文档文本内容
1
一元二次方程性质
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1、理解一元二次方程韦达定理。
2、掌握有关一元二次方程判别式。
3、掌握有关一元二次方程有关题目的解法。
1、一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
如果
ax 2+bx +c=0(a≠0)的两个根是x1、x2 ,那么
x1+x2=−b
a , x1⋅x 2= c
a
注：
（1）注意理解公式中的a、b、c 分别是什么。
（2）注意a、b、c 的符号是什么。
（3）利用公式
x1+x2=−b
a , x1⋅x 2= c
a 解题时，注意符号问题，不要丢符号。
2、根的判别式.
运用配方法解一元二次方程过程中得到：
（x + b
2a
）²=b² - 4 ac
4 a²
.
显然，只有当b² - 4 ac≥0时，才能直接开平方得：x + b
2a =±√
b² - 4 ac
4 a²
.也就是说，一元二
次方程ax ²+bx+c=0(a≠0)只有当系数a，b，c 满足条件，△=b² - 4 ac≥0时，才有实数根。这里
的b² - 4 ac叫做一元二次方程根的_______。
一元二次方程的根的判别式有三种情况：
当△=b² - 4 ac>0时，方程有___________的实数根.
当△=b² - 4 ac =0时，方程有__________的实数根.
当△=b² - 4 ac<0时，方程_________实数根.
3、根的判别式的应用.
(1)运用判别式，判定方程实数根的个数.
2
(2)运用判别式，建立等式，不等式，求方程中参数值或取值范围.
(3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题.
(4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题及最值问题.
【解题思想】
1．转化思想
转化思想是初中数学最常见的一种思想方法． 运用转化的思想可将未知数的问题转化为已
知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，
将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．
2．从特殊到一般的思想 从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研
究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根
与系数的关系等．
3．分类讨论的思想 一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．
注意：
（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不
为0．
（2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和
因式分解法，再考虑用公式法．
（3）一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以不解方程判定方程根的情况
根据参系数的性质确定根的范围；解与根有关的证明题．
4．一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
参考答案：判别式 两个不相等 两个相等 没有
1、韦达定理
如果ax 2+bx +c=0(a≠0)的两个根是x1、x2 ,那么
x1+x2=−b
a , x1⋅x 2= c
a
注：
（1）注意理解公式中的a、b、c 分别是什么。
（2）注意a、b、c 的符号是什么。
（3）利用公式
x1+x2=−b
a , x1⋅x 2= c
a 解题时，注意符号问题，不要丢符号。
【例1】求下列方程两根的和与积分别是多少?
(1)x2+2 x+3=0 (2)2 x2+3 x=1 (3)( x+1)( x−4)=0
解: (1)第一步: a=1,b=2,c=3
3
第二步:
x1+x2=−b
a=−2
1=−2
第三步:
x1⋅x2= c
a=3
1=3
(2)第一步: 2 x2+3 x−1=0
第二步:
第三步:
第四步：
(3)第一步: x⋅x−4 x+x−4=0
第二步:x2−3 x−4=0
第三步：
第二步:
第三步:
练1、若方程x2＋x－1=0 的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）
A．α＋β=－1 B．αβ=－1
