专题09
幂函数压轴题（解析版）
1.幂函数的定义
函数
x
y
叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．
2.常见的5 种幂函数的图象
3.幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都经过点
）
，
（1
1
．
(2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．
(3)如果α<0，那么幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象
在y 轴右侧无限地逼近y 轴，当x 趋向于正无穷时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．
(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．
题型一幂函数的定义、图象与性质
例1.(1)给定一组函数解析式：
①
3
4
y
x
；②
2
3
y
x
；③
3
2
y
x
；④
2
3
y
x
；⑤
3
2
y
x
；⑥
1
3
y
x
；⑦
1
3
y
x
．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（
）
排列特点：在第一象限内，在直线x＝1 右侧，其指数越大，
图象越高，即“指大图高”
图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不
会出现在第四象限，图象若与坐标轴有交点，则一定交于
坐标原点
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A．⑥③④②⑦①⑤
B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤
D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故
1
3
y
x
满足；
图象（2）关于y 轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故
2
3
y
x
满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故
3
2
y
x
满足；
图象（4）关于y 轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故
2
3
y
x
满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故
1
3
y
x
满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随x 增大递减，故
3
4
y
x
满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随x 增大递增，故
3
2
y
x
满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
(2).已知幂函数
p
q
y
x
（
,
Z
p q
且
,p q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（
）
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A．p，q 均为奇数，且
0
p
q
B．q 为偶数，p 为奇数，且
0
p
q
C．q 为奇数，p 为偶数，且
0
p
q
D．q 为奇数，p 为偶数，且
0
p
q
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出
0
p
q
；根据函数的奇偶性及p ，q互质可判断出p 为偶数，q为奇数.
【详解】因为函数
p
q
y
x
的定义域为(
,0)
(0,
)
，且在(0,
)
上单调递减，
所以p
q 0，
因为函数
p
q
y
x
的图象关于y 轴对称，
所以函数
p
q
y
x
为偶函数，即p 为偶数，
又p、q 互质，所以q 为奇数，
所以选项D 正确，
故选：D.
(3).下列关于幂函数y
x
的命题中正确的有（
）
A．幂函数图象都通过点(0,0),(1,1)
B．当幂指数
1,3, 1
时，幂函数y
x
的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数
1,3, 1
时，幂函数y
x
是增函数
D．若
0
，则函数图象不通过点(0,0),(1,1)
【答案】B
【分析】根据幂函数的性质，结合取值的情况，一一判断各选项的正误，可得答案.
【详解】对于A，当
0
时，幂函数图象不通过点(0,0) ，A 错误；
对于B，幂指数
1,3, 1
时，幂函数分别为
3
1
,
,
y
x y
x
y
x
，三者皆为奇函数，
图象都经过第一、三象限，故B 正确；
对于C，当
1
时，幂函数
1
y
x
在(
,0),(0,
)
上皆单调递减，C 错误；
对于D，若
0
，则函数图象不通过点(0,0) ，通过(1,1) 点，D 错误，
故选：B
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练习题
(1).已知幂函数
f
x 的图象为曲线C ，有下列四个性质：
①
f
x 为偶函数；
②曲线C 不过原点O；
③曲线C 在第一象限呈上升趋势；
④当
1
x
时，
1
f
x .
写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数
f
x
.
【答案】
2
f x
x
【分析】根据幂函数的性质可得函数只能同时满足性质①③④，可取
2
f x
x
，证明即可.
【详解】解：设幂函数的解析式为
f
x
x
，
若曲线C 不过原点O，则
0
，
此时函数
f
x 在
0,
，故②不成立，
则当
1
x
时，
1
1
f x
f
，故③不成立，
所以幂函数不能满足②性质，
不妨取
2
f x
x
，
函数
2
f x
x
为偶函数，曲线C 在第一象限呈上升趋势，当
1
x
时，
1
f
x ，
所以幂函数
2
f x
x
满足性质①③④.
故答案为：
2
f x
x
.（答案不唯一）
(2).设幂函数
f
x 的图象过点
1
2, 8
，则：①
f
x 的定义域为R ；②
f
x 是奇函数；③
f
x 是减函数；④
当
1
2
0
x
x
时，
1
2
1
2
2
2
f x
f x
x
x
f
其中正确的有
（多选、错选、漏选均不得分）．
【答案】②④
【分析】根据待定系数法求出幂函数
f
x ，由幂函数的性质，即可判断各项的真假．
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【详解】设
a
f x
x
，因为函数
f
x 的图象过点
1
2, 8
，所以
3
1
2
2
8
a
，解得
3
a ，
根据幂函数
3
f x
x
的图象，可知①不正确，②正确，③说法有误，应该是
f
x 在
,0
上是减函数，
在
0,
上是减函数，但在整个定义域上不是减函数；
对于④，设点
1
1
,
A x
f x
，
2
2
,
B x
f x
，点
2
1
1
2
,
2
2
f x
x
x
f x
C
为线段AB 的中点，点
1
2
1
2
,
2
2
x
x
x
D
f
x
，由图可知，点D 在点C 的下方，所以
1
2
1
2
2
2
f x
f x
x
x
f
．
故答案为②④．
题型二幂函数性质的应用
例2.(1)已知幂函数
2
2
4
2
1
m
m
f
x
m
x
在(
)
0,+¥
上单调递增，函数
1
2
,
1,5
x
g x
a
x
时，总存在
2
1,5
x
使得
1
2
f
x
g x
，则a 的取值范围是（）
A．
B．
7
1
a
a
或
C．
7
1
a
a
或
D．
1,7
【答案】D
【详解】试题分析：由已知
2
1
1
m
，得
0
m
或
2
m
．当
0
m
时，
2
y
x
=
，当
2
m
时，
2
y
x-
=
．又
y
f x
在
0,单调递增，∴
2
y
x
=
．∴
f
x 在
1,5 上的值域为
1,25 ，
g x 在
1,5 上的值域为
2
,32
a
a
，
∴
2
1
{32
25
a
a
，∴
1
{
7
a
a
，即1
7
a
．故选D.
