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淘宝：学思创想
专题24 相似模型之（双）A 字型与（双）8 字型模型
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计
算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的
基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和
（双）8（X）字模型．
....................................................................................................................................................1
模型1.“A”字模型............................................................................................................................................1
模型2.“X”字模型（“8”字模型）................................................................................................................4
模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）...........................................................................................................6
..................................................................................................................................................10
【知识储备】A 字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的
是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无
论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1.“A”字模型
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“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相
等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型
图1 图2 图3 图4
①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。
②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。
证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。
③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
。
证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，
同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。
④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC 的内接矩形DEFG 的边EF 在BC 边上，D、G 分别在AB、AC 边
上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔
。
证明:∵DEFG 是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，
同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴
。
例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在
中，点
、
为边
的三等分点，点
、
在边
上，
，
交
于点
．若
，则
的长为 ．
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例2．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形
内接于
，点
，
在
上，点
，
分
别在
和
边上，且
边上的高
，
，则正方形
的面积为 ．
例3．（2024·湖南永州·模拟预测）如图：
中，
，
，
，把边长分别为
，
，
，…
的n 个正方形依次放在
中；第一个正方形
的顶点分别放在
的各边上；
第二个正方形
的顶点分别放在
的各边上，其他正方形依次放入，则第2024 个正方形的
边长
为 ．
例4．（2024·山东·中考真题）如图，点
为
的对角线
上一点，
，
，连接
并
延长至点
，使得
，连接
，则
为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
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例5．（23-24 九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，
，垂足为
，
，垂足为
，
与
相交于点
，(1) 判断
与
是相似三角形吗？请说明理由；(2) 连接
，求证：
；
(3)若
，
，
，求
的长．
模型2.“X”字模型（“8”字模型）
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两
个三角形相似．
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型
图1 图2 图3 图4
①“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。
②反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。
证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。
③平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：
。
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证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，
同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴
。
④斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。
证明:∵∠1 ＝∠2 ，∠AOD=∠BOC （对顶角）， ∴△AOD∽△BOC ，∴AO:BO=DO:CO ，即
AO:DO=BO:CO；
∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。
例1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形
的对角线
相交于点O，点E 是
的中点，点
F 是
上一点．连接
．若
，则
的值为 ．
例2.（23-24 九年级上·浙江杭州·期中）如图，
与
交于点O，
过点O，交
于点E，交
于点
，
．（1）求证：
．（2）若
，求
．
例3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形
的边长为6，
，过点
作
，交
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的延长线于点
，连结
分别交
，
于点
，
，则
的长为 ．
例4．（23-24 九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形
的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3 的等边
的重心为点O，求
与
的面积；
(2)性质探究：如图二，已知
的重心为点O，请判断
、
是否都为定值？如果是，分别求
出这两个定值；如果不是，请说明理由；
(3)性质应用：如图三，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M．
若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度；
若
，求正方形ABCD 的面积
模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型
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图1 图2 图3
①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔
。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。
∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴
。
∴
。
②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔
。
证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴
。
∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴
。
两式相加得到：
，即
，故
。
③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，
。
证明:同②中的证法，易证：
，
，
∴
，即AF=AG，故
。
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例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为
边
上任一点，
交
于点E，连接
相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023·安徽·三模）如图，已
知
、
，
与
相交于点
，作
于点
，点
是
的中点，
于
点
，交
于点
，若
，
，则
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，
，
