第34 讲直线与圆的方程、位置关系
（知识清单+9 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
直线与圆的位置关系、弦长最值计算
单选/多选题
5 分/6 分
直线与圆的方程、位置关系判定、参数求解
单选/填空/解
答题
5 分/12 分
直线与圆的位置关系、距离最值问题
单选/解答题
5 分/12 分
直线与圆的位置关系、圆的几何性质应用
单选/解答题
12 分
直线的方程、直线的倾斜角与斜率
单选题
5 分
圆的标准方程、直线与圆的位置关系
单选/多选/解
答题
5 分/6 分/12
分
【知识点01】直线的方向向量
设A，B 为直线上的两点，则⃗AB就是这条直线的方向向量
【例1】求过点A(2,3)，B(−1,5)的直线的一个方向向量，并写出该直线斜率对应的标准方向向量。
解：由两点坐标求向量：AB
→
=(−1−2,5−3)=(−3,2)，该向量即为直线一个方向向量；
计算直线斜率：k = 5−3
−1−2 =−2
3；
根据斜率写标准方向向量：(1,k )=(1,−2
3 )，也可同乘3 化为整数(3,−2)。
【知识点02】直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α 叫做直线l 的倾
斜角.
(2)范围：直线的倾斜角α 的取值范围为0°≤α<180°.
【例2】判断下列直线倾斜角大小：①水平直线y =2；②竖直直线x =−3；③从左下到右上的直线。
解：①直线y =2平行于x 轴，倾斜角α =0；
②直线x =−3垂直于x 轴，倾斜角α = π
2 ；
③从左下到右上的直线，倾斜角为锐角，即α ∈(0, π
2 )。
【知识点03】直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示，即k＝tan α.(α≠90°)
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2−y1
x2−x1
.
【例3】已知直线倾斜角为135°，求直线斜率；直线过(1,2),(3,5)，求直线斜率。
解：倾斜角求斜率：k = tan 135
∘=−tan 45
∘=−1；
两点求斜率：k = 5−2
3−1 = 3
2。
【知识点04】直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x 轴的直线
两点式
y −y1
y2−y1
＝x−x1
x2−x1
(x1≠x2，
y1≠y2)
不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式
x
a ＋y
b ＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
【例4】已知直线倾斜角为135°，求直线斜率；直线过(1,2),(3,5)，求直线斜率。
解：倾斜角求斜率：k = tan 135
∘=−tan 45
∘=−1；
两点求斜率：k = 5−2
3−1 = 3
2。
【知识点05】两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4
是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
【例5】判断直线l1: y =2 x +3与l2: y =−1
2 x−1的位置关系。
解：提取斜率：k1=2，k2=−1
2；
斜率乘积：k1⋅k2=2×(−1
2 )=−1；
结论：两条直线互相垂直。
【知识点06】三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
②结论：|P1P2|＝❑√( x2−x1)
2＋( y2−y1)
2.
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝❑√x
2＋y
2.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离d＝|A x0＋B y0＋C |
❑√A
2＋B
2
.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0 与l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝
|C1−C2|
❑√A
2＋B
2 .
【例6】求点(1,2)到直线2 x + y −5=0的距离。
解：对应参数：x0=1, y0=2, A =2,B =1,C =−5；
代入公式：d =|2×1+1×2−5|
❑√2
2+1
2
=|−1|
❑√5
=
❑√5
5 。
【知识点07】圆的定义和圆的方程
定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C( a ，
b )
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F>0)
圆心C(−D
2 ，−E
2)
半径r＝1
2
❑√D
2＋E
2−4 F
【例7】求圆x
2+ y
2−2 x + 4 y =0的圆心坐标和半径。
解：配方变形：( x
2−2 x)+( y
2+ 4 y)=0，( x−1)
2−1+( y +2)
2−4 =0；
整理标准式：( x −1)
2+( y +2)
2=5；
得出结果：圆心(1,−2)，半径r = ❑√5。
【知识点08】点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在圆上；
(3)|MC|<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在圆内.
【例8】判断点P(2,1)与圆( x−1)
2+ y
2= 4的位置关系。
解：代入点坐标：(2−1)
2+(1−0)
2=1+1=2；
对比半径平方：r
2= 4，2<4；
结论：点在圆内。
【知识点09】直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d<r
【例9】判断直线x + y −1=0与圆x
2+ y
2=2的位置关系。
解：提取参数：圆心(0,0)，半径r = ❑√2；
求圆心到直线距离：d =|0+0−1|
❑√1+1
=
❑√2
2 ；
大小对比：
❑√2
2 <❑√2；
结论：直线与圆相交。
【知识点10】圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|<d<r1＋r2
内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|
【例10】圆O1:( x−1)
2+ y
2= 4，圆O2:( x +2)
2+ y
2=1，判断两圆位置关系。
解：提取参数：O1(1,0),r1=2；O2(−2,0),r2=1；
计算圆心距：d =|1−(−2)|=3；
半径和差：r1+r2=3，|r1−r2|=1；
对比得：d =r1+r2，两圆外切。
【知识点11】直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r 和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2❑√r
2−d
2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m 与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点M，N，代入，消去y，得关于x 的一元二次方
程，则|MN|＝❑√1＋k
2·❑√( xM ＋xN )
2−4 xM xN.
【例11】求直线x−y =0被圆x
2+ y
2= 4截得的弦长。
解：基础参数：圆心(0,0)，半径r =2；
求圆心到直线距离：d =|0−0|
❑√2
=0；
代入弦长公式：L=2
❑√2
2−0
2= 4；
结论：弦长为4。
【题型一】直线方向向量、倾斜角与斜率综合题
【例1】（2026·宁夏吴忠·二模）已知经过
两点的直线的一个方向向量为
，那么
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解.