考点：1、幂函数的定义和性质；2、函数的单调性及值域.
【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，函数的单调性及函数的值域的求法，属于难题.求函数值
域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完
全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分
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析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基
本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调
区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，
本题主要是利用方法④求出两函数值域后再根据题意解答的.
2．已知函数
3
2(
)
x x
a
f
x
x
x
a
，若函数
( )
f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（
）
A．( 1,0)
B．( 1,0]
C．[ 1,0)
D．[ 1,0]
【答案】D
【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.
【详解】函数
3
y
x
在[ ,
)
a 上单调递减，其函数值集合为
3
(
,
]
a
，
当
0
a
时，
2
y
x
=
的取值集合为[0,
)
，
f x 的值域
3
(
,
]
[0,
)
R
a
，不符合题意，
当
0
a
时，函数
2
y
x
=
在(
, )
a
上单调递减，其函数值集合为
2
(
,
)
a
，
因函数
( )
f x 的值域为R ，则有
2
3 a
a
，解得1
0
a
，
所以实数a 的取值范围为[ 1,0]
.
故选：D
3．定义新运算“”如下：
2
,
,
a a b
a
b
b
a
b
，已知函数
( )
(1
)
2(2
)(
[ 2,2])
f x
x x
x x
，则满足
(
2)
(2 )
f m
f
m
的实数m 的取值范围是（
）
A．1 ,
2
B．1 2
2
C．[0.1]
D．[ 1.4]
【答案】C
【解析】根据新定义，得到
( )
f x 的表达式，判断函数
( )
f x 在定义域的单调性，可得结果.
【详解】当2
1
x
时，
( )
f x 1·
2 2
4
x
x
；
当1
2
x
时，
2
3
( )
2 2
4
f x
x
x
x
；
所以
3
4, 2
1
( )
4,1
2
x
x
f x
x
x
，
易知，
( )
4
f x
x
在[ 2.1]
单调递增，
3
( )
4
f x
x
在(1,2]单调递增，
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且当
1
2
x
时，
max
( )
3
f x
，
当1
2
x
时，
max
( )
3
f x
，
则
( )
f x 在[ 2.2]
上单调递增，
所以
(
2)
(2 )
f m
f
m
得
2
2
2
2
2
2
2
2
m
m
m
m
，解得0
1
m
.
故选：C
(4).已知幂函数
2
2
2
3
1
m
m
f
x
m
m
x
在
0,
上为增函数，
2
2
g x
x
x
t
，
2
2
x
x
h x
.
(1)求m 的值，并确定
f
x 的解析式；
(2)对于任意
1,2
x
，都存在
1
2
,
1,2
x x
，使得
1
f x
f x
，
2
g x
g x
，若
1
2
f x
g x
，求实数t 的
值；
(3)若
2
2
0
xh
x
h x
对于一切
1,2
x
成成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
1
m ，
2
f x
x
(2)
3
t
(3)
5,
【分析】（1）根据幂函数定义求解；
（2）求出
( )
f x 与( )
g x 的最大值，由它们相等可得；
（3）不等式分离参数转化为求新函数的最值．
【详解】（1）由幂函数的定义可知：
2
1
1
m
m
即
2
2
0
m
m
，
解得：
2
m ，或
1
m ，
∵
f
x 在
0,
上为增函数，
∴
2
2
3
0
m
m
，解得
3
1
2
m
，
综上：
1
m ，
∴
2
f x
x
；
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（2）
2
2
g x
x
x
t
，
据题意知，当
1,2
x
时，
max
1
f
x
f
x
，
max
2
g
x
g x
，
∵
2
f x
x
在区间
1,2 上单调递增，
∴
max
2
4
f
x
f
，即
1
4
f x
，
又∵
2
2
2
2
2
1
1
g x
x
x
t
x
x
t
x
t
，
∴函数
g x 的对称轴为
1
x ，
∴函数
y
g x
在区间
1,2 上单调递减，
∴
max
1
1
g
x
g
t
，即
2
1
g x
t
，
由
1
2
f x
g x
，得1
4
t
，
∴
3
t
；
（3）当
1,2
x
时，
2
2
0
xh
x
h x
等价于
2
2
2
2
2
2
2
0
x
x
x
x
x
即
2
4
2
1
2
1
x
x
，
∵
2
2
1
0
x
，∴
2
2
1
x
，
令
2
2
1
x
k x
，
1,2
x
，下面求
k x 的最大值：
∵
1,2
x
，∴
2
2
1
17, 5
x
，
∴
k x 的最大值为-5，
故的取值范围是
5,
.
【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题，常常利用分离参数法转化分离参数，构造新函数，然后求出
新函数的最值，从而得参数范围．
练习题
(1).若函数
2
2
3
y
ax
ax
的值域为[0,
)
，则a 的取值范围是（
）
A．
3,
B．
3,
C．
,0
3,
D．
,0
3,
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【答案】B
【分析】由题意，根据复合函数的值域得函数
2
2
3
f x
ax
ax
的最小值要小于等于0 ，进而结合二次函
数性质求解即可．
【详解】解：由题意：函数
2
2
3
y
ax
ax
是一个复合函数，要使值域为[0,
)
，
则函数
2
2
3
f x
ax
ax
的值域要包括0 ，即最小值要小于等于0 ．
当
0
a
时，显然不成立，
所以，当
0
a
时，则有
2
0
Δ
4
12
0
a
a
a
，解得
3
a
，
所以a 的取值范围是
3,.
