2011-2020年高考数学真题分专题训练专题16平面向量数量积及其应用（学生版）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题 16 平面向量数量积及其应用
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
利用平面向量数量积计算向量夹角与模问题及命题
真假的判定
理 10
平面向量的综合应用
2011 
课标
文 13
理 13
文 15
理 13
文 13
理 13
文 14
平面向量数量积性质的应用
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积处理向量垂直问题
平面向量的定义及利用平面向量数量积处理向量模
问题
2012 
课标
平面向量数量积的概念及其
几何意义
卷 1
2013
平面向量数量积的概念及运算法则
平面向量数量积的运算法则
平面向量数量积的概念及其
几何意义
卷 2
平面向量数量积的概念及其
几何意义
卷 1
2014
理 15
中点公式的向量形式及向量的夹角的概念
文 4
理 3
理 5
卷 2
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积处理向量模问题
卷 1
平面向量的综合应用
平面向量数量积的概念及其
几何意义
主要与双曲线结合考查平面向量数量积的坐标运算
平面向量的坐标运算、平面向量数量积
2015
卷 2
文 4
理 13
理 3
卷 1
卷 2
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及平面向量模公式
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂
直问题
平面向量数量积性质的应用
2016
平面向量数量积的概念及其 平面向量的数量积的坐标运算及利用平面向量数量
卷 3 
理3 文3
几何意义
积求夹角
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂
直问题
卷 1
文 13
平面向量数量积性质的应用
卷 1
理 2
理 13
理 12
平面向量数量积性质的应用
平面向量的综合应用
利用平面向量数量积计算模
与平面图形有关的平面向量数量积的最值问题
利用平面向量数量积的坐标运算及利用向量数量积
处理垂直问题
卷 1
文13
平面向量数量积性质的应用
2017
卷 2
卷 3
文 4
平面向量数量积性质的应用
平面向量的综合应用
利用平面向量数量积的模
理 12
向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理
垂直问题
卷 3
文 13
平面向量数量积性质的应用
平面向量数量积的概念、几
何意义及其运算律
2018 
卷 2 
理4 文4
平面向量的数量积及其运算律
理 7
卷 1
平面向量数量积性质的应用
平面向量数量积处理垂直与夹角问题
文 8
2019 
卷 2
卷 3
理 3
理 13
理 13
理 14
平面向量的综合应用
平面向量的减法运算、模公式、平面向量数量积
平面向量数量积处理模与夹角问题
平面向量的综合应用
卷 3
平面向量数量积性质的应用
平面向量数量积及其运算
平面向量坐标的模公式及夹角公式
向量模长的计算
卷 1
平面向量垂直充要条件的坐标形式，平面向量数量积
的应用
文 14
理 13
文 15
平面向量数量积的应用
平面向量数量积的应用
平面向量数量积定义及性质
向量夹角公式，应用向量数量积处理垂直问题
平面向量数量积的定义和运算性质，应用平面向量数
量积处理向量垂直
2020
卷 2
平面向量夹角公式，平面向量数量积的计算以及向量
模长的计算
卷 3
理 6
平面向量数量积及其运算
大数据分析*预测高考
考 点
出现频率
2021 年预测
考点 51 平面向量数量积的概念及其
2021 年高考仍将重点单独或与平面图形等知识结合
重点平面向量数量积的定义、性质及应用平面向量数
量积计算夹角、模、垂直等问题，难度为基础题、中
档题或难题，题型为选择或填空．
7/24
几何意义
考点 52 平面向量数量积性质的应用 
9/24
考点 53 平面向量的综合应用 
8/24
十年试题分类*探求规律
考点 51 平面向量数量积的概念、其几何意义及其运算律
1．(2020 全国Ⅲ理 6)已知向量a , b 满足 a 5, b 6 , ab  6 ，则cos a , a b 

(
(
)
)
31
35
19
35
C．17
19
35
A．
B．
D．
35
2．(2020 山东 7)已知 P 是边长为2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围
是
A．(2 , 6)
B．(6 , 2)
C．(2 , 4)
D．(4 , 6)


