2011-2020年高考数学真题分专题训练专题19数列的求和问题（学生版）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题 19 数列的求和问题
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
等比数列的通项公式、性质、等差数列的前n 项和公式及拆
2011
2012
理 17 拆项消去求和法
项相消求和法，运算求解能力
理 16 公式法与分组求和法
灵活运用数列知识求数列问题能力
理
等差数列的前n 项和公式及数列最值问题，函数与方程思想
卷 2
数列综合问题
16
等差数列的通项公式、前n 项和公式及列项求和法，方程思
卷 1 
文 17 拆项消去求和法
卷 1 
理 12 数列综合问题
2013
想
递推数列、数列单调性、余弦定理、基本不等式应用等基础
知识，综合利用数学知识分析解决问题能力
等差数列的通项公式及错位相减法，方程思想、转化与化归
思想
2014 卷 1 
文 17 错位相减法
利用 数列利用前n 项和 S 与a 关系求通项公式、等差数列
拆项消去求和法
n
n
2015 卷 1 
理 17
定义及通项公式、利用拆项消去法数列求和
对新概念的理解和应用新定义列出满足条件的数列
等差数列通项公式与前 n 项和公式、对新概念的理解与应
用，分组求和法
卷 3 
理 12 数列综合问题
2016
2017
2020
卷 1 
理 17 公式法与分组求和法
n
利用数列利用前 项和 S 与a 关系求通项公式及利用拆项
拆项消去求和法
n
n
卷 3 
文 17
卷 2 
理 15
消去法数列求和
等差数列通项公式、前n 项和公式及拆项消去求和法，方程
等差数列基本量的运算 
思想
拆项消去求和法
等比数列的前n 项和公式、等差数列前n 项和公式，逻辑推
理能力
卷 1 
理 12 数列综合问题
卷 2 
文 12 等差数列
等差数列通项公式、前n 项和公式
数学归纳法，错位相减法求数列的和
等比数列通项公式，等差数列前n 项和公式
理 17 数列综合问题
卷 3
文 17 等差数列与等比数列
大数据分析*预测高考
考 点
出现频率 2 021 年预测
考点 61 公式法与分组求和法
考点 62 裂项相消法求和
1/1 3
5/13
2/13
1/13
4/13
2021 年高考数列求和部分仍将重点拆线消去法和错位相减法
考点 63 错位相减法
及与不等式恒成立等相关的数列综合问题，求和问题多为解答
题第二问，难度为中档，数列综合问题为小题压轴题，为难题
考点 64 并项法与倒序求和法
考点 65 数列综合问题
十年试题分类*探求规律
考点61 公式法与分组求和法
1 ． (2020 全 国 Ⅱ 文 14) 记 S 为 等 差 数 列 a  的 前 n 项 和 ， 若 a  2 , a a  2 
， 则
n
n
1
2
6
S 
10
．
  

n n 1
 

2．(2020 浙江 11)已知数列 a 满足a =
，则 S3 
．
n
n
2
3．(2020 山东 14)将数列 2n 1 与 3n 2 的公共项从小到大排列得到数列a  ，则 a 的前 n 项
和
    
 
 

n
n
为
．
4．(2012 新课标，理 16)数列{ an }满足a 
(1)
n1
na  n  ，则{ a }的前 60 项和为
2 
1
．
n
n
5．(2020 山东 18)已知公比大于1 的等比数列 a 满足a 
a4 
20 ，a3 
8 ．
 


2

n
 

(1)求 a 的通项公式；
n
 

 
 

 

m
(2)记b 为 a 在区间 0,m m N 中的项的个数，求数列 b 的前100 项和 S 
．
m
n
100
6．(2016•新课标Ⅱ，理 17)S 为等差数列{a }的前n 项和，且a 1，S  28 ，记b [lga ] ，其中[x]表示
n
n
1
7
n
n
不超过 x 的最大整数，如[0.9]  0 ，[lg99]1．
(Ⅰ)求b ，b ，b ；
1
11
101
(Ⅱ)求数列{bn}的前 1000 项和．
7．(2015 湖南)设数列{a }的前n 项和为 S ，已知a 1,a  2 ，
n
n
1
2
且a
n2  3S
n Sn1 3, (nN
 
