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专题06 函数的单调性与最值
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题06 函数的单调性与最值
命题解读
命题预测
复习建议
函数的单调性是函数的一个
重要性质，在历年的高考
中，单调性都有考察，这部
分往往与导数去相联系，单
纯的用定义证明函数单调性
的题目几乎没有。对于最值
问题往往与函数单调性相联
系，在闭区间上的最值是出
现最多的，而在导数极值最
值那部分考察的比较多。
预计2024 年的高考函数的单
调性出题还是以选择或者填
空为主，主要是单调性的应
用，应用单调性解不等式，
判断大小，求解闭区间上的
最值等问题。
集合复习策略：
1.理解函数单调性的定义；
2.掌握函数单调性的应用；
3.会利用函数的单调性求参
数的范围。
→➊考点精析←
一. 函数单调性的定义
(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、
x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函
数(或减函数)．
(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有
(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，
若函数为减函数则称该区间为减区间．
二. 函数单调性的图像特征
对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递
增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．
三. 复合函数的单调性
对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)
上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具
有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
四. 函数单调性的常用结论
(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，>0⇔f(x)在D 上是增函数；
<0⇔f(x)在D 上是减函数．
(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，)．
(3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”
五.常用结论
1．若函数f(x)，g(x)在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质：
2
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(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异
减”．
2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
→➋真题精讲←
1. （2023 新高考Ⅰ卷·4）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围
是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. （2023 新高考Ⅱ卷·6）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最
小值为（ ）．
A.
B. e
C.
D.
3.（2023 新高考Ⅰ卷·15） 已知函数
在区间
有且仅有3 个
零点，则
的取值范围是________．
4. （2023 全国理科乙卷·6）已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
3
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5. （全国理科乙卷·11）设
，若函数
在
上单调递
增，则a 的取值范围是______.
6. （2023 全国文科乙卷·8）函数
存在3 个零点，则
的取值范围是（
）
A
B.
C.
D.
7.（2023 全国文科乙卷·10） 已知函数
在区间
单调递增，直
线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
8. （2023 新高考Ⅰ卷）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）证明：当
时，
．
9.（2023 全国理科甲卷） 已知函数
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求a 的取值范围．
4
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10. （2023 全国文科甲卷）已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
，求
的取值范围．
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
．若对任意
有
，
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
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2．（2023·江苏·统考二模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数
在
上存在零点，且在
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线
与函数
的图象恰有两个切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大
的两个值分别为
和
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数
．设s 为正数，则在
中（ ）
A．
不可能同时大于其它两个
B．
可能同时小于其它两个
C．三者不可能同时相等
D．至少有一个小于
6．（2023·江苏·统考二模）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数，也是周期函数
B．
的最大值为
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C．
的图像关于直线
对称
D．
在
上单调递增
7．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知函数
，则下列
说法中正确的是（ ）
A．
B．
的最大值是
C．
在
上单调递增
D．若函数
在区间
上恰有
个极大值点，则的取值范围为
8．（2023·广东·统考一模）已知函数
.
(1)求
的极值；
(2)当
时，
，求实数
的取值范围.
9.（2023·广东深圳·统考一模）已知函数
，其中
且
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
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(2)若存在实数
，使得
，则称
为函数
的“不动点”求函数
的“不
动点”的个数；
(3)若关于x 的方程
有两个相异的实数根，求a 的取值范围．
10．（2023·广东惠州·统考一模）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若函数
恒成立，求实数a 的取值范围．
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→➍专题训练←
1．（2023·安徽黄山·统考三模）定义在
上的奇函数
，满足对
且
，都有
成立，则当不等式
成立时，
的
最小值为________.
2．（2023·河南·校联考三模）已知函数
，若
，则
的取值范围是__________.
3．（2023·河南·校联考三模）已知函数
.若
.则
的取值
范围是__________.
4．（2023·全国·校联考三模）已知函数
在
上的最小值为
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知函数
，则
_____；若
，不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是____________．
6．（2023·广东珠海·高三联考模拟考试）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若不等式
恒成立，求实数a 的取值范围.
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7．（2023·广东揭阳·高三联考模拟考试）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，证明：函数
有且仅有两个零点
，且
．
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