文档文本内容
第 01 讲 导数的概念及运算 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：导数的概念
高频考点二：导数的运算
高频考点三：导数的几何意义
①求切线方程（在型）
②求切线方程（过型）
③已知切线方程（或斜率）求参数
④导数与函数图象
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平均变化率
（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
（2）平均变化率
一般地，函数 在区间 上的平均变化率为： .
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出 和
②作商：对所求得的差作商，即 .
2、导数的概念
（1）定义：函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数在 处的导数,记作 .
（2）定义法求导数步骤：
① 求函数的增量： ；
② 求平均变化率： ；
③ 求极限，得导数： .
3、导数的几何意义
函数 在点 处的导数的几何意义，就是曲线 在点 处的切线的斜率 ，即
.
4、基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
( 为常数)
( )
( )
( ， )
5、导数的运算法则
若 ， 存在，则有
（1）
（2）（3）
6、复合函数求导
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间的关系为 ，即 对 的导数
等于 对 的导数与 对 的导数的乘积．
7、曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数f (x)的解析式.计算：函数f (x)在 x=x 或者(x ,f(x ))处的切线方程.
0 0 0
步骤：第一步：计算切点的纵坐标 f (x )（方法：把 x=x 代入原函数f (x)中），切点(x ,f(x )).
0 0 0 0
第二步：计算切线斜率 .
第三步：计算切线方程.切线过切点(x ,f(x ))，切线斜率 k=f '(x )。
0 0 0
根据直线的点斜式方程得到切线方程： y−f(x )=f '(x )(x−x ).
0 0 0
（2）过型求切线方程
已知：函数f (x)的解析式.计算：过点 （无论该点是否在 上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；计算切线斜率 ；
第三步：令： ，解出 ，代入 求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·安徽滁州·高二期末）已知函数 ， 为 的导函数，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得， ，所以
故选： ．
2．（2022·陕西渭南·高二期末（理））若函数 在 处的导数为2，则( )
A．2 B．1 C． D．6
【答案】B
【详解】由函数 在 处的导数为2，得 ，
所以 ，
故选：B
3．（2022·吉林·高二期末）曲线 在点 的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得 ，∴ ，即 ，
∴切线方程为 ．
故选： B
4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A， ，A正确；
对于B， ，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D， ，D不正确.
故选：D
5．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）下列求导结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A选项： ，故A选项错误；B选项： ，故B选项正确；
C选项： ，故C选项错误；
D选项： ，故D选项错误；
故选：B
6．（2022·新疆·霍城县第二中学高二期中（理））求下列函数的导数．
(1) ；
(2) ；
【答案】(1)
(2)
（1） ．
（2）因为 ，所以
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：导数的概念
典型例题
例题1．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（理））已知 为可导函数，且 ，则
_______．
【答案】
【详解】解：因为 .
故答案为： .
例题2．（2022·北京顺义·高二期末）降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗
通风换气.在某室内，空气中微生物密度（ ）随开窗通风换气时间（ ）的关系如下图所示.则下列时间段
内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图分别令 、 、 、 、 所对应的点为 、 、 、 、 ，
由图可知 ，
所以 内空气中微生物密度变化的平均速度最快；
故选：C
例题3．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）某物体作直线运动，位移 （单位： ）与时间 （单
位： ）满足关系式 ，那么该物体在 时的瞬时速度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
所以该物体在 时的瞬时速度是
故选：D
题型归类练
1．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二期末）已知 是函数 的导函数，若 ，
则 （ ）
A．4 B．2 C．8 D．
【答案】C
【详解】解： ．故选：C．
2．（2022·上海·闵行中学高二期末）已知函数 ，则 ______．
【答案】－1
【详解】
．
故答案为： ．
3．（2022·陕西西安·高二期末（理））已知函数 的导函数为 ，且 ，则
____________．
【答案】 ##
【详解】 ，令 得：
，
解得：
故答案为：
4．（2022·上海市第三女子中学高二期末）某物体的运动的位移 （单位：米）与时间 （单位：秒）满足
函数关系为 ，则该物体在时刻 时的瞬时速度为______（米/秒）．
【答案】
【详解】由 ，得 ，
当 时， ，
故答案为： .