C．α2＋β2=3 D．
＋
=－1
练2、若关于x 的一元二次方程x2＋bx＋c=0 的两个实数根分别为x1=－2，x2=4，则b＋c 的值
是（ ）A．－10 B．10 C．－6 D．－1
答案：1、D【解析】根据题意得α＋β=－1，αβ=－1．所以α2＋β2=（α＋β）2－2αβ=
（－1）2－2×（－1）=3；
＋
=
=
=1．
2、A【解析】∵关于x 的一元二次方程x2＋bx＋c=0 的两个实数根分别为x1=－2，x2=4，∴根
据根与系数的关系，可得－2＋4=－b，－2×4=c，解得b=－2，c=－8，∴b＋c=－10．
【例2】设x1，x2 是方程2x2＋4x－1=0 的两个根，不解方程求下列各式的值：
4
（1）
＋
； （2）
＋
； （3）（x1－2）（x2 －2）．
【解析】∵x1＋x2 =－2，x1 x2 =－
，
∴（1）
＋
=（x1＋x2）2－2x1 x2 =（－2）2－2×（－
）=4＋1=5．
（2）
＋
=
=
=4．
（3）（x1－2）（x2 －2）=x1 x2 －2（x1＋x2 ）＋4=－
－（－4）＋4=
．
【方法总结】（1）利用整体代入法求值．
（2）利用根与系数的关系求对称式的值还有：
x2 ＋x1
=x1 x2 （x1＋x2 ），
＋
=
等．
练3、已知方程x2−2 x−3=0 的两个根为x1, x2,求下列各式的值:
(1)x1+x2 (2)x1⋅x2
(3)x
2
1 +x
22
(4) 1
x1
+ 1
x2 (5)|x1−x2|
解:(1)第一步:a=1,b=−2,c=−3 (1)第一步: a=1,b=−2,c=−3
第二步:
x1+x2=−b
a=−−2
1 =2
第二步:
x1⋅x2= c
a=−3
1 =−3
(3)第一步: a=1,b=−2,c=−3 (4)第一步:a=1,b=−2,c=−3
第二步:
x1+x2=−b
a=−−2
1 =2
第二步:
x1+x2=−b
a=−−2
1 =2
第三步:
x1⋅x2= c
a=−3
1 =−3
第三步:
x1⋅x2= c
a=−3
1 =−3
5
第四步: x
2
1 +x
22=x
12+2 x1 x2+x
22−2 x1 x2 第四步:
1
x1
+ 1
x2
= x2+x1
x1⋅x2
=( x 1 +x2)2−2 x1 x2 第五步:
1
x1
+ 1
x2
= 2
−3
第五步: x
12+x
2
2 =22−2×(−3)
=−2
3
=4−(−6)
=4+6 =10
练4、（2014•山东威海）方程x2－（m＋6）＋m2=0 有两个相等的实数根，且满足x1＋x2=x1x2，
则m 的值是（ ）A．－2 或3 B．3 C．－2 D．－3 或2
练5、（2014•内蒙古包头）关于x 的一元二次方程x2＋2（m－1）x＋m2=0 的两个实数根分别为
x1，x2，且x1＋x2＞0，x1x2＞0，则m 的取值范围是（ ）
A．m≤
B．m≤
且m≠0
C．m＜1 D．m＜1 且m≠0
答案：4、C 【解析】∵x1＋x2=m＋6，x1x2=m2，x1＋x2=x1x2，∴m＋6=m2，解得m=3 或m=－2．∵
方程x2－（m＋6）＋m2=0 有两个相等的实数根，∴△=b2－4ac=（m＋6）2－4m2=－3m2＋12m＋36=0，
解得m=6 或m=－2，∴m=－2．
5、B 【解析】∵△=[2（m－1）]2－4m2=－8m＋4≥0，∴m≤
，∵x1＋x2=－2（m－1）＞0，
x1x2=m2＞0，∴m＜1，m≠0，∴m≤
且m≠0．
【例3】已知方程2 x2+mx +3=0 的一个根是
1
2 ,求另一个根及m 的值.
解: 方法一 方法二
第一步:
2×( 1
2 )2+ 1
2 m+3=0
第一步: 设另一个根为x1
第二步:
2× 1
4 + 1
2 m+3=0
第二步:
1
2⋅x1=3
2
1
2 + 1
2 m+3=0
x1=3
6
第三步:
1
2 m=−3−1
2 第三步:
1
2×3=−m
2
1
2 m=−7
2 m=−3
第四步: m=−7
第五步: 2 x2−7 x+3=0
练6、已知关于x 的方程2x2－mx－6=0 的一个根2，则m= ，另一个根为 ．
练7、（2014•内蒙古呼和浩特）已知m，n 是方程x2＋2x－5 = 0 的两个实数根，则m2–mn＋
3m＋n=______．
答案：6、1， －
【解析】设方程的另一根为x2．∵关于x 的方程2x2－mx－6=0 的一个
根2，∴x=2 满足该方程，∴2×22－2m－6=0，解得m=1；由根与系数的关系知，2x2=－3，解得x2=
－
．
7、8
2、判别式
【例4】若关于x 的方程kx2－4x＋3=0 有实数根，则k 的非负整数值是（ ）