故选：B．
(2).已知幂函数
2 2
3
*
N
m
m
y
x
m
的图象关于y 轴对称，且在
0,
上单调递减，则满足
3
3
1
3
2
m
m
a
a
的a 的取值范围为（
）
A．
0,
B．
2 ,
3
C．
3
0, 2
D．
2 3
, 1
,
3 2
【答案】D
【分析】由条件知
2
2
3
0
m
m
，
*
N
m
，可得m＝1．再利用函数
1
3
y
x
的单调性，分类讨论可解不等式.
【详解】幂函数
2 2
3
*
N
m
m
y
x
m
在
0,
上单调递减，故
2
2
3
0
m
m
，解得1
3
m
．又
*
N
m
，故m＝1
或2．
当m＝1 时，
4
y
x
的图象关于y 轴对称，满足题意；
当m＝2 时，
3
y
x
的图象不关于y 轴对称，舍去，故m＝1．
不等式化为
1
1
3
3
1
3
2
a
a
，
函数
1
3
y
x
在
,0
和
0,
上单调递减，
故
1
3
2
0
a
a
或0
1
3
2
a
a
或
1
0
3
2
a
a
，解得
1
a 或2
3
3
2
a
．
故应选：D．
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(3).已知幂函数
a
f x
x
的图象经过点
1 ,
2
2
A
.
(1)求实数a 的值，并用定义法证明
f
x 在区间
0,
内是减函数.
(2)函数
g x 是定义在R 上的偶函数，当
0
x
时，
g x
f
x
，求满足
1
5
g
m
时实数m 的取值范
围.
【答案】(1)
1
2
，证明见解析；
(2)
4
6
,
,
5
5
【分析】（1）将点的坐标代入即可求得a 的值，再利用单调性的定义证明即可；
（2）函数
g x 在
0,
内是减函数，结合函数单调性及奇偶性，解不等式即可得解.
(1)
由幂函数
a
f x
x
的图象经过点
1 ,
2
2
A
1
2
2
，解得
1
2
证明：任取
1
2
,
(0,
)
x x
，且
1
2
x
x
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
(
)
(
)
(
)
x
x
x
x
f x
f x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
2
1
0
x
x
，
1
2
0
x
x
，
1
2
1
2
(
)
0
x x
x
x
2
1
(
)
(
)
0
f x
f x
，即
2
1
(
)
( )
f x
f x
所以
f
x 在区间
0,
内是减函数.
(2)
当
0
x
时，
g x
f
x
，
f
x 在区间
0,
内是减函数，
所以
g x 在区间
0,
内是减函数，在区间
,0
内是增函数，
又
1
5
5
g
，所以
(1
)
5
g
m
等价于
1
(1
)
5
g
m
g
函数
g x 是定义在R 上的偶函数，则
1
1
5
m
，解得：
6
5
m
或
4
5
m
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所以实数m 的取值范围是
4
6
,
,
5
5
题型三能力提升创新题
1.已知x，y R ，满足
2023
5
1
2
x
x
，
2023
5
2
1
2
2
y
y
，则
2
x
y
（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】令
2023
f x
x
x
，xR ，易得
f
x 为奇函数且为增函数，再由
2023
5
1
2
x
x
和
2023
5
2
1
2
2
y
y
，变形得到
3
1
2
f
x
，
3
2
1
2
f
y
求解．
【详解】解：令
2023
f x
x
x
，xR ，则
2023
f
x
x
x
f
x
，
∴
f
x 为奇函数．
∵
2023
5
1
2
x
x
，
∴
2023
3
1
1
2
x
x
．
又∵
2023
5
2
1
2
2
y
y
，
∴
2023
3
2
1
2
1
2
y
y
，
∴
3
1
2
f
x
，
3
2
1
2
f
y
．
又∵
f
x 在R 上单调递增，
∴
1
2
1
0
x
y
，即
2
0
x
y
．
故选：B．
2.已知
ia
i
y
f
x
x
，
1,2
2019
i
为2019 个不同的幂函数，有下列命题：
①函数
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
必过定点
1,2019 ；
②函数
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
可能过点
1,2018
；
③若
1
2
2019
2
a
a
a
，则函数
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
为偶函数；
④对于任意的一组数
1a 、
2a 、…、
2019
a
，一定存在各不相同的2019 个数1i 、2i 、…、
2019
1 2
2019
i
、、
使
得
1
2
2019
i
i
i
y
f
f
f
x
在
0,
上为增函数.其中真命题的个数为
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】根据题目中的条件和幂函数的图像与性质，对四个命题分别进行判断，从而得到答案.
【详解】命题①，因为
ia
i
y
f
x
x
，
1,2
2019
i
为2019 个不同的幂函数，
且幂函数都经过点
1,1 ，
所以可得函数
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
的图像一定过点
1,2019 ，所以正确;
命题②，幂函数，若定义域中可取负数时，则幂函数图像一定过
1, 1
或者
1,1
ia
i
y
f
x
x
，
1,2
2019
i
为2019 个不同的幂函数，
若这2019 个不同的幂函数都过
1,1
，则函数
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
的图像过
1,2019
，
若这2019 个不同的幂函数有一个不过
1,1
，则这个幂函数必过
1, 1
，则函数
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
的图像过
1,2017
，
所以
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
的图像不可能过
1,2018
，所以错误；
命题③若
1
2
2019
2
a
a
a
，若
1
2
2019
,
,
,
a a
a
这2019 个数中出现分子为奇数，分母为偶数的分数，则函数
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
的定义域为
0,
，不关于原点对称，所以函数
1
2
2019
y
f
x
f
x
f
x
不
为偶函数，所以错误.