高频考点二：导数的运算
典型例题
例题1．（2022·吉林·高二期末）函数 的导数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据导数的运算法则可知， .故选：B
例题2．（2022·广西桂林·高二期末（文））下列关于函数求导的等式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D错误.
故选：B．
例题3．（2022·安徽·高二期末）已知函数 ， 是 的导函数，则
__________.
【答案】
【详解】由 ，可得 即 .
故答案为： .
题型归类练
1．（2022·福建莆田·高二期末）函数 的导函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 得 .
故选：B.
2．（2022·北京西城·高二期末）已知函数 ， 为 的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 ，
所以 ，所以 ， .
故选：B.
3．（2022·重庆·高二期末）函数 的导函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 .
故选：D.
高频考点三：导数的几何意义
①求切线方程（在型）
典型例题
例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知函数 ，则曲线 在点
处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， ， ， ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，
即 .
故选：A
例题2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））曲线 在点 处的切线方程为______．
【答案】
【详解】 ，则 ，则
则曲线 在点 处的切线方程为
，即
故答案为：
例题3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期末（理））已知函数 ．求曲线
在点 处的切线方程.【答案】
【详解】解：因为 ，所以 ，即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为 .
题型归类练
1．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））曲线 在 处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ，则 ，
当 时， ， ，
所以切线方程为 ，即 ．
故选：D．
2．（2022·广东广州·高二期末）函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 ，而 ，
所以切线方程为： ，
故选：A
3．（2022·山东枣庄·高二期末）已知函数 ，则曲线 在点 处的切线的方程为______．
【答案】
【详解】解： ，
则 ，
所以曲线 在点 处的切线的方程为 ，
即 .
故答案为： .
4．（2022·江西赣州·高二期末（文））函数 的图象在点 处的切线方程为___________.
【答案】【详解】由题意， ，故 ，故函数 的图象在点 处的切线方程为
，即
故答案为：
②求切线方程（过型）
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，若直线 过点 ，并且与曲线
相切，则直线 的方程为______________．
【答案】
【详解】∵点 不在曲线 上，设切点坐标为 ．
又∵ ，所以
∴ 在 处的切线方程为 ，
∵切线 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的方程为： ，即直线方程为 .
故答案为： ．
例题2．（多选）（2022·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知曲线 .则曲线过点 的切
线方程为.（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】解：设切点为 ，
则 ，
所以 ，
所以切线方程为 ，
因为切线过点（1，3），
所以 ，即 ，
即 ，
解得 或 ，所以切线方程为 或 ，
故选：AB
例题3．（2022·陕西西安·高二期末（理））若过点 作曲线 的切线，则这样的切线共有
（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【详解】解：设切点为 ，由 ，所以 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即 ，因为切线过点 ，
所以 ，
解得 或 ，
所以过点 作曲线 的切线可以作2条，
故选：C
题型归类练
1．（2022·河南信阳·高二期末（文））以点 为切点的曲线 的切线与坐标轴围
成的三角形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【详解】 ， ，
所以切线的斜率为 ，
切线方程为 ，即 ，
与x轴y轴的交点坐标分别为（0，1），（1，0），
所围成的面积 ；
故选：A.
2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））曲线 的一条切线经过点 ，则该切线的斜率为
________．
【答案】
【详解】解：因为 ，所以 ，设切点为 ，
则 ，所以 ，解得 ，所以 ，
即切线的斜率为 ；故答案为：
3．（2022·广东茂名·高二期中）已知直线l为函数 的切线，且经过原点，则直线l的方程
为__________.
【答案】
【详解】解：设切点坐标为 ，
所以直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为
又直线l过点 ，
所以 ，
整理得 ，解得 ，
所以 ，
直线l的斜率 ，
所以直线l的方程为 ，
故答案为： .
4．（2022·湖南·高二课时练习）求曲线 过点 的切线方程.
【答案】
【详解】设切点为 ．
由已知 ， 时， ，
所以切线方程是 ，
切线过点 ，则 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即
③已知切线方程（或斜率）求参数
典型例题
例题1．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数 在点
处的切线方程为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【详解】由 ，则 ，所以
解得： ， ，所以.故选：D.