【详解】直线
的斜率为
，又因为直线的一个方向向量为
，所以该直线的斜率也为
，故
.
故选：C.
【变式1】（多选）已知直线l:❑√3 x + y −2=0，则下列选项中正确的有（ ）
A．直线l的倾斜角为5 π
6
B．直线l的斜率为❑√3
C．直线l不经过第三象限
D．直线l的一个方向向量为⃗v =(−❑√3,3)
【答案】CD
【分析】由直线l:❑√3 x + y −2=0，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A 和B 的正误；通过计算直线的斜率和
截距，从而判断是否经过第三象限，判断C 选项的正误；取直线l:❑√3 x + y −2=0上两点，得到直线l的一个方向向量，
从而判断D 选项的正误.
【详解】因为l:❑√3 x + y −2=0，可以表示为y =−❑√3 x +2，所以k =−❑√3，倾斜角为2π
3 ，故选项A 和B 错误；
因为直线y =−❑√3 x +2，故斜率k <0，纵截距b>0，所以直线l不经过第三象限，故选项C 正确；
取直线上两点A(0,2),B(❑√3,−1)，所以得到方向向量⃗BA =(−❑√3,3)，得到直线l的一个方向向量为⃗v =(−❑√3,3)，
故选项D 正确.
故选：CD
【变式2】（2026·广西柳州·二模）已知直线l的一个方向向量为v
→
=(3,−❑√3)，则直线l的倾斜角为_____.
【答案】5 π
6
【分析】根据方向向量计算出直线的斜率k，再由k = tan α可求倾斜角.
【详解】因为直线l的一个方向向量为v
→
=(3,−❑√3)，
所以斜率 k =−
❑√3
3 ，
设倾斜角为α，则k = tan α =−
❑√3
3 ，所以α = 5 π
6 .
故答案为：5 π
6
【变式3】（2025·上海静安·一模）已知直线l1：3 x−❑√3 y +10=0与l2：x−❑√3 y =0，则直线l1与l2的夹角大小是
___________．
【答案】π
6 /30°
【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线倾斜角的大小求出两条直线的夹角.
【详解】直线l1的斜率为k1= ❑√3，设直线l1的倾斜角为α (α ∈[0,π))，由tan α = ❑√3，可得α =π
3 ；
直线l2的斜率为k2=
❑√3
3 ，设直线l2的倾斜角为β (β ∈[0,π))，由tan β =
❑√3
3 ，可得β =π
6 ；
所以直线l1与l2的夹角θ =α −β =π
6 .
故答案为：π
6 .
【题型二】直线方程五种形式
【例2】已知直线l过点(m,3)和(3,2)，且在x轴上的截距是1，则实数m等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】求得直线l的方程，代入点(m,3)的坐标，可求m的值.
【详解】因为直线l在x轴上的截距是1，所以过点(1,0)，
又直线l过点(3,2)，所以直线l的斜率为k = 2−0
3−1 =1，
所以直线l的方程为：y −0=1( x−1)，即直线方程为x−y −1=0，
又直线l过点(m,3)，所以m−3−1=0，解得m= 4．
故选：D.
【变式1】（2026·江西宜春·一模）已知直线l的斜率为k，p:k =−1，q:直线l在两坐标轴上的截距相等，则p是q的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】分析充分性：
已知p:k =−1，设直线l的方程为：y =−x +b，
当x =0时，y =b，在y轴上的截距为b，
当y =0时，x =b，在x轴上的截距为b，
所以直线l在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立；
分析必要性：
已知q:直线l在两坐标轴上的截距相等，分两种情况：
（1）截距不为0 时，设两截距均为a(a≠0)，则直线方程为x
a + y
a =1，即y =−x +a，此时斜率k =−1；
（2）截距为0 时，直线过原点，此时斜率k不一定为−1.
所以必要性不成立.
【变式2】△ABC 中，A（3，－1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为：6x＋10y－59=0，∠B 的平分线方程BT 为：
x－4y＋10=0，求直线BC 的方程.
【答案】2 x +9 y −65=0.
【详解】试题分析：设B( x0, y0)则AB的中点M ( x0+3
2
, y0−1
2
)在直线CM上和点
在直线BT上,得B(10,5),求得
K AB,再根据到角公式，求得K BC，进而求得直线BC的方程．
试题解析：
设B( x0, y0)则AB的中点M ( x0+3
2
, y0−1
2
)在直线CM上,则 6× x0+3
2
+10× y0−1
2
−59=0,即3 x0+5 y0−55=0
…………………①,
又点
在直线BT上,则x0−4 y0+10=0…………………②联立①②得B(10,5),∴K AB= 5−(−1)
10−3 = 6
7 ,
有BT直线平分∠B,则由到角公式得
1
4 −K BC
1+ 1
4 K BC
=
6
7 −1
4
1+ 1
4 × 6
7
,得K BC =−2
9
∴BC的直线方程为:2 x +9 y −65=0.
【变式3】已知直线l1: x−2 y +3=0,l2:2 x +3 y −8=0.
(1)求经过点M (1,4)且与直线l2垂直的直线方程；
(2)求经过直线l1与l2的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
(3)若直线l:kx −y +2+ 4 k =0(k ∈R)交x 轴的负半轴于点A，交y 轴的正半轴于点B，O 为坐标原点，设△AOB的面
积为S，求S 的最小值及此时直线l 的方程.