命题④因为任意的一组数
1a 、
2a 、…、2019
a
，一定存在各不相同的2019 个数1i 、2i 、…、
2019
1 2
2019
i
、、
，
则当
1
2
2019
,
,
,
a a
a
这2019 个数中出现0 时，
1
2
2019
i
i
i
y
f
f
f
x
1
2
2019
i
i
i
a a
a
a
1
，此时y 为常数函数，不是增函数，所以错误.
故选A.
3.已知幂函数
2
3
1
2
2
2
3
3
p
p
f x
p
p
x
是其定义域上的增函数．
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)若函数
h x
x
af x
，
1,9
x
，是否存在实数a 使得
h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不
存在，说明理由；
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(3)若函数
3
g x
b
f x
，是否存在实数
(
,
)
m n m
n
，使函数
g x 在
,
m n 上的值域为
,
m n ？若存在，
求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
f
x
x
(2)存在
1
a
(3)
9 , 2
4
【分析】（1）因为
2
3
1
2
2
2
3
3
p
p
f x
p
p
x
是幂函数，所以
2
3
3
1
p
p
；
（2）考虑函数中x 的次数，换元成二次函数解题；
（3）因为
g x 在定义域范围内为减函数，故有
( )
, ( )
g m
n g n
m
，相减后得
3
3
1
m
n
，进而
3
1
3
b
m
n
m
m
，换元成二次函数解题.
【详解】（1）因为
2
3
1
2
2
2
3
3
p
p
f x
p
p
x
是幂函数，所以
2
3
3
1
p
p
，
解得
1
p 或
2
p
当
1
p 时，
1
f x
x
，在
0,
为减函数，当
2
p
时，
f
x
x
，
在
0,
为增函数，所以
f
x
x
.
（2）
h x
x
af x
x
a x
，令t
x
，因为
1,9
x
，所以
1,3
t
，
则令
2
k t
t
at
，
1,3
t
，对称轴为
2
a
t
．
①当
1
2
a
，即
2
a 时，函数
k t 在
1,3 为增函数，
min
( )
1
1
0
k t
k
a
，解得
1
a ．
②当1
3
2
a
，即6
2
a
时，
2
min
( )
0
2
4
a
a
k t
k
，
解得
0
a
，不符合题意，舍去．
当
3
2
a
，即
6
a 时，函数
k t 在
1,3 为减函数，
min
( )
3
9
3
0
k t
k
a
，
解得
3
a ．不符合题意，舍去．
综上所述：存在
1
a 使得
h x 的最小值为0 .
（3）
3
3
g x
b
f x
b
x
，则
g x 在定义域范围内为减函数，
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若存在实数
(
,
)
m n m
n
，使函数
g x 在
,
m n 上的值域为
,
m n ，
则
3
3
g m
b
m
n
g n
b
n
m
①
②
，
②-①得：
3
3
3
3
m
n
m
n
m
n
，
所以
3
3
3
3
3
3
m
n
m
n
m
n
，
即
3
3
1
m
n
③．
将③代入②得：
3
1
3
b
m
n
m
m
．
令
3
t
m
，因为m
n
，0
3
3
3
3=1
m
m
m
n
，所以
1
0, 2
t
．
所以
2
2
1
9
2
2
4
b
t
t
t
，在区间
1
0, 2
t
单调递减，
所以
9
2
4
b
故存在实数
(
,
)
m n m
n
，使函数
g x 在
,
m n 上的值域为
,
m n ，
实数b 的取值范围且为
9 , 2
4
．
4.设函数
( )
f x 的定义域为D，如果存在[ , ]
a b
D
，使得
( )
f x 在[ , ]
a b 上的值域也为[ , ]
a b ，则称
( )
f x 为“A 佳”
函数．已知幂函数
2
1
( )
2
5
3
p
f x
p
p
x
在(0,
)
内是单调增函数．
(1)求函数
( )
f x 的解析式；
(2)若函数
2
( )
( )
( ),
[1,4]
g x
f
x
mf x
x
，当( )
g x 的最小值是0 时，求m 的值；
(3)若函数( )
(
2)
h x
n
f x
，且( )
h x 是“A 佳”函数，试求出实数n 的取值范围．
【答案】(1)
1
2
( )
f x
x
；
(2)-1；
(3)
5
(
, 1]
4
【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解p 的值；
（2）求得( )
g x
x
m x
，
[1
x
，4]，令t
x
，则函数( )
g x 转化为则
2
( )
G t
t
mt
，
[1
t ，2]，对m 分类
讨论，求出最小值，即可求得m 的值；
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（3）( )
(
2)
2
h x
n
f x
n
x
在[ 2
，
)
上单调递减，由“ A 佳”函数的概念可得
( )
2
( )
2
h a
n
a
b
h b
n
b
a
，
利用换元法可求得
2
1
5
(
2
)
2
4
n
a
，再利用换元法及二次函数的性质即可求解n 的取值范围．
【详解】（1）（1）因为幂函数
2
1
( )
(2
5
3)
p
f x
p
p
x
在(0,
)
内是单调增函数，
所以
2
2
5
3
1
1
0
p
p
p
，解得
1
2
p
，
所以函数
( )
f x 的解析式为
1
2
( )
f x
x
x
．
（2）
2
( )
( )
( )
g x
f
x
mf x
x
m x
，
[1
x
，4]，
令t
x
，则
[1
t ，2]，则
2
( )
G t
t
mt
，
[1
t ，2]，
当
1
2
m，即
2
m
时，
( )
G t 的最小值为G （1）
1
m
，
所以1
0
m
，解得
1
m ；
当1
2
2
m
，即4
2
m
时，
( )
G t 的最小值为
2
(
)
2
4
m
m
G
，
所以
2
0
4
m
，解得
0
m
（舍)；
当
2
2
m
，即
4
m
时，
( )
G t 的最小值为G （2）
4
2m
，
所以4
2
0
m
，解得
2
m （舍)．
综上，m 的值为1
．
（3）( )
(
2)
2
h x
n
f x
n
x
，
2
x
，则( )
h x 在[ 2
，
)
上单调递减，
因为( )
h x 是“ A 佳”函数，
所以
( )
2
( )
2
h a
n
a
b
h b
n
b
a
，
令
2
a
S
，
2
b
T
，
则
2
2
a
S
，
2
2
b
T
，所以
2
2
2
2
n
S
T
n
T
S
，
所以
2
2
T
S
S
T
，
所以(
)(
1)
0
T
S T
S
，
因为a
b
，所以S
T
，所以
1
0
T
S
，
1
T
S
，
所以
2
1
2
b
a
，代入
2
n
b
a
，
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得
2
1
5
1
2
(
2
)2
4
n
a
a
a
，
因为a
b
，所以0
2
2
1
2
a
b
a
，得
1
2
2
a
，
令
2
t
a
，
[0
t
，1)
2 ，
所以
2
1
5
(
)
2
4
n
t
，该函数在[0 ，1)
2 上单调递减，
所以
5
1
4
n
，
所以实数n 的取值范围是
5
(
, 1]
4
.
