专题07
选填压轴三：同构法比较大小、
极值点讨论、导数求立体几何最值（学生版）
一．同构法比较大小常用八个函数
我们由,
,ln
x
x e
x 三个基本初等函数进行加减乘除组合，可以得到常用八个函数。对任一函数先求导，求出
函数单调区间与极值点，再描点画图，注意图形的渐近线.
函数
x
y
xe
x
x
y
e
图像
函数
ex
y
x
1
x
y
e
x
图像
函数
ln
y
x
x
ln x
y
x
图像
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函数
ln
x
y
x
ln
1
y
x
x
图像
在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征(指除了变量不同，其余地方均相同的表达式．)，则可
将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系，可以比较大小、解不等式、解决不等式恒
成立问题、证明不等式等．
①指对各一边，参数是关键；
②常用八个“母函数”：
x
f x
x e
，
x
f x
e
x
……；
③凑同构，凑常数、x 、参数；
④复合函数比大小，利用单调性求参数范围．
八大函数中一些函数的证明或记忆方法：
1．
1
x
y
e
x
，对应不等式
1
xe
x
x
R
证明：设
( )
1
x
f x
e
x
，则
( )
1
x
f
x
e
，当
0
x
时，
( )
0
f
x
，当
0
x
时，
( )
0
f
x
，
∴
( )
1
(0)
0
x
f x
e
x
f
，即
1
xe
x
，当且仅当
0
x
时取等号，得证.
图形表示：如图9，
x
y
e
在(0,1)处的切线方程为
1
y
x
.
图9
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2．
ln
1
y
x
x
，对应不等式
ln
1
0
x
x
x
证明：设
( )
ln
1
f x
x
x
，则
1
1
( )
1
x
f
x
x
x
，当0
1
x
时，
( )
0
f
x
，当
1
x 时，
( )
0
f
x
，
∴
( )
(1)
0
f x
f
，即ln
1
x
x
，当且仅当
1
x 时取等号，得证．
图形表示：如图10，
ln
y
x
在(1,0) 处的切线方程为
1
y
x
．
图10
二、极值点的讨论
函数
( )
f x 在某区间D 上有n 个极值点，，等价于导函数
( )
f
x
在区间D 上有n 个不同解，一般再用参变
分离，转换成图像交点问题即可.
函数
( )
f x 在某区间( , )
m n 上有２个极值点，，等价于导函数
( )
f
x
在区间( , )
m n 上有２个不同解，用不
了参变分离时，转换成二次函数与ｘ轴交点问题即可.
二次函数
2
( )
0(
0)
g x
ax
bx
c
a
根与系数的关系可以先画图，根据实际情况考虑下边五个量：
１、
0
a
开口向上；
0
a
开口向下；
２、有两个不等实数根，
0
；
有两个相等的实数根，
0
；
无实根，
0
．
３、对称轴
2
b
x
a
；
４、讨论区间端点
( )
g m 与
( )
g n 的正负；
５、韦达定理
1
2
1
2
b
x
x
a
c
x
x
a
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三、几何中求面积、体积的最值
一般地，分析题意，有双变量，找出几何体中对应的边角的关系，运用面积、体积公式，
用代入法化简，将双变量变为单变量问题，涉及到三次方或四次方等高次函数，利用导数求得
函数的单调性与最大值，即可求解.