与
相交于点E，点F 在
上．求证：
；
小雅同学的想法是将结论转化为
来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，
，
，
，
与
相交于点G，点H 在
上，
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．求证：
．
（3）【拓展运用】如图3，在
四边形
中，
，连接，
交于点M，过点M 作
，
交
于点E，交
于点F，连接
交于点N，过点N 作
，交
于点G，交
于点
H，若
，
，直接写出
的长．
例4．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践
在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心
的光线
，其传播方向不变，经过焦点
的光线
经凸透镜
折射后平行于主光轴
沿
射出，与光线
交于点
，过点
作主光轴
的垂线段
，垂足为
，即可得出物体
所成的像
．
【模型验证】设焦点
到光心的距离
称为焦距，记为
；物体
到光心的距离
称为物距，记为
；
像
到光心的距离
称为像距，记为．
已知
，
，当
时，求证：
．
证明：∵
，
，∴
又∵
，∴
，
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∴
，即
，同理可得
，
∴
，即
①
，∴
②
，
∴
，∴
，即
．
请结合上述材料，解决以下问题：
(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含
的代数式表示)；(2)若该凸透镜
的焦距为20
，物
体距凸透镜
的距离为30
，物高为10
，则物体
所成的像
的高度为__________
；
(3)如图2，由物理学知识知“经过点
且平行于主光轴
的光线
经凸透镜
折射后经过点
”，小
明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线
始终经过主光轴
上一定点．若该凸透镜
的焦
距为20
，物高为10
，试说明这一物理现象．
1．（2024·浙江温州·三模）如图，在
中，
平分
分别交
，
，
延长线于点
，
，
，记
与
的面积分别为
，
，若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知四边形
是平行四边形，点
是AD的中点，连接
，
相
交于点
，过
作AD的平行线交AB于点
，若
，则
的值是（ ）
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A．6
B．5
C．8
D．4
3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在
中，按以下步骤作图：①以点
为圆心，以适当长为半
径作弧，分别交
，
于点
，
；②分别以
，
为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在
内交于点
；③作射线
，交
于点
，交
延长线于点
．若
，
，下列结论
错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 九年级下·广东·专题练习）如图，在
中，
，高
，正方形
一边在
上，点E，F 分别在
，
上，
交
于点N，则
的长为（ ）
A．15
B．20
C．25
D．30
5．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在
中，E 线段
上一点，且
，过点C 作
，交
的延长线于点D．若
的面积为
，则
的面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，矩形
中，
是
上的点，连接
交对角线
于点
，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．1．5
7．（2024·河南·中考真题）如图，在
中，对角线
，
相交于点O，点E 为
的中点，
交
于点F．若
，则
的长为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
8．（2024·山东威海·中考真题）如图，在
中，对角线
，
交于点
，点
在
上，点
在
上，连接
，
，
，
交
于点
．下列结论错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
9．（2024·陕西西安·一模）如图，在
中，D，M 是边
的三等分点，N，E 是边
的三等分点．
连接
并延长与
的延长线相交于点P．若
，则线段
的长为（ ）
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A．5
B．7
C．6
D．8
10．（2024·江苏南京·一模）如图，
，
分别垂直
，垂足分别为
，
，连接
，
交于点
，
作
，垂足为
．设
，
，
，若
，则下列等式：①
；②
；③
，其中一定成立的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
11．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形
的顶点G 在正方形
的边
上，
与
交于点
H，若
，
，则
的长为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
12．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，
，
，
，
，点D，E 分别在
边上，
，连接
，将
沿
翻折，得到
，连接
，
．若
的
面积是
面积的2 倍，则
．
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13．（2024·云南·中考真题）如图，
与
交于点
，且
．若
，则
．
14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形
中，
，E、F 分别是边
上的动点，且
．当
的值最小时，则
．
15．（23-24 九年级上·河南驻马店·期中）如图，
，点
在
上，
与
交于点
，
若
，则
．
16．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一
种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，
是
边
上一点，
是
的中点，
过点
作
，交
的延长线于点
，则易证
是线段
的中点．
【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．
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（1）如图1，在正方形
中，点
在
上，点
在
的延长线上，且满足
，连接
交
于点
．求证：①
是
的中点；②CG 与BE 之间的数量关系是：____________________________；
【拓展延伸】（2）如图2，在矩形
中，
，点
在
上，点
在
的延长线上，且满足
，连接
交
于点
．探究
和
之间的数量关系是：____________________________；
17．（2024·辽宁大连·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在
中，点
是
的中点，点
是
的一个三等分点，且
，连接
，
交于
点
，求证：
．
①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取
的中点
，连接
，再通过“全等
三角形的性质”解决问题；②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点
作
，交
的延长线于点
，再通过“全等三角形的性质”解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为
我们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如
图4，在
中，点
是
的中点，点
，
是
的三等分点，
，
与
分别交于点
，
，
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求
的值．
【学以致用】（3）如图5，在
中，
，在射线
上取点
，使
，连接
，在
上取点
，射线
，
相交于点
，当
时，求
的值．
18．（2023·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片
中，
，将
折叠，使点B 与点C 重合，折痕为
，则
与
的数量关系为________；
[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片
中，
，将
折叠，使点B 与点C 重
合，折痕为
，求
的值；
[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片
中，
，将
沿过顶点C 的
直线折叠，使点B 落在边
上的点
处，折痕为
．①求线段
的长；②若点O 是边
的中点，
点P 为线段
上的一个动点，将
沿
折叠得到
点A 的对应点为点
与
交于点
F，求
的取值范围．
19．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻
度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这
样的图形叫诺模图．设有两只电阻，
千欧，
千欧，问并联后的总电阻值R 是多少千欧？
我们可以利用公式求得R 的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个
的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．
我们只要把角的两边刻着6 和4 的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的
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总电阻值R．
(1)①
千欧，
千欧，计算
千欧；②如图1，已知
，
是
的角平
分线，
，
，
．用你所学的几何知识说明：
；
(2)如图2，已知
，
是
的角平分线，
，
，
．此时关系式可以
写成
，其中
的常数，求m 的值；
(3)如图3，若
，（2）中其余条件不变，请探索
，
，R 之间的关系．（用含
的代数式表
示）
20．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形
中，点
，
分别是
，
的
中点，连接
，
，求证：
．
淘宝：学思创想
问题探究：如图（2），在四边形
中，
，
，点
是
的中点，点
在边
上，
，
与
交于点
，求证：
．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接
，
，
，直接写出
的值．
