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第九章 不等式与不等式（组）
9.3 实际问题与一元一次不等式（能力提升）
【要点梳理】
知识点一、常见的一些等量关系
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，
=
100%
利润
利润率进价
4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：
3
2
10
10
10
abcd
a
b
c
d
.
要点二、列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几
个步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关
键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
要点诠释：
(1)列不等式的关键在于确定不等关系；
(2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
(3)构建不等关系解应用题的流程如图所示．
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文
字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示
不等关系的文字补上．如：若“设还需要B 型车x 辆 ”，而在答中应为“至少需要11 辆
B 型车 ”．这一点应十分注意．
【典型例题】
类型一、行程问题
例1．蓝天运输公司要将300 吨物资运往某地，现有A、B 两种型号的汽车可供调用．
已知A 型汽车每辆最多可装该物资20 吨，B 型汽车每辆最多可装该物资15 吨．在每辆车不
超载的条件下，要把这300 吨物资一次性装运完．问：在已确定调用7 辆A 型车的前提下
至少还需调用B 型车多少辆？
【思路点拨】本题的数量关系是：7 辆A 型汽车装载货物的吨数+B 型汽车装货物的吨
数≥300 吨，由此可得出不等式，求出自变量的取值范围，找出符合条件的值．
【答案与解析】
解：设需调用B 型车x 辆，由题意得：
7 20 15
300
x
≥
，
解得：
2
10 3
x≥
，
又因为x 取整数，所以x 最小取11．
答：在已确定调用7 辆A 型车的前提下至少还需调用B 型车11 辆．
【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不
等量关系．
举一反三：
【变式】某商场共用2200 元同时购进A、B 两种型号的背包各40 个，且购进A 型号背
包2 个比购进B 型号背包1 个多用20 元．
（1）求A、B 两种型号背包的进货单价各为多少元？
（2）若该商场把A、B 两种型号背包均按每个50 元的价格进行零售，同时为了吸引消
费者，商场拿出一部分背包按零售价的7 折进行让利销售．商场在这批背包全部销售完后，
若总获利不低于1350 元，求商场用于让利销售的背包数量最多为多少个？
【答案】
解：（1）设A 型背包每个为x 元，B 型背包每个为y 元，由题意得
，
解得：
．
答：A、B 两种型号背包的进货单价各为25 元、30 元；
（2）设商场用于让利销售的背包数量为a 个，
由题意得，50×70a%+50（40×2﹣a）﹣2200≥1350，
解得：a≤30．
所以，商场用于让利销售的背包数数量最多为30 个．
答：商场用于让利销售的背包数数量最多为30 个．
类型二、阅读理解型
例2. 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 含量及购买这
两种原料的价格如下表：
甲种原料
乙种原料
维生素C 含量（单位•千克）
600
100
原料价格（元•千克）
8
4
现配制这种饮料10kg，要求至少含有4200 单位的维生素C，若所需甲种原料的质量为
xkg，则x 应满足的不等式为（ ）
A．600x+100（10-x）≥4200 B．8x+4（100-x）≤4200
C．600x+100（10-x）≤4200 D．8x+4（100-x）≥4200
【思路点拨】首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，
再结合表格中的数据，根据“至少含有4200 单位的维生素C”这一不等关系列不等式．
【答案】A
【解析】
解：若所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料（10-x）kg．
根据题意，得600x+100（10-x）≥4200．
【总结升华】能够读懂表格，会把文字语言转换为数学语言．
【变式】为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水
价，收费标准如下表：
（1）小明家5 月份用水量为14 立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为
元；
（2）小明家6 月份缴纳水费110 元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为
立方米；
（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7 月份的水
费不超过180 元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？
【答案】解：（1）由表格中数据可得：0≤x≤15 时，水价为：5 元/立方米，
故小明家5 月份用水量为14 立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：14×5=70
（元）；
（2）∵15×5=75＜110，75+6×7=117＞110，
∴小明家6 月份使用水量超过15 立方米但小于21 立方米，
设小明家6 月份使用水量为x 立方米，
∴75+（x﹣15）×7=110，
解得：x=20，
故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：20﹣15=5（立方米），
