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2026 年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）
专题04 平面向量
考点01：平面向量的投影向量与数量投影
1．（2024·上海奉贤·二模）已知向量
，
，则
在
方向上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】根据投影向量公式求出答案.
【解析】
在
方向上的投影向量为
.
故答案为：
.
1
2.（2026 届高三长宁区一模）设
，则向量
在
方向上的投影向量的坐标为_____.
【解析】因为
所以
在
方向上的投影向量的坐标为
3. （2025 上海宝山区高三三模）已知
，则
在
上的数量投影是__________.
【答案】
【分析】向量
在
上的数量投影为
，先求出
和
的值，再代入公式计算.
【详解】已知
，
，可得
.
已知
，可得
.
根据向量投影的定义，
在
上的数量投影为
，将
，
代入可得：
.
故答案为：
.
4. （2025 华东师大三附中高三三模）若向量
在向量
上的投影向量为
，则
等于
______．
【答案】
【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.
【详解】向量
在向量
上的投影向量为
，
所以
.
故答案为：
.
5.（2025 上海市进才中学高三5 月模拟）已知向量
，则向量
在向量
上的投影向
2
量为__________.
【答案】
【分析】根据向量数量积的坐标运算及投影向量的概念求解.
【详解】因为
，
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
，
故答案为：
6.（2025 年华东师范大学第一附属中学高三三模）同一平面内的两个不平行的单位向量
，
，
在
上的
投影向量为
，则
________．
【答案】0
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义，结合数量积定义求解作答.
【详解】依题意，
在
上的投影向量
，
所以
.
故答案为：0.
7. （24-25 大同中学高一下期中）已知
，
，其中
，
的夹角为
，则
在
方向上的投影向
量为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】根据向量投影的概念直接计算.
【详解】由
，
，其中
，
的夹角为
，
则
在
方向上的投影的数量为
，
3
所以
在
方向上的投影向量为
，
故选：D.
考点02：平面向量基本定理的应用
8．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量
、
，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底
的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】C
【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.
【解析】对A：不存在实数
，使得
，
故
和
不共线，可作基底；
对B：不存在实数
，使得
，
故
和
不共线，可作基底；
对C：对
和
，因为
是不共线的两个非零向量，
且存在实数
，使得
，
故
和
共线，不可作基底；
对D：不存在实数
，使得
，故
和
不共线，可作基底.
故选：C.
9. （2025 进才中学高三模拟）下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A.
，
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
4
【分析】根据基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线.
【详解】A 选项：
，
与
共线，
A 错误；
对于B，由
，B 错误；
对于C，两向量不存在倍数关系，所以C 正确，
对于D，
，
与
共线，
D 错误；
故选：C.
10. （24-25 复旦附中高一下期中）在平行四边形
中，
是对角线
上靠近点
的三等分点，设
，
，则用
，
表示
为________
【答案】
【解析】
【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可.
【详解】
因为
是对角线
上靠近点
的三等分点，所以
，
则
．
故答案为：
.
11. （24-25 南汇中学高一下期中）在
中，点
在边
上，且
，设
，
，则
5
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【
详
解
】
，
，
，故选B.
考点03：平面向量的线性运算
12. （24-25 上师大附中闵行分校高一下期中）在平行四边形
中，
为
边上靠近点
的三等分
点，
，则
_____.
【答案】
【分析】根据平面向量共线定理及加法
三角形法则得到向量
的表达式，再由平面向量基本定理得到
的值，即可求出
的值.
【详解】
如图，在平行四边形
中，
因为
为
边上靠近点
的三等分点，
所以
，
所以
，
6
所以
，即
.
故答案为：
13. （2025 上海市育才中学高三三模）在
中，
，
，
平分线交BC 于
点D，若
，则
______．
【答案】
##
【分析】根据给定条件，探求出线段
与
的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答.
【详解】在
中，
，
，则
，又
平分
，即有
，
因此
，即有
，
，整理得
，
而
，且
不共线，于是
，
所以
.
故答案为：
考点04：平面向量的数量积
14.（2025 杨浦区高三5 月质量检测）
中，
，若
在
上的投影为
．则
7
______．
【答案】
【分析】作
，根据题意，求得
，得到
，结合
，即可求
解.
