🌈
⾼三冲刺笔记-平⾯向量（⼀）
考点归纳：平⾯向量定义
⼀向量:
简注;向量不能⽐较⼤⼩向量的模可以
。
⼆何量的⼏何表示
:
1
. 向量AB
⽤既有⻓度⼜有⽅向的线段
( 有向线段)
来表示
,
或a
”
;
>
,
A
B
AB
有向线段AB
的⻓度⼈向量的模⼀
,
⼆辩析
:
⼀
! 零向量
: ⽅向任意
, ⼤⼩⽅
O
, 与任意向量平⾏
。
2
. 单位向量
: 模⻓为
1 的向量
。
⽅向不确定,
与⻓同向的单位向量
:
品
与@ 仅向的单位向量
:
⼀
{ 与平⾏( 共线) 的单位向量
:
± 所
系平⾏(供线) 向量
: ⽅向相同或相反
。
a
→
a
→
>
>
4
. 相等向量
: ⻓度相等且⽅向相同
。
,
<
→
b
注
:
1
,
零向量与任何向量☆平⾏
( 共线)
。即j ≥a
α . 向量中平⾏就是共线, 可以重合⼏何中平⾏不可以重合
3
.
1 "b '
,
b
' "
c
'
>
11 Ʃ
,
可能D =
"
>
→
。b
'
7
c
a
~
+向量相等具有传递性;
a
'
=
b '
,
b
: c
>
a=δ
5 向量平⾏不具有传递性.
d
'
1 /5 '
,
b ' "
c
'
p a ≥c
'
⾮零向量平⾏具有传递性
:
a
'
+ 0
"
,
b
'
+ 0
'
,
c
' t 0
'
a
'/b
',
b
'
11 c ' ,
a
'
≥
" / c
'
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量定义
🌈
⾼三冲刺笔记-平⾯向量（⼆）
考点归纳：平⾯向量运算
. 平⾯向量线性运算
,
⼀
1
、向量加法
:
1
三⻆形法则
( 适⽤于不同点)
起
“ ⾸尾相连⾸尾连
“
>
→
eg
:
AB =☆
B→= B
b
→
7
a
→
B
b Ʃ
则
a + 5
= AB + B= A
…
→
A
a
→ty
2 平⾏四边形法则
(适⽤于相同起点)
a
a+
5 ⽅法步骤
:
a :两个向量平移到同⼀起点
9
《
>
5
,
b
: 分别过终点作另⼀向量平⾏线交于⼀点
;
c
: 连接起点与交点
;
d
; 由起点指向终点
。
2向量减法:
“ 同起点指被减”
π
a
^
a
- b
eg
: AB = a
,
Aτ= D
3
b
→
则
a
- b
= AB
- At
=
CB
实数
3 向量数乘
: 实数与向量的积是⼀个向量
。记λ a
21 ⼤⼩
λ
- G |= 1 λ
.
a
1
@
,
→
2 a
“
⽅向{ 器
λ @ 与同向
,
λ a 与a 反向。
模绝对值模
α
-2 a
>
→
4向量共线定理
: 差@ 与5 共线
, 则☆=λ☆
( λ为唯⼀实数)
a
>
b
,
5
. 定⽐分点定理
: 设D 为BC 边上⼀点差
Dτ=λBD
A
则
: AD : I⼊'AB
+ 1+λ
Aτ
L
,
》
≥
差令公⼊
=µ
.
则计⼊
=
1
- u
B
1
D
C
λ
∴AD= U
.
AB
+
C
1
- U ) AE
⼆平⾯向量数量积
:
1
. 数量积
:
GD =
1
@ 111 . ω s <
a , 5
> 。规定
δ @
= 0
性质
: 设Qib
→
是⾮零向量
, 夹⻆为
θ
,
e 是与的⽅向相同的单位向量
,
则
. a
'
.
0 :
e
'
.
a '
=
1
a '
1
- cosa.
(2 )
Q
'
"
b
'
<
7 )
.
b
'
=
0
.
( 3 )
当
d
'
与
b 同向时
,
a
"
.
b
'
=
1 a 1
| 51
;
当⻓与为仅何时
, θ
, ☆=
-
1
θ 1151
.