故答案为：5；
（3）设小明家能用水a 立方米，根据题意可得：
117+（a﹣21）×9≤180，
解得：a≤28．
答：小明家计划7 月份的水费不超过180 元，在这个月，小明家最多能用水28 立方米．
类型三、方案选择型
例3.某公交公司有A，B 型两种客车，它们的载客量和租金如下表：
A
B
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
400
280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B 型客车共5 辆，同时送七年级师生到基地校参
加社会实践活动，设租用A 型客车x 辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x 的式子填写下表：
车辆数（辆）
载客量
租金（元）
A
x
45x
400x
B
5﹣x
__________
___________
（2）若要保证租车费用不超过1900 元，求x 的最大值；
（3）在（2）的条件下，若七年级师生共有195 人，写出所有可能的租车方案，并确
定最省钱的租车方案．
【思路点拨】（1）根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车
租金，列出代数表达式即可；
（2）根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决；
（3）由（2）得出x 的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可．
【答案与解析】
解：（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，
∴B 型客车载客量=30（5﹣x）；B 型客车租金=280（5﹣x）；
故填：30（5﹣x）；280（5﹣x）．
（2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤4 ，
∴x 的最大值为4；
（3）由（2）可知，x≤4 ，故x 可能取值为0、1、2、3、4，
①A 型0 辆，B 型5 辆，租车费用为400×0+280×5=1400 元，
但载客量为45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去；
②A 型1 辆，B 型4 辆，租车费用为400×1+280×4=1520 元，
但载客量为45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去；
③A 型2 辆，B 型3 辆，租车费用为400×2+280×3=1640 元，
但载客量为45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去；
④A 型3 辆，B 型2 辆，租车费用为400×3+280×2=1760 元，
但载客量为45×3+30×2=195=195，符合题意；
⑤A 型4 辆，B 型1 辆，租车费用为400×4+280×1=1880 元，
但载客量为45×4+30×1=210，符合题意；
故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A 型3 辆，B 型2 辆．
【总结升华】此题主要考查了一次不等式的综合应用，由题意得出租用x 辆甲种客车
与总租金关系是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70 名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规
定：①门票每人60 元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，
四座车每辆60 元，十一座车每人10 元．公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000 元，
问公司租用的四座车和十一座车各多少辆?
【答案】
解：设四座车租x 辆，则十一座车租70
4
11
x
辆．
依题意 70×60+60x+(70-4x)×10≤5000，
将不等式左边化简后得：20x+4900≤5000，
不等式两边减去3500 得 20x≤100，
不等式两边除以20 得 x≤5，
又∵70
4
11
x
是整数，∴
1
x
，70
4
6
11
x
．
答：公司租用四座车l 辆，十一座车6 辆．
例4.响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号
的电冰箱80 台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2 倍，购买三种电冰箱的总金
额不超过132 000 元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1200 元/台、1600
元/台、2000 元/台．
（1）至少购进乙种电冰箱多少台？
（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？
【思路点拨】（1）关系式为：甲种电冰箱用款+乙种电冰箱用款+丙种电冰箱用款
≤132000，根据此不等关系列不等式即可求解；（2）关系式为：甲种电冰箱的台数≤丙种
电冰箱的台数，以及（1）中得到的关系式联合求解．
【答案与解析】
解：（1）设购买乙种电冰箱x 台，则购买甲种电冰箱2x 台，丙种电冰箱（80-3x）台，
根据题意得1200×2x+1600x+（80-3x）×2000≤132000
解这个不等式得x≥14
∴至少购进乙种电冰箱14 台；
（2）根据题意得2x≤80-3x
解这个不等式得 x≤16
由（1）知 x≥14
∴14≤x≤16
又∵x 为正整数
∴x=14，15，16．
所以，有三种购买方案
方案一：甲种电冰箱为28 台，乙种电冰箱为14 台，丙种电冰箱为38 台.
方案二：甲种电冰箱为30 台，乙种电冰箱为15 台，丙种电冰箱为35 台.
