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专题04 正弦定理与余弦定理
题型01 正余弦定理的边角互化
1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在
中，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】利用正弦定理边化角整理可得
，然后结合和差公式、基本不等式即可得解.
【解析】因为
，
所以
，整理得
，
由正弦定理边化角得
，
若
，则
，不满足题意，故
.
又
，
所以
，
整理得
，
则
，
易知，若
，则
，不合题意；
当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
1
2．（2026·湖南怀化·一模）在
中，内角
的对边分别为
，则
一定为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【解题思路】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，
所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的
关系，进而判断三角形的形状.
【解析】在
中，
,
则
，即
，
则
，即得
,
由于
，故
，结合
，可得
，
即
一定为直角三角形，
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在
中，内角
，
，
所对的边长分别是
，
.
(1)求角
；
(2)若
，
，
，求AB 边上的高.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据正弦定理得，
，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可
求得
；
（2）根据余弦定理得到
的值，联立
可解得
，进而可判断
的形状，从而求解.
【解析】（1）因为
，
根据正弦定理得，
.
2
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）根据余弦定理得，
，
将
，
代入上式整理得，
，
又因为
且
，解得
，
，
所以
，所以
为以AB 为斜边的直角三角形，
所以斜边AB 上的高为
.
4．（14-15 高二上·山东德州·期中）在
中，已知
，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解题思路】由正弦定理边化角得到
，再结合正弦二倍角公式即可判断.
【解析】
在
中，
，
∴由正弦定理，得
．
又
，
，
．
，即
，即
，
因为
，
或
，即
或
，
为等腰三角形或直角三角形．
3
故选：D
5．（2026·内蒙古赤峰·一模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
(1)求B；
(2)若
的面积
且
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据余弦定理的推论
及
可得；
（2）由三角形的面积公式及正弦定理可求得
，再根据余弦定理求得
，即可得
的周长．
【解析】（1）由
，根据余弦定理，得
，
化简得
，即
.
所以
.
因为
，所以
.
（2）由正弦定理可得
.
由三角形的面积公式可得
，
所以
.
由（1）得
，所以
.
所以
，
所以
.
所以
的周长为
．
4
6．（2026·陕西·模拟预测）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
______.
【答案】
/
【解题思路】先根据正弦定理化简题干条件可得
，进而结合余弦定理即可求解.
【解析】在
中，对于
，
由正弦定理得
，
即
，
由余弦定理得
，
又
，所以.
，故
.
题型02 利用正余弦定理解三角形
7．（2026·湖北十堰·一模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，
，则
（ ）
A．
B．20
C．16
D．
【答案】D
【解题思路】根据正弦定理、余弦定理求解即可.
【解析】因为
，
，所以
.
由正弦定理可知，
，所以
，
，
又
，所以
，所以
.
5
由余弦定理知，
，所以
，即
.
又
，
所以
，所以
.
故选：D.
8．（2026·山东滨州·一模）在
中，已知
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得
，再根据余弦定理求得
的长.
【解析】因为
，所以由正弦定理
，
得
，所以
.
因为
，所以
.
所以
，即
.
又
，所以
，
整理得，
，即
因为
，所以
，所以
.
所以
，所以
.
由余弦定理
，
得
，解得
.
因为
，所以
.
9．（2026·陕西咸阳·二模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
6
．
(1)求角
；
(2)若点
在
上，
，
，求．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】(1)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得角
的大小；
(2)先在
中求得
，再利用三角恒等变换求得
，最后利用正弦定理求得.
【解析】（1）由正弦定理得
得
，
所以
，所以由余弦定理得
，
因为
，所以
．
（2）在
中，
，所以
，
，
又
，
在
中，由正弦定理得
．
10．（2026·云南·模拟预测）已知
的内角A、B、C 对边分别为a、b、c．
，
．D 在边BC 上，
，
．
(1)求a；
(2)求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）利用面积相等列式求得
，然后利用余弦定理求解
；
7
（2）直接利用三角形面积公式求解即可.
【解析】（1）由
和
得
，又
，
，如图，
因为
，所以
，
所以
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
．
（2）据（1）知
，
所以
的面积为
．
11．（2026·天津河东·一模）已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，
，
，
.
(1)求a，
的值：
(2)求
的值；
(3)求
的面积.
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【解题思路】（1）利用正弦定理角化边，利用余弦定理角化边，最后解方程组即可求解；
8
（2）利用二倍角公式和两角差正弦公式即可求值.