3．(2018•新课标Ⅱ，理 4)已知向量a ，b 满足| a |1，ab  1，则 a(2a b)  
(
)
A．4
B．3
C．2
D．0
uuv
BA  ( ,
uuuv
1 
3
3 1
)
BC  ( 
, ), 则ABC=
(D)1200
4．(2016 新课标，理 3)已知向量
，
2 2
2 2
(A)300
(B) 450
(C) 600
5．(2017 北京)设m，n为非零向量，则“存在负数 ，使得m
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．(2013 湖北)已知点 A(1, 1) 、 B(1, 2) 、C(2, 1) 、 D(3, 4) ，则向量 AB 在CD 方向上的投影
为


n ”是“mn 0 ”的
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件
3 2
2
3 15
2
3 2
2
3 15
2
A．
B．
C． 
D． 
7．(2011 辽宁)已知向量a  (2,1)，b  (1,k) ，a (2a b)  0 ，则k 
A．12 
B． 6
C．6
8．(2015 山东)已知菱形 ABCD 的边长为a ， ABC 60 ，则
D．12



BDCD ＝
3
3
3
3
 a2
B． a
2
C． a2
D． a2
A．
2
4
4
2
9．(2015 四川)设四边形 ABCD 为平行四边形， AB  6， AD  4 ．若点 M, N 满
足
BM 3MC ， DN  2NC ，则 AM NM ( )
A．20
B．15
C．9
D．6
10．(2014 天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2，ÐBAD =120 ，点
 
E,F
BC,DC 上，BE = λBC
分别在边 
，
2
DF = μDC．若 AE× AF =1，CE×CF =- ，则 λ+ μ =
3
1
2
2
3
5
6
7
A．
B．
C．
D．
12
11．(2012 天津)在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点 P，Q 满足 AP AB，AQ  (1)AC ，
R ．若
BQCP  2 ，则 ( )
1
3
2
3
4
3
A．
B．
C．
D．2
12．(2020 全国Ⅰ文 14)设向量
1, 1 ,
m 1, 2m 4
a    b  
 ，若a  b ，则m 

．
13．(2020 全国Ⅱ理 13)已知单位向量a,b 的夹角为 45°，k a b 与a 垂直，则k  
__________．
14．(2020 全国Ⅰ理 14)设a , b
a b 1，则 a b 
为单位向量，且
．
15．(2019•新课标Ⅲ，文 13)已知向量a  (2, 2) ，b  (8,6)，则cos  a ，b 
．


 

1
16．(2014 新课标Ⅰ，理 15)已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若 AO  (AB AC) ，则 AB 与 AC 的夹
角
2
为
．
17．(2013 新课标Ⅰ，理13 文13)已知两个单位向量a，b 的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则
t=_____．
18．(2013 新课标Ⅱ，理 13 文 14)已知正方形 ABC 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AEBD 
=
．
2
19．(2011 江苏)已知e ，e 是夹角为的两个单位向量，a  e1 2e 
b  ke1 e2 ， 若ab 0 ，则k
2
，
1
2
3
的值为
．
20．(2017 天津)在△ABC 中，∠A 60， AB 3， AC  2 ．若 BD  
2DC，
AE   AC  AB (R) ，且 AD AE  4 ，则 的值为___________．
21．(2014 天津)已知菱形 ABCD 的边长为2 ，BAD 120，点 E ，F 分别在边 BC、DC 上，BC 
3BE，
DC DF ．若 AE AF 1，则 的值为________．
考点 52 平面向量数量积性质的应用
1．(2020 全国Ⅱ文 5)已知单位向量a,b 的夹角为 60°，则在下列向量中，与b 垂直的是
(
)
A．a  2b
B．2a  b
C．a  2b
D．2a  b


2．(2019•新课标Ⅰ，理 7 文 8)已知非零向量a ，b 满足| a | 2|b | ，且(a b) b ，则a 与b 的夹角为
(
)


2
5
A．
B．
C．
D．
6
3
3
6


3．(2017•新课标Ⅱ，文 4)设非零向量a ，b 满足| a b || a b |则(
)
A．a  b
B．| a ||b |

C．a / /b
D．| a ||b |

4．(2016 新课标，理 3)已知向量a  (1,m)，b =(3,2) 
，且(a + b) b ，则 m=(
)
(A)－8
5．(2014 新课标Ⅱ，理 3 文 4)设向量a,b 满足| a b | 10 ，| a b | 6 ，则ab 
(
A．1 
B． 2 
C． 3 
D． 5
(B)－6
(C)6
(D)8