方案三：甲种电冰箱为32 台，乙种电冰箱为16 台，丙种电冰箱为32 台．
【总结升华】探求不等关系时，要注意捕捉“大于”、“超过”、“不少于”、“不
足”、“至多”等表示不等关系的关键词，通过这些词语，可以直接找到不等关系．
【巩固练习】
一、选择题
1．毛笔每支2 元，钢笔每支5 元，现有的购买费用不足20 元，则购买毛笔和钢笔允
许的情况是 ( )
A．5 支毛笔，2 支钢笔 B．4 支毛笔，3 支钢笔
C．0 支毛笔，5 支钢笔 D．7 支毛笔，1 支钢笔
2．小明用100 元钱去购买三角板和圆规共30 件，已知三角板每副2 元，每个圆规5 元，
那么小明最多能买圆规 ( )
A．12 个 B．13 个 C．14 个 D．15 个
3．某风景区招待所有一两层客房，底层比二层少5 间，一旅行团共有48 人，若全部安排
住 底层，每间住4 人，房间不够；而每间住5 人，有的房间未住满；若全部安排住二层，
每 间住3 人，房间也不够；每间住4 人，有的房间未住满．这家招待所的底层共有房间
( ) A．9 间 B．10 间 C．11 间 D．12 间
4．一个两位数，某个位数字比十位数字大2，已知这个两位数不小于20，不大于40，那
么这个两位数是多少？为了解决这个问题，我们可设个位数字为x，那么可列不等式
（ ）．
A．20≤10（x-2）+x≤40 B．20＜10（x-2）+x＜40
C．20≤x-2+x≤40 D．20≤10x+x-2≤40
5．张红家离学校1600 米，一天早晨由于有事耽误，结果吃完饭时只差15 分钟就上课，
忙中出错，出门时又忘了带书包，结果回到家又取书包共用3 分钟，只好坐小汽车去上学，
小汽车的速度是36 千米／时，小汽车行驶了1 分30 秒时又发生堵车，她等了半分钟后，
路还没有畅通，于是下车又开始步行，问：张红步行速度至少是( )时，才不至于迟到．
A．60 米/分 B．70 米/分 C．80 米/分 D．90 米/分
6．现用甲、乙两种运输车将46 吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5 吨，乙种运
输车载重4 吨，安排车辆不超过10 辆，则甲种运输车至少应安排（ ）
A．4 辆
B．5 辆
C．6 辆
D．7 辆
二、填空题
7．若
5
m
，试用m 表示出不等式(5
)
1
m x
m
x
的解集 .
8．有10 名菜农，每人可种甲种蔬菜3 亩或乙种蔬菜2 亩，已知甲种蔬菜每亩可收入
0.5 万元，乙种蔬菜每亩可收0.8 万元，若要使总收入不低于15.6 万元，则至多只能安排
_______人种甲种蔬菜．
9．某种肥皂零售价每块2 元，对于购买两块以上(含两块)，商场推出两种优惠销售办
法：第一种为一块按原价，其余按原价的七折优惠；第二种为全部按原价的八折优惠．在
购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少需要购买肥皂
______块．
10．韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油．
现有A、B 两个出租车队，A 队比B 队少3 辆车．若全部安排A 队的车，每车坐5 人，车不
够，每辆坐6 人，有的车未坐满．若全部安排乘B 队的车，每辆车坐4 人，车不够；每辆
车坐5 人，有的车未坐满．A 队有出租车__________辆．
11．发电厂派汽车去拉煤，已知大货车每辆装10 吨，小货车每辆装5 吨，煤场共有煤
152 吨，现派20 辆汽车去拉，其中大货车x 辆，要一次将煤拉回电厂，至少需派多少辆大
货车?列式为_______________________________________________________．
12．一艘轮船上午6：00 从长江上游的A 地出发，匀速驶往下游的B 地，于11：00 到
达B 地，计划下午13：00 从B 地匀速返回，如果这段江水流速为3km/h，且轮船在静水中
的往返速度不变，那么该船至少以
km/h 的速度返回，才能不晚于19：00 到达A
地．
三、解答题
13．在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10 场球(每场得分均为整数)．他在第6，
7，8，9 场比赛中分别得了22，15，12 和19 分，他的前9 场比赛的平均得分y 比前5 场比
赛的平均得分x 要高．如果他所参加的10 场比赛的平均得分超过18 分．
(1)用含x 的代数式表示y；
(2)小方在前5 场比赛中，总分可达到的最大值是多少?