【答案】(1)3 x−2 y +5=0
(2)y =2 x或x−y +1=0
(3)S 的最小值为16，此时直线l 的方程为y = 1
2 x + 4．
【分析】（1）根据直线l2的斜率可设所求直线方程为y = 3
2 x +b，代入点A(1,4)即可求解；
（2）联立直线l1与l2的方程可得交点坐标，分截距为0 和截距不为0 两种情况分别求解；
（3）先求出A 、B两点的坐标，进而得到△AOB的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定
直线l的方程．
【详解】（1）由直线l2:2 x +3 y −8=0⇒y =−2
3 x + 8
3可得直线l2的斜率为−2
3，
依题意，所求直线斜率为3
2，则其方程可设为y = 3
2 x +b，
该直线经过点M (1,4)，则4 = 3
2 ×1+b，解得b= 5
2，
故所求直线方程为y = 3
2 x + 5
2，即3 x−2 y +5=0；
（2）联立¿，解得¿，即直线l1与l2的交点为(1,2)，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为y =kx，
代入(1,2)解得k =2，此时y =2 x；
当直线的截距都不为0 时，设直线方程为x
a + y
b =1(a,b≠0)，
依题意¿，解得a=−1,b=1，此时直线方程为x−y +1=0，
综上，所求直线方程为y =2 x或x−y +1=0.
（3）由题可知k >0，
在kx−y +2+ 4 k =0中，令y =0，解得x =−4 k +2
k
，即得A(−4 k +2
k
,0)，
再令x =0，可得y = 4 k +2，即得B (0,4 k +2)，
故S = 1
2|OA|⋅|OB|= 1
2 × 4 k +2
k
×(4 k +2)= 2(2k +1)
2
k
=2(4 k + 1
k + 4)，
则S =2(4 k + 1
k + 4)≥2(2❑√4 k ⋅1
k + 4)=2×(4+ 4)=16
当且仅当4 k = 1
k ，即k = 1
2时取等号，
故S 的最小值为16，此时直线l 的方程为y = 1
2 x + 4．
【题型三】两条直线位置关系判定
【例3】（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线l1：A1 x + B1 y +C1=0（A1，B1不同时为零），l2：
A2 x + B2 y +C2=0（A2，B2不同时为零），则A1 A2+ B1B2=0是l1⊥l2的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】A1 A2+ B1B2=0是l1⊥l2的充要条件.
【变式1】（2026·湖南郴州·模拟预测）以A(2,3)，B(6,7)，C(13,0)，D(9,−4)为顶点的四边形是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．直角梯形
D．正方形
【答案】A
【详解】根据斜率公式 k = y2−y1
x2−x1
，代入四个点坐标A(2,3)，B(6,7)，C(13,0)，D(9,−4)，
则k AB= 7−3
6−2 =1,kCD= −4−0
9−13 =1,k AD= −4−3
9−2 =−1,k BC = 0−7
13−6 =−1，
所以AB∥CD，AD∥BC，
两组对边分别平行，该四边形是平行四边形，
又因为 k AB⋅k AD=1×(−1)=−1，所以AB⊥AD，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形，
再根据两点间距离公式可得：|AB|=
❑√(6−2)
2+(7−3)
2= 4 ❑√2,|AD|=
❑√(9−2)
2+(−4−3)
2=7 ❑√2,
由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形.
【变式2】若a，b 为正实数，直线x +(b−2) y +1=0与直线ax + y −2=0互相垂直，则ab 的最大值为______.
【答案】1
【分析】由题得a+b−2=0，再利用基本不等式求解.
【详解】解：依题意得a×1+b−2=0，所以a+b−2=0，
即2=a+b≥2❑√ab，∴ab≤1，当且仅当a=b=1时，等号成立，
故ab的最大值为1.
故答案为：1
【变式3】“a=2”是“直线ax +2 y +1=0和直线3 x +(a+1) y −2=0平行”的______条件.(填“充分不必要”，
“必要不充分”，“充分必要”或“既不充分又不必要”)
【答案】充分不必要
【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及直线平行的性质，即可得到结论．
【详解】若“a=2”则直线2 x +2 y +1=0和直线3 x +3 y −1=0平行，即充分性成立，
若a=0，直线ax +2 y +1=0和直线3 x +(a+1) y −2=0平行为2 y +1=0和直线3 x + y −1=0不平行，
若a≠0，若直线ax +2 y +1=0和直线3 x +(a+1) y −2=0平行，则3
a = a+1
2
，
即a(a+1)=6，解得a=2或 a=−3，经检验a=−3或a=2均满足，即必要性不成立，
故“a=2”是直线ax +2 y +1=0和直线3 x +(a+1) y −2=0平行的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键．
【题型四】三类距离公式计算题
【例4】在△ABC中，设点A( x A , y A),B( xB, yB),C( xC , yC)，利用二次函数知识可确定出到△ABC的3 个顶点距
离的平方和最小的点为△ABC的（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
【答案】A
【分析】设点P( x , y)，根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设点P( x , y)，其中x , y ∈R，
则|PA|
2+|PB|
2+|PC|
2=( x−x A)
2+( y −y A)
2+( x−xB)
2+( y −yB)
2+( x−xC)
2+( y −yC)
2
=3 x
2−2( x A+ xB+ xC)x +( x A
2 + xB
2 + xC
2 )+3 y
2−2( y A+ yB+ yC) y +( y A
2 + yB
2 + yC
2 )
当x = x A+ xB+ xC
3
且y = y A+ yB+ yC
3
时，|PA|
2+|PB|
2+|PC|
2取得最小值，
此时点P( x , y)为△ABC重心.