【详解】如图所示，过点
作
于点
，
因为向量
在
上的投影为
，可得
，所以
，
又因
，则
.
故答案为：
.
15. （2025 届上海市大同中学高三三模）已知非零向量
在向量
上的投影向量为
，
，则
________
【答案】
【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的运算性质可求出
的值，再利用平面向量数量积的
运算性质可求出
的值.
【详解】因为非零向量
在向量
上的投影向量为
，
所以
，故
，
所以
.
8
故答案为：
.
16.已知平面向量
，
，
满足
与
的夹角为锐角，
，
，
，且
的最小值为，则向量
的取值范围是__________
【答案】
17. （2024-25 长宁区高三监测练习试卷）已知
是单位圆上任意不同三点，则
的取值范围
是_____.
【答案】
【解析】
【分析】由
等价于
在
上的投影，故可结合投影性质，得到当
与
反向共线时，
在
上的投影取最小，当
与
同向共线时，
在
上的投影取最大，再结合
的范围，即可
得到相应投影的最小、最大值，即可得解.
【详解】
等价于
在
上的投影，
如图1，在单位圆圆
上任取两点
、
，
则对任意的
，当
与
反向共线时，
在
上的投影取最小，
作
于点
，设
，取
中点
，有
，
则
，
，则
，
由
，故
；
9
如图2，在单位圆圆
上任取两点
、
，
则对任意的
，当
与
同向共线时，
在
上的投影取最大，
作
于点
，设
，取
中点
，有
，
则
，
，则
，
由
，故
；
综上所述，
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到
表示
在
上的投影，从而数形结合，借助投影
性质解题.
18.（2026 届嘉定区高三一模）已知向量
为直线
上的一个动点，
当
取最小值时,向量
的坐标为_____.
10
【答案】
【解析】
为直线
上的一个动点
与
共线,设
,
时，
取最小值，此时
.
19.（2026 届高三闵行区一模）若点
是边长为1 的正三角形
外接圆上的一点，则
的最大值
为_____.
【解析】如图所示：以
为原点建立平面直角坐标系：
11
所以
所以当
时，
考点05：平面向量的共线问题
20. 已知向量
，若
，则
_________．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于
的方程，解方程即可求得实数
的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：
，
解方程可得：
.
故答案为：
.
21.（2026 届高三浦东新区一模）已知向量
，若
，则实数
的值为_____.
【解析】因为
所以
22. （24-25 南汇中学高一下期中）已知向量
与
不平行，
与
平行，则实数
__________．
【答案】
##
【分析】根据向量平行可列出方程组，即可求解.
【详解】由于
与
平行，故设
，
即
，而向量
与
不平行，
12
故
，解得
，
故答案为：
23. （24-25 大同中学高一下期中）已知
，
，
，若
，
，
三点共线，则
________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三点共线转化为向量共线，结合向量共线定理化简可得解.
【详解】已知
，
，
则
，
因为
，
，
三点共线，所以
与
共线，
则
，
即
，
所以
，
故答案为：
.
考点06：平面向量的垂直问题
24．（2026 届高三杨浦区一模）已知向量
，
，且
，则实数
.
【解析】因为
所以
25. （24-25 上师大附中闵行分校高一下期中）已知向量
满足
，
，
与
的夹角为
，
且
，则
的值为（ ）
A
B.
C. 1
D. 2
【答案】A
13
【解析】
【分析】根据
，结合数量积的运算律计算可得结果.
【详解】由
，得
，
∴
，
∴
，即
，
∴
．
故选：A．
26.（2026 届高三松江区一模）已知平面内两个非零向量
相互垂直,
,若
,
则实数
的值为_____.
【答案】
【解析】由题知：
27. （24-25 南汇中学高一下期中）在
中，若
，则
的最大值是
____________．
【答案】
【解析】
14
【分析】由向量垂直可得
，利用数量积的运算律及正余弦定理化简可得
，再由余弦定理及基本不等式求出
的最小值，从而求出
的最大值.
【详解】由题意，
，则
，
，即
，
，所以
，
化简可得：
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
在
中，
为锐角，要使
最大，则
取最小值，
，
，
的最大值为
.