特别地:
Q
'
. a
=
12
或|θ|=
Q .
(H )
由
( Cosα|
≤
1
.
得
:
1 θ
. ☆|≤1
A 1151
⼯
, 向量投影
;
”
点影由
ω
o =: 投刊
, 投影
: 别
=ω so 11
ey
:
正知( |=
3
.| 51 :2
J , <δ , >
=
120
'
"
, 则@ 在为⽅体上投” 为
?
解
:
投影
=
| a 1 cosLa
, 5 ≥
=
3
×
Cos
|20 '
= -
⽅向量的模与平⽅关系:
δ . a
= a
'
=
1 aP
>
| a + 5 |=
( a + 5 P
=
( a + 5]
'
= 1 @P + 2 a 5
+ 1 p
eg
: ⾛知|θ
1
= 2
,
| 5 |= 3
.
< d
'
,b
'
>
=
120
'
,
求
2 a
'
-
b
'
解
:
aa
-
5
=
2a
-
b
'
2
=
4 a
2
- 4 db
+
b
'
=
,
=
41 aP - 411151
. cos <
a,'
≥
+1R
=
HX 2
*
- 4X 2 x 3
.
Cos 20
o
+ 3
=
=
3T
,
4
. 乘法公式
:
⼩
i ☆t 的] [
a - B
} = @ ≥
2
=
1 @ |
3
- 15 R
23
( Gt b )
2
: G
2
± zab
→tb
= la
|
F
±
2 a
.b→+ 15 p
5
, 向量数量积运算律
: ⼩交换律
:
∞
, b
= 5
. a
2 ) 结合律: ( λ a
} .
b =
, ( λ 的) 对实数
3 分配律
:
[ a ± D }
. τ= G
. ☆± b
. ☆=Ʃ
.
{ ^± 5 ]
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量线性运算
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量线性运算中的⼏何表示
□
:
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量线性运算与定⽐分点
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量数量运算
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量数量运算-投影
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：平⾯向量数量运算与⼏何关系
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-平⾯向量（三）
考点归纳：奔驰定理与三⻆形“四⼼”
A
⼀
、奔写驶定理
:
1
. 定义
:
P 为LABC 内⼀点
,
则有
c
c
pbsp
SA
SA
' PA
+ SB
- PB
' +
scpis
B
a
c
( 2 )
ax PA
'
+
bxPB '
t
c
.pD
=
3Ri
"
)
, SA
: SB
: Sc
:
a
:
b
:
c
( 3 )
SA
a
SB
Sc
c
S< ABC
=
a + b + C
,
SUABC
:
+ b + c
,
S<ABc
:
atytc
2
. 延明
!
正如图
AQ
=
AA
,
S < ABC
A
PQ
即
:
☆BC .
ADIBC
, PP ,
=
ScpBc
c
c !
b
∴
AQ
S
B
t
Sc
t Sa
∴
δ a
: ⑮
Q
=
Sa
贺
:
SDABc
∅
.
:
AQ
- AP
=
SCABC
-
SB
-
Sc
1
.
服
=
1
-
sBtss
即
B
Q
P
, A
,
c
AQ
SDABc
SDABC
θ
SB + Sc
,
筋
:
SB + ss
, AP :
SB + SC
- AQ
SLABC
SLABC
SLABC
:
筋吧
1,
A
5 '+
1
a 0 ”
( BE
1
' AC
:
8 B
.
ABT rsp'Ac'
“
燕尾定理
”
燕尾定理⼈
”
sptsc
Q
裂ac
。
= 浆
,
聚炎:
裂+ 乳
,
炎
:
SB + ss
Sc
2 :
AP
'
=
SB +篮
ABC' AQ
:
SB + C[
号scA15
'+ gtsc. Ac]
SAABC
:
Ap
'
: 聚ABc
( AP
+ PB )
+
sc
SUABC
'
( AP
+ PE
)
:
SA+ SBtSc
, AP
:
RABc
( AP
+ PB )
+
乳ABC
'
( AP
+
P>
)
SDABC
.
