所以
是函数关系，符合题意；
对于D 中，集合
，
，可得集合
中的一个元素，在集合
中有两个元素与之对应，所以
不是函数关系，不符合题意.
故选：AC.
3．（2024 海南）（多选）以下
与
的关系中，其中
是关于
的函数的有（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】根据函数定义，A 选项，对于任意的
，只有唯一确定的
与其对应，满足函数定义，A 正确；
B 选项，对于任意的
，均由唯一确定的
与其对应，满足函数定义，B 正确；
C 选项，对于
，有
和
与其对应，不是函数，C 错误；
D 选项，对于任意的
，均由唯一确定的
与其对应，满足函数定义，D 正确.故选：ABD
考点二 无参函数的定义域
【例2-1】（1）（2024 山西临汾）
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2024 河北承德）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）要使函数
有意义，必须满足
，解得
，
函数
的定义域为
.故选；B.
（2）函数
的意义，则
，即
，解得
，
所以函数
的定义域为
.故选：B
8
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【例2-2】（1）（2024 浙江）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2024 北京）已知
的定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）（2024 湖北）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）A（2）C（3）C
【解析】（1）因为函数
的定义域为
，所以
，解得
或
，
故函数
的定义域为
，故选：A.
（2）因为
的定义域为
，即
，则
，所以
，所以
的定义
域为
.故选：C.
（3）函数
的定义域为
，所以
，
，
所以
的定义域为
，对于函数
，由
，得
，所以函数
的定义域
为
.故选：C
【一隅三反】
1．（2024 湖北荆门）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【解析】由
.所以函数的定义域为
故选：B
2．（2024 浙江丽水）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
【答案】D
【解析】由题可知
，解得
且
.故选：D
3．（2024 河南）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】要使
有意义，需满足
，解得
且
．所以定义域为
.
故选：B．
4．（2024 山东）设函数
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得，
，解得
函数
满足
，解得
，即函数
的定义域为
.
故选:A
5．（2024 湖北荆州）若函数.
的定义域是[4,25]，则函数
的定义域是（ ）
10
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A．[1,6]
B．[2,5]
C．[2,6]
D．[4,7]
【答案】D
【解析】
函数
的定义域是
的定义域是
，
故对于函数
，有
，解得
，从而函数
的定义域是
.故选：D
6．（2024 湖北咸宁·阶段练习）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，函数
的定义域为
，所以
，即函数
的定义域为
，
所以在函数
中有
，解得
，所以
的定义域为
，故选：A.
7．（2023 北京）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分母有意义的条件是
得
分子有意义的条件是
，则
．
所以函数
的定义域是
．故选：C．
考点三 已知函数定义域求参数
【例3-1】（2024 天津西青）若函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知：
在
上恒成立，
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若
，则
，符合题意；
若
，则
，解得
；
综上所述：实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【例3-2】（2024 黑龙江哈尔滨）函数
在
上有意义，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意函数
在
上有意义，
即
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，则
，解得
，故实数a 的取值范围为
，答案为：
【例3-3】（2024 湖南株洲）函数
的定义域为全体实数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
的定义域为全体实数，
则
时，
恒成立，
当
时，不等式为
，恒成立，符合题意；
当
时，则
，解得
，综上知，
，故选：C.
【一隅三反】
1．（2024 山西）若函数
的定义域为
，则
的范围为 .
【答案】
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【解析】由于函数
的定义域是
，
故条件即为
，这等价于
对任意实数
成立.
若
对任意实数
成立，取
知
，即
；
若
，则对任意实数
都有
，
故
对任意实数
成立.综上，
的取值范围是
.故答案为：
.
2（2024 高三·全国·专题练习）若函数
的定义域为R，则实数a 的取值范围为 ；
【答案】
【解析】
的定义域为R，则
恒不为零，即
没有实数根，
所以
，解得
，所以实数a 的取值范围为
.故答案为：
.
3．（2023·北京延庆·一模）已知函数
的定义域为
，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由
，可知
，解得
，故答案为：
.
4．（2024 陕西西安）已知函数
的定义域为
，则实数
的值是 ．
【答案】2
【解析】由题意，要使函数
有意义，则
，即
，
所以
，此时由
，可得
，符合题意.故答案为：2.