A．0，1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，3
【解析】∵关于x 的程kx2－4x＋3=0 有实数根，当k=0 时，方程有根x=
；当k≠0 时，
∴△=16－12k≥0，解得k≤
，∴k 的非负整数值是1．综上，k 的非负整数值是0，1．
【答案】A
练8、如果关于x 的一元二次方程kx2-
x+1=0 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范
围是（ ）
A．k＜
B．k＜
且k≠0 C．-
≤k＜
D．-
≤k＜
且k≠0
答案D
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2-4ac．一元二次
方程根的情况与判别式△的关系为：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7
练9、关于x 的方程x2-2x+k=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜-1 D．k＞-1
答案：A
【例5】（2014•湖北十堰）已知关于x 的一元二次方程x2＋2（m＋1）x＋m2－1=0．
（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1－x2）2=16－x1x2，求实数m 的值．
【解析】（1）由题意有△=[2（m＋1）]2－4（m2－1）≥0，
整理得8m＋8≥0，解得m≥－1，
∴实数m 的取值范围是m≥－1；
（2）由两根关系，得
x1＋x2=－（2m＋1），
x1•x2=m2－1，
（x1－x2）2=16－x1x2，
（x1＋x2）2－3x1x2－16=0，
∴[－2（m＋1）]2－3（m2－1）－16=0，
∴m2＋8m－9=0，解得m=－9 或m=1，
∵m≥－1，
∴m=1．
【方法总结】由给出的两根满足的条件，确定字母系数的取值．这类问题比较综合，解题时除
了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0 和b2－4ac≥0 这两个隐含条件．
练10、（全国初中数学联赛）在Rt△ABC 中，斜边AB=5，而直角边BC，AC 之长是一元二次方
程x2－（2m－1）x＋4（m－1）=0 的两根，则m 的值是（ ）
A．4 B．－1 C．4 或－1 D．－4 或1
【解析】A 如图．设BC=a，AC=b．
根据题意得a＋b=2m－1，ab=4（m－1）．由勾股定理可知a2＋b2=25，∴a2＋b2=（a＋b）2－
2ab=（2m－1）2－8（m－1）=4m2－12m＋9=25，∴4m2－12m－16=0，即m2－3m－4=0，解得m1=－
1，m2=4．∵a＋b=2m－1＞0，即m＞
，∴m=4．
3、韦达定理和判别式的综合
【例6】（2014•北京海淀二模）已知：关于x 的两个方程2x2＋（m＋4）x＋m－4=0①与mx2＋
（n－2）x＋m－3=0②，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．
（1）求证方程②的两根符号相同；
（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n 为整数，求m 的最小整数值．
【解析】（1）∵方程2x2＋（m＋4）x＋m－4=0 两个不相等的负实数根，设这两个负实数根分
8
别为x1，x2，
∴
即
解不等式组，得m＞4，
由方程②有两个实数根，可知m≠0，
∴当m＞4 时，
＞0，即方程②的两根之积为正，
∴方程②的两根符号相同；
（2）∵方程②的两根分别为α、β，且α：β=1：2，∴β=2α．
由
把①代入②得
=
，
∴（n－2）2=
m（m－3）．
由（1）知，m＞4，又m 为整数，当m=6 时，（n－2）2=
×6×3=81，
解得n=11 或n=－7．
当m=6，n=11 时，△1=（n－2）2－4m（m－3）＞0，
当m=6，n=－7 时，△2=（n－2）2－4m（m－3）＞0，
∴m 的最小整数值为6．
【方法总结】一元二次方程根的两根同号的条件是判别式△≥0，且两根的积大于0，即
＞
0．两根异号的条件是判别式△≥0，且两根的积小于0，即
＜0．
练11、（2014•四川南充）已知关于x 的一元二次方程x2－2x＋m=0，有两个不相等的实数根．
（1）求实数m 的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x1
2＋x2
2－x1x2的值．
【解析】⑴由题意，得：△＞0，即：
＞0，m＜2，∴m 的最大整数值为m=1