题型一同构法比较大小
1．设
ln1.01
a
，
1.01
b
，
0.01
e
c
，其中e 为自然对数的底数，则（
）
A．a
c
b
B．b
c
a
C．b
a
c
D． c
b
a
2．已知
1
2
2
a
，
1
3
3
b
，
1
ee
c
，则a，b，c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．c<a<b
D．a
c
b
3．已知, ,
(1,
)
a b c
，且e
9 ln11,e
10 ln10,e
11 ln9
a
b
c
a
b
c
，则, ,
a b c 的大小关系为（
）
A．a
b
c
B．c
a
b
C．b
c
a
D．c
b
a
4．已知
2e
ln 3
a
，
e 1
e
b
，
3e
2ln 2
c
，则有（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
a
c
D．< <
b c a
5．已知
5
ln 6
x
，
24
4
ln
25
5
y
，
1
6
z
，则（
）
A．y
x
z
B．y
z
x
C．z
x
y
D．x
y
z
练习题：
1．设
2
e
2
2
e
,
,
ln e
2
ln 2
4
ln 4
a
b
c
，其中e是自然对数的底数，则（
）
A．c
b
a
B．b<c<a
C．a
c
b
D．c
a
b
2．设
10
1
11
e
,
,
ln
11
10
a
b
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．b
c
a
D．c
b
a
3．已知
0.2
0.2
1.2
ln 1.2e ,
e
,
e
a
b
c
，则有（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．c
b
a
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4．若
2
2
1
ln lnπ ,
ln
,
3
3
e
a
b
c
，则（
）
A．c
a
b
B．b
c
a
C．c
b
a
D．b
a
c
5．设
0.1
1
0.1e ,
ln 0.9
9
a
b
c
，
，则（
）
A．a
b
c
B．c
b
a
C．c<a<b
D．a
c
b
题型二极值点讨论
1．若函数
2
( )
ex
f x
ax
在区间(0,
)
无零点但有2 个极值点，则实数a 的取值范围是（
）
A．e
e
2
a
B．
2
e
e
2
4
a
C．0
e
a
D．
2e
e
4
a
2．已知函数
2
2
e
18
x
f x
a
x
，其中
0
a
且
1
a ．若
f x 存在两个极值点
1
x ，
2
x ，则实数a 的取值范
围为
．
3．（多选）若函数
2
ln
,
0
b
c
f x
a x
a
x
x
既有极大值也有极小值，则（
）
A．
0
bc
B．
0
ab
C．
2
8
0
b
ac
D．
0
ac
4．已知
3
2
1
( )
3
f x
x
ax
bx
c
有两个极值点
1
x ，
2
x ，若
1
1
2
( )
x
f x
x
，则关于x 的方程
2
[ ( )]
2
( )
0
f x
af x
b
的实根个数不可能为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．已知
e
ln
0
x
a
f
x
x
x a
x
存在两个极小值点，则a 的取值范围是
.
练习题：
1．已知函数
2
1 ex
f x
m x
x
x
在
1 ,2
2
x
上有两个极值点，则实数m 的取值范围为（
）
A．
2
3
0, 2e
B．
2
3
1
,
2e
e
C．1 ,
e
D．
2
3
1
0,
,
2e
e
2．（多选）已知a 为常数，函数
x
x
f
x
e
x
ae
有两个极值点
1
2
1
2
,
x x
x
x
，则（
）
A．a 的取值范围是
1
0, 2
B．a 的取值范围是
1
, 2
C．
1
0
f x
D．
2
1
2
f x
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3．若函数
2
ex
f x
x
a
在区间
2,2
内只有极小值，无极大值，则实数a 的取值范围是
.
4．若
0
x
是函数
3
2
1
ln
1
3
f x
x
ax
x
x
的极大值点，则实数a 的取值范围是
.
5．设函数
ln
R
f x
x
x
ax
a
在区间
0,2 上有极大值点，则a 的取值范围是
．
题型三
导数求立体几何最值
1．已知圆锥的母线长为4，当圆锥的体积最大时，其表面积为（
）
A．16 2 π
8π
3
B．16π
C．32
16 6
π
π
3
3
D．8 2π
16π
2.已知四面体ABCD，且
1
AB
AC
BD
CD
，则四面体体积最大时，其外接球的表面积为
.
3．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平､现代化､开放式的图书
馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1 所示，
8
AC （百米），建立如图
2 所示的平面直角坐标系，将曲线AB 看成函数
f
x
k
x
图象的一部分，BC 为一次函数图象的一部分，
若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF （如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最
大值为（
）
A．2
B．116
9
C．196 3
27
D．352
27
4．(多选)在正四棱台
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，
1
1
2
AB
A B
，
1
2 3
AA
，M 为棱
1
1
B C 的中点，当正四棱台的体
积最大时，下列说法正确的有（
）
A．该正四棱台的高为2
B．该正四棱台的体积为224
C．平面MBD 截该正四棱台的截面面积是10 3
D．该正四棱台的内切球半径为1
5．如图，A 、B 两点分别在x 、y 轴上滑动，OP
AB
，P 为垂足，P 点轨迹形成“四叶草”的图形，若
2
AB
，
则
OAP
△
的面积最大值为
．
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练习题：
1．已知四棱锥P
ABCD
的顶点都在球O 上，四边形ABCD所在圆半径为r ，该四棱锥的体积最大值为64
81 ，
则球O 的半径为（
）
A．1
B．1
2
C．
3
3
D．3
1
3
2．在半径为
3 的球内作内接于球的圆柱，则圆柱体积取最大值时，对应的高为
.
3．已知正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
内接于半径为2 的球，则该正三棱柱体积的最大值为
．
4．某学校有如图所示的一块荒地，其中
60m
AB
，
40m
AD
，
45m
BC
，
π
2
DAB
，
2π
3
ABC
，经
规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取
,
E F
两点，现规划在OEF
区域安装健身器材，在
OBE
△
区域设置乒乓球场，若
BOE
EOF
，且使四边形
AOEF 的面积最大，则cos
EOF
．
5．在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD，
1
PA
AB
，已知圆柱在该四棱锥的
内部且圆柱的底面在该四棱锥的底面上，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为
.