【解析】（1）在△ABC 中，由
，
，可得
，
因为
，
，
，
可得
，
代入
，
，可得：
，
化简得：
，
所以
，
，即
；
（2）由（1）可知C 为钝角，且
，
则
，
，
所以
.
（3）
.
12．（2026·云南·模拟预测）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，
，
，
若
为
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据正弦定理、余弦定理、勾股定理求解即可.
【解析】
9
由正弦定理知，
，所以
，
.
所以
，又
，所以
.
在
中，
.
因为
为
的中点，所以
.
在
中，
.
在
中，
.
题型03 三角形面积问题
13．（25-26 高三下·河南·开学考试）记
的内角
的对边分别为
，已知
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据正弦定理以及余弦的和差角公式可得
，进而根据诱导公式
以及辅助角公式得
，根据三角函数的有界性得
，即可求解
角的大小，即可得解.
【解析】由题意及正弦定理，得
，
又
，所以
，则
，
因为
，
所以
，
10
所以
，
又
，所以
，
所以
，又
，
所以当且仅当
时，
，
又
，且
，所以
，
，
所以
，则
，
故
的面积
．
故选:C
14．（2026·辽宁辽阳·一模）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
，
的面积为
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．
C．6
D．
【答案】C
【解题思路】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得
，再结合
的面积为
可得
，
进而根据基本不等式求解即可.
【解析】由
，
根据正弦定理得，
，
则
，
在
中，
，则
，即
，
又
，则
，
又
，则
，
11
所以
，当且仅当
时等号成立，
则
的最小值为6.
15．（2026·河北保定·一模）已知
的内角
所对的边分别为
，
则
的内切圆面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】设
的内切圆半径为，利用
，把表示成关于
的函数，
利用基本不等式求出的最大值可得答案.
【解析】由
，
，
得
，
由余弦定理得
，
整理得
.
设
的内切圆半径为，则
，
所以
，
由余弦定理得：
，
得
，所以
，
由基本不等式得：
，所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
故
，所以
的内切圆面积的最大值为
.
16．（2026·江苏·一模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
，
12
，则
的面积为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
17．（25-26 高三上·广西·期末）（多选）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的面积为
C．
D．
【答案】AB
【解题思路】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可.
【解析】对于A，根据余弦定理
，
得
，因此
，故A 正确；
对于B，根据三角形面积公式
，
可得
，故B 正确；
对于C，根据正弦定理，
，
可得
，故C 不正确；
13
对于D，因为
，
所以
，故D 不正确．
故选：AB.
18．（2026·贵州毕节·二模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
的面积为______.
【答案】
【解析】由余弦定理可得，
，
因为
，所以
，
故
的面积为
.
19．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在圆内接四边形ABCD 中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四边形ABCD 的
面积为______．
【答案】
【解题思路】利用圆内接四边形对角互补，把四边形分成两个三角形利用余弦定理求解，利用三角形面积公式只
需求对角的正弦值即可.
【解析】如图连接
，因为四边形
为圆的内接四边形，所以
，
在
中，
，
，有
，
在
中，
，
，有
,
所以
，又
，解得
，
所以
，
则
，
14
即
.
题型04 利用正余弦定理解决实际应用问题
20．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现
有A、B、C 三点，且A、B、C 在同一水平面上的投影
、
、
，满足
，
．由C 点
测得B 点的仰角为
，
与
的差为100；由B 点测得A 点的仰角为
，则A、C 两点到水平面的高度差约
为____________．（精确到1）
【答案】373
【解题思路】过C 作
，过B 作
，进而
，易知
，在
中，
求得
，进而
，在
中，用正弦定理即可求得
的长，进而可知
的长.
【解析】如图，过C 作
，过B 作
，
15
则
，
由B 点测得A 点的仰角为
，得
为等腰直角三角形，
，
则
，
由
，得
，
在
中，由正弦定理得，
，
而
，
因此
，所以
.
故答案为：373
21．（2025·上海长宁·一模）如图，两塔的塔尖分别为
，塔底分别为
，塔身
均垂直水平面
已测得
与
的距离，4 名同学分别测得如下4 组数据：
①
，
，
；②
，
，
；
③
；④
．
其中不能唯一确定
与
之间距离的数据的序号有___________．
【答案】②
【解题思路】将空间几何问题转化为确定塔高
与
的过程，对于每个数据组，首先判断能否由已知角度和已知
边长唯一确定水平距离
与两个塔高；若能，则两塔尖的空间坐标唯一确定，距离随之唯一确定，若给出的角度
条件不足以唯一确定所有未知的塔高或位置，则存在多解，从而无法唯一确定两塔尖距离.