) ．
*
(Ⅰ)证明：a 
 3a ；
n2
n
(Ⅱ)求 Sn ．
8．(2013 安徽)设数列 满足
， 
，函数
a  2 
a a 8 ，且对任意nN * 
1 
2 
4
an

f (x)  (a a 
a )x a cosx -a 
sin x ，满足 f '( ) 0

n
n1
n2
n1
n2
2
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
an
1
b （2 a ）
，求数列 的前 项和 S 
．
b 
n
n
n
(Ⅱ)若
n
n
2an
考点 62 裂项相消法求和
b
n
a  b  c 1,c 
 a
n1
n1
 an ,c
n1 
cn (nN*) ．
1．(2020 浙江 20)已知数列{a }，{b }，{c }中，
n
n
n
1
1
1
b
n2
(Ⅰ)若数列{b }为等比数列，且公比q 0 ，且b 
b2 
6b ，求 q 与 a 的通项公式；



n
n
1
3
1
(Ⅱ)若数列{b }为等差数列，且公差d 
0 ，证明：

c  c  c 1
1 
2 
n
．
n
d
n 1

2．(2017•新课标Ⅱ，理 15)等差数列{a }的前n 项和为 S ，a  3，S 10 ，则

．
n
n
3
4
Sk
k1
3．(2017•新课标Ⅲ，文 17)设数列{a }满足a 3a  (2n 1)a  2n ．
n
1
2
n
(1)求{an}的通项公式；
a
n
2n 1
(2)求数列{
}的前n 项和．
4．(2015 新课标Ⅰ，理 17) S 为数列{ a }的前 n 项和．已知a ＞
0，
a2
n a =4S 3．
n
n
n
n
n
(Ⅰ)求{ an }的通项公式：
(Ⅱ)设 
,求数列
}的前 n 项和
5．(2013 新课标Ⅰ，文17)已知等差数列｛a ｝的前n 项和 S 满足 S =0，S 
=-5．
n
n
3
5
(Ⅰ)求｛an ｝的通项公式；
1
(Ⅱ)求数列{
}的前n 项和．
a 
a
2n1 2n1
6．(2011 新课标，理 17)等比数列{a }的各项均为整数，且2a 3a =1，a2 =9a a ，
3 
2 6
n
1
2
(Ⅰ)求数列{ an }的通项公式；
1
(Ⅱ)设b =log a log a log a ，求数列{ 
}的前n 项和．
n
3
1
3
2
3
n
bn
 


*
7．(2016 年天津高考)已知 a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n N ，b 是a 和a
n1
n
n
n
的等差中项．
(Ⅰ)设c  b
bn
2,nN* ，求证：数列 c 是等差数列；
 

2
n1
n
n
2n
n 1
1



 
 
1 b ,nN*，求证：
k
2
k

.
2
(Ⅱ)设 a 
d,T
1
n
Tk 
2d
k1
k1
8．(2011 安徽)在数 1 和 100 之间插入n 个实数，使得 这n2 个数构成递增的等比数列，将这n2 个数
的
乘积记作Tn ，再令an 
lgTn,

n≥1．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设b  tana tana , 求数列{b }的前n 项和 S ．
n
n
n 1
n
n
9．(2014 山东)已知等差数列{a }的公差为 2，前n 项和为 S ，且 S ，S ， S 成等比数
列．
n
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
4n
n
1
2
4
n1
, 求数列{b }的前 项和 
．
n
T
(Ⅱ)令b =( 1)
n
n
n
ana
n1
10 ．(2013 广东)设各项均为正数的数列 的前 项和为S ，满足4Sn  a
4n 1， nN
 
，且
a
n
n
2
n1
*
n
a ,a ,a 构成等比数列．
2
5
14
(Ⅰ)证明：a  4a 5 ；
2
1
(Ⅱ)求数列 的通项公式；
an
1
1
1
1
n



(Ⅲ)证明：对一切正整数 ，有
．
a1a2 
a2a3
anan1
2
考点 63 错位相减法
1．(2020 全国Ⅲ理 17)
 




n
设等差数列 a 满足a 
3, a
3a 
4n ．
n
1
n1
 

(1)计算a , a ，猜想 a 的通项公式并加以证明；
2
3
n
 

2na
的前 项和 
．
n
S
(2)求数列
n
n
2．(2014 新课标 I，文 17)已知{ a }是递增的等差数列，a ，a 是方程
2
x 5x 6  0 的根。
n
2
4
(I)求{ an }的通项公式；
an
(II)求数列{
}的前n 项和．
2n
3．(2015 浙江)已知数列{a }和{b }满足，a  2 ，b 1，a 
 2a (nN )，
*
n
n
1
1
n1
n
1
1
1
b  b  b   b  b 1(nN ) ．
*
1
2
3
n
n1
2
3
n
(Ⅰ)求a 与b ；
n
n
(Ⅱ)记数列{a b }的前n 项和为T ，求T ．
n
n
n
n
a  0
1
a a  S  S ，n
N

