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第 03 讲 函数的奇偶性、对称性与周期性 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
角度2：根据函数奇偶性求解析式
角度3：函数奇偶性的应用
角度4：由函数奇偶性求参数
角度5：奇偶性+单调性解不等式
高频考点二：函数周期性及其应用
角度1：由函数周期性求函数值
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
角度2：由函数对称性求函数值或参数
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
第四部分：高考真题感悟第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都
图象关于 轴
偶函数
对称
有 ，那么函数 是偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都
图象关于原点
奇函数
对称
有 ，那么函数 是奇函数
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 x， 也
在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用 或 来判断奇偶性.
② ， 在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
③若 是定义在区间 上奇函数，且 ，则 （注意：反之不成立）2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数 关于直线 对称，则
① ；
② ；
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期，则 （ ）也是
这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 的最小
正周期（若不特别说明， 一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数 ， .
①若 ，则函数的周期 ；
②若 ，则函数的周期 ；
③若 ，则函数的周期 ；
④若 ，则函数的周期 ；⑤ ，则函数的周期
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·贵州·高二学业考试）已知函数 为偶函数，且 ，则 （ ）
A．1 B．3 C．4 D．7
2．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知函数 是奇函数，当 时， ，则
=（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）设定义在R上的函数f（x）满足 ，若f（1）=2，则f
（99）=（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川广安·模拟预测（理））设 是定义域为R的奇函数，且当 时， ，则
_______.
5．（2022·甘肃武威·高二期末（文））已知函数 对于任意实数x满足 ．若 ，则
_______________．
6．（2022·广西桂林·二模（文））函数 的对称轴方程为___________.
7．（2022·福建泉州·高一期末）写出一个满足 ，且 的函数 的解析式
__________．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
典型例题
例题1．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期末）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递减
的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·福建·南靖县第一中学高二期中）下列函数中，既是偶函数又在 上是单调递增函数的
是（ ）A． B． C． D．
角度2：根据函数奇偶性求解析式
典型例题
例题3．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数 为定义在 上的奇函数，且当 时，
，则当 时， （ ）
A． B．
C． D．
例题4．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知 是偶函数，当 时， ，则当
时， _________．
角度3：函数奇偶性的应用
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期末）已知函数 ，若 ，则
（ ）
A．4 B．5 C．7 D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则 ___________.
角度4：由函数奇偶性求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 是偶函数，则常数 的值为__．
例题2．（2022·广东深圳·高二期末）若 是奇函数，则实数 ___________.角度5：奇偶性+单调性解不等式
典型例题
例题1．（2022·江苏省如皋中学高一期末）设 为实数，定义在 上的偶函数 满足：① 在
上为增函数；② ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·辽宁抚顺·高二期末）定义在 上的奇函数 在 上单调递增，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·宁夏中卫·三模（理））已知函数 ，且 ，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型归类练
1．（2022·河北沧州·高一开学考试）下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）设 为奇函数，且当 时， ，则当 时，
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东揭阳·高一期末）函数 为 上的奇函数， 时， ，则
（ ）
A． B．2 C． D．6
4．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足
的x的取值范围是（ ）A． B． C． D．
5．（2022·广西北海·高二期末（文））下列函数中，在其定义域内是奇函数的是__________.（填序号）
① ；② ；③ ；④
6．（2022·云南保山·高一期末）函数 ，若 ，则 ＝________．
7．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数 是奇函数，则 _______．
8．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知函数 是奇函数，则 ___________.
9．（2022·福建·漳州三中高二期末）若幂函数 为偶函数，则 ________ .
10．（2022·四川南充·高一期末）定义在 上的奇函数 在 上是减函数，若
，则实数 的取值范围为___________.
11．（2022·广西·容县高级中学高一开学考试）函数 是定义在R上的偶函数，当 时，
．
（1）求函数 在 的解析式；
（2）当 时，若 ，求实数m的值．
高频考点二：函数周期性及其应用
角度1：由函数周期性求函数值
典型例题
例题1．（2022·宁夏·银川二中高二期末（文））已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当
时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定义在 上的函数 渙足 ，
则 ___________.
例题3．（2022·江西·横峰中学高一期末）已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当时， ，则 ___________.
题型归类练
1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数 对于任意实数x满足条件 ，若 ，
则 ______.
2．（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期末）已知奇函数 满足， ，若当
时， ，则 ______．
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②③的函数 ______．
① 为偶函数；② 的最大值为2；③ 不是二次函数．
角度2：由函数对称性求函数值或参数
典型例题
例题1．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称，且当
时， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
典型例题
例题1．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ，当 时， ，若 ，则 （ ）
A．－8 B．－4 C．0 D．4
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习（文））写出一个同时满足下列三个条件的函数 的解析式__________.
① 的定义域为 ，值域为 ；
② ；
③ 在 上单调递减.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象关于原点对称，且满足 ，且当
时， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建省德化第一中学高二期末）已知函数 的定义域为 ，且对任意实数 有
，若函数 的图象关于直线 对称， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
4．（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函
数，则函数 的周期是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知 是定义在R上的奇函数， 为偶函数，且当
时， ，则 （ ）
A． B．0 C． D．1
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题（文））设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.