5．（2024 云南）已知函数
的定义域为
，则实数
的取值范围是 ．
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【答案】
【解析】函数f（x）＝lg（
ax）的定义域为R，∴
ax＞0 恒成立，∴
ax 恒成立，
设y
，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；
由题意知，直线y＝﹣ax 的图象应在y
的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1 或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．
考点四 函数的解析式
【例4】（2024 高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式
（1）已知
，则
．
（2）已知
是三次函数，且在
处的极值为0，在
处的极值为1，则
．
（3）已知
的定义域为
，满足
，则函数
．
（4）已知函数
是偶函数，且
时
，则
时，
．
（5）已知函数
的定义域为R，且
，
，请写出满足条件的一个
（答案不唯一）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）1,
（答案不唯
一）
【解析】（1）设
，则
，代入原式有
.
故
.
（2）设
，则
，
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由题意得
，即
，解得
，所以
.
（3）用
代替
中的x，得
，
由
，消去
，解得
．
（4）由函数
是偶函数，可得
图象关于直线
对称，所以
.
设
，则
，所以
=
，
因为
，所以
.
故答案为：
；
；
；
.
（5）令
，则
，又
，
所以
，即
，所以函数为偶函数，
不妨取偶函数
，则
，
也可取
，则
，满足题意.故答案为：,
（答案不唯一）
【一隅三反】
1．（2024 安徽蚌埠）求下列函数的解析式：
(1)已知
，求
；
(2)已知
是一次函数，且
，求
；
(3)定义在区间
上的函数
满足
，求
的解析式．
（4）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，则f(x)的解析式
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【答案】(1)
(2)
或
(3)
（4）f（x）=
【解析】（1）解法一（换元法）：令
，
，则
，
所以
，所以
．
解法二（配凑法）：
，因为
，所以
．
（2）设
，则
，
所以
，解得
或
，所以
或
．
（3）对任意的
有
，由
，①得
，②
联立①②解得，
．
(4 因为函数
的定义域为
，
为偶函数，
所以
，即
，
又
为奇函数，所以
，即
，
所以
，解得
.故答案为：
2.（2024 山东淄博·）求下列函数的解析式
（1）
是一次函数，且满足
，求
的解析式;
（2）已知函数
，求函数
的解析式．
（3）已知
，求
的解析式．
（4）已知f(x＋
)＝x2＋
，则函数f(x)的解析式
（5）已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)的解析式
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
（4）x2－2(|x|≥2)
（5）f(x)＝ln x＋1
【解析】（1）由已知
是一次函数，设函数
，
，
则
，即
，
即
，解得
，所以
；
（2）由
，则
；
（3）由已知
①，
，则
②，
所以①
②得
，
，所以
，
.
（4） f(x＋
)＝x2＋
＝(x2＋2＋
)－2＝(x＋
)2－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2).
(5)根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－ln x]＝1，则f(x)－ln x 为定值．
设f(x)－ln x＝t，t 为常数，则f(x)＝ln x＋t 且f(t)＝1，即有ln t＋t＝1，解得t＝1，则f(x)＝ln x＋
1，
考点五 同一函数的判断
【例5】（2024 广东佛山）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】A
【解析】A：函数
和
的定义域为R，解析式一样，故A 符合题意；
B：函数
与
的定义域为R，解析式不一样，故B 不符合题意；
C：函数
的定义域为
，
的定义域为R，解析式一样，故C 不符合题意；
D：函数
的定义域为
，
的定义域为R，解析式不一样，故D 不符合题意.
故选：A
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【一隅三反】
1．（2024 海南省）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
D．
，
【答案】A
【解析】对于A 项，因
，两函数定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数，故A 项正确；
对于B 项，
的定义域为
，而
的定义域为R，故不是同一函数，故B 项错误；
对于C 项，
的定义域是R，而
的定义域为
，故不是同一函数，故C 项错误；
对于D 项，
的定义域是R，而
的定义域是
，故不是同一函数，故D 项错误.
故选：A.
2．（2024 北京东城）下列各组函数中，两个函数相等的是 （ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】A
【解析】对于A，
与
定义域都是全体实数，且
，故A 满足题意；
对于B，
的定义域是非负实数，
的定义域是全体实数，故B 不满足题意；
对于C，
的定义域是全体实数，
的定义域是非负实数，故C 不满足题意；
对于D，
的定义域是全体实数，
的定义域是不为0 的全体实数，故D 不满足题意.