(3)小方在第10 场比赛中，得分可达到的最小值是多少？
14．某公司为了扩大经营，决定购进6 台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机
器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示，经过预算，本
次购买机器耗资不能超过34 万元．
甲
乙
价格(万元/台)
7
5
每台日产量(个)
100
60
(1)按该公司要求可以有几种购买方案？
(2)若该公司购进的6 台机器的日生产能力不低于380 个，那么为了节约资金应选择哪
种方案？
15．某单位计划10 月份组织员工到杭州旅游，人数估计在10～25 人之间，甲、乙两
旅行社的服务质量都较好，且组织到杭州旅游的价格都是每人200 元，该单位联系时，甲
旅行社表示可以给予每位旅客7.5 折优惠；乙旅行社表示可免去一带队领导的旅游费用，
其他游客8 折优惠，问该单位怎样选择，可使其支付的旅游总费用较少？
16．某村为解决村民出行难的问题，村委会决定将一条长为1200m 的村级公路硬化，
并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工．并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工，
若甲、乙两队做需12 天完成此项工程；若甲队先做了8 天后，剩下的由乙队单独做还需18
天才能完工．
（1）问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）又已知甲队每施工一天需要费用2 万元，乙队每施工一天需要费用1 万元，要使
完成该工程所需费用不超过35 万元，则乙工程队至少要施工多少天？
答案与解析
一、选择题
1．【答案】D；
【解析】代入验证．
2．【答案】B；
【解析】设买圆规x 件，由题意得：5
2(30
)
x
x
≤100，得x ≤
1
133
，且x 为正整数，
所以x 最大取13．
3．【答案】B；
【解析】设底层有房间x 间，由题意得：
4
48
5
48
3(
5)
48
4(
5)
48
x
x
x
x
得：
3
9
11
5
x
，又x 为正
整数，所以
10
x
．
4．【答案】A；
5．【答案】B；
【解析】设张红步行速度x 米／分才不至于迟到，由题意可列不等式引
1
1
[15
3
(1
)]
2
2
x
≥
1
1600
600 12
，化简得10x≥700，x≥70，故选B．
6．【答案】C；
【解析】解：设甲种运输车安排x 辆，乙种运输车安排y 辆，
根据题意得
，解得：x≥6，
故至少甲要6 辆车．
故选C．
二、填空题
7．【答案】
1
4
m
x
m
；
【解析】因为
5
m
，所以4
5
0
m
m
，原不等式可化为：(4
)
1
m x
m
，两
边同除以（4
m
），得
1
4
m
x
m
8．【答案】4；
【解析】设安排x 人种甲种蔬菜，可得3
0.5
2(10
)
0.8
x
x
≥15.6，得x ≤4．
9．【答案】4；
【解析】解：设要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，需要购买肥皂x 块，
则：
2+0.7•2（x-1）＜0.8•2x， 得：x＞3．最少需要购买肥皂4 块时，第一种办法比第二种
办法得到的优惠多．
10．【答案】10；
11．【答案】10x ＋ 5 (20 –x ) ≥152；
12．【答案】33；
【解析】解：设船xkm/h 的速度返回，根据题意得出：
6（x﹣3）≥5（x+3）
解得：x≥33，
∴该船至少以33km/h 的速度返回，才能不晚于19：00 到达A 地．
故答案为：33．
三、解答题
13．【解析】
解：(1)因为前5 场比赛的平均得分为x，则前5 场比赛的得分之和为5x，故有
5
22 15 12 19
5
68
9
9
9
x
y
x
．
(2)依题意： y-x＞0，
则有：5
68
9
9
x
x
，解得：x＜17．
所以小方前5 场比赛中总分的最大值应为：17×5-1＝84(分)．
(3)由题意，小方在这10 场比赛中得分至少为18×10+1＝181(分)．
设他在第10 场比赛中的得分为S．则有
84+(22+15+12+19)+S≥181，解得S≥29．
答：小方在第10 场比赛中的得分的最小值为29 分．
14．【解析】
解：(1)设购买甲种机器x 台，乙种机器（6-x）台．
由题意，得7x+5(6-x)≤34．
解不等式，得x≤2，故x 可以取0，l，2 三个值，
所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6 台；
方案二：购买甲种机器1 台，购买乙种机器5 台；
方案三：购买甲种机器2 台，购买乙种机器4 台；
(2)按方案一购买机器，所耗资金为30 万元，日生产量6×60＝360(个)；按方案二购
买，所耗资金为1×7+5×5＝32（万元），日生产量为1×100+5×60＝400（个），按方案
三购买，所耗资金为2×7+4×5＝34(万元)；日生产量为2×100+4×60＝440（个）．因此，
选择方案二既能达到生产能力不低于380（个），又比方案三节约2 万元资金，故应选择
方案二．
15．【解析】
解：设该单位到杭州旅游的人数为x 人，选择甲旅行社所需费用为y甲元；选择乙旅行
社所需费用为y乙元，则
200 0.75
150
y
x
x
甲
，
y
乙
200(x-l)×0.8=160x-160，
y
y
乙
甲
＝150x-160x+160＝160-10x．
(1)若160-10x＞0，即x＜16 时，y
y
乙
甲
；
(2)若160-10x＝0，即x＝16 时，y
y
乙
甲
；
(3)若l60-10x＜0，即x＞16 时，y
y
乙
甲
．
∴当旅游人数为16 人时，选择甲、乙两旅行社中任何一家都行．
当旅游人数在10～15 人之间时，选择乙旅行社，
当旅游人数在17～25 人之间时，选择甲旅行社．
16．【解析】
解：（1）设甲单独做需要用x 天，乙单独做需要y 天，根据题意可得：
，
解得：
．
答：甲单独做需要用20 天，乙单独做需要30 天；
（2）甲的工效：1200÷20=60，乙的工效：1200÷30=40，
∵2×20=40＞35，
∴设乙需要做a 天，由题意可得：
2×
+a≤35，
解得：a≥15．
答：乙工程队至少要施工15 天．