5.若函数
f
x 满足：存在整数
,
m n ，使得关于x 的不等式
m
f
x
n
的解集恰为
,
m n （m
n
），则称函
数
f
x 为P 函数.
(1)若函数
2
f x
x
为P 函数，请直接写出
,
m n （不要过程）；
(2)判断函数
1 ,
0,
f x
x
x
是否为P 函数，并说明理由；
(3)是否存在实数a 使得函数
2
1
f x
x
ax
a
为P 函数，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
1,
1
m
n
(2)不是，理由见解析
(3)存在，
1
a
【分析】（1）结合P 函数的定义列方程、不等式，由此求得
,
m n 的值.
（2）结合P 函数的定义以及反证法进行判断.
（3）结合P 函数的定义列方程、不等式，由此求得
, ,
m n a 的值，从而确定正确答案.
【详解】（1）函数
2
f x
x
为二次函数，对称轴为
0
x
，开口向上，
若函数
2
f x
x
为P 函数，
所以
0
0
0
0
m
n
m
f
n
f m
f n
，即
2
2
0
0
m
n
m
n
m
n
，
解得
1,
1
m
n
.
（2）函数
1
( )
,
(0,
)
f x
x
x
不是P 函数，理由如下：
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1
f x
x
在
0,
上递增，
因为m，n 为整数，由题意可知1
m
n
，即
1
mn ，
令
( )
m
f x
n
，即
1
m
n
x
，解得1
1
x
n
m
，
假设函数
1
( )
,
(0,
)
f x
x
x
为P 函数，
则
1
1
m
n
n
m
，即
1
mn ，与已知
1
mn 矛盾，所以不存在这样的m，n，
所以函数
1
( )
,
(0,
)
f x
x
x
不是P 函数；
（3）函数
2
1
f x
x
ax
a
为二次函数，对称轴为
2
a
x
，开口向上，
因为关于x 的不等式
( )
m
f x
n
的解集恰为
,
m n
所以
2
2
2
( )
( )
a
a
m
n
a
m
f
n
f m
f n
，即
2
2
,
1
2
4
1
1,
m
n
a
m
a
n
a
n
n
①
，②
③
将①代入③得，
1
1
m
n
，
又m，n 为整数，m
n
，所以
1
1
1
m
n
，解得
1
2
m
n
，此时
1
a ，满足题意，
综上所述，存在实数
1
a 使得函数
2
( )
1
f x
x
ax
a
为P 函数.
【点睛】对于函数新定义的题目，解题的关键点在于将“新定义”的问题转化为所学过的知识进行求解.本题
中，第（1）（3）两问是二次函数，函数图象有对称性；第（2）问是单调函数.这两种情况列式不一样，但
也是围绕“新定义”去列式.
1.已知函数
f
x 是定义在R 上的偶函数且
1
3
f
x
f
x
，当
0,2
x
时，
3
1
3
1
x
f x
x
x
，若
3
2023
56
,
,
2
5
3
a
f
b
f
c
f
，则（
）
A．a
b
c
B．c
a
b
C．a
c
b
D．b
c
a
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【答案】C
【分析】根据偶函数的性质，结合已知等式可以判断出函数的周期，再结合函数的单调性进行判断即可.
【详解】由
1
3
f
x
f
x
得，
4
f
x
f x
，
而函数是偶函数，所以有
f
x
f x
，
所以
4
f x
f x
，
所以
f
x 的周期为4，
则
3
3
2023
3
3
,
404
2
2
5
5
5
a
f
f
b
f
f
f
，
56
4
4
4
20
3
3
3
3
c
f
f
f
f
．
当
0,2
x
时，
3
3
1
2
3
2
1
1
x
f x
x
x
x
x
，
因为
3
1
2
2 ,
2
1
y
y
x
x
在
0,2 上均为增函数，
所以
f
x 在
0,2 上为增函数，又3
4
3
5
3
2
，
所以
3
4
3
5
3
2
f
f
f
，
即
2023
56
3
5
3
2
f
f
f
，
故选：C
2．下列比较大小中正确的是（
）
A．
0.5
0.5
3
2
2
3
B．
1
1
2
3
3
5
C．
3
3
7
7
( 2.1)
( 2.2)
D．
4
4
3
3
1
1
2
3
【答案】C
【分析】利用函数的单调性进行判断即可.