故选：A.
3．（2023 河北承德）下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【解析】对于A 项，
，与
的对应法则不同，故不是同一函数，A 项错误；
对于B 项，
的定义域为
的定义域为
，
故两函数定义域不同，故
与
不是同一函数，B 项错误；
对于C 项，
与
的定义域相同，对应法则也相同，C 项正确；
对于
项，
，
与
的对应法则不同，故不是同一函数，D 项错误.
故选:C.
考点六 无参函数的值域
【例6】（2024 湖南衡阳）求下列函数的值域．
(1)
，
；(2)
，
；(3)
，
.(4)
（5）
(6)
(7)
（8）
（9）y＝，x∈
（10）
，
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
（5）
(6)
(7)
（8）1（9）≤y≤.
（10）
【解析】（1）
，
，
在区间
上单调递增，所以值域为
.
（2）因为
，函数的定义域为
,
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，又因为
，
，所以
.所以
的值域为
.
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（3）
，令
，则
，
在
上单调递减，所以
，所以
，
的值域为
.
（4）
的定义域是
，
，由于
，所以
，
所以值域为
.
（5）
，因为
，
所以原函数的值域为
.
（6）因为
，则
，可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以函数的值域为
.
（7）令
，则
，可得
，
当
时，等号成立，所以函数的值域为
.
（8）因为
；易得：当且仅当
时取最大值1.故答案为1
（9）函数y＝的值域可看作由点A(x，sinx)，B(1，－1)两点决定的斜率，B(1，－1)是定点，A(x，sinx)在
曲线y＝sinx，x∈上，如图，∴kBP≤y≤kBQ，即≤y≤.
（10）
；
时，
；
时，
；
20
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时，
取最大值
；又
；
的值域为
．
【一隅三反】
1．（2024 河北石家庄）下列各函数中，值域为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，显然
取尽正实数，因此
的值域是
，A 不是；
对于B，
，则
，即
，函数
的值域为
，B 不是；
对于C，
的值域为R，因此
的值域为
，C 是；
对于D，由于
，则
且
，即函数
的值域为
，D 不是.
故选：C
2.（2024 甘肃）求下列函数的值域．
(1)
(2)
(3)
.（4）
（5）
(6)
；(7)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
（4）
，
（5）
(6)
(7)
【解析】（1）由于
，且
；所以可得
，因此函数的值域是
．
（2）令
，所以
，即
，当
时，
，
即函数的值域为
.
（3）易知需满足
，即
，即函数定义域为
；
，
21
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由二次函数性质可得
，所以
的值域为
．
（4）由
，
可得函数的值域为
，
．
（5）
；
；
的值域为
．
（6）因为
，所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立.故函数的值域为
.
（7）由
知
，整理得
.
当
时，方程无解；当
时，
，即
.故所求函数的值域为
.
考点七 已知函数值域求参数
【例7-1】（2024 河北沧州）已知函数
，若
的值域为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若函数
的值域为
，则
要取遍所有的正数．
所以
或
，解得
，即实数
的取值范围是
.故选：A．
【例7-2】（2024 四川广安）若函数
的值域为
，则实数m 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
的值域为
，
所以
能取遍所有大于或等于零的实数，
即方程
在实数范围内有解．
所以
，解得
．
22
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故选：B．
【例7-3】（2023·湖北武汉·一模）已知函数
若
的值域为
,则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数
和
的图象如下图所示：
由图可知，当
或
时，两图象相交，若
的值域是
，以实数
为分界点，可进行如下分类讨论：
当
时，显然两图象之间不连续，即值域不为
；同理当
,值域也不是
；
当
时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是
；综上可知，实数
的取值范围是
.选：B
【一隅三反】
1．（2024 北京）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，函数
在
上单调递减，
在
上的值域为
，
因为函数
在R 上的值域为
，则函数
在
上的值域包含
，
显然
，否则当
时，
，不符合题意，
于是函数
在
上单调递减，其值域为
，因此
，则
，
所以实数
的取值范围为
.
23
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故选：D
2．（2024·四川成都·二模）已知函数
的值域为
.若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，令
，所以
；
令函数
的值域为
，因为
，
所以
，所以
必须能取到
上的所有值，
，解得
.