故选：A.
【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线l1：3 x−4 y −3=0，l2：3 x−4 y −9=0的距离相等的点的坐
标_____．
【答案】(2,0)
【详解】l1:3 x−4 y −3=0，l2:3 x−4 y −9=0，
因为l1//l2，所以到l1和l2距离相等的点在这两条直线的中位线上，
设中位线的方程为l:3 x−4 y +c =0，
根据平行线间的距离公式可得l到l1的距离为|c−(−3)|
❑√3
2+(−4)
2，l到l2的距离为|c−(−9)|
❑√3
2+(−4)
2，
|c−(−3)|
❑√3
2+(−4)
2 = |c−(−9)|
❑√3
2+(−4)
2，解得c =−6，即l:3 x−4 y −6=0，
当x =2时，代入可得y =0，即(2,0)到直线l1和l2的距离相等.
【变式2】（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线15 x +20 y +23=0的距离的最小
值为_____．
【答案】2
25/0.08
【分析】设整点(a,b)，由点到线的距离公式5(3a+ 4 b)=c−23，得到c−23是5 的倍数，进而可求解.
【详解】设整点(a,b)(a,b∈Z)，则d =|15a+20b+23|
25
，
∵a，b∈Z，∴15a+20b+23=c∈Z，
∴5(3a+ 4 b)=c−23∈Z，是5 的倍数，
∴c−23=−25，c =−2，∴dmin= 2
25．
故答案为：2
25
【变式3】已知三角形ABC 的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M 是BC 边上的中点.
(1)求AB 边所在的直线方程；
(2)求中线AM 的长
(3)求AB 边的高所在直线方程.
【答案】(1)6 x−y +11=0；
(2)2❑√5；
(3)x +6 y −22=0.
【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；
（2）由中点坐标公式求得中点M坐标，再由两点间距离公式计算可得；
（3）先求直线AB 的斜率，由垂直关系可得AB 边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.
【详解】（1）法一：由两点式写方程得y −5
−1−5 = x +1
−2+1，即6 x−y +11=0；
法二：直线AB的斜率为k =
−1−5
−2−(−1) =6，
直线AB的方程为y −5=6(x +1)，即6 x−y +11=0；
（2）设M的坐标为(x0, y0)，则由中点坐标公式可得x0= −2+ 4
2
=1, y0= −1+3
2
=1，故M (1,1)，
所以|AM|=
❑√(1+1)
2+(1−5)
2=2❑√5；
（3）直线AB 的斜率为k =
−1−5
−2−(−1) =6，
所以由垂直关系可得AB 边高线的斜率为−1
6，
故AB 边的高所在直线方程为y −3=−1
6
(x−4),化为一般式可得：x +6 y −22=0.
【题型五】圆的方程求解（一般式与标准式互化）
【例5】（2025·山西晋中·三模）已知圆C 的一般方程为x
2+ y
2−6 x + 4 y +12=0，则圆C 的圆心坐标为（ ）
A．(3,2)
B．(−3,2)
C．(3,−2)
D．(−3,−2)
【答案】C
【分析】由一般方程得到标准方程即可求解.
【详解】由x
2+ y
2−6 x + 4 y +12=0，
得(x −3)
2+( y +2)
2=1，
可知圆C 的圆心坐标为(3,−2)．
故选：C
【变式1】（2025·北京海淀·一模）已知直线y =ax +b经过圆x
2+ y
2+2 x =0的圆心，则a
2+b的最小值为（ ）
A．−1
B．−1
4
C．0
D．1
【答案】B
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而得出圆心坐标，将其代入直线y =ax +b中得出b=a，从而将目标转化为
求二次函数的最小值.
【详解】x
2+ y
2+2 x =0可化为(x +1)
2+ y
2=1，故圆心为(−1,0)，
因直线y =ax +b经过圆心，则b=a，
则y =a
2+b=a
2+a，此二次函数开口朝上，对称轴方程为a=−1
2，
故其最小值为(−1
2)
2
−1
2 =−1
4 .
故选：B
【变式2】（多选）设O 为坐标原点，直线x +my −m−2=0过圆M : x
2+ y
2−8 x +6 y =0的圆心且交圆于P ,Q两点，
则（ ）
A．|PQ|=5
B．m= 1
2
C．△OPQ的面积为5 ❑√5
D．OM ⊥PQ
【答案】BC
【分析】对于A，整理圆的方程为标准方程，明确圆心与半径，可得答案；
对于B，由题意，将圆心代入直线方程，求得参数，可得答案；
对于C，利用点到直线的距离公式求得三角形的高，结合三角形的面积公式，可得答案；
对于D，根据两点求得斜率，利用垂直直线斜率的关系，可得答案.
【详解】由圆的方程x
2+ y
2−8 x +6 y =0，
则(x −4)
2+( y +3)
2=25，所以圆心M (4 ,−3)，半径r =5，
易知|PQ|=10，故A 错误；
将M (4 ,−3)代入直线方程x +my −m−2=0，则4−3m−m−2=0，解得m= 1
2，故B 正确；
将m= 1
2代入直线方程x +my −m−2=0，整理可得直线方程2 x + y −5=0，
原点到直线2 x + y −5=0的距离d =|2×0+0−5|
❑√2
2+1
2
= ❑√5，且此为△OPQ底PQ上的高，
所以S△OPQ= 1
2 ⋅d ⋅|PQ|= 1
2 ×❑√5×10=5 ❑√5，故C 正确；
由O(0,0)与M (4 ,−3)，则直线OM的斜率k1= −3−0
4−0 =−3
4 ，
由直线方程2 x + y −5=0，则直线PQ斜率k2=−2，
由k1⋅k2= 3
2 ≠−1，则OM与PQ不垂直，故D 错误.
