文档文本内容
1
【求根分解法与待定系数法】【选讲】题集【B】
（1 ）
（2 ）
（3 ）
1.
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
分解因式：
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
令
，
则
的因数为
，
，
，
，
的因数为
，
故有理数只可能为
，
，
，
，
经检验，当
时，
，
由因式定理知
为
的因式，
故原式
．
令
，
则
的因数为
，
，
的因数为
，
，
故有理数只能为
，
，
，
经检验，当
时，
，
由因式定理知
为
的因式，
故原式
．
令
，
则
的因数为
，
，
的因数为
，
，
，
，
故有理数只能为
，
，
，
，
，
，
经检验，当
时，
，
由因式定理知
为
的因式，
故原式
．
【知识点】因式定理
2
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
分解因式．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
令
，
则
的因数为
，
，
的因数为
，
，
故有理数
只可能为
，
，
，
，
经检验，当
时，
，
由因式定理知
为
的因式，故原式
．
原式
，令
，
则
的因数为
，
，
，
经检验，当
时，
，
由因式定理知
为
的因式，
故原式
．
【知识点】因式定理
3.
【解析】
【标注】
分解因式：
．
【答案】
．
解：
的因数为
，
，
的因数为
，
，
∴原式的有理数只可能是
，
，
，
，
∵
，
∴
是原式的因式，
∴
是原式的因式，
∴原式
．
【能力】运算能力
3
【知识点】分组分解法
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
【标注】
分解因式：
．
．
．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
．
【知识点】拆添项法
（1 ）
（2 ）
5.
（1 ）
（2 ）
【解析】
对于多项式
，我们把
代入此多项式，发现
能使多项式
的值为，由此可以断定多项式
中有因式
，（注：把
代入多项式，能使多项式的值为，则多项式一定含有因式
），于是我们可以把多项式
写成：
，分别求出
、，再代入
，就可以把多项式
因式分解．
求式子中
、的值．
以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式
．
【答案】（1 ）
（2 ）
，
．
．
．
∴
，
∴
．
当
时，
，
∴
．
∴
4
【标注】
．
∴
，
∴
．
∴
．
【知识点】特殊值法
6.
【解析】
【标注】
已知
是
的一个因式，求、的值．
【答案】
，
．
由
，
，
，由题，
或
代入原式，原
式
，
，解得：
．
【知识点】因式定理
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
【解析】
求值：
多项式
能被
整除，求
的值．
关于，的二次式
可分解为两个一次因式的乘积，求
的
值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
令
，
，根据因式定理可得
，
，
则
，
解得
，
∴
．
5
（2 ）
【标注】
∵
，
故可设
，
即
，
，
比较对应项的系数，得：
，
解得
，故
．
【知识点】因式定理
8.
【解析】
【标注】
已知多项式
能被
整除，求
、的值．
【答案】
，
．
设原式
， 展开得
，
比较系数得
，
∴
，
．
【知识点】因式定理
（1 ）
（2 ）
（3 ）
9. 阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系
数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值.
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解
.
因为
为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积.
故我们可以猜想
可以分解成
，展开等式右边得：
，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相
等，
，
，
，可以求出
，
.
所以
．
若取任意值，等式
恒成立，则
__________．
已知多项式
有因式
，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
因式分解：
．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
．
由题意得：
，∴
．
设
，
则
，
，
∴
，
∴另一个因式为
．
设
，
∴
，
∴
∴
．
【能力】运算能力
【知识点】整式乘除化简求值
【知识点】其他方法
（1 ）
（2 ）
10.
（1 ）
（2 ）
【解析】
解答下列各题：
已知多项式
能分解为两个一次因式的乘积，求的值．
若，，是实数，
，
的一个因式是
，求
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
因为
，
故可设
，
即
，
比较对应项系数得
，
，
，解得
．
由题可知：
，
展开整理可得：
，
则有
，
解得
，
7
【标注】
∴
．
【知识点】因式分解的应用
选做
1.
【解析】
【标注】
设
为关于的
次多项式，
除以
,
,…,
的余数分别为
，
且
，求
的表达式．
【答案】
．
除以
的余式为，所以
，
同理
；
所以
是
的根，又
为
次多项式，
则设
，
将
带入得，
，
所以
．
【知识点】综合除法和余数定理
2.
【解析】
【标注】
已知多项式
含有因式
，求证：
．
【答案】证明见解析．
设
，
所以
解得
命题得证．
【知识点】因式定理
3. 已知，是整数，二次三项式
既是
的一个因式，也是
的一个因式，求和的值．
8
【解析】
【标注】
【答案】
，
．
依题意，
应是
的一个因式，
所以
，故
，
．
【能力】运算能力
【知识点】因式分解的应用