)
6．(2018 北京)设a ，b 均为单位向量，则“ a 3b  3a b 
”是“a ⊥b ”的
A．充分而不必要条件
C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
1
7．(2016 年山东)已知非零向量m,n 满足4 | m | 3 | n | ，cos  m,n  ．若n  (tm n) ，则实数 t 的
值
3
为( )
A．4
9
4
9
4
B．–4
C．
D．–
2 2
3
8．(2015 重庆)若非零向量a ，b 满足a 
b ，且(a b)  (3a 2b) ，则a 与b 的夹角为( )
D．
A．
B．
C．3
4
2
4
9．(2015 陕西)对任意向量a,b ，下列关系式中不恒成立的是
A．| a b |≤| a ||b |
C．(a b) | a b |
B．| a b |≤||a | | b ||
D．(a b)(a b)  a b
2
2
2
2
10．(2015 安徽)ΑΒC 是边长为2 的等边三角形，已知向量a ，b 满足 ΑΒ  2a ， ΑC  2a b ，则下
列
结论正确的是 ( )
A． b 1
B．a  b
C．ab 1
 
  

D． 4a b 
ΒC

11．(2014 山东)已知向量 a  (1, 3),b  (3,m) ． 若向量a,b 的夹角为 
，则实数m ( 
)
6
A．2 3
B． 3
C．0
D． 3
12．(2014 重庆)已知向量a  (k,3)，b  (1, 4)，c  (2,1) ，且(2a 3b)  c ，则实数k 
9
2
15
2
A．
B．0
C．3
D．
13．(2012 陕西)设向量a =(1，cos )与b =(1，2cos )垂直，则cos 2 等于
2
1
2
A．
B．
C．0
D．－1
2
14．(2012 浙江)设a ，b 是两个非零向量
A．若| a b || a | | b | ，则a  b
B．若a b，则| a b || a | | b |
C．若| a b || a | | b | ，则存在实数 ，使得b  a
D．若存在实数 ，使得b  a ，则| a b || a | | b |



15．(2019•新课标Ⅲ，理 13)已知a ，b 为单位向量，且ab  0 ，若c  2a  5b ，则cos  a ，c 
．

16．(2017•新课标Ⅰ，理 13)已知向量a ，b 的夹角为60，| a | 2 ，|b |1，则| a 2b |
17．(2017•新课标Ⅰ，文 13)已知向量a  (1, 2) ，b (m,1)，若向量a  b 与a 垂直，则m 

．
．
18．(2017•新课标Ⅲ，文 13)已知向量a  (2, 3) ，b  (3,m) ，且a  b ，则m 

19．(2016 新课标，理 13)设向量 a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=
20．(2016•新课标Ⅰ，文 13)设向量a  (x,x 1) ，b (1, 2) ，且 a  b ，则 x 
．
．
．
21．(2012 课标，理 13)已知向量a ，b 夹角为450 ，且|a |=1，|2a b |= 10 ，则|b |=
．
22．(2011 新课标，文 13)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a + b 与向量ka - b 垂
直，
则k =
．
23．(2017 山东)已知e ，e 是互相垂直的单位向量，若 3e e 与e  e 的夹角为60 ，则实数 的值

1
2
1
2
1
2
是
．
24．(2015 湖北)已知向量OA  AB ，| OA| 3，则OAOB 
．
25．(2014 四川)平面向量a  (1, 2)，b  (4, 2)，c  ma b( mR )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹
角，
则m ____________．
26．(2013 北京)已知向量a ，b 夹角为45o ，且| a |1，|2a b | 10 ，则| b | ．
27．(2012 湖北)已知向量a =(1，0)，b =(1，1)，则
(Ⅰ)与2a b 同向的单位向量的坐标表示为____________；
(Ⅱ)向量b 3a 与向量a 夹角的余弦值为____________．
28．(2012 安徽)若平面向量a ，b 满足： 2a b ≤3；则ab 的最小值是
．
29．(2011 安徽)已知向量a,b 满足(a b)(a b)  ，且 a 1， b  2 ，则a 与b 的夹角
为
．
考点 53 平面向量的综合应用
1 ．(2019•新课标Ⅱ，理 3)已知 AB  (2,3) ， AC  (3,t) ，| BC |1，则 ABBC  
(
A．3 
B．2 
C．2 
D．3
)
2．(2017•新课标Ⅱ，理 12)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PA(PB  
PC)
的最小值是(
A．2
)
3
2
4
3
B． 
C． 
D．1
3．(2017•新课标Ⅲ，理 12)在矩形 ABCD 中， AB 1 ， AD  2 ，动点 P 在以点C 为圆心且与 BD 相切
的圆
上．若 AP  AB  AD ，则   的最大值为(
A．3 
B．2 2 
C． 5
)
D．2
x2
 y2 1 上的一点，F 、F 是 C 上的两个焦点，若
4．(2015 新课标Ⅰ，理 5)已知 M(x y )是双曲线 
C：
0
0
1
2
，
2


