重难点01 利用基本不等式求最值8 大题型
【全国通用】
基本不等式是历年高考的重点和热点内容，是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看，高考题型
通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几
何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等
式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在高考复习中切忌生搬硬套，在
应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.
知识点
1
利用基本不等式求最值
1．基本不等式与最值
已知x，y 都是正数，
(1)如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值2；
(2)如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取
等号的条件．
2．常见的求最值模型
(1)模型一：
mx + n
x ≥2√mn (m>0,n>0)
，当且仅当
x=√
n
m 时等号成立；
(2)模型二：
mx +
n
x−a=m( x−a)+
n
x−a +ma≥2√mn +ma (m>0,n>0)
，当且仅当
x−a=√
n
m 时等号成
立；
(3)模型三：
x
ax 2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当
x=√
c
a 时等号成立；
(4)模型四：
x(n−mx )= mx (n−mx )
m
≤1
m⋅（mx +n−mx
2
)2= n2
4 m (m>0,n>0,0<x< n
m )
，当且仅当
x= n
2m 时等
号成立.
3．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t 为常数),求
的最值”的问题，先将
转化为
，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为
常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基
本不等式，构造目标式的不等式求解.
知识点
2
基本不等式的实际应用
1．基本不等式的实际应用的解题策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
【题型1 直接法求最值】
【例1】（2025·河北保定·二模）已知x，y 是非零实数，则y
2
x
2 + 9 x
2
y
2
的最小值为（ ）
A．6
B．12
C．2
D．4
【变式1-1】（25-26 高二上·北京海淀·月考）若x>0，则函数y = 4
x + x的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．2❑√2
D．4
【变式1-2】（2025·甘肃定西·一模）x
2+ 7
x
2 + ❑√7的最小值为（ ）
A．2❑√7
B．3 ❑√7
C．4 ❑√7
D．5 ❑√7
【变式1-3】（24-25 高一上·江苏淮安·阶段练习）如果m>0，那么当m+ 16
m
取得最小值时m 的值为（
）
A．－4
B．4
C．8
D．16
【题型2 配凑法求最值】
【例2】（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知x∈(0,+ ∞)，则y =2 x +
4
2 x +1
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．3 ❑√2
D．6
【变式2-1】（2025·四川德阳·二模）若x>1，则函数y =2 x +
8
x−1
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【变式2-2】（25-26 高一上·全国·课后作业）若a>1，则4 a+
1
a−1
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．无最小值
【变式2-3】（2025·江西赣州·二模）已知y > x>0，则
y
y −x −
4 x
2 x + y
的最小值为
.
【题型3 巧用“1”的代换求最值】
【例3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知a>0,b>0，且a+2b=1，则b
a + 1
b
的最小值为（ ）
A．9
2
B．4
C．3
D．2
【变式3-1】（2025·广东梅州·模拟预测）已知a>0, b>0，且ab−2b+1=0，则1
a +9b的最小值是
（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【变式3-2】（2025·河南信阳·模拟预测）已知a+b=1(ab>0)，则1
a + 1
b
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．9
4
【变式3-3】（2025·河南·三模）若a>0，b>0，且a+b=1，则−1
a −4
b
的最大值为（ ）
A．−9
B．−7
C．−5
D．−3
【题型4 消元法求最值】
【例4】（24-25 高三上·河南漯河·期末）设正实数x、y、z满足x
2−xy + y
2−z =0，则xy
z
的最大值为
（ ）
A．4
B．2
C．3
D．1
【变式4-1】（24-25 高一上·广东肇庆·期末）已知a>0,b>1,a+
4
b−1 =1，则4
a +b的最小值为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【变式4-2】（2025·浙江绍兴·三模）若x , y , z>0，且x
2+ xy +2 xz+2 yz = 4，则2 x + y +2 z的最小值是
．
【变式4-3】（2025·四川德阳·模拟预测）已知正实数x，y，z满足x
2+ xy + yz + xz + x + z =6，则
3 x +2 y + z的最小值是
.
【题型5 齐次化求最值】
【例5】（25-26 高一上·江西·月考）已知x<−1，则x
2−x +14
x +1
的最大值是（ ）
A．−11
B．−8
C．5
D．8
【变式5-1】（24-25 高一下·重庆沙坪坝·月考）已知正数x , y满足x +2 y =1，则x
2+ y
xy
的最小值为（ ）
A．1
2❑√2
B．2❑√2
C．
1
2❑√2+1
D．2❑√2+1
【变式5-2】（2025·全国·模拟预测）已知x，y 为正数，则2 x
2+3 y
2
xy
的最小值为（ ）
A．4
B．3 ❑√2
C．3
D．2❑√6
【变式5-3】（2025·山东·模拟预测）设正实数a,b满足a+2b=1，则(a+1)
2+b
2
ab
的最小值为（ ）
A．37
2
B．17
C．8+ 4 ❑√5
D．16
【题型6 多次使用基本不等式求最值】
【例6】（24-25 高二下·河北保定·月考）已知x>0，y >−1，z>0，2 y +3 z =2−x，则3
x +
1
y +1 + 1
z
的最
小值为（ ）
A．7
2 + ❑√6
B．7+ ❑√6
2
C．5+ ❑√6
2
D．5
2 + ❑√6
【变式6-1】（2025·天津红桥·一模）已知a>0,b>0，则1
a + a
4 b
2 +b的最小值为（ ）
A．4 ❑√2
B．2❑√2
C．4
D．2
【变式6-2】（24-25 高三上·安徽六安·阶段练习）已知正数x，y，z 满足x
2+ y
2+ z
2=1，则S = 1+ z
2 xyz
的最
小值为（ ）
A．3
B．3(❑√3+1)
2
C．4
D．2(❑√2+1)
【变式6-3】（2025·山东淄博·二模）记max {x , y , z)表示x , y , z中最大的数．已知x , y均为正实数，则
max{
2
x , 1
y , x
2+ 4 y
2)的最小值为（ ）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
【题型7 基本不等式的实际应用】