【解析】①：
与
的长度，用余弦定理确定
唯一，
与
的值，在
中
可确定
唯一，
与
的值，在
中
可确定
唯一，
由
知
唯一确定.
16
②：取
，设
，
，
解得
或
，故②不能唯一确定.
③：
与
的值，在
中
可确定
唯一，
与
的值，在
中
可确定
唯一，
由
，及
已知，可确定
唯一.
④：由三余弦定理可求得
，后续与①一致，可唯一确定
的长度.
故答案为：②
22．（2025·上海杨浦·一模）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，
抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中
，
均与水平面
垂直，在已测得可直接到达的两点间距离
，
，且
，用测角仪测得
，
的情况下，四名同学用测角仪各自测得下面一个角：①
；②
；③
；④
，其中一定能唯一确定
之间的距离有________.（写出所有正确的
序号）
【答案】②③④
【解题思路】结合题目给出条件以及直角三角形的边角关系，可知
均已确定，对于①②③，可先
根据余弦定理判断
是否确定，再根据勾股定理判断
是否确定；对于④，可直接根据余弦定理进行判断.
【解析】设
，
在
中，
，
17
同理可得
，
由于
均为已知量，故
均为定值.
对于①：在
中，由余弦定理可得
，且
均为定值，故该方程为关于
的一元二次方程，可能有两解.
例如，若
，
则可得
，即
，解得
或
，
由勾股定理可得
，由于
为定值，而有两解，故
也有两解，故
①错误；
对于②：在
中，由余弦定理可得
，且
均为定值，故也为定值，
又因为
，其中
均为定值，故
为定值，故②正确；
对于③：在
中，由余弦定理可得
，整理得
且
均为定值，
故该方程为关于的一元二次方程.又
，
故
，即有两解，设两解分别为
，
由韦达定理可知，
，即
异号，因此该方程仅有1 个正数解，即有唯一确定解，
又因为
，其中
均为定值，故
为定值，故③正确；
对于④：在
中，由余弦定理可知，
，因为
均为定值，故
也为定值，故④正确，
故答案为：②③④.
23．（2026·陕西·二模）延安国营风力发电厂的风力发电机的三片风叶之间两两所成的角度为
，当其中一片风
叶
与塔杆叠合时，一位身高1.8 米的技术人员站在另一片风叶
端头的正下方，测得塔杆顶部仰角为
（如
左图所示）；若该技术人员站在离塔杆60 米处，则测得塔杆顶部仰角为
（如图所示）．那么风叶转动时叶片
顶端最高离地面（ ）
18
A．81.8 米
B．89.8 米
C．95.8 米
D．101.8 米
【答案】D
【解题思路】设扇叶长度为
，在左图根据角度关系表示出
，结合右图可分析出
，求得
的
取值，得出
到底面距离，风叶转动时最高点到底面距离为
到底面距离加上一个扇叶长.
【解析】由左图，
中，
，则
，
又扇叶之间的夹角为
，则
，则
，
又
，设叶片的长度为
，则
，
，
根据右图，在
中，由于
，则
，
左右图中人的高度不变，则
，即
，得
，
则
到底面的距离为
，
当扇叶转动到最高点，最高点到底面的距离为
.
24．（2026·河南濮阳·一模）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底
在同一水平面内的两个测点
与
.
现测得
，并在点
测得塔顶
的仰角为
，则塔高AB 为（ ）
A．
B．
C．
D．
19
【答案】D
【解题思路】在
中利用正弦定理求出
，再利用
即可求出.
【解析】在
中利用正弦定理得，
，
即
，则
，
在
中得，
，则
.
故选：D
25．（2026·陕西商洛·二模）某数学研究小组为实地测算天汉楼高度，在楼前广场选取两个测量点
，两点与
天汉楼底部中心
在同一水平面上（O 为楼顶
在底面的投影）．测得以下数据：
米，
，且从点
测得
的仰角
满足
．则天汉楼主体高度
约为（ ）
A．45 米
B．46 米
C．69 米
D．70 米
【答案】C
【解析】在
中，由正弦定理得
，
所以
米，
由
，得
米.
所以天汉楼主体高度
约为69 米.
20
强化训练
1．（2026·河南开封·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】利用同角三角函数商数关系整理
，可得
.根据正弦定理整理原式，
再结合
中
和两角和的正弦公式化简求值即可.
【解析】由
，可得
，即
.
根据正弦定理，
，且
，
所以
.
2．（2026·湖北武汉·模拟预测）设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解题思路】利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式化简，再由同角三角函数化弦为切即得.