故选：B
3．（2024 河北保定）设函数
，其中实数
．若
的值域为
，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
，由对勾函数的性质可知，
由于
在
上单调递减，在
上单调递增，且注意到
，
，
，
所以所求a 的取值范围是
．故选：D
考点八 分段函数
【例8-1】（2024·陕西西安·三模）已知函数
，则
（ ）
A．8
B．12
C．16
D．24
【答案】D
【解析】由
，得
，所以
.
故选：D
24
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【例8-2】（2024·四川广安·二模）已知函数
.则
的值为 .
【答案】
【解析】
，
.故答案为：
.
【例8-3】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝
设a＝
，则f(f(a))＝ ．
【答案】
【解析】－1<a＝log
<0，则f(f(a))＝f(
)＝log3
＝．
【一隅三反】
1．（2024 湖南衡阳）设函数
，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【解析】函数
，
，所以
.故选：D
2．（2024·江西）设
，若
，则x 的值为（ ）
A．1 或2
B．或
C．1
D．2
【答案】C
【解析】当
时，有
，满足；
当
时，有
，则
或
都不满足
.所以x 的值为1.故选：C
3．（2024 江苏常州）设函数
，若
，则实数a 的取值范围是（ ）．
A．
B．
25
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C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，则
，即
，解得
；
当
时，则
，解得
；
综上所述：实数a 的取值范围是
.
故选：A.
5．（2024 重庆沙坪坝）若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】因为
所以
，
则
，所以
.故选：B.
一．单选题
1．（2024 云南）已知函数
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知得：当
时，
，解得：
，或
（舍），
26
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当
时，
，解得：
，综上：
的值为
或
,故选：C.
2．（2024·黑龙江哈尔滨）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵函数
的定义域为
∴
，
∴函数
中，
∴
所以函数
的定义域为[
]．故选：D
3．（2024 河南开封）下列表示同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】D
【解析】对于A，
的定义域为
，
的定义域为
，
所以两者定义域不同，不是同一个函数，故A 错误；
对于B，
的定义域为
，
的定义域为
，
所以两者定义域不同，不是同一个函数，故B 错误；
对于C，
与
的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故C 错误；
对于D，
，
，
这两个函数的定义域都是
，且对应法则也相同，故是同一个函数，故D 正确.
故选：D.
4．（2024 福建福州·阶段练习）已知函数
的定义域是
，值域为
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
27
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【答案】B
【解析】结合题意：函数
所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为
，
所以
，易知：
，
由图可知,要使函数
的定义域是
，值域为
，
则
的取值范围是
，
故选：B.
5．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数
的图象过点
与
，则函数
在区间
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
的图象过点
与
，
所以
，
，则
，
解得
，
，
28
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故函数
的解析式为：
.
而
，
当且仅当
时取等号，函数
在区间
上的最大值为
.故选：B.
6．（2024 湖北荆门·期末）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
在
上单调递增，且
，所以函数在
的值域是
.
因为函数
的值域是
.所以当
时的函数值域应该包含
.即
.
故选：B
7．（2024 重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A 选项，令
，则
，
则函数
在
上单调递增，则
，故A 错误；
B 选项，
，则
，故B 错误；
C 选项，因
，则
，又注意到
，当且仅当
时取等号，
则
，故C 错误.D 选项，注意到函数
均在
上单调递增，则
，
29
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故D 正确.故选：D
8．（2024 山东济南）已知函数
的定义域与值域均为
，则实数
的取值为（ ）
A．-4
B．-2
C．1
D．1
【答案】A
【解析】依题意，
的值域为
，且
的解集为
，故函数的开口向下，
，
则方程
的两根为
或，则
，
，即
，
则
，当
时，
取得最大值为，即
，解得：
.故选：A.
二．多选题
9．（2024 重庆黔江）已知集合
，
，下列从集合
到集合
的各个对应关系
是函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】选项A，
，集合
中的每一个元素在集合
中都有唯一一个元素与之对应，故A 正确；
选项B，
，集合
中的每一个元素在集合
中都有唯一一个元素与之对应，故B 正确；
选项C，
，集合
中的每一个元素在集合
中都有唯一一个元素与之对应，故C 正确；
选项D，
，集合
中的1，在集合
中没有元素与之对应，故D 错误；
故选：ABC
10．（2024 福建龙岩）已知函数
则（ ）
A．
B．
的最小值为
30
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C．
的定义域为
D．
的值域为
【答案】CD
【解析】依题意，
，则
，A 错误；
当
时，
，当且仅当
时取等号，B 错误；
在
中，
，解得
，因此
的定义域为
，C 正确；
显然
，
，于是
，因此
的值域为
，D 正确.
