专题09
幂函数压轴题（学生版）
1.幂函数的定义
函数_________叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．
2.常见的5 种幂函数的图象
3.幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都经过点________．
(2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上________．
(3)如果α<0，那么幂函数在区间(0，＋∞)上_______．在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象
在y 轴右侧无限地逼近y 轴，当x 趋向于正无穷时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．
(4)当α为奇数时，幂函数为_______，当α为偶数时，幂函数为________．
题型一幂函数的定义、图象与性质
例1.(1)给定一组函数解析式：
①
3
4
y
x
；②
2
3
y
x
；③
3
2
y
x
；④
2
3
y
x
；⑤
3
2
y
x
；⑥
1
3
y
x
；⑦
1
3
y
x
．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（
）
排列特点：在第一象限内，在直线x＝1 右侧，其指数越大，
图象越高，即“指大图高”
图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不
会出现在第四象限，图象若与坐标轴有交点，则一定交于
坐标原点
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A．⑥③④②⑦①⑤
B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤
D．⑥④③②⑦⑤①
(2).已知幂函数
p
q
y
x
（
,
Z
p q
且
,p q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（
）
A．p，q 均为奇数，且
0
p
q
B．q 为偶数，p 为奇数，且
0
p
q
C．q 为奇数，p 为偶数，且
0
p
q
D．q 为奇数，p 为偶数，且
0
p
q
(3).下列关于幂函数y
x
的命题中正确的有（
）
A．幂函数图象都通过点(0,0),(1,1)
B．当幂指数
1,3, 1
时，幂函数y
x
的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数
1,3, 1
时，幂函数y
x
是增函数
D．若
0
，则函数图象不通过点(0,0),(1,1)
练习题
(1).已知幂函数
f
x 的图象为曲线C ，有下列四个性质：
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①
f
x 为偶函数；
②曲线C 不过原点O；
③曲线C 在第一象限呈上升趋势；
④当
1
x
时，
1
f
x .
写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数
f
x
.
(2).设幂函数
f
x 的图象过点
1
2, 8
，则：①
f
x 的定义域为R ；②
f
x 是奇函数；③
f
x 是减函数；④
当
1
2
0
x
x
时，
1
2
1
2
2
2
f x
f x
x
x
f
其中正确的有
（多选、错选、漏选均不得分）．
题型二幂函数性质的应用
例2.(1)已知幂函数
2
2
4
2
1
m
m
f
x
m
x
在(
)
0,+¥
上单调递增，函数
1
2
,
1,5
x
g x
a
x
时，总存在
2
1,5
x
使得
1
2
f
x
g x
，则a 的取值范围是（）
A．
B．
7
1
a
a
或
C．
7
1
a
a
或
D．
1,7
2．已知函数
3
2(
)
x x
a
f
x
x
x
a
，若函数
( )
f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（
）
A．( 1,0)
B．( 1,0]
C．[ 1,0)
D．[ 1,0]
3．定义新运算“”如下：
2
,
,
a a b
a
b
b
a
b
，已知函数
( )
(1
)
2(2
)(
[ 2,2])
f x
x x
x x
，则满足
(
2)
(2 )
f m
f
m
的实数m 的取值范围是（
）
A．1 ,
2
B．1 2
2
C．[0.1]
D．[ 1.4]
(4).已知幂函数
2
2
2
3
1
m
m
f
x
m
m
x
在
0,
上为增函数，
2
2
g x
x
x
t
，
2
2
x
x
h x
.
(1)求m 的值，并确定
f
x 的解析式；
(2)对于任意
1,2
x
，都存在
1
2
,
1,2
x x
，使得
1
f x
f x
，
2
g x
g x
，若
1
2
f x
g x
，求实数
t 的值；
(3)若
2
2
0
xh
x
h x
对于一切
1,2
x
成成立，求实数的取值范围.
练习题
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(1).若函数
2
2
3
y
ax
ax
的值域为[0,
)
，则a 的取值范围是（
）
A．
3,
B．
3,
C．
,0
3,
D．
,0
3,
(2).已知幂函数
2 2
3
*
N
m
m
y
x
m
的图象关于y 轴对称，且在
0,
上单调递减，则满足
3
3
1
3
2
m
m
a
a
的a 的取值范围为（
）
A．
0,
B．
2 ,
3
C．
3
0, 2
D．
2 3
, 1
,
3 2
(3).已知幂函数
a
f x
x
的图象经过点
1 ,
2
2
A
.
(1)求实数a 的值，并用定义法证明
f
x 在区间
0,
内是减函数.
(2)函数
g x 是定义在R 上的偶函数，当
0
x
时，
g x
f
x
，求满足
1
5
g
m
时实数m 的取值范
围.