【解析】由
和正弦定理，得
（*），
因
，
将其代入（*）整理得
，
即得
，故
.
3．（2026·北京延庆·一模）在
中，
，
，
，则
（ ）．
21
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】由正弦定理角化边，求得
，再由余弦定理即可求解.
【解析】 根据正弦定理
，结合条件
，可得：
，即
.
又已知
，代入
得：
，因此
.
由余弦定理
，
代入
，
，
因此
.
4．（2025·江西南昌·二模）在
中，角
的对边分别是
，若
，则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】A
【解题思路】由余弦定理计算可得.
【解析】由余弦定理可得
，化简可得
，
因为
，所以
.
故选：A
5．（2025·河北秦皇岛·三模）已知
的内角
所对的边分别为
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
22
【解题思路】首先利用正弦定理将角的正弦关系转化为边的关系，再通过余弦定理建立关于
的等式，从而求解
的值.
【解析】因为
，所以
.
根据正弦定理可得
，所以
.
因为
，所以根据余弦定理
，可得：
，
化简可得
，所以
.
因为
为
的边，
，所以
.
故选：D.
6．（2026·陕西·二模）某小区内有一块直角扇形的草坪如图所示，两条互相垂直的小路
与
分别长4 米和3
米．物业公司准备在四边形
围成的区域种植丁香花．如果小路面积忽略不计，则丁香花种植面积为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】A
【解析】如图，将扇形补全为半圆，
为圆
的直径，连接
、
，
在
中，
,所以
由
，从而
垂直平分
，则
，
由
，所以
过点
，则
,
所以
，
23
则丁香花种植面积为
平方米.
7．（2026·河南·模拟预测）在
中，
，
，
，
为边
上一点，且
平分
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先根据三角形角平分线的性质确定
的长度，再利用余弦定理求
和
的长.
【解析】如图：
因为
平分
，所以
，又
，所以
.
在
中，根据余弦定理，可得
，
在
中，根据余弦定理，
，
所以
.
8．（25-26 高三下·安徽·月考）在
中，内角
的对边分别为
，若
，则
的面积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
24
【答案】A
【解析】由余弦定理得
，则
，
故
的面积为
.
9．（2026·福建莆田·二模）记
的内角
，
，
的对边分别是
，
，，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】根据余弦定理求出
的值，再结合角
的取值范围确定角
的大小.
【解析】
因为
，所以
.
故选：B.
10．（2026·山东聊城·一模）已知
中，
，D 是边
上一点，
，
，且
，
则边
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】由
求出
，由
的值和
求出
，利用诱导公式求出
和
，由
，利用两角差的正弦公式求出
的值，利用正弦定理求出
的值，由
得到
，计算出
的值，由
是边
上一点得到
，代入数值得
解.
【解析】
，
，
，
，
25
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是边
上一点，
.
26
11．（2026·辽宁大连·模拟预测）（多选）已知△
的外接圆半径为
，且
，则（ ）
A．
B．
边上的高为
C．△
的面积为
D．
边上的中线长为
【答案】BC
【解题思路】对
三角恒等变换化简可得
，其中角
满足
，
，又
，当且仅当
，
，可得
，再
结合三角函数单调性和三角形面积公式、正弦定理、余弦定理判断各选项即可．
【解析】由
，有
，
由代换与辅助角公式有
，
其中角
满足
，
又
，当且仅当
，
，
故有
，
，且
，
由
，则
为钝角，所以
，故A 不正确；
因为
，所以
，
因为△
的外接圆半径为
，所以
，
所以△
的面积为
，故C 正确；
设
边上的高为
，
所以△
的面积
，解得
，故B 正确；
取
中点为
，连接
，
27
因为
，
为锐角，所以
，
又
，
，则
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，故
边上的中线长为
，故D 不正确.
故选：BC.
12．（2026·陕西咸阳·一模）（多选）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的周长为
D．
的面积为
【答案】BD
【解题思路】由正弦定理
得到
，再结合三角形面积公式逐项判断即可.
【解析】因为
，
，
，所以
由正弦定理可得：
，即
，
则
，得
，则
，
28
所以
，
所以
的周长
，
所以
的面积为
,
由上可知AC 错误，BD 正确，
故选：BD
13．（2026·辽宁抚顺·一模）（多选）在
中，角
的对边分别为
外接圆的半径为2，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
面积的最大值为
D．若
，角
的平分线交
于点
，则
【答案】BCD
【解题思路】对A，利用正弦定理和三角恒等变换化简条件式得解；对B，由正弦定理求解判断；对C，根据余弦
定理结合基本不等式和三角形面积公式求解；对D，由题结合余弦定理求出
，利用三角形面积关系
，求出答案.