例题2．（2022·天津河北·高二期中）若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意得： ，所以 ，解得 .
故选：A.
例题3．（2022·广东茂名·高二期中）已知曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则当 时，点 的
坐标为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，所以 ，所以 ，则点P的坐标为 或 .
故选：C.
题型归类练
1．（2022·河南·高二期中（文））已知函数 ， .若曲线 在 处的切线
与直线 平行，则实数a的值为( )
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】∵ ，
∴ ，
∵曲线 在 处的切线与直线 平行，
∴ ．
故选：A﹒
2．（2022·天津市梅江中学高二期中）若曲线 在点 处的切线方程为 ，则
（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【详解】由 得 ，又曲线 在点 处的切线方程为 ，
故当 时，
又点 在 上，则 ，故 ．
故选：A．
3．（2022·浙江省兰溪市第三中学高二开学考试）已知曲线 的一条切线斜率是4，则切点
的横坐标为___________；
【答案】2
【详解】由题意， ，令 有 ，解得
故答案为：2
4．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知曲线 在点 处的切
线与直线 垂直，则实数 的值为______.
【答案】－1
【详解】 ，则 ，则 ，解得 ．
故答案为：－1．
④导数与函数图象
典型例题
例题1．（2022·北京市八一中学高二期中）如图所示，是函数 的图象与其在点 处的切线，则
等于（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【答案】B
【详解】由题意，切线经过点 ，可得切线的斜率为 ，即 ，
又由切线方程为 ，令 ，可得 ，即 ，所以 .
故选：B.
例题2．（2022·北京八十中高二期中）如图，函数 的图像在点 处的切线方程是 ，则
（ ）
A．-2 B．3 C．2 D．-3
【答案】B
【详解】解：因为函数 的图像在点P处的切线方程是 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
例题3．（2022·广东·鹤山市鹤华中学高二期中）曲线 在 处的切线如图所示，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由图可知切线斜率为 ，∴ .
故选：C.
题型归类练1．（2022·重庆一中高二阶段练习）如图，函数 的图像在点 处的切线方程是 ，则
（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】C
【详解】解：当 时， ，所以 ，
因为函数 的图像在点 处的切线方程是 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
2．（2022·全国·高二课时练习）已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的
切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′（3）＝（ ）
A．－1 B．0
C．2 D．4
【答案】B
【详解】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
又由题图可知f（3）＝1，所以 .
故选：B
3．（2022·山东日照·高二期末）如图所示，函数 的图像在点P处的切线方程是 ，则
的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】A
【详解】因为切线方程为： ，故 ，且 ，故
故选：A
4．（多选）（2022·重庆市朝阳中学高二阶段练习）如图， 是可导函数，直线 l： 是曲
线 在 处的切线，令 ，其中 是 的导函数，则( )
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由图可知，f(3)＝1，故A正确；
(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故 ，故B错误；
，则 ，故C正确；， ，故D正确.
故选：ACD.
5．（2022·陕西西安·高二期末（理））如图，已知直线l是曲线 在点 处的切线，则
的值为___________.
【答案】 ##2.5
【详解】依题意得，根据导数的几何意义可知，切线的斜率由 ， 连线确定，
故 ，又 ，故 .
故答案为：
第四部分：高考真题感悟
1．（2020·全国·高考真题（理））函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故选：B.
2．（2021·全国·高考真题（理））曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【详解】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．故切线方程为 ．
故答案为： ．
3．（2020·全国·高考真题（文））曲线 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为
______________.
【答案】
【详解】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
4．（2020·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
【答案】（Ⅰ）
【详解】（Ⅰ）因为 ，所以 ，
设切点为 ，则 ，即 ，所以切点为 ，
由点斜式可得切线方程为： ，即 .
5．（2020·海南·高考真题）已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
【答案】（1）
【详解】（1） ， ， .
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数 在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即 ,
切线与坐标轴交点坐标分别为 ,
∴所求三角形面积为 ．
6．（2020·全国·高考真题（理））设函数 ，曲线 在点( ，f( ))处的切线与y轴垂
直．
（1）求b．【答案】（1） ；
【详解】（1）因为 ，由题意， ，即： ，则 ．