【详解】解：对于A 选项，因为
0.5
y
x
在[0,
)
上单调递增，所以
0.5
0.5
2
3
( )
( )
3
2
，故A 错误，
对于B 选项，因为
1
y
x
在(
,0)
上单调递减，所以
1
1
2
3
(
)
(
)
3
5
，故B 错误，
对于C 选项，
3
7
y
x
为奇函数，且在[0,
)
上单调递增，所以
3
7
y
x
在(
,0)
上单调递增，
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因为
3
3
3
7
7
7
11
5
( 2.2)
5
11
，又
3
3
7
7
5
2.1
11
，
所以
3
3
7
7
( 2.1)
( 2.2)
，故C 正确，
对于D 选项，
4
3
y
x
在[0,
)
上是递增函数，
又
4
4
3
3
1
1
(
)
( )
2
2
，所以
4
4
3
3
1
1
( )
( )
2
3
，所以
4
4
3
3
1
1
(
)
( )
2
3
，故D 错误.
故选：C.
3．已知函数
3
5
5
( )
3
f x
x
，若当
0,
x
时，
( )
2 3
0
a
f x
f
x
恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
0,
B．
,2
C．
3,
D．
,1
【答案】C
【分析】由题知，
3
5
5
( )
3
f x
x
在R 上为增函数且为奇函数，进而将问题转化为
2
2 3
a
x
x
在
0,
x
上
恒成立，再求最值即可得答案.
【详解】解：由题意，
3
5
3
5
5
5
( )
3
3
f x
x
x
，
因为
3
5
5
(
)
( )
3
f
x
x
f x
，所以
3
5
5
( )
3
f x
x
为奇函数，
由幂函数的性质得
3
5
5
( )
3
f x
x
在
0,
x
上单调递增，
所以，
3
5
5
( )
3
f x
x
在R 上的增函数，
因为
( )
2 3
0
a
f x
f
x
在
0,
x
上恒成立，
所以
( )
2 3
a
f x
f
x
在
0,
x
上恒成立，
所以
2 3
a
x
x
在
0,
x
上恒成立，
所以
2
2 3
a
x
x
在
0,
x
上恒成立，
所以，只需
2
max
3
2 3
a
x
x
，即
3
a
所以实数a 的取值范围是
3,.
故选：C
4.已知幂函数
( )
(
)
f x
x
R
的图象经过点1 ,4
2
，且
(
1)
(3)
f a
f
，则a 的取值范围为(
)
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A．(
,2)
B．(2,
)
C．(
, 4)
(2,
)
D．( 4,2)
【答案】C
【分析】首先根据已知条件求出
( )
f x 的解析式，再根据
( )
f x 的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知，
1
1
( )
( )
4
2
2
f
，解得，
2
，
故
2
( )
f x
x
，易知，
( )
f x 为偶函数且在(0,
)
上单调递减，
又因为
(
1)
(3)
f a
f
，
所以|
1| 3
a
，解得，
4
a < - 或
2
a
.
故a 的取值范围为(
, 4)
(2,
)
.
故选：C.
5.若幂函数
2
25
2
9
m
m
f
x
x
的图象关于y 轴对称，
f
x 解析式的幂的指数为整数,
f
x 在
,0
上单调递
减，则m （
）
A．1
9
B．1
9 或49
9
C．
1
3
D．
1
3
或7
3
【答案】D
【分析】由题意知
f
x 是偶函数，
f
x 在
,0
上单调递减,可得
2
25
2
9
m
m
为正偶数，再根据
2
25
2
9
m
m
的范围可得答案.
【详解】由题意知
f
x 是偶函数，因为
f
x 在
,0
上单调递减,
所以
2
25
2
9
m
m
为正偶数，
又
2
2
25
34
34
2
(
1)
9
9
9
m
m
m
，
∴
2
34
(
1)
2
9
m
，解得
7
3
m
或
1
3
．
故选：D．
6.已知函数
2
2
1
1
m
m
f x
m
m
x
是幂函数，且在(0,
)
上为增函数，若,
,
a b
R
且
0,
0,
a
b
ab
则
f a
f b
的值（
）
A．恒等于0
B．恒小于0
C．恒大于0
D．无法判断
【答案】C
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【分析】根据函数是幂函数，且在(0,
)
上为增函数，得到
2
m
，确定函数为奇函数，单调递增，故
f a
f
b
f b
，得到答案.
【详解】函数
2
2
1
1
m
m
f x
m
m
x
是幂函数，则
2
1
1
m
m
，解得
2
m
或
1
m .
当
1
m 时，
1
f
x
x
，在(0,
)
上为减函数，排除；
当
2
m
时，
5
f x
x
，在(0,
)
上为增函数，满足；
5
f x
x
，函数为奇函数，故在R 上单调递增.
0
a
b
，故a
b
，
f a
f
b
f b
，故
0
f a
f b
.
故选：C .
7．已知幂函数
2
2
2
5
0
n
f x
n
n
x
n
．
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)若函数
2
1
2
5
g x
mf
x
x
，
5 ,13
2
x
，是否存在实数m 使得
g x 的最小值为13
，若存在，求
出实数m 的值．
【答案】(1)
0
f
x
x x
(2) 6
【分析】（1）利用幂函数的概念可求得n ，进而可求得
f
x 的解析式；
（2）结合（1）中结论，利用换元法得到
2
4
h t
t
mt
，2
5
t
，从而将问题转化为是否存在实数m 使
得min
13
h t
，利用二次函数轴动区间定分类讨论求得min
h t
，进而可算出m 并验证实数m 是否满足题意.
【详解】（1）因为
2
2
2
5
0
n
f x
n
n
x
n
是幂函数，
所以
2
5
1
n
n
，解得
3
n
或
2
n （舍去）
所以
3 2
1
2
2
0
f
x
x
x
x x
.