1.
已知
eπ
π
e
e ,
π ,
2
a
b
c
，则这三个数的大小关系为（
）
A．c
b
a
B．b
c
a
C．b
a
c
D．c
a
b
2.
已知
8ln 6
a
，
7ln 7
b
，
6ln8
c
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a
B．c
b
a
C．a
c
b
D．a
b
c
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3.
已知
10
8
a
，
99
b
，
8
10
c
，则a ，b ，c 的大小关系为（
）
A．b
c
a
B．b
a
c
C．a
c
b
D．a
b
c
4.
已知
ln2
2
a
，
ln3
e
b
，
2
2
e
c
，则（参考数据：ln 2
0.7
）（
）
A．a
b
c
B．b
a
c
C．b
c
a
D．c
a
b
5.
(多选)已知0
x
y
，且e sin
e sin
y
x
x
y
，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的
是（
）
A．sin
sin
x
y
B．sin
sin
x
y
C．cos
cos
0
x
y
D．
co
co
s
0
s x
y
6.
(多选)已知
1
2
0
1
x
x
<
<
< ，下列不等式恒成立的是（
）
A．
1
2
2
1
e
e
x
x
x
x
B．
2
1
1
2
ln
ln
x
x
x
x
C．
1
1
2
2
ln
ln
x
x
x
x
D．
1
2
2
1
ln
e
l
e
n
x
x
x
x
7.
已知函数
e
2
1
x
f
x
ax
在区间
1,1
内存在极值点，且
0
f x
在R 上恰好有唯一整数解，则实数
a 的取值范围是（
）
A．
2
2
e
1 e
,
2e
2
B．e 1 e
,
2
2
C．
2
2
e
1 e 1
e 1 e
,
,
4e
2e
2
2
D．
2
2
2
e
1 1
e 1 e
1
,
,
4e
2
2
4
8.
（多选）若函数
( )
e
e
x
x
f x
a
b
cx
，既有极大值点又有极小值点，则（
）
A．
0
ac
B．
0
bc
C．(
)
0
a b
c
D．
2
4
0
c
ab
9.
已知函数
2
1
log
(
0
2
a
f x
x
x
x a
，且
1)
a
存在极小值和极大值，则实数a 的取值范围是
．
10.
函数
sin
cos
sin 2
f
x
x
x
x
的极小值为
．
11.
设函数
ln
a
f
x
x
x
x
有两个不同的极值点
1
x 、2
x ，若
1
2
x
x
，则
1
2
f x
f x
的取值范围为
.
12.
已知函数
2
e
2
x
ax
f
x
在
0,
上既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为
．
13.
已知函数
2
1
e
sin
1
1
2
x
f
x
m
x
x
m
x
，在
0
x
处取到极小值，则实数m
．
14.
已知六棱锥的所有顶点都在半径为2 的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（
）
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A．4 6
3
B．2 6
C．7 2
3
D．4 2
3
15.
对一个质地均匀的实心圆锥体工件进行加工，已知该工件底面半径为12cm，高为8cm，加工方法为挖
掉一个与该圆锥体工件同底面共圆心的内接圆柱.若要使加工后工件的质量最轻，则圆柱的半径应设计
为（
）
A．8cm
B．6cm
C．4cm
D．2cm
16.
如图，正方形EFGH 的中心与正方形ABCD的中心重合，正方形ABCD的面积为2，截去如图所示的
阴影部分后，将剩下的部分翻折得到正四棱锥M
EFGH
(A，B，C，D 四点重合于点M)，当四棱锥体
积达到最大值时，图中阴影部分面积为（
）
A．2
5
B．4
5
C．4
3
D．2
3
17.
(多选)已知正三棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π ，且
[3,3 3]
l
，
则下列结论正确的为（
）
A．当
3
l
时，不是正四面体
B．的底面棱长的最大值为3 3
C．的体积随着l 的增大而增大
D．的体积的最大值为8 3
18.
(多选)已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（
）
A．一定不是正方体
B．外接球的表面积为6π
C．长、宽、高的值均属于区间
1,2
D．体积的取值范围为50 ,2
27
19.
如图所示，某小区有一半径为100m ，圆心角为90的扇形空地.现欲对该地块进行改造，从弧AB 上一
点P 向OB 引垂线段PH ，从点H 向OP 引垂线段DH .在三角形OPH 三边修建步行道，则步行道长度
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的最大值是
m .在三角形ODH 内修建花圃，则花圃面积的最大值是
2
m .
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