故答案为：
.
考点07：平面向量的模长问题
28. （24-25 南汇中学高一下期中）已知
，
，
，则
__________．
15
【答案】
【解析】
【分析】利用
结合已知条件求解即可.
【详解】因为
，
，
，
所以
.
故答案为：
29. （2025 进才中学高三模拟）已知向量
满足
，且
与
夹角的余弦值为
，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积求模即可.
【详解】
．
故答案为:
.
30. （2025 上海市崇明中学高三三模）已知向量
，
满足
，
，
，则
等
于____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积的运算律和坐标运算求解.
【详解】因为向量
，
满足
，
，
，
所以
，解得
，
16
所以
，
故答案为:
.
31.若
，
是两个互相垂直的单位向量，且向量满足
，则
的取值范围是_______
【分析】取
，引入向量坐标后处理表达式，找出向量满足的关系，最后用模长公式结合
二次函数的性质求
的范围
【详解】根据
垂直可得
，不妨取
，设
，
于是
，
，并取
，注意到
.
于是
.
故
点在线段
上运动，由直线的截距式方程可得，直线
方程为：
，即
，
设
，
，则
，
，故
，
设
，
，则
；
由
，
，于是
时，
，
于是
.
故选：A
17
32.（2026 届高三奉贤区一模）在平面中,
和
是互相垂直的单位向量,向量
满足
,向量
满足
，则
的最大值是_____.
【答案】16
【解析】设
表示以
为圆心，半径为的圆；
以长轴为
，焦距为
的椭圆；
表示以
为圆心，半径为的圆到椭圆的距离
所以
33. （2026 届高三崇明区一模）在平面直角坐标系
中,
. 设
，则
的最小值是 .
【答案】
【解析】设
的中点为
,所以
,
18
由题意可知三角形
为等边三角形且
，故
，
当且仅当
三点共线如图所示
34. （2026 届高三金山区一模）已知非零向量
、
的夹角为
，若
，
，则
的最小值为_____.
【答案】3
【解析】设
,因为
,故
；
因为
，所以
，所以
,由图可知最小值为3.
考点08：平面向量的夹角问题
35. （2024 上海市曹杨第二中学高三三模）已知向量
、
满足
，
，
，则
________．
【答案】
19
【解析】
【分析】由
，根据数量积的运算律即可求解.
【详解】由题意有
，
解得
，所以
.
故答案为：
.
36. （2025 复旦大学附属中学高三期末）已知
，
为单位向量，且
在
上的投影向量为
，则
与
的夹角为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设
与
的夹角为
，则
，利用投影向量的定义可得出
的值，即可得出角
的值，
即为所求.
【详解】设
与
的夹角为
，则
，
因为
在
上的投影向量为
，可得
，
故
，即
与
的夹角为
.
故答案为：
.
37. （2025 七宝中学高三三模）已知两个单位向量
满足
则
的夹角为______
【答案】
【解析】
20
【分析】
两边平方，结合数量积运算公式得到方程，求出夹角.
【详解】
两边平方得
，
设
的夹角为
，
即
，
因为
为单位向量，所以
，解得
，
因为
，所以
.
故答案为：
38.（2025 行知中学高三6 月模拟） 设两向量
、
，满足
，
，它们的夹角为60°，若向量
与向量
夹角为钝角，则实数t 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】向量
与向量
夹角为钝角，则它们的数量积为负，去除方向相反的情形即可．
【详解】由题意
，
与向量
的夹角为钝角，则
，
即
，解得
，
又由
，得
，∴所求的范围是
．
故答案为：
．
21
【点睛】本题考查向量的夹角与数量积的关系，在用两向量数量积为负，表示向量夹角为钝角时，要注意
去除两向量共线的情形．
考点09：平面向量结论辨析
39. （2025 上海市育才中学高三三模）设
是两个非零向量
的夹角，若对任意实数t，
的最小值
为1．命题p：若
确定，则
唯一确定；命题q：若
确定，则
唯一确定．下列说法正确的是（ ）
A. 命题p 是真命题，命题q 是假命题
B. 命题p 是假命题，命题q 是真命题
C. 命题p 和命题q 都是真命题
D. 命题p 和命题q 都是假命题
【答案】B
【分析】由向量
的最小值为1，分析可得
，然后判断命题真假即可.