（2）假设存在实数m 使得
g x 的最小值为13
，即min
13
g x
，
由（1）得
2
1
2
5
2
1
2
5
g x
mf
x
x
m
x
x
，
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令
2
1
t
x
，则因为5
13
2
x
，所以4
2
1
25
x
，则2
2
1
5
x
，即2
5
t
，此时
2
2
1
x
t
，
所以
2
1
2
5
g x
m
x
x
可化为
2
2
1 5
4
h t
mt
t
t
mt
，此时
min
min
g x
h t
，即min
13
h t
，
则
h t 开口向上，对称轴为
2
m
x
，
当
2
2
m
，即
4
m 时，
h t 在
2,5 上单调递增，故
min
2
2
h t
h
m
，
所以由min
13
h x
得2
13
m
，即
13
4
2
m
，不满足题意，舍去；
当2
5
2
m
，即10
4
m
时，易知
2
min
4
2
4
m
m
h t
h
，
由
2
4
13
4
m
得
6
m 或
6
m （舍去），故
6
m ；
当
5
2
m
，即
10
m
时，
h t 在
2,5 上单调递减，故
min
5
5
21
h t
h
m
，
由5
21
13
m
得
34
10
5
m
，不满足题意，舍去；
综上：存在
6
m 使得
g x 的最小值为13
，故
6
m .
8.已知幂函数
2
3
1
2
2
2
3
3
p
p
f x
p
p
x
满足
2
4
f
f
．
(1)求函数
f
x 的解析式；
(2)若函数
2
,
1,9
g x
f
x
mf x
x
，是否存在实数m 使得
g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；
若不存在，说明理由；
(3)若函数
3
h x
n
f x
，是否存在实数
,a b a
b
，使函数
h x 在
,a b 上的值域为
,a b ？若存在，求
出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
1
2
( )
f x
x
(2)存在
1
m 使得( )
g x 的最小值为0
(3)存在，
9 , 2
4
n
【分析】（1）由题意可得
2
3
3
1
p
p
，从而可求出p ，再由
2
4
f
f
可知幂函数为增函数，从而可确
定出函数解析式，
（2）由（1）可得
g x
x
m x
，令t
x
，则
2
y
t
mt
，
1,3
t
，然后分
1
2
m
，1
3
2
m
和
3
2
m
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三种情况求函数的最小值，
（3）
3
h x
n
x
，由题意可得
3
3
n
a
b
h
b
a
，令
3
a
S
，
3
b
t
，则得
2
2
t
S
S
t
，求得
1
t
S
，
2
3
n
t
S
2
2
S
S
，从而可求出范围
【详解】（1）∵
f
x 为幂函数，∴
2
3
3
1
p
p
，∴
1
p 或
2
p
．
当
1
p 时，
1
f
x
x
在
0,
上单调递减，
故
2
4
f
f
不符合题意．
当
2
p
时，
1
2
f
x
x
x
在
0,
上单调递增，
故
2
4
f
f
，符合题意．∴
f x
x
．
（2）
g x
x
m x
，令t
x
．∵
1,9
x
，∴
1,3
t
，
∴
2
y
t
mt
，
1,3
t
．
当
1
2
m
时，
1
t 时，函数有最小值，∴1
0
m
，
1
m ．
②当1
3
2
m
时，
2
m
t
时，函数有最小值．∴
2
0
4
m
，
0
m
（舍）．
③当
3
2
m
时，
3
t
时，函数有最小值，
∴9
3
0
m
，
3
m （舍）．
∴综上
1
m ．
（3）
3
h x
n
x
，易知
h x 在定义域上单调递减，
∴
h a
b
h b
a
，即
3
3
n
a
b
h
b
a
，
令
3
a
S
，
3
b
t
，
则
2
3
a
S
，
2
3
b
t
，
∴
2
2
3
3
n
S
t
n
t
S
，∴
2
2
t
S
S
t
，
∴
1
0
t
S
t
S
．
∵a
b
，∴S
t
，
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∴
1
0
t
S
，∴
1
t
S
，
∴
3
3
1
a
b
．
∵a
b
，∴
11
3
4
a
，∴
1
0, 2
S
，
∴
2
3
n
t
S
2
2
S
S
2
1
9
2
4
S
．
∴
9 , 2
4
n
．
10．已知幂函数
2
3
1
2
2
2
3
3
p
p
f x
p
p
x
，满足
2
4
f
f
.
(1)求函数
f
x 的解析式.
(2)若函数
2
g x
f
x
mf x
，
1,9
x
，是否存在实数m 使得
g x 的最小值为0？
(3)若函数
3
h x
n
f x
，是否存在实数
,a b a
b
，使函数
h x 在
,a b 上的值域为
,a b ？若存在，
求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
f
x
x
(2)存在
1
m 使得
g x 的最小值为0
(3)存在，
9 , 2
4
【分析】（1）根据幂函数的定义结合
2
4
f
f
即可得解；
（2）由函数
2
g x
f
x
mf x
，即
2
g x
x
m x
，令t
x
，记
2
k t
t
mt
，分
1
2
m
，1
3
2
m
，
3
2
m
三种情况讨论即可得出答案；
（3）由函数
3
3
h x
n
f x
n
x
在定义域内为单调递减函数，若存在实数a ，b （a
b
），使函
数
h x 在
,a b 上的值域为
,a b ，则
3
3
n
a
b
n
b
a
①
②
，消元可得
3
1
3
n
a
b
a
a
，令
3
q
a
，
求出q的范围，即可得解.