:
SB
.
PB
'
+
SC
.
Rδ
-
SA
- AP
'
=
0
即
SA PA
+ SB PB + ScPC
= 0
1
.
重⼼
⼆
. 奔驰定理与三⻆形四⼼
; :
∴∴
LABC
三条中线的交点以定义
:
( 2 ) 结论
:
若
α : b
:
c = 1
则G
为奔驰定理⾍重⼼
,
O'
:
3 (
OA'
+ OB '
+x ]
( 0 为外⼼
θ
:
重⼼到J 顶点距离与重⼼到对边中点距离之以为
α
i
1 ( AG :GD =
2 :
y
θ :
重⼼和三⻆形3
↑顶点组成的3 个三⻆形⾯积相等,
( SA : SB :
sc =
1
:
1 :
DC
GA
'
+
GB
'
+
GC
= 0
荐则
G 为LABC 重⼼
d
;
GD
: x
=
ADe
:
⼆⾔
( 同理
, 其它两个三⻆开形⾯积也是⼤三⻆形⾯积的☆
了
f
:
O为平⾯上⼀点任意
0
'
= OI
+λ
( AB + A δ )
, λ
E
( 0 t ∞)
.
则阵轨迹过
LABC 的重⼼
。
( 注
.
□为平⾯上任意⼀定点并⾮上述结论中的外⼼了
⼋P
证:
:
OP: OA'
T
λ CAB'
+
AE1
且
OP '
:
OA
'
T AP
A
. " AP
:
λ ( AB
'
+
Aδ
)
>
"
表示
BC边上中线所在直线向量
0
了
∠
」
P 轨迹⼀定过DABc 重⼼
。
B
①
c
λ
( AB +AC
"
)
V
σ→=
0A
+λ ( 崩sinpt
| sinc ),
n σ
(
o +∞) ,
则为平⾯上⼀点已陈轨迹之任意
LABC 重⼼
。
延∵
AB
1
sinc
,
AB ' - sinB
= Adisinc
' t
( Ac
)
=
SinB
0
7 A
θ
"
op
:
OA '
+
λ
'
[ .
(
A 1 B'
+
A δ )
, ⽽
AB'
+ AE
= 2 AD
。
>
“ 表示与AD 共线的何量APP
√
0DV
了
iP ⼏迹⼀定过DABC 重⼼
。
B
c
A
2
.
内⼼
;
c
D
,c
< Fb
( )
定义
: LABC 三条⻆平分线的交点
.
⼯
SB
SA
( 2 ) 结论:
B
7
c
E
a
a
: 三⻆形的内⼼到三边距相等
, 且等于内切圆半径γ
b
:
SA
' S B
:
Sc
=
a
:
b
:
c
C
:
IA
'
+
bIB
'
+
CID
=
Da
>
⼯为
4ABC 内⼼
I还:
:
IB= IA
+ AB
, IE
= IAT AE
则(
a +b+ C ) IA '+ bAB' + CAE
: 0
' " bAB '
+ CAE
: IAC AB '
+ |AB
' - A
δ
: |A
δ
1 /AB '
}(Ap + , ]
∴AI ' :符b +
c . (
崩+ ]
A
∵
州与⿏分别为
AB 和
ACP ⽅向上的单位向量
,
[
v
c
>
:
AP 与< BAC 平⽅线共线
. 即AF 平分∠BAC
B
c
同理
:
BI 平分
∠ABC
.
CI 平分
α CAB
. I 为LABC 内⼼
。
d
—
当λ
c
(0 +∞) 时P 的轨迹过∠ABC 内必
P
= 0A ' +λ[
愉+ 棚
} ,θ为平⾯上任意⼀点
之近
:
∵: 0
P
:OA +
AP
'
: AP =λ {
篇+ 崩
] : 当λ
ε
( 0
,
t ∞)
,
AP 表示LBAC 平分线所在直线向量
。P 轨迹过∠ABC 内⼼
3
. 重⼼
:
以定义
:
Δ ABC 三条⾼线的交点
。
b
( 2 ) 结论
:
⑪c
SA
: SB
: Sc
:
tan A
: tunB
:
tansa
b :
tanA
.