【详解】因为
，
所以当
时，
取得最小值.
所以
，
化简得
所以若
确定，则
唯一确定，若
确定，则
不唯一.
所以命题p 为假命题，命题q 为真命题.
故选：B.
40. （2025 复旦大学附属中学高三6 月检测）已知
是平面内两个非零向量，那么“
”是“存在
，使得
”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
22
【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断.
【详解】若
，则存在唯一的实数
，使得
，
故
，
而
，
存在
使得
成立，
所以“
”是“存在
，使得
’的充分条件，
若
且
，则
与
方向相同，
故此时
，所以“
”是“存在存在
，使得
”的必要条件，
故“
”是“存在
，使得
”的充分必要条件.
故选：C.
1. （2025 上海秋季高考）已知
，
是平面内三个不同的单位向量．若
，则
的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得
，再根据数量积关系设出
坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模
范围可得.
23
【详解】若
，则
，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量
两两垂直，显然不成立；
故
.
不妨设
，则
，
不妨设
，
，
则
，则
，
则
，
由
，
，
则
，
故
.
故答案为：
.
2．（2025 全国二卷高考）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
24
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
4．（2025 北京高考）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
，求出
，进而可以用向量
表示出
，即可解出．
【详解】因为
，
，
由
平方可得，
，所以
．
，
，
所以，
，
又
，即
，
25
所以
，即
，
故选：D.
5．（2024 上海高考）已知
，且
，则
的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，
，解得
．
故答案为：15．
6．（2024 北京高考）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知
等价于
，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为
，可得
，即
，
可知
等价于
，
若
或
，可得
，即
，可知必要性成立；
若
，即
，无法得出
或
，
例如
，满足
，但
且
，可知充分性不成立；
综上所述，“
”是“
或
”的必要不充分条件.
故选：B.
7．（2024 全国甲卷高考）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
26
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
8．（2024 新课标Ⅱ卷高考）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】由
得
，结合
，得
，由此即可得解.
【详解】因为
，所以
，即
，
又因为
，
所以
，
从而
.
故选：B.
9．（2024 新课标Ⅰ卷高考）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求
的值.
【详解】因为
，所以
，
27
所以
即
，故
，
故选：D.
10．（2023 上海高考）已知
,
，则
【答案】4
【分析】
由平面向量数量积的坐标运算求解.
【详解】由题意得
故答案为：4
11．（2023 新课标Ⅱ卷高考）已知向量
，
满足
，
，则
．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令
，结合数量积的运算律
运算求解.
【详解】法一：因为
，即
，
则
，整理得
，
又因为
，即
，
则
，所以
.
法二：设
，则
，
由题意可得：
，则
，
整理得：
，即
.
故答案为：
.
12．（2023 北京高考）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
28
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量
满足
，
所以
.
故选：B
13．（2023 全国乙卷高考）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【分析】方法一：以
为基底向量表示
，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求
，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以
为基底向量，可知
，
则
，
所以
；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，可得
，
所以
；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
.
故选：B.
29
14．（2023 全国甲卷高考）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得
，从而利用平面向量余弦
的运算公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
，
所以
.
故选：B.
15．（2023 新课标Ⅰ卷高考）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出
，
，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为
，所以
，
，
30
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
16．【2022 年上海市高考数学第11 题】若平面向量| |＝| |＝| |＝λ，且满足•
0，•
2，•
1，则
λ＝ ．
【答案】
【解答】解：由题意，有•
0，则
，设
θ，
⇒
则
得，tanθ
，
由同角三角函数的基本关系得：cosθ
，
则
| || |cosθ
2，
λ2
，
则
．
故答案为：
．
17．【2021 年上海市高考数学第4 题】如图正方形ABCD 的边长为3，求
•
．
31
【答案】9
【解答】解：由数量积的定义，可得
，
因为
，所以
9．
故答案为：9．
18.设向量
，则
在
上的数量投影为_____.
【解析】
在
上的数量投影
32