故选：CD
11．（2024 重庆渝中）已知函数
，定义域为
，值域为
，则下列说法中一定正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】令
，则
，
由
，得
，即
，得
；
由
，得
（舍）或2，即
；
根据
的图象特征，知
，
，
.
故选：BCD．
三．填空题
12．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数
的定义域是 .
【答案】
【解析】函数
有意义，则
，解得
或
，
所以函数
的定义域是
.
故答案为：
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13．（2024 青海西宁）若函数
的值域为
，则a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】若
，则
，不满足题意；
若
，则
，
当
，即
时，
的值域为
，满足题意.
故答案为：
.
14．（2023·上海青浦·一模）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当
时，
，此时
，
当
且
时，
，此时
，且
，所以不满足；
当
且
时，
，
由对勾函数单调性可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，此时
，
若要满足
的值域为
，只需要
，解得
；
当
且
时，因为
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，且
时，
，
时，
，
所以此时
，此时显然能满足
的值域为
；
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综上可知，
的取值范围是
，
故答案为：
.
四．解答题
15．（2024 广东佛山·期中）根据下列条件，求
的解析式．
(1)已知
满足
；
(2)已知
是二次函数，且满足
，
；
(3)已知
满足
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）
，所以
.
（2）设
，因为
，所以
，
因为
，所以
，整理得
，
所以
，解得
，所以
.
（3）在
①中，令
替换
得
②，
由②得
③，将③代入①得
，
所以
.
16．（2024 广西）已知函数
.
(1)求
的解析式；
33
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(2)求不等式
的解集；
(3)若存在
，使得
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
.
【解析】（1）设
，则
.
因为
，所以
，
则
.
（2）不等式
，即
，即
，
则
，
解得
，即不等式
的解集为
.
（3）因为
，所以
，
则不等式
等价于不等式
，
即
，即
.
设
，则函数
.
故二次函数
图象的对称轴方程为
.
当
，即
时，
在
上单调递增，
则
，解得
，
故
符合题意；
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
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则
，解得
或
，
故
或
符合题意；
当
，即
时，
在
上单调递减，
则
，解得
，
故
符合题意.
综上，
的取值范围是
17．（2024 江苏无锡·阶段练习）已知函数
是二次函数，且满足
，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若对任意的
，不等式
恒成立，求
的最大值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）由函数
是二次函数，且
，设
，
由
，得
，
整理得
，则
，解得
，
所以函数
的解析式是
.
（2）由（1）及已知得
，
恒成立，
令
，则
，于是
，
，
恒成立，即
恒成立，
当
时，则
且
，
因此
，
，当
时，
，满足上式，则
，
，
，
从而
，当且仅当
时取等号，
35
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此时
，
，
恒成立，
所以
的最大值为
.
18．（2024 北京·期中）已知函数
，满足
.
(1)求
值；
(2)在
上，函数
的图象总在一次函数
的图象的上方，试确定实数m 的取值范围；
(3)设当
时，函数
的最小值为
，求
的解析式.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】1）因为二次函数
满足
，
则
，解得
.
（2）由（1）可知：
，
若在
上，函数
的图象总在一次函数
的图象的上方，
则
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
因为
开口向上，对称轴为
，
可知
在
上单调递减，则
，可得
，
所以实数m 的取值范围为
.
（3）因为
是对称轴为
，开口向上的二次函数，
36
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当
时，
在
上单调递增，则
；
当
，即
时，
在
上单调递减，则
；
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
可知
；
综上所述：
.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
是定义在
上的周期函数，周期
，函数
（
）是奇函数．又已知
在
上是一次函数，在
上是二次函数，且在
时函数取得最
小值
．
(1)证明：
；
(2)求
的解析式；
(3)求
在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴
，
又∵
是奇函数，∴
，∴
（2）当
时，由题意可设
，
由
，得
，∴
，
37
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∴
.
（3）根据（2）中所求，可知
；又
在
上是奇函数，故
，
故当
时，设
，则
，解得
.
故当
时，
.
又
在
上是奇函数，故当
时，
.
综上，则
时，
.
因为
时，
.
所以当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
，
综上所述，
.
38