MF  MF ＜0，则 y0 的取值范围是(
)
)
1
2
3
3
3
3
3
6
(A)(-
，
)
(B)(-
，
3
6
2 2 
2 2
2 3 
2 3
(C)(
，
)
(D)(
，
)
3
3
3
3
5．(2011 新课标 ，理 10)已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为 ，有下列四个命题
2
2
p1 ：| a b |1   ∈[0，
)
p2 ：| a b |1   ∈(
， ]
3
3

∈( 
p3 ： | a b |1   ∈[0，
)
p4 ：| a b |1 
， ]
3
3
其中真命题是
(A) p1 ， p4
(B) p1 ， p3 
(C) p2 ， p3
(D) p3 ， p4
6．(2016 年天津)已知ΔABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D,E 分别是边 AB,BC 的中点，连接 DE 并
延
长到点 F ，使得 DE  2EF ，则 AF BC 的值为

5
8
1
8
1
4
11
8
A．
B．
C．
D．
7．(2014 安徽)设a,b 为非零向量， b  2 a ，两组向量 x , x , x , x 和 y , y , y , y 均由 2 个a 和 2 个
b 排
1
2
3
4
1
2
3
4
列而成，若 x  y  x  y  x  y  x  y 所有可能取值中的最小 值为4 a ，则a 与b 的夹角
为
2
1
1
2
2
3
3
4
4
2
B．
C．
A． 
D．0
3
3
6
8．(2014 浙江)设 为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，| b ta |是最小值为 
1
A．若 确定，则| a | 唯一确定
C．若| a | 确定，则 唯一确定
B．若 确定，则| b |唯一确定
D．若| b |确定，则 唯一确定
9．(2013 福建)在四边形
A． 5
ABCD 中， AC (1,2),BD (4,2)，则该四边形的面积为
D．10
B．2 5
C．5
1
10．(2013 浙江)设 ABC， P 是边 AB 上一定点，满足 PB  AB ，且对于边 AB 上任一点 P ，恒
有
0
0
4
PBPC≥PBPC ．则
0
0
A．ABC  900
B．BAC  900
C． AB  AC
D． AC  BC
11．(2013 湖南)已知a,b 是单位向量，ab = 0．若向量c 满足 c a b 1，则 c 的最大值
为
A． 2 1 
B． 2 
C． 2 1 
D． 2 2 


OP 
1
2
12．(2013 重庆)在平面上， AB  AB ， OB  OB 1， AP  AB  AB ．若
，则OA
的取
1
2
1
2
1
2
值范围是

5 





7

5
7
5
0,


,


, 2
D 
, 2
A．
B．
C．
．




2
2
2
2
2








13．(2018 天津)如图，在平面四边形 ABCD 中， AB 
BC ，

AD  CD ，BAD 120
，
AB  AD 1． 若点 E 为边CD 上的动点，则 AEBE 的最小值为
21
16
3
2
25
16
A．
B．
C．
D．3

14．(2018 浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为 
，向量b 满
足
3
2
b 4eb 3  0 ，则| a b |的最小值是( )
A． 3 1
B． 3 1
C．2
D．2  3
15．(2017 浙江)如图，已知平面四边形 ABCD， AB  BC， AB  BC  AD  2，CD 3， AC 与 
BD
交于点O，记 I OAOB， I ＝OB·OC ， I ＝OC·OD ，
则
1
2
3
A． I < I < I
B． I < I < I
C． I < I < I
D． I < I < I
2 
1 
3
1
2
3
1
3
2
3
1
2
16．(2016 四川)在平面内，定点 A，B，C，D 满足 DA = DB = DC ， DADB =
DB  DC = DCDA=  2，动点 P，M 满足 AP =1， PM = MC ，则 BM 2 的最大值
是
43
4
49
4
376 3
372 33
A．
B．
C．
D．
4
4