题型三能力提升创新题
1.已知x，y R ，满足
2023
5
1
2
x
x
，
2023
5
2
1
2
2
y
y
，则
2
x
y
（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
2.已知
ia
i
y
f
x
x
，
1,2
2019
i
为2019 个不同的幂函数，有下列命题：
①函数
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
必过定点
1,2019 ；
②函数
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
可能过点
1,2018
；
③若
1
2
2019
2
a
a
a
，则函数
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
为偶函数；
④对于任意的一组数
1a 、
2a 、…、
2019
a
，一定存在各不相同的2019 个数1i 、2i 、…、
2019
1 2
2019
i
、、
使
得
1
2
2019
i
i
i
y
f
f
f
x
在
0,
上为增函数.其中真命题的个数为
3.已知幂函数
2
3
1
2
2
2
3
3
p
p
f x
p
p
x
是其定义域上的增函数．
(1)求函数
f
x 的解析式；
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(2)若函数
h x
x
af x
，
1,9
x
，是否存在实数a 使得
h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若
不存在，说明理由；
(3)若函数
3
g x
b
f x
，是否存在实数
(
,
)
m n m
n
，使函数
g x 在
,
m n 上的值域为
,
m n ？若存在，
求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．
4.设函数
( )
f x 的定义域为D，如果存在[ , ]
a b
D
，使得
( )
f x 在[ , ]
a b 上的值域也为[ , ]
a b ，则称
( )
f x 为“A 佳”
函数．已知幂函数
2
1
( )
2
5
3
p
f x
p
p
x
在(0,
)
内是单调增函数．
(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)若函数
2
( )
( )
( ),
[1,4]
g x
f
x
mf x
x
，当( )
g x 的最小值是0 时，求m 的值；
(3)若函数( )
(
2)
h x
n
f x
，且( )
h x 是“A 佳”函数，试求出实数n 的取值范围．
5.若函数
f
x 满足：存在整数
,
m n ，使得关于x 的不等式
m
f
x
n
的解集恰为
,
m n （m
n
），则称函
数
f
x 为P 函数.
(1)若函数
2
f x
x
为P 函数，请直接写出
,
m n （不要过程）；
(2)判断函数
1 ,
0,
f x
x
x
是否为P 函数，并说明理由；
(3)是否存在实数a 使得函数
2
1
f x
x
ax
a
为P 函数，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理
由.
1.已知函数
f
x 是定义在R 上的偶函数且
1
3
f
x
f
x
，当
0,2
x
时，
3
1
3
1
x
f x
x
x
，若
3
2023
56
,
,
2
5
3
a
f
b
f
c
f
，则（
）
A．a
b
c
B．c
a
b
C．a
c
b
D．b
c
a
2．下列比较大小中正确的是（
）
A．
0.5
0.5
3
2
2
3
B．
1
1
2
3
3
5
C．
3
3
7
7
( 2.1)
( 2.2)
D．
4
4
3
3
1
1
2
3
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3．已知函数
3
5
5
( )
3
f x
x
，若当
0,
x
时，
( )
2 3
0
a
f x
f
x
恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
0,
B．
,2
C．
3,
D．
,1
4.已知幂函数
( )
(
)
f x
x
R
的图象经过点1 ,4
2
，且
(
1)
(3)
f a
f
，则a 的取值范围为(
)
A．(
,2)
B．(2,
)
C．(
, 4)
(2,
)
D．( 4,2)
5.若幂函数
2
25
2
9
m
m
f
x
x
的图象关于y 轴对称，
f
x 解析式的幂的指数为整数,
f
x 在
,0
上单调递
减，则m （
）
A．1
9
B．1
9 或49
9
C．
1
3
D．
1
3
或7
3
6.已知函数
2
2
1
1
m
m
f x
m
m
x
是幂函数，且在(0,
)
上为增函数，若,
,
a b
R
且
0,
0,
a
b
ab
则
f a
f b
的值（
）
A．恒等于0
B．恒小于0
C．恒大于0
D．无法判断
7．已知幂函数
2
2
2
5
0
n
f x
n
n
x
n
．
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)若函数
2
1
2
5
g x
mf
x
x
，
5 ,13
2
x
，是否存在实数m 使得
g x 的最小值为13
，若存在，求
出实数m 的值．
8.已知幂函数
2
3
1
2
2
2
3
3
p
p
f x
p
p
x
满足
2
4
f
f
．
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)若函数
2
,
1,9
g x
f
x
mf x
x
，是否存在实数m 使得
g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；
若不存在，说明理由；
(3)若函数
3
h x
n
f x
，是否存在实数
,a b a
b
，使函数
h x 在
,a b 上的值域为
,a b ？若存在，
求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由．
10．已知幂函数
2
3
1
2
2
2
3
3
p
p
f x
p
p
x
，满足
2
4
f
f
.
(1)求函数
f
x 的解析式.
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(2)若函数
2
g x
f
x
mf x
，
1,9
x
，是否存在实数m 使得
g x 的最小值为0？
(3)若函数
3
h x
n
f x
，是否存在实数
,a b a
b
，使函数
h x 在
,a b 上的值域为
,a b ？若存在，
求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由.
11.已知幂函数
2
1
( )
2
2
m
f x
m
m
x
为偶函数.
（1）求
( )
f x 的解析式；
（2）若函数( )
( )
3
0
h x
f x
ax
a
在区间[ 2,2]
上恒成立，求实数a 的取值范围.
12.已知幂函数
2
4
3
t
f x
t
t x
在区间(0,
)
上单调递减，
（1）求幂函数的解析式及定义域
（2）若函数( )
2x
g x
k
，满足对任意的
1
[1,16)
x
时，总存在
2
(1,5)
x
使得
1
2
f x
g x
，求k 的取值范
围.
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