故选：BC.
【变式3】（2025·上海浦东新·二模）设圆C方程为x
2+ y
2+ 4 x−6 y +10=0，则圆C的半径为____________．
【答案】❑√3
【分析】将圆C的方程化为标准方程，可得出圆C的半径.
【详解】将圆C的方程化为标准方程可得(x +2)
2+( y −3)
2=3，故圆C的半径为❑√3.
故答案为：❑√3.
【题型六】点与圆的位置关系判断
【例6】（2026·吉林·二模）已知圆O：(x−1)
2+ y
2=r
2，则“点M (2,1)在圆O外”是“点N (0,2)在圆O外”的
（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系，充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若点M (2,1)在圆O外，则(2−1)
2+1
2>r
2，所以0<r
2<2.
若点N (0,2)在圆O外，则(0−1)
2+2
2>r
2，所以0<r
2<5.
显然{r
20<r
2<2}是{r
20<r
2<5}的真子集，
故“点M (2,1)在圆O外”是“点N (0,2)在圆O外”的充分不必要条件.
【变式1】（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点P(2,1)在圆x
2+ y
2+ 4 x−2 y +k −1=0外，则实数k的取值
范围为（ ）
A．(−10,+∞)
B．（－10，6）
C．(−∞,−10)
D．(6,+ ∞)
【答案】B
【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可.
【详解】点P(2,1)在圆x
2+ y
2+ 4 x−2 y + k −1=0外，即点到圆心的距离大于半径.
将圆方程化为标准形式得( x +2)
2+( y −1)
2=6−k，圆心为(−2,1)，点 P 到圆心距离为 4，
故有¿，解得−10<k <6;
故选：B
【变式2】（多选）（2026·河南·三模）已知点A(1,0)，B(4,0)，M为圆O：x
2+ y
2= 4上一点，则（ ）
A．点B在圆O外
B．|MB|的最大值为6
C．|MB|= 3
2|MA|
D．|MA|+|MB|的最大值为9
【答案】ABD
【分析】由点与圆的位置关系以及两点间的距离求解即可.
【详解】对于A，|OB|= 4>2 ，所以B在圆O外，A 正确；
对于B，|MB|≤|OB|+2=6 ，B 正确；
对于C，当M (2,0)时，|MB|=2，|MA|=1，|MB|≠3
2|MA|，C 错误；
对于D，设M (x0, y0)，则x0
2+ y0
2= 4，故|MB|= ❑√(x0−4)
2+ y0
2= ❑√(x0−4)
2+ 4−x0
2= 2❑√5−2 x0，
|MA|= ❑√(x0−1)
2+ y0
2= ❑√(x0−1)
2+ 4−x0
2= ❑√5−2 x0，所以|MA|+|MB|= 3
2|MB|≤9 ，
当且仅当|MB|=6 时取等，D 正确．
【变式3】（2024·广西南宁·二模）若过点P(0,1)可作圆( x −1)
2+( y −2)
2=5−a的两条切线，则a的取值范围是
______．
【答案】(3,5)
【分析】由方程表示圆可得5−a>0，由题意可得点P(0,1)在圆外，可得(0−1)
2+(1−2)
2>5−a，可求a的取值范
围.
【详解】由( x −1)
2+( y −2)
2=5−a表示圆，则5−a>0，所以a<5，
又过点P(0,1)可作圆( x−1)
2+( y −2)
2=5−a的两条切线，
所以点P(0,1)在圆外，所以(0−1)
2+(1−2)
2>5−a，解得a>3.
所以a的取值范围是(3,5).
故答案为：(3,5).
【题型七】直线与圆位置关系判定
【例7】（2024·河北衡水·模拟预测）直线l: x−my +m+2=0与圆C : x
2+ y
2+ 4 x +3=0的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．与m 的取值有关
【答案】A
【详解】圆C :( x +2)
2+ y
2=1，则圆心C(−2,0)，半径R =1，
所以圆心C 到直线l 的距离d =
|m|
❑√m
2+1
= ❑√
m
2
m
2+1
<1= R，所以直线l 与圆C 相交．
【变式1】（2026·广东清远·二模）（多选）已知方向向量为(a,2a)(a≠0)的直线l与圆x
2+ y
2=5相切，则直线l的方
程为（ ）
A．2 x−y +5=0
B．2 x−y +3=0
C．2 x−y −5=0
D．2 x−y −3=0
【答案】AC
【详解】由题意可得直线的斜率k =2，
设直线方程为y =2 x−b，
因为直线l与圆x
2+ y
2=5相切，所以|b|
❑√5 = ❑√5⇒b=±5，
所以直线l的方程为2 x−y +5=0或2 x−y −5=0.
【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合A =¿，B =¿，则A ∩B的子集个数为_________.
【答案】4
【分析】根据直线与圆的位置关系求出集合A ∩B的元素个数，再求解子集个数即可.
【详解】集合A表示直线x−y =1上点的集合，集合B表示圆(x −2)
2+( y +3)
2=9上点的集合.
圆(x−2)
2+( y +3)
2=9的圆心坐标为(2,−3)，半径为3，
点(2,−3)到直线x−y =1的距离为
|2+3−1|
❑√1
2+(−1)
2 =2❑√2<3,
所以直线x−y =1与圆(x−2)
2+( y +3)
2=9相交，
所以A ∩B共有2 个元素，所以A ∩B的子集个数为2
2= 4.
故答案为：4.