【详解】（1）解：∵
f
x 是幂函数，∴得
2
3
3
1
p
p
，解得：
1
p 或
2
p
，
当
1
p 时，
1
f x
x
，不满足
2
4
f
f
，
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当
2
p
时，
f x
x
，满足
2
4
f
f
，
∴故得
2
p
，函数
f
x 的解析式为
f x
x
；
（2）解：由函数
2
g x
f
x
mf
x
，即
2
g x
x
m x
，
令t
x
，∵
1,9
x
，∴
1,3
t
，
记
2
k t
t
mt
，其对称轴在
2
m
t
，
①当
1
2
m
，即
2
m 时，则
min
1
1
0
k x
k
m
，解得：
1
m ；
②当1
3
2
m
时，即6
2
m
，则
2
min
0
2
4
m
m
k x
k
，解得：
0
m
，不满足，舍去；
③当
3
2
m
时，即
6
m 时，则
min
3
3
9
0
k x
k
m
，解得：
3
m ，不满足，舍去；
综上所述，存在
1
m 使得
g x 的最小值为0；
（3）解：由函数
3
3
h x
n
f x
n
x
在定义域内为单调递减函数，
若存在实数a ，b （a
b
），使函数
h x 在
,a b 上的值域为
,a b ，则
3
3
n
a
b
n
b
a
①
②
，
②-①可得：
3
3
3
3
a
b
a
b
a
b
2
2
3
3
a
b
3
3
3
3
a
b
a
b
，
∴
3
3
1
a
b
③，
将③代入②得，
3
1
3
n
a
b
a
a
，令
3
q
a
，
∵a
b
，
3
1
3
b
a
，即
3
1
3
2
3
b
a
a
，
1
2
3
b
a
a
a
，2
3
1
a
，即
1
3
2
a
，∴
1
0
2
q
≤
，
得：
2
2
1
9
2
2
4
n
q
q
q
.故得实数n 的取值范围
9 , 2
4
.
【点睛】本体考查了幂函数的定义，及二次函数的最值问题，以及函数的值域，考查了换元思想及分类讨
论思想，难度较大.
11.已知幂函数
2
1
( )
2
2
m
f x
m
m
x
为偶函数.
（1）求
( )
f x 的解析式；
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（2）若函数( )
( )
3
0
h x
f x
ax
a
在区间[ 2,2]
上恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）
2
( )
f x
x
；（2）[ 7,2]
.
【解析】(1)由幂函数概念及偶函数性质求
( )
f x 解析式
(2)由(1)知
2
2
( )
(
)
3
2
4
a
a
h x
x
a
，再由( )
0
h x
在[ 2,2]
上恒成立，即( )
h x 的最小值恒大于等于0，应用
函数思想分类讨论，求a 的范围
【详解】（1）由
( )
f x 为幂函数知
2
2
2
1
m
m
，得
1
m 或
1
2
m
( )
f x 为偶函数
∴当
1
m 时，
2
( )
f x
x
，符合题意；
当
1
2
m
时，
1
2
( )
f x
x
，不合题意，舍去
所以
2
( )
f x
x
（2）
2
2
( )
(
)
3
2
4
a
a
h x
x
a
，令( )
h x 在[ 2,2]
上的最小值为( )
g a
①当
2
2
a
，即
4
a 时，
( )
( 2)
7
3
0
g a
h
a
，所以
7
3
a
又
4
a ，所以a 不存在；
②当2
2
2
a
，即4
4
a
时，
2
( )
(
)
3
0
2
4
a
a
g a
h
a
所以6
2
a
.又4
4
a
，所以4
2
a
③当
2
2
a
，即
4
a < - 时，
( )
(2)
7
0
g a
h
a
所以
7
a .又
4
a < -
所以7
4
a
.
综上可知，a 的取值范围为[ 7,2]
【点睛】本题考查了幂函数，并综合了偶函数、及根据不等式恒成立求参数范围，应用了分类讨论、函数
的思想，属于较难的题
12.已知幂函数
2
4
3
t
f x
t
t x
在区间(0,
)
上单调递减，
（1）求幂函数的解析式及定义域
（2）若函数( )
2x
g x
k
，满足对任意的
1
[1,16)
x
时，总存在
2
(1,5)
x
使得
1
2
f x
g x
，求k 的取值范
围.
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【答案】（1）
1
4
f x
x
，(0,
)
；（2）3 ,
2 31
【解析】（1）利用幂函数的定义及函数的单调性列出关于t 的方程，求解即可.
（2）分别求出
1
f x
的值域A，
2
g x
的值域B，由题设将问题转化为A
B
，利用集合的包含关系求出k
的取值范围.
【详解】
2
4
3
t
f
x
t
t x
为幂函数，且在区间(0,
)
上单调递减，
2
4
3
1
0
t
t
t
，即
(4
1)(
1)
0
0
t
t
t
，解得
1
4
t
或
1
t （舍去）
所以幂函数的解析式为
1
4
f x
x
1
4
4
1
x
x
，
0
x
且
0
x
，所以函数
f
x 的定义域为(0,
)
（2）由（1）知
f
x 在区间(0,
)
上单调递减，所以当
1
[1,16)
x
，
1
1
4
4
1
16
,1
f x
，即
1
1 ,1
2
f x
，
令
1 ,1
2
A
；
( )
2x
g x
k
，由指数函数性质知，
g x 单调递增，所以当
2
(1,5)
x
，
1
5
2
2
,2
k
g x
k
，即
2
2
,32
k
g x
k
，令
2
,32
B
k
k
；
因为对任意的
1
[1,16)
x
时，总存在
2
(1,5)
x
使得
1
2
f x
g x
，则A
B
结合数轴可知
1
2
2
32
1
k
k
，解得
3
2
31
k
k
，即k 的取值范围3 ,
2 31
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数
,
,
y
f x
x
a b
，
,
,
y
g x
x
c d
（1）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，总有
1
2
f x
g x
成立，故
2
max
min
f x
g x
；
（2）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
2
max
max
f x
g x
；
（3）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
2
min
min
f x
g x
；
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（4）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
，则
f
x 的值域是
g x 值域的子集．
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