4．(2013 湖南)设 S 为数列{ a }的前项和，已知
，2
n
n
n
1
1
n
(Ⅰ)求a
1 ，a ，并求数列 的通项公式；
a
2
n
(Ⅱ)求数列｛na ｝的前 项和．
n
n
5．(2016 年山东高考)已知数列  的前 n 项和
 是等差数列，且
S  3n 8n ， b
n
a
n
2
n
a b b .
n
n
n1
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
bn
(a 
1)n 1


(Ⅱ)令cn 
n
. 求数列 的前 n 项和 T ．
c
n
n
n
(b 
2)

n
6．(2015 湖北)设等差数列{a }的公差为d ，前n 项和为 S ，等比数列{b }的公比为q ．已知b  a ，b  
2，
n
n
n
1
1
2
q  d ， S10 100．
(Ⅰ)求数列{a }，{b }的通项公式；
n
n
a
n
(Ⅱ)当d 1 时，记cn  
，求数列{c }的前n 项和T ．
n
n
bn
7．(2013 山东)设等差数列 的前 项和为 
，且
S
S  4S
4
，a  2a 1
．
a
n
n
n
2
2n
n
(Ⅰ)求数列 的通项公式；
an
a
n 1
2n
*
(Ⅱ)设数列 的前 项和 
,且
T
T 
n
 

(λ 为常数)，令
(
 的前 
项
c b 
nN 
c
)．求数列
b
n
n
n
n
n
2n
n
和 Rn ．
8．(2017 山东)已知{x }是各项均为正数的等比数列，且 x  x  3 ， x  x  2 ．
n
1
2
3
2
(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式；
(Ⅱ)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P(x ,1) ，P (x ,2) ，…，P (x ,n 1)得到折线
1
1
2
2
n1
n1
P P … P ，求由该折线与直线 y  0， x  x ， x  x 所围成的区域的面积T 
．
1
2
n1
1
n1
n
9．(2017 天津)已知{a } 为等差数列，前 n 项和为 S (nN ，{b }是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，
)
n
n
n
b b 12,b  a 2a ， S 11b ．
2
3
3
4
1
11
4
(Ⅰ)求{a } 和{b }的通项公式；
n
n
(Ⅱ)求数列{a2nb2n1} 的前 n 项和(nN ．
)
10．(2015 湖北)设等差数列{a }的公差为 d，前 n 项和为S ，等比数列{b }的公比为 q．已知b  a ，b  
2 ，
n
n
n
1
1
2
q  d ， S10 100．
(Ⅰ)求数列{a }，{b }的通项公式；
n
n
a
n
( Ⅱ)当d 1 时，记cn  
，求数列{c }的前 n 项和T ．
n
n
bn
11．(2014 四川)设等差数列{a }的公差为d ，点(a ,b ) 在函数 f (x)  2x 的图象上
n
n
n
(nN * )．
(Ⅰ)若a  2 ，点(a ,4b ) 在函数 f (x) 的图象上，求数列{a }的前n 项和 S ；
1
8
7
n
n
1
{a
(Ⅱ)若a 1，函数 f (x) 的图象在点(a ,b ) 处的切线在 x 轴上的截距为2
，求数列
n
b
n
} 的前n
1
2
2
ln2
项和Tn ．
 