【解析】对于A，因为
，所以
，
所以
，又
，即
，
则
，
又
，所以
，解得
，故
，故A 错误；
29
对于B，因为
，
外接圆的半径
，所以
，故B 正确；
对于C，因为
，即
，
又
，所以
，得
，当且仅当
时，取等号，
所以
，即
面积的最大值为
，故C 正确；
对于D，由
结合
，解得
，
由
，即
，
解得
，故D 正确.
14．（2026·江西·一模）（多选）在
中，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
【答案】BCD
【解题思路】根据所给条件
长度判断A，由余弦定理判断B，过点
作
，解三角判断C，利用
求三角形面积判断D.
【解析】如图所示，过点
作
，
则
，又因为
，
30
并且在
中
，
所以
，所以
是等腰三角形，所以
，
由
，可知
为
中点，
所以
是
的中位线，所以
为线段
的中点，所以
，则A 项错误.
，在
中：
，则B 项正确.
过点
作
，
，
，所以
，
的面积为
，则C､D
项正确.
故选：BCD
15．（2026·浙江·模拟预测）（多选）已知
的面积为
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的外接圆半径为1
D．
【答案】ACD
【解题思路】根据两角和差公式与诱导公式对题干等式化简得
结合
得到
，再利用诱导公式算出
的每个角度，由此可以判断A，B 选项；通过
正弦定理结合三角形面积公式算出C 选项；通过前三个选项结合正弦定理即可求出三角形的三条边，进而求出D
选项.
【解析】在
中，
，故
，
代入原式得：
，
31
又
，
，将其代入
式得
，
因为三角形中
，又由
，
而在三角形中
，故
，
即
为钝角，故
，因此只能
，即
，得
，
，
所以
，
，
将上述等式代入
得
，
解得
，得
，
，
，因此
，故选项A 正确，B 错误；
设外接圆半径为
，由正弦定理得
，
，
，
面积
，得
，选项C 正确；
，选项D 正确.
16．（25-26 高三上·吉林四平·月考）紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：
在水平的地面上选择三个点
，点
作为测量基点，设大厦主体的最高点为
（
与水平面垂直），在点
和点
处测得点
处的仰角分别为
和
，测得
米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主
体的高度约为__________米（精确到整数位）（
）.
【答案】389
【解题思路】设
，求出
，最后在
中利用余弦定理可得.
【解析】由题意可知，
，
32
设
，在
中，
，所以
，
同理在
中，
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，
所以
.
故紫峰大厦主体的高度约为
米.
故答案为：
17．（2026·安徽宿州·一模）在
中，
分别是边
边的中点，若
，
则
的面积是______.
【答案】
【解题思路】根据三角形重心的几何性质、向量的数量积公式和三角形的面积公式即可求解.
【解析】如图，设
的三条中线
交于点
，则点
为
的重心，
由重心的几何性质有
，
，
，
在
中，
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以
；
所以
，即
的面积是
.
故答案为：
.
18．（2026·山西大同·一模）已知
内角A，B，C 所对边分别为a，b，c，该三角形外接圆半径为
，面积为
33
.若
，
，则
______.
【答案】2
【解题思路】先应用二倍角正弦公式结合两角和正弦公式化简，再应用正弦定理及三角形面积公式计算求解.
【解析】因为
，由正弦定理得
，
故
，
即
，
所以
，
又由正弦定理及三角形面积公式
，可得
，
又因为
，所以
，解得
.
19．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
，
则
_________.
【答案】
或2
【解题思路】由余弦定理得
，解方程即可得解.
【解析】由余弦定理有
，所以
，
解得
或2.
故答案为：
或2.
20．（2025·江西·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，且
，若
，则
的最
大值为__________．
【答案】
/
【解题思路】由正弦定理得
，根据三边关系确定
，根据余弦定理
，用边表示
为
34
，进而求出最值即可.
【解析】因为
，由正弦定理得
，在
中，
，即
，故
，
，
由余弦定理得
，
又因为
，
所以
，
当
即
时等号成立.
故答案为：
.
21．（2026·安徽合肥·一模）在
中，角
的对边分别是
，若
，则
__________．
【答案】2
【解题思路】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得
，再由正弦
定理可得
，即可得解.
【解析】因为
，由正弦定理，可得
，
所以
，又因为
，所以
，
所以
，又由正弦定理，可得
，即
，
因为
，所以
．
35
36