1
17．(2015 福建) 已知 AB  AC ， 
AB  ， 
AC  t ，若点 P 是 ABC 所在平面内一点，
且
t

AP     
，则 PBPC 的最大值等于( )
AB 
AC
AB 
4AC
A．13
B．15
C．19
D．21
18．(2015 湖南)已知点 A, B,C 在圆
PA PB PC 的最大值为( )
x2  y2 1 上运动，且 AB  BC．若点 P 的坐标为(2,0)，则
A．6
B．7
C．8
D．9
xOy
a,b | a || b |1 ab 0 
Q
，点 
满足
19．(2014 安徽)在平面直角坐标系
中，已知向量
，
，
OQ  2(a b) ．曲线C {P | OP  a cos bsin,0≤ ≤2} ，区域
 {P | 0  r ≤| PQ|≤R,r  R}．若C 为两段分离的曲线，则( )
A．1 r  R  3 
B．1 r  3 R 
C．r 1 R  3
D．1 r  3 R
 

 

20．(2012 广东)对任意两个非零的平面向量α 和β，定义 
 
．若平面向量a,b 满足| a |
| b | 0 ，

n
a 与b 的夹角 (0, ) ，且ab 和ba 都在集合{ | nZ}中，则
ab =( )
4
2
1
2
3
2
5
2
A．
B．1
C．
D．
21．(2011 山东)设 A ， A ， A ， A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，
1
2
3
4
1 
1
 
 2，则
A A A A  
R
A A  A A μ 
R
若
( ∈ 
)，
( ∈ 
)，且
1
3
1
2
1
4
1
2
 

称 A ， A 调和分割 A ， A ，已知点C(c,0)， D(d,0)，(c,d ∈R )调和分割
3
4
1
2
点 A(0,0)， B(1,0)，则下面说法正确的是
A．C 可能是线段 AB 的中点
B． D 可能是线段 AB 的中点
C．C ， D 可能同时在线段 AB 上
D．C ， D 不可能同时在线段 AB 的延长线上
22．(2020 浙江 17)设e ，e 为单位向量，满足| 2e e | 2 ，a  e  e ，b  3e  e ，设a ，b 的夹角为
1
2
1
2
1
2
1
2
，则cos2  的最小值为
▲
．


 

1
2
23．(2020 北京 13)已知正方形 ABCD 的边长为2 ，点 P 满足 AP 

PBPD __________．
AB AC ，则 PD  ________；


a ,a ,b ,b ,,b k N*
| a  a |1
是平面内两两互不相等的向量，满足 
且
1 
2
24．(2020 上海 12)已知1
2
1
2
k
| a b |{1, 2}(其中i 1, 2, j 1, 2, ,k )，则k 的最大值
为



．
i
j
25 ． (2020 天 津 15) 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， B  60 , AB 3 ， BC 6 
， 且




 
 

3
AD BC, ADAB   ，则实数 的值为_________，若 M, N 是线段 BC 上的动点，且| MN |
1，
2
则 DM DN 的最小值为_________．

26．(2017 浙江)已知向量a ，b 满足| a |1，| b | 2 ，则| a b | | a b | 的最小值是
最大值是
27．(2015 浙江)已知e ,e 是空间单位向量，e e  
，若空间向量b 满足be  2 ，be  
，且对于
，
．
1
5
1
2
1
2
1
2
2
2
任 意 x, y R ， b (xe  ye ) ≥ b (x e  y e ) 1(x , y R) ， 则 x  ____ ， y  _____ 
，
1
2
0 1
0
2
0
0
0
0
b _____．
28．(2014 山东)在VABC 中，已知 AB AC  tan A ，当 A  
时，VABC 的面积为 
．

6
29．(2014 安徽)已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量 x , x , x , x , x 和 y , y , y , y , y 均
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
由 2 个a 和 3 个b 排列而成．记 S  x  y  x  y  x 
 y
3
1
1
2
2
3
x  y  x  y ，S 
表示 S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____(写出所有正确命题
4
4
5
5
min
的编号)．
S
① 
有 5 个不同的值．
②若a b 则S
min 与| a | 无关．
③若a∥b 则S
min 与| b | 无关．
④若| b | 4 | a |，则S 
 0
min
．