2n2 
 

 4 log b 
3

，
n
12．(2012 浙江)已知数列 a 的前n 项和为 S ，且S 
=
n ，n∈N﹡，数列b
满足a
n
n
n
n
n
2
nN * ．
(Ⅰ)求a ,b ；
n
n
(Ⅱ)求数列{a b }的前n 项和T ．
n
n
n
考点 64 并项法与倒序求和法
1．(2011 安徽)若数列 的通项公式是a  (1)(3n 2)
n
,则 
=
a a a
1 
2 
10
a
n
A．15
B．12
C．－12
D．－15
考点 65 数列综合问题
1．(2017•新课标Ⅰ，理 12)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的
兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已
知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， 
，其中第一项是2
，再接下来的三项是2 ，2 ，2 ，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N : N 100 且该数列的前 N
项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是(
A．440 
B．330 
C．220
2．(2016•新课标Ⅲ，理 12)定义“规范 01 数列” {a }如下：{a }共有2m 项，其中m 项为 0，m 项为 
1，
0 ，接下来的两项是2
，
0
21
0
1
2
)
D．110
n
n
且对任意k
 2m ，a ，a ， 
，a 中 0 的 个数不少于 1 的个数，若m  4 ，则不同的“规范 01 数
列”共
1
2
k
有(
)
A．18 个
B．16 个
C．14 个
D．12 个
3．(2013 新课标Ⅰ，理 12)设△A B C 的三边长分别为 a ,b ,c ，△A B C 的面积为 S ，n=1,2,3,…
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
cn＋an
bn＋a
若 b ＞c ，b ＋c ＝2a ，a 
＝a ，b 
＝
，c 
＝
n，则(
)
1
1
1
1
1
n 1
＋
n
n 1
＋
n 1
＋
2
2
A．{Sn}为递减数列
C．{S 
}为递增数列，{S2n}为递减数列
B。{Sn}为递增数列
D．{S 
}为递减数列，{S2n}为递增数列
2n 1
－
2n 1
－
n
n
n+1
n
N
4．(2019 浙江 10)设 a，b∈R，数列{a }中 a =a，a =a 2+b，n
,则
1
1
A．当 b= 时，a ＞10
B．当 b= 时，a ＞10
10
10
2
4
C．当 b=-2 时，a10＞10
D．当 b=-4 时，a10＞10
5 ． (2015 湖 北 ) 设 a ,a ,,a R ， n≥3 ． 若 p ： a ,a ,,a 成 等 比 数 列 ； q 
：
1
2
n
1
2
n
(a1
2 a2
2 a 2
n1) (a2
2 a3
2 an
2) (a a a a a a )2 ，则
1
2
2
3
n1 n
A．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件
B．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件
C．p 是 q 的充分必要条件
D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件
 

6．(2020 全国Ⅲ文 17)设等比数列 a 满足a a  4 , a a  8 ．
n
1
2
3
1
 

(1)求 a 的通项公式；
n


(2)设 S 为数列 log a 的前n 项和．若 S S 
 Sm3 ，求m ．
n
3
n
m
m1
1
3
i
f (x)  x2 ， f2 (x)  2(x  x
1
2), f3(x) |sin 2 x | ，a 

，
7．(2014 浙江)设函数
i
99
i  0,1, 2,,99，记 I | f (a )  f (a ) |  | f (a )  f (a ) | 
k
k
1
k
0
k
2
k
1
| f (a )  f (a ) | ，k 1,2,3.则
k
99
k
98
A． I  I  I
B． I  I  I
C． I  I  I
D． I  I  I
3 
2 
1
1
2
3
2
1
3
1
3
2
8．(2013 新课标Ⅱ，理 16)等差数列{ a }前 n 项和为 S ， S =0， S =25，则nS 的最小值
为
．
n
n
10
15
n
9.(2018 江苏)已知集合 A {x | x  2n 1,nN
*}， B {x | x  2
n,nN }．将 A B 的所有元素从小到大依次
*
排列构成一个数列{a }．记 S 为数列{a }的前n 项和，则使得 S 12a 
成立的n 的最小值
为
．
n
n
n
n
n1
10．(2015 陕西)中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首项为
11．(2019 江苏 20)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”．
．
(nN*) 满足：a a  a ,a 4a  4a  0 ，求证：数列{a }为“M－数列”；
(1)已知等比数列{a
n}
n
2
4
5
3
2
4
1
2
2
(nN*) 满足：b 
1,



，其中 S 为数列{b }的前 n 项和．
n 
n
(2)已知数列{b
n}
1
S
n
bn 
bn1
①求数列{bn}的通项公式；
②设 m 为正整数，若存在“M－数列”{cn}(nN ) ，对任意正整数 k，当 k≤m 时，都有c 
 b 
 c 
成立，
*
k 
k 
k1
求 m 的最大值．
12．(2014 广东)设各项均为正数的数列a 的前 项和为 
，且 
满足
S
S
n
n
n
n
S n n 3Sn 3n n 0,nN
 