(2)把m=1 代入关于x 的一元二次方程x2－2x＋m=0 得x2－2x＋1=0，根据根与系数的关系：x1
9
＋x2 = 2，x1x2=1，∴x1
2＋x2
2－x1x2= （x1＋x2）2－3x1x2=（2）2－3×1=5
1．已知等腰三角形的一边为3，另两边是方程x2－4x＋m=0 的两个实根，则m 的值为（ ）
A．4 B．±4 C．±3 D．4 或3
2．对于方程x2－2|x|＋2=m，如果方程实根的个数恰为3 个，则m 值等于（ ）
A．1 B．2 C．
D．2.5
3．（2015•江苏南通模拟）设
、
是关于x 的一元二次方程
的两个实数根，
且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2014•山东烟台）关于x 的方程x2－ax＋2a=0 的两根的平方和是5，则a 的值是（ ）
A．－1 或5 B．1 C．5 D．－1
5．若将一元二次方程a（x2－2x）＋bx＋c=0 化成一般形式后为2x2－3x－1=0，则a＋b－c=
．
6．（2015•天津市模拟）已知关于x 的方程x2＋10x＋24－a=0 有两个不相等的实数根，当a 取
满足条件的最小整数，此时方程的解是 ．
7．如果实数x 满足（x2－x）2－4（x2－x）－12=0，那么x2－x 的值为 ．
8．已知：△ABC 的两边AB、BC 的长是关于x 的一元二次方程x2－（2k＋2）x＋k2＋2k=0 的两
个实数根，第三边长为10．当k 为 时，△ABC 是等腰三角形．
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8．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，－3，而小华
看错常数项，解错两根为－2，5，那么原方程为（ ）
A．x2－3x＋6=0 B．x2－3x－6=0
C．x2＋3x－6=0 D．x2＋3x＋6=0
9．（2014•广西玉林、防城港）x1，x2是关于x 的一元二次方程x2－mx＋m－2=0 的两个实数根，
是否存在实数m 使
＋
=0 成立？则正确的是结论是（ ）
A．m=0 时成立 B．m=2 时成立
10
C．m=0 或2 时成立 D．不存在
10．（全国初中数学联赛四川赛区）设方程（x－a）（x－b）－x=0 的两根是c、d，则方程
（x－c）（x－d）＋x=0 的根是（ ）
A．a，b B．－a，－b C．c，d D．－c，－d
11．（2014•年全国初中数学联赛）如果方程(x−2)(x2−4 x+m)=0的三根可以作为一个三角
形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．m≥3
C．m≥4
D．
12．（2014•江苏扬州）已知a，b 是方程x2－x－3=0 的两个根，则代数式2a3＋b2＋3a2－11a－
b＋5 的值为______．
13．（2014•广东广州）若关于
的方程
有两个实数根
、
，则
的最小值为 ．
14．（第21 届希望杯数学联赛）已知a，b，c，d 是非零实数，c 和d 是方程x2＋ax＋b=0 的解，
a 和b 是方程x2＋cx＋d=0 的解，则a＋b＋c＋d 的值为 ．
15．（2014•湖南怀化）设m 是不小于－1 的实数，使得关于x 的方程x2＋2（m－2）x＋m2－3m
＋3=0 有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若
＋
=1，求
的值；
（2）求
＋
－m2的最大值．
11
参考答案
当堂检测
1．【答案】D
【解析】分两种情况：
①腰是3 时，则方程有一个根是3，设方程的另一根是x，那么有x＋3=4，3x=m，解得x=1，
m=3；
②底是3 时，则方程有两个相等的实数根，设这个相等的根是x，那么有2x=4，x2=m，解得
x=2，那么m=4．
故m 的值为4 或3．
2．【答案】B
【解析】当x≥0 时，原方程为x2－2x＋2=m，即x2－2x＋2－m=0，用求根公式得x=
=1±
；当x＜0 时，原方程为x2＋2x＋2=m，即x2＋2x＋2－m=0，用求根公式
得x=
=－1±
．∵方程的根恰为3 个，而当m=2 时，方程的3 个根分别是
x1=2，x2=0，x3=－2．
3．【答案】C
【解析】∵x2－3＜0，∴x2＜3x1，∵x1＜0，∴x2＜0．
∵x1，x2是关于x 的一元二次方程x2＋x＋n－2=mx（x2＋（1－m）x＋n－2=0）的两个实数根，
∴x1＋x2=m－1，x1x2=n－2，∴m－1＜0，n－2＞0，解得
．
4．【答案】D