【变式3】已知直线l：x−2 y −1=0，圆C：(x +2)
2+( y −1)
2=5，写出一个与直线l 和圆C 都相切且半径为2❑√5
的圆的标准方程______．
【答案】(x +3)
2+( y −3)
2=20（答案不唯一）
【分析】结合题意，判定该直线与圆相切，找到满足与该直线和该圆外切和内切的圆即可.
【详解】易知圆C：(x +2)
2+( y −1)
2=5的圆心为C (−2,1)，半径为❑√5，
所以圆心C 到直线l 的距离d =|−2−2−1|
❑√5
= ❑√5，所以直线l 和圆C 相切．
易知过圆心C 且与l 垂直的直线方程为2 x + y +3=0，联立方程得¿，解得¿，
所以直线l 与圆C 的切点的坐标为(−1,−1)，
易得点(−1,−1)关于圆心(−2,1)的对称点的坐标为(−3,3)，于是符合条件的一个圆的标准方程为
(x −3)
2+( y +3)
2=20；（此时两圆相内切）.
点(−3,3)关于点(−1,−1)的对称点的坐标为(1,−5)，因此符合条件的另一个圆的标准方程为(x−1)
2+( y +5)
2=20；
（此时两圆外切，且在直线l 的两侧）.
过点(−3,3)且与直线l：x−2 y −1=0平行的直线方程为x−2 y +9=0，
设所求圆的圆心为(2b−9,b)，由(2b−9+2)
2+(b−1)
2= 45，解得b=3±2❑√2，
所以圆心为(−4 ❑√2−3,−2❑√2+3)或(4 ❑√2−3,2❑√2+3)，
于是得符合条件的圆的标准方程为(x +3+ 4 ❑√2)
2+( y −3+2❑√2)
2=20或(x +3−4 ❑√2)
2+( y −3−2❑√2)
2=20．（此时
两圆外切，且在直线l 的同侧）.
故答案为：(x +3)
2+( y −3)
2=20，或(x−1)
2+( y +5)
2=20，
或(x +3+ 4 ❑√2)
2+( y −3+2❑√2)
2=20，或(x +3−4 ❑√2)
2+( y −3−2❑√2)
2=20．
（答案不唯一，只需写出一个圆的标准方程即可）.
【题型八】圆与圆位置关系判定
【例8】（2025·河南·模拟预测）圆x
2+ y
2−2 x−2 y +1=0与圆x ²+ y ²+ 4 x +6 y +9=0的位置关系是（ ）
A．相切
B．外离
C．内含
D．相交
【答案】B
【分析】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即
可.
【详解】圆x
2+ y
2−2 x−2 y +1=0即(x−1)
2+( y −1)
2=1，圆心为(1,1)，半径为1；
圆x ²+ y ²+ 4 x +6 y +9=0即(x +2)
2+( y +3)
2= 4，圆心为(−2,−3)，半径为2；
圆心距为❑√(1+2)
2+(1+3)
2=5，因为5>1+2，所以两个圆外离.
故选：B
【变式1】（2024·山西阳泉·三模）（多选）已知圆C : x
2+ y
2=1, A(4 ,a),B(4 ,−a)，若圆C上仅存在一点P使
PA ⊥PB，则正实数a的取值可以是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】BD
【分析】由题意可得以AB为直径的圆与圆C相内切或外切，得出该圆圆心与半径后，结合圆与圆的位置关系计算即
可得.
【详解】若圆C上仅存在一点P使PA ⊥PB，则以AB为直径的圆与圆C相内切或外切，
由A(4 ,a),B(4 ,−a)，则以AB为直径的圆的圆心为(4,0)，半径为a>0，
则有❑√(0−4)
2+(0−0)
2=1+a或❑√(0−4)
2+(0−0)
2=|1−a|，
分别解得a=3或a=5，故a=3或a=5，
故B、D 正确，A、C 错误.
故选：BD.
【变式2】已知圆C1的圆心在直线x +2 y −1=0上，点(3,0)与(1,−2)都在圆C1上，圆C2:(x−3)
2+( y +1)
2=1，则
C1与C2的位置关系是___________.
【答案】相交
【分析】利用待定系数法求得圆C1的标准方程，求出圆心距|C1C2|，与两圆的半径和、差比较即可得出结论.
【详解】设圆C1的标准方程为(x−a)
2+( y −b)
2=r1
2，
因为圆心C1在直线x +2 y −1=0上，且该圆经过(3,0)与(1,−2)两点，
列方程组¿，解得¿，
即圆C1的标准方程为(x−1)
2+ y
2= 4，圆心C1(1,0)，半径r1=2，
又圆C2:(x −3)
2+( y +1)
2=1，圆心C2(3,−1)，半径r2=1，
∴|C1C2|=
❑√(3−1)
2+1
2= ❑√5，又r1+r2=3，r1−r2=1，而1<❑√5<3，
∴C1与C2的位置关系是相交.
故答案为：相交.
【变式3】已知圆C :( x +1)
2+ y
2=r
2(r >0)，点A(2,0)，B(0,4).
(1)若圆C上存在点P满足⃗AP⋅⃗BP =0，求半径r的取值范围；
(2)对于线段AB上的任意一点Q，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段QN的中点，求r的取值范围.
【答案】(1)[2❑√2−❑√5,2❑√2+ ❑√5]
(2)[
❑√17
3
, 6 ❑√5
5 )
【分析】（1）根据垂直关系可得以AB为直径的圆的方程为(x−1)
2+ y
2=5，即可根据两圆位置关系求解.