HA
'
t
tan B
.
H 13
'
+tanc
1HD
=
0
'
C
:
OH :
OA
'
T OB
TO
8 LO 为AK
⼼
d
:
HA' . HB
'
= HB ,HE
= HE HA
(
H 为垂⼼了
e
:
↑
:
A
'
+ n[翩csB +
崩| 。sc
]
λ←co ,t ∞
) P 的轨迹过的ABC
就
。
为平⾯上⼀定点
Ol
f
:
HATIP +| BEP
-
1
IF
THHB CA
'
K
=
IH δP + IAB' F
之证
:
HA ' HB
' = HB' , HC: HDHA CH 为垂⼼
:
HA
. HB
= HB
HE
,
HB
.
C HA'
-
HE )
= 0
即
H
1B
. CA
'
= 0
HxcA I理
Hi
- AN ,HItBe
!∴
…
☆,
“
π
:
A
+
⼊( 酬cosB
+ H
| cosc ]
λ
c
( o
, t∞)
P 的轨迹过LABC
重就
00
证
为平⾯上⼀定点
Ol
∵OP
:
O☆
+ AP
,
AP
'
: Op -
OA
= n[HcsB
+ 崩
| cosc ]
A)
, "Ap
'
,
B )
:
B δ
, ⼊( AcosB+
IAE) cosc ) =
-
11 Bc' 1
+
1 Bito
.
: AP + Bi
:
P 在
BC ⾼线上
.
P 轨迹过⼈ABC 垂⼼,
证: HATP +| BPP
:
1
↑
+ HHB
CA
''
= 11Hδ P
+ IABF
A
>
:
IHA' 13
-
( HB 1
R
= ICA ]
:
- IBε→<
e
7
c
.
: ( H + HB' ]
.
BA
'
=
CCA
'
+
CB' )
.
BA
'
B
得
( HA'
+ HB
'
- CA '- CB ),BA '
= 0
即( HE + H
δ
)
- BA =
0 . : AB
-HE
同理
:
AE
+ HB
'
,BOI
HA
'
∴H 为LABC 垂⼼,
什
: 外⼼
A
(
以定义
: ∠ABC 外接圆的圆⼼
, 即中垂线交点,
(2 ) 结论
Q
:
SA
' SB
:
SC
=
Sin < BoC
:
Sin LAOC
:
Sin LAOB
B…
c
b
;
SA
: SB
:
SC
=
Sin 2A
:
Sin 2 B
:
Sin 2 c
C
:
Sin 2A
OA'
t
Sin 2 p
.
oB
+
sinac
.
oc
>
=
0
'
d
:
o☆
1
:
1 01B
1 :
c
1 , 则o
为外
iw
,
e
;
为平⾯上⼀定点
,
P
:
2+λ( 州。p
+ 箱cs )
, λ c
( 0
, ∞
)
005+x →
则P 轨迹过DABC 外⼼
。
📍
题型训练：奔驰定理与三⻆形“四⼼”
🌶
🌶
🌶
🌶
;
为云⾯上⼀定点
,
p
=
2+λ{
箱→o …
] ncc 切
oo
β+ x
正
则P 阵轨迹过DABC 外⼼
。
B
∵ap
:
②1 B +0
δ +λ( ⿏, p
+ 筋|…
)
∵op
:
0 D
' +λ (⿏a↓→k ,a }
÷
0 p + Dp
β
亻
⑩
D
P
Ac
x
A
予「Di :
λ ( ⿏。☆→hn )
, 同哦∞
了
' ∵DP
, Bi
:
λ {
A
1B
- BC
⼗
IAB . cosB
| AP )
. cosc
=λ [
AB蹦
.
cospl
1
1 c” (π
- B )
⼗
AD
.
Bil
1
. coss
]
=λ ( -BC +
( BƩ
1 )
| AP 1
. cosc
=
0
: DP + BC
.
:
P 在
BC 垂直平分线上
,
即P过∠ABC 外⼼
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
,
∴
🌶
🌶
🌶
🌶