【解析】设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2=a，x1•x2=2a．∵x1
2＋x2
2=5，∴（x1＋x2）2－
2x1•x2=5，∴a2－4a－5=0，∴a1=5，a2=－1．∵△=a2－8a≥0，∴a=－1．
5．【答案】4
【解析】一元二次方程a（x2－2x）＋bx＋c=0 化成一般形式为ax2＋（b－2a）x＋c=0，根据
题意，得
解得
则a＋b－c=2＋1－（－1）=4．
6．【答案】x1=－4，x2=－6
【解析】∵关于x 的方程x2＋10x＋24－a=0 有两个不相等的实数根，∴△=b2－4ac=100－4
（24－a）＞0，解得a＞－1，∴a 的最小整数解为a=0，∴此时方程为 x2＋10x＋24=0，解得
x1=－4，x2=－6．
7．【答案】6
【解析】解方程（x2－x）2－4（x2－x）－12=0，设y=x2－x，则原方程可化为y2－4y－
12
12=0，解得y1=－2，y2=6．当y=－2 时，x2－x＋2=0，方程没有实数根；当y=6 时，x2－x－6=0，
方程有实数根．因此x2－x 的值为6．
8.【答案】8 或10
【解析】由已知方程得（x－k－2）（x－k）=0，∴x1=k＋2，x2=k．设AB=k＋2，BC=k，显然
AB≠BC，而△ABC 的第三边长AC 为10，（1）若AB=AC，则k＋2=10，得k=8，即k=8 时，△ABC
为等腰三角形；（2）若BC=AC．则k=10，即k=10 时，△ABC 为等腰三角形．
家庭作业
1．【答案】B
【解析】小明看错一次项系数，解得两根为2，－3，两根之积正确；小华看错常数项，解错
两根为－2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得α•β=－6，α＋
β=－3，那么以α、β 为两根的一元二次方程就是x2－3x－6=0，故选B．
2．【答案】A
【解析】∵x1，x2是关于x 的一元二次方程x2－mx＋m－2=0 的两个实数根，∴x1＋x2=m，x1x2=m
－2．
假设存在实数m 使
＋
=0 成立，则
=0，∴
=0，∴m=0．当m=0 时，方程x2
－mx＋m－2=0 即为x2－2=0，此时△=8＞0，∴m=0 符合题意．
3．【答案】A
【解析】∵（x－a）（x－b）－x=0，∴x2－（a＋b＋1）x＋ab=0，而方程的两个根为c、
d，∴c＋d=a＋b＋1①，cd=ab②，又方程（x－c）（x－d）＋x=0 可以变为x2－（c＋d－1）x＋
cd=0③，∴把①②代入③中得x2－（a＋b）x＋ab=0，（x－a）（x－b）=0，∴x=a 或x=b．
4．【答案】D
【解析】显然x1=2，设x2，x3 是方程x2－4x＋m=0 的两个根，则（－4）2－4 m≥0，即
m≤4．又x2＋x3=4，x2x3=m，由三角形的三边关系知x2＋x3=4>2，则| x2－x3|<2，即（x2－x3）
2<4，（x2＋x3）2－4 x2x3<4，所以16－4 m<4， m>3，因此
．
5．【答案】23
【解析】∵a，b 是方程x2－x－3=0 的两个根，∴a2－a－3=0，b2－b－3=0，即a2=a＋3，b2=b
＋3，∴2a3＋b2＋3a2－11a－b＋5=2a（a＋3）＋b＋3＋3（a＋3）－11a－b＋5=2a2－2a＋17=2（a
＋3）－2a＋17=2a＋6－2a＋17=23．
6．【答案】
【解析】由根与系数的关系得到：
，
，原式化简
．因为方程有实数根，∴
，
．当
时，
最小值为
．
7．【答案】－2
【解析】∵c 是方程x2＋ax＋b=0 的解，∴c2＋ac＋b=0 ①．∵a 是方程x2＋cx＋d=0 的解，
∴a2＋ac＋d=0 ②．①＋②得：（a＋c）2=－（b＋d）③．由根与系数的关系有：c＋d=－a ④，
13
a＋b=－c ⑤．④＋⑤得：b＋d=－2（a＋c）⑥，（a＋c）2=2（a＋c），∴a＋c=0 或a＋c=2，
∵a，b，c，d 是非零实数，∴当a＋c=2 时，代入⑥得b＋d=－4，∴a＋b＋c＋d=2－4=－2．
8．【解析】∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2－4ac=4（m－2）2－4（m2－3m＋3）=－4m＋4＞0，∴m＜1，
结合题意知：－1≤m＜1．
（1）∵x1＋x2=－2（m－2），x1x2=m2－3m＋3，
∴
＋
=
=
=1，解得m1=
，m2=
（不合题意，舍去），
∴
=
－2．
（2）
＋
－m2=
－m2=－2（m－1）－m2=－（m＋1）2＋3．
当m=－1 时，最大值为3．
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