⑤若| b | 2 | a |，S 
8 | a |2 ，则a 与b 的夹角为
min
．
4
AB 与 AC 的夹角120，且| AB |=3，| AC |=2，若
30．(2013 山东)已知向量
AP  AB  AC ，且 AP  BC ，则实数 的值为
_____．

| x | 
| b | 
31．(2013 浙江)设e ，e 为单位向量，非零向量b  xe  ye ， x, yR ，若e ，e 的夹角为 
，
则
1
2
1
2
1
2
6
的最大值等于________．
32．(2013 天津)在平行四边形 ABCD 中，AD = 1，BAD  60
，E 为 CD 的中点．若 AC·BE 1， 则 AB
的长为
．
33．(2011 浙江)若平面向量 ， 满足| |=1，|  |≤1，且以向量 ，  为邻边
的
1
平行四边形的面积为 
，则 与  的夹角 的取值范围
是
．
2
34．(2019 江苏 12)如图，在△ABC
AB
O
中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点 
．
若
ABAC 6AOEC ，则
的值是
．
AC
35 ． (2019 浙 江 17) 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1 ， 当 每 个 i (i 1, 2,3, 4,5, 
6) 取 遍
|  AB BC  CD DA AC  BD| 的最小值是________，最大值是_______．
1
时 ，
1
2
3
4
5
6
AD∥BC, AB  2 3, AD  5, A  30
36．(2019 天津理 14 )在四边形 ABCD 中，
E
，点 
在线段
CB
AE  BE
BDAE 
的延长线上，且
，则
．
37．(2018 上海)在平面直角坐标系中，已知点 A(1，0) ，B(2,0)，E ，F 是 y 轴上的两个动点，且| EF | 
2，
则 AEBF 的最小值为______．
38．(2017 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中， A(12, 0) ， B(0, 6) ，点 P 在圆 O ：
PAPB≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是
39．(2016 年浙江)已知向量a,b ，| a |1，| b | 2 ，若对任意单位向量e ，均有
| ae |  | be | 6 ，则ab 的最大值是
40．(2015 天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC ， AB  2 ， BC 1，ABC  60 
．
x2  y  50 上，若
2
．
．




1
9
动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE BC，
DF

AE AF 的最小值为
．
．
DC ，则
k
k
k
12

41．(2015 江苏)设向量ak  (cos
, sin
cos 
) (k  0,1, 2,,12)，则 
(a a )的值为
k
k1
6
6
6
k0
A(1,0),B(0, 3),C(3, 0),
D 满足| CD|1，则
42．(2014 湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，
| OAOBOD| 的最大值是
43．(2012 江苏)如图，在矩形 ABCD 中， AB  2 ，BC  2，点 E 为 BC 的中点 ，点 F 在边CD
上，若
动点
．
AB AF  2 ，则 AE BF 的值是
．
xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在0,1
P
，此时圆上一点 
的
44．(2012 山东)如图，在平面直角坐标系
位置在0,0
2,1时，OP
的坐标为
．
x
，圆在 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于
45．(2017 江苏)已知向量a  (cos x, sin x) ，b  (3, 3)， x[0,]．
(1)若a∥b，求 x 的值；
(2)记 f (x)  a b ，求 f (x) 的最大值和最小值以及对应的 x 的
值．
2 ,
2) ，n  (sin x,cosx) ，
46．(2015 广东)在平面直角坐标系 xoy 中，已知向量m  (2
2

x(0, ) ．
2
(1)若m n ，求 tan x 的值；

(2)若m 与n 的夹角为 
，求 x 的
值．
3
47．(2014 山东)已知向量a m,cos 2x,b sin 2x,n

，函数 f xab，且
 

12


 2
 3


y 
f x
   的图像过
点
, 3 和点
,2 ．



(Ⅰ)求m,n 的值；
(Ⅱ)将 y 
f x
  的图像向左平移0  个单位后得到函数 y  
gx
的图像，若 y g x
  图像上各最高点到点0, 3的距离的最小值为 
1，
  的单调递增区间．
求 y g x
48．(2014 辽宁)在ABC 中，内角 A, B,C 的对边a,b,c ，且a c ，已知 BABC  
2 ，
1
cosB  ，b 3
 ，求：
3
(Ⅰ)a 和c 的值；
(Ⅱ)cos(B C) 的值．
49．(2013 江苏)已知a  (cos,sin) ，b  (cos,sin) ，0     ．
(1) 若| a b | 2 ，求证：a b；
(2) 设c  (0,1)，若a b  c ，求 ， 
的
值．

  

 2  


3 sin x, sin x ,
b  
50．(2013 辽宁)设向量a 
 
cosx,sinx , x 
0,
.


(I)若| a || b | ，求 x 的值；
(II)设函数 f (x)  a b ，求 f (x) 的最大值．