2
n
2
2
．
a
(Ⅰ)求 
的值；
1
(Ⅱ)求数列an的通项公式；
1
1
1
1
n


 .
(Ⅲ)证明：对一切正整数 ，有a a 1 a a 1
a a 1 3
n 
n
1
1
2
2
13．(2019 江苏 20)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数
列”．
(nN*) 满足：a a  a ,a 4a  4a  0 ，求证：数列{a }为“M－数
列”；
(1)已知等比数列{a
n}
n
2
4
5
3
2
4
1
2
2
(nN*) 满足：b 
1,



，其中 S 为数列{b }的前 n 项和．
n 
n
(2)已知数列{b
n}
1
S
n
bn 
bn1
①求数列{bn}的通项公式；
②设 m 为正整数，若存在“M－数列”{cn}(nN ) ，对任意正整数 k，当k≤m 时，都有c 
 b 
 c 
成立，
*
k 
k 
k1
求 m 的最大值．
14．(2018 江苏)设{a }是首项为a ，公差为d 的等差数列，{b }是首项为b ，公比为q 的等比数列．
n
1
n
1
(1)设a  0,b 1,q  2 ，若| a b |≤b 对n 1,2,3,4 均成立，求d 的取值范围；
1
1
n
n
1
(2)若a b 0,mN *,q(1, 2]，证明：存在d R ，使得| a b |≤b 对n  2, 3,,m 1 均
成
n 
n 
1
m
1
1
立，并求d 的取值范围(用b1,m,q 表示)．
15．(2016 年四川高考)已知数列{ a }的首项为 1，S 为数列{ a }的前 n 项和，S 
 qS 1 ，其中 q>0，
n
n
n
n1
n
nN * ．
(I)若2a ,a ,a 2 成等差数列，求a 的通项公式；
2
3
2
n
y2
a2
5
4n 3n
3n1
1 的离心率为e ，且e  
，证明：e e e 
(Ⅱ)设双曲线 x2 
．
n
2
1
2
n
3
n
 

x2 ，
， x

16．(2015 陕西)设 f x 是等比数列1， x ，
n 的各项和，其中 x 0 ，n ，n≥2 ．
n
1
  
 
(Ⅰ)证明：函数 F x
f x 
2 在( ,1)内有且仅有一个零点(记为 x )，且
n
n
n
2
1 1
 

n1；
x
n
xn
2 2
 

 

n
(Ⅱ)设有一个与上 述等比数列的首项、末项、项数分别相同 的等差数列，其各项和为 g x ，比较 f 
x
n
 

与 g x 的大小，并加以证明．
n
 



17．在数列 a 中，a 
3，a a a 
 a2
n  0 (n N ) ．
n
1
n1
n
n1

(Ⅰ)若  0,  2 ，求数列 a 的通项公
式；
 

n
1
1
1
(Ⅱ)若  
(k N ,k ≥2)，  1，证
明：2 
 ak0 1  2 
．
0

0

2k 1
0
k0
3k 
1
0
a a a   2 nN  
． 若
b
n
18 ． (2014 浙 江 ) 已 知 数 列 a 和 b 满 
足
an为 等 比 数 列 ， 且
n
n
1
2
n
a  2,b  6 b .
1
3
2
(Ⅰ)求a 与b ；
n
n
1
1
c  
 nN 

c 的前 项和为 S ．
n
(Ⅱ)设
．记 数列
n
n
n
an
b
n
(ⅰ)求Sn ；
k
nN
 

S  S
．
(ⅱ)求正整数 ，使得对任意
，均有
k
n
19．(2014 江苏)设数列{a } 的前 n 项和为 S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得S 

n
am ，则称{an}
n
n
是“H 数列”．
2
n ( n  N  )，证明: {an} 是“H 数列”；
a  ，公差d  0 ．若{a } 是“H 数列”，求d 的值；
(Ⅰ)若数列{a
n} 的前 n 项和 S

n
(Ⅱ)设{a
n} 是等差数列，其首项
1
1
n
(Ⅲ)证明：对任意的等差数列{a } ，总存在两个“H 数列”{b }和{c } ，使得a 
n
bn 
 cn ( n  N  )成
n
n
n
立．