（2）根据中点坐标公式得到M，N，再将两点的坐标代入圆C方程，建立方程组，根据方程组有解转化为圆与圆的
位置关系进行求解．
【详解】（1）AB的中点为E (1,2)，所以以AB为直径的圆的方程为(x−1)
2+ y
2=5，
由于圆C上存在点P满足⃗AP⋅⃗BP =0，
则P 在以AB为直径的圆上，故该圆与C :( x +1)
2+ y
2=r
2(r >0)有交点即可，
所以¿,解得2❑√2−❑√5≤r ≤❑√5+2❑√2
（2）由题可知，圆C :( x +1)
2+ y
2=r
2(r >0)，所以圆心C(−1,0)，
直线AB: y = 4−0
0−2 x + 4 =−2 x + 4，
因为Q为线段AB上的任意一点，所以设Q(a,−2a+ 4)，0≤a≤2，N ( x , y)，
因为M为QN的中点，
所以M ( x +a
2
, y −2a+ 4
2
)，
又因为M，N都在以点C为圆心的圆上，
所以¿，即¿，
所以方程组有解，即C(−1,0)为圆心r为半径的圆与(−a−2,2a−4)为圆心2r为半径的圆有公共点，两圆圆心距离
为
❑√(a+1)
2+(2a−4)
2= ❑√
5(a−7
5)
2
+ 36
5
，
所以r ≤❑√5(a−7
5)
2
+ 36
5 ≤3r对a∈[0,2]恒成立，
因为a∈[0,2]时，❑√
36
5 ≤❑√
5(a−7
5)
2
+ 36
5 ≤❑√17，所以¿，解得
❑√17
3
≤r ≤6 ❑√5
5
，
又因为Q(a,−2a+ 4)在圆C外，所以(a+1)
2+(−2a+ 4)>r
2恒成立，所以r
2<(5a
2−14 a+17)min，a∈[0,2]，所以
r < 6 ❑√5
5
，
所以r ∈[
❑√17
3
, 6 ❑√5
5 )，
【题型九】直线截圆弦长计算
【例9】（2026·重庆·模拟预测）设圆 M ：x
2+ y
2=1 与圆 N ：(x −1)
2+( y −1)
2=2 交于 P，Q 两点，则线段
PQ 的长度为（ ）
A．1
2
B．3
2
C．❑√3
D．
❑√14
2
【答案】D
【详解】圆M : x
2+ y
2=1，圆N :( x −1)
2+( y −1)
2=2.
展开圆N：x
2−2 x +1+ y
2−2 y +1=2，即x
2+ y
2−2 x−2 y =0.
两圆方程相减得公共弦PQ：2 x +2 y −1=0.
圆心M (0,0)到直线2 x +2 y −1=0的距离：d =|0+0−1|
❑√2
2+2
2
=
❑√2
4 .
圆M半径r =1，弦长| PQ|=2
❑√r
2−d
2=2❑√1−1
8 =
❑√14
2
.
【变式1】（2026·天津滨海新区·三模）圆C1: x
2+ y
2−4 x + 4 y =12与圆C2: x
2+ y
2−4 =0的公共弦长为__________．
【答案】2❑√2
【分析】两圆的方程相减，求得公共弦所在的直线方程为x−y +2=0，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即
可求解.
【详解】由圆C1: x
2+ y
2−4 x + 4 y =12与圆C2: x
2+ y
2−4 =0，
两圆的方程相减，可得−4 x + 4 y =8，即x−y +2=0，
即圆C1与C2的公共弦所在的直线方程为x−y +2=0，
又由圆C2: x
2+ y
2−4 =0，可得圆心C2(0,0)，半径为r2=2，
则圆心C2(0,0)到直线x−y +2=0的距离为d = |0−0+2|
❑√1
2+(−1)
2 = ❑√2，
所以两圆的公共弦长为2
❑√r2
2−d
2=2❑√4−2=2❑√2.
【变式2】（2026·陕西榆林·三模）已知圆C1：(x−1)
2+ y
2=1与圆C2：x
2+( y −3)
2=16相交于A ，B两点，则直
线AB的方程为___________．
【答案】2 x−6 y −7 =0
【详解】因为A ，B两点坐标同时满足圆C1：(x−1)
2+ y
2=1与圆C2：x
2+( y −3)
2=16的方程，
所以将圆C1：(x −1)
2+ y
2=1与圆C2：x
2+( y −3)
2=16两式相减，可得直线AB的方程为2 x− 6 y −7=0．
【变式3】已知圆C1：x
2+ y
2−2 x−6 y −1=0和C2：x
2+ y
2−10 x−12 y + 45=0.