【例7】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g 的砝码放在
天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g 的砝码放在天平右盘中，再取出一
些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g
B．大于200g
C．小于200g
D．以上都有可能
【变式7-1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的
单价分别为m 元和n 元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100 元的该商品，乙每周
购买20 件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1,a2，则（ ）
A．a1=a2
B．a1<a2
C．a1>a2
D．a1,a2的大小无法确定
【变式7-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作
A、B两种类型的灯笼，其中A型灯笼每个需要0.5 米彩带，B型灯笼每个需要1 米彩带．活动规定：两种
灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60 米长的彩带制作A型灯笼m个，B型灯笼n个．若要使
该同学的得分最高，则实数m，n的值分别为（ ）
A．m=60，n=30
B．m=50，n=35
C．m= 40，n= 40
D．m=30，n= 45
【变式7-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于
公元3 世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊
观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a，b斜边为c（a、b、c均
为正数）.则
(a+b)
2= 4 ab+(b−a)
2，
(a+b)
2=2c
2−(b−a)
2”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于
好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为a+b的长度（制作其它边长的软钢丝足够
用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（ ）
A．9
B．18
C．27
D．36
【题型8 与其他知识交汇的最值问题】
【例8】（2025·广东深圳·模拟预测）若a,b均为正实数，则“ab≤1”是“1
a + 1
b ≥2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式8-1】（2025·山东日照·一模）点A (2,1)在直线l:mx +ny =1上，且mn>0，则1
m + 2
n
的最小值为
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【变式8-2】（2025·湖南·三模）已知点(m,n)是函数y = x
−1在第一象限内的图象上的一点，则1
m + 4
n
的最
小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式8-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何
中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，
几何中项的定义与今天大致相同．若2
a+2
b=1，则(4
a+1)(4
b+1)的最小值为（ ）
A．25
4
B．9
16
C．9
4
D．25
16
一、单选题
1．（2025·山西吕梁·模拟预测）若a,b∈R
+且2a+b= 4，则ab的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．16
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若a>0，b>0，且a+ 4 b=5，则1
a + 4
b
的最小值是（ ）
A．16
B．25
C．4
D．5
3．（2025·湖北黄冈·一模）已知x，y为正实数，且x + y =1，则x +9 y
xy
的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
4．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过
向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的
跳跃高度H（单位：米）近似满足v
2=
4 H
1−H v
2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．0.2米
B．0.25米
C．0.45米
D．0.7米
5．（2025·湖北孝感·模拟预测）已知a>0,b>0，且a+b= 1
a + 9
b + 4，则a+b的最小值为（ ）
A．2❑√5−2
B．2❑√5−1
C．1+2❑√5
D．2+2❑√5
6．（2025·浙江台州·一模）已知a,b∈(−1,+ ∞)，且a+
1
b+1 =2，则b+
9
a+2
的最小值为（ ）
A．2
B．9
4
C．5
2
D．3
7．（2025·安徽合肥·三模）已知正数a、b满足1
a + 2
b =1，则a+2b的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
8．（2025·山西·三模）已知正实数a，b满足a+b=1，则1
b + 1
ab + b
a
的最小值为（ ）
A．2+2❑√2
B．4 +2❑√2
C．4
D．7
二、多选题
9．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y满足x +2 y =1，则（ ）
A．xy ≤1
8
B．x
2+ y ≥1
2
C．1
x + 1
y ≥3+2❑√2
D．x +
1
1−2 y >2
10．（2025·全国·模拟预测）已知a,b>0，且a+b=1，则（ ）
A．ab的最大值是1
4
B．a
2+b
2的最大值是1
2
C．1
a + 1
b
的最小值是4
D．❑√a+ ❑√b的最小值是❑√2
11．（2025·安徽合肥·一模）已知正数x , y满足x + y + xy =3，则下列结论正确的是（ ）
A．xy的最大值为1
B．x + y的最小值为4
C．3−x−y
x
2+ y
2 的最大值为1
2
D．1
x +1 +
1
y +1
的最小值为1
三、填空题
12．（2025·四川·模拟预测）已知m>0，则m+ 1
4 m
的最小值为 ．
13．（2025·上海黄浦·一模）若正数m,n满足4
m + 9
n =1，则mn的最小值为
．
14．（2025·吉林长春·模拟预测）已知min {x , y)表示{x , y)中的最小值，若a>0,b>0，则
min{a,
b
a
2+ 4 b
2)
的最大值是
.
四、解答题
15．（2025·浙江·模拟预测）已知a,b>0,ab=1，求S =
1
1+a +
1
1+2b
的最小值．
16．（25-26 高一上·广东江门·月考）已知实数a,b满足a
2+b
2=ab+6．
(1)求ab的最大值；
(2)求a+b的最大值及最小值．
17．（25-26 高一上·江苏盐城·期中）若x>1，y >1，且满足x + y −xy +3=0
(1)求x + y的最小值；
(2)求( x−1)( y −1)
2 x + y −3
的最大值.
18．（2025·全国·二模）已知实数a>0,b>0，满足a+b= 4 ❑√3.
(1)求证：a
2+b
2≥24；
(2)求(a
2+1)(b
2+1)
ab
的最小值.
19．（2025·宁夏固原·一模）已知函数f (x)=|2 x +1)+3|x−1)．
(1)解不等式f (x)≤4；
(2)记（1）中不等式的解集为M , M中的最大整数值为t，若正实数a,b满足a+b=t，求2
a+1 +
8
b+2
的最
小值．