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4 x +3 y −23=0，2❑√7
【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得；
（2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长．
【详解】（1）C1标准方程是( x−1)
2+( y −3)
2=11，C1(1,3)，r = ❑√11，
C2标准方程是( x −5)
2+( y −6)
2=16，C2(5,6)，R = 4，
|C1C2|=
❑√(5−1)
2+(6−3)
2=5，显然4−❑√11<5<4 + ❑√11，
所以两圆相交．
（2）两圆方程相减得8 x +6 y −46=0，即4 x +3 y −23=0为公共弦所在直线方程，
C1到直线4 x + 4 y −23=0的距离为d =|4 +9−23|
❑√4
2+3
2 =2，
所以公共弦长l =2
❑√r
2−d
2=2❑√7．
【解题大招01】斜率快速解题法（直线倾斜角、位置关系通用）
倾斜角与斜率对应关系：α ∈[0, π
2 )，斜率为正且单调递增；α ∈( π
2 ,π )，斜率为正且单调递增；α = π
2 斜率不存在。
两直线垂直速判：斜率存在时k1k2=−1；一条斜率为0、一条斜率不存在，两直线直接垂直。
避坑关键：所有直线题型，优先讨论斜率不存在的特殊情况，避免漏解。
【例题01】求过点P(1,2)，且与直线l: y =−1
2 x +1垂直的直线方程。
解：已知直线斜率k1=−1
2，所求直线与它垂直，故所求直线斜率k2=2；
直线斜率存在，代入点斜式：y −2=2( x−1)；
整理为一般式：2 x−y =0；
【解题大招02】直线方程巧设技巧（减少计算量）
过定点( x0, y0)：常设y −y0=k( x−x0)，务必单独验证x=x₀ 这条竖直线；
与已知直线Ax + By +C =0平行：直接设Ax + By +m=0(m≠C )；
与已知直线Ax + By +C =0垂直：直接设Bx−Ay +m=0，无需算斜率。
【例题02】求与直线2 x +3 y −4 =0平行，且过点(3,1)的直线方程。
解：平行直线直接设方程：2 x +3 y +m=0；
代入点坐标：2×3+3×1+m=0，解得m=−9；
直线方程：2 x +3 y −9=0。
【解题大招03】三类距离公式速算技巧
点到直线距离：永远带绝对值，分母恒为根号下x、y 系数平方和；
两平行线距离硬性前提：必须先将两条直线x、y 系数化为完全一致，再代入公式；
选择填空口算技巧：结果必须分母有理化，不可保留根号在分母。
【例题03】求两条平行线l1: x +2 y −2=0，l2:2 x + 4 y +5=0之间的距离。
解：统一系数：将l1同乘2，变为2 x + 4 y −4 =0；
代入平行线距离公式：d =|−4−5|
❑√2
2+ 4
2 =
9
❑√20 = 9 ❑√5
10 ；
【解题大招04】圆的方程快速求法（待定系数法+配方法）
已知圆心、半径：优先用标准方程( x −a)
2+( y −b)
2=r
2；
已知圆上三点：优先用一般方程x
2+ y
2+ Dx + Ey + F =0；
一般式转标准式：分组配方，x、y 分别配方，常数移到右侧。
【例题04】求圆x
2+ y
2−6 x + 4 y =0的圆心与半径。
解：分组：( x
2−6 x)+( y
2+ 4 y)=0；
配方：( x −3)
2−9+( y +2)
2−4 =0；
整理标准式：( x−3)
2+( y +2)
2=13；
结果：圆心(3,−2)，半径r = ❑√13。
【解题大招05】位置关系几何判定法（首选，秒杀代数联立）
方法核心（考试万能优先级：几何法>代数法）
点与圆：直接代点，比较点到圆心距离d 和半径r；
直线与圆：算圆心到直线距离d，d >r相离，d =r相切，d <r相交；
圆与圆：算圆心距d，对比两圆半径和、半径差。
【例题05】判断直线x−y +1=0与圆( x−1)
2+ y
2= 4的位置关系。
解：提取参数：圆心(1,0)，半径r =2；
求圆心到直线距离：d =|1−0+1|
❑√2
= ❑√2；
对比大小：❑√2<2，即d <r，直线与圆相交。
【解题大招06】垂径定理求弦长（必考核心方法）
直角三角形模型：圆心、弦中点、弦端点构成直角三角形，半径为斜边
弦长万能公式：L=2
❑√r
2−d
2（d 为圆心到直线距离，r 为圆半径）
【例题06】直线2 x−y =0截圆x
2+ y
2=5，求所得弦长。
解：基础参数：圆心(0,0)，半径r = ❑√5；
求距离：d =|0−0|
❑√5
=0，直线过圆心，为直径；
代入公式：L=2❑√5−0=2❑√5；
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·江苏·三模）已知点P(m,n)在圆C : x
2+ y
2= 4外，则直线mx +ny = 4与圆C的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相切或相交
【答案】C
【分析】先根据点与圆的位置关系得出❑√m
2+n
2>2，再根据点到直线距离公式判断出直线与圆的位置关系．
【详解】由题知，圆C的圆心为C (0,0)，半径为r =2，
因为点P(m,n)在圆C : x
2+ y
2= 4外，
所以m
2+n
2>4，则❑√m
2+n
2>2，
C (0,0)到直线mx +ny = 4的距离d =
|−4|
❑√m
2+n
2 =
4
❑√m
2+n
2 <2=r，
所以直线mx +ny = 4与圆C相交．
2．（2026·湖南·二模）过点
且倾斜角为
的直线l 交圆
于
、
两点，则弦
的长为（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【详解】过点
且倾斜角为
的直线
，即
．
∵圆
，即
，
∴圆心坐标为
，圆心到直线l 的距离
，
∴直线被圆截得的弦长
.
3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知点A (0,2)，向量⃗n=(−1,1)，若⃗n与直线l: y =kx垂直，则A到直线l的距离等于
（ ）
A．1
B．❑√2
C．2
D．2❑√2
【答案】B
【分析】根据直线的方向向量与⃗n垂直求出k，再由点到直线的距离求解.
【详解】因为直线l: y =kx的一个方向向量为⃗a=(1,k )，
又⃗n与直线l: y =kx垂直，所以⃗n⋅⃗a=(−1,1)⋅(1,k )=−1+k =0，
解得k =1，所以直线l: y = x，
所以A到直线l的距离为d =|2−0|
❑√2 = ❑√2.
二、多选题
4．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆O1：x
2+ y
2= 4与圆O2：x
2+ y
2−4 x + 4 y −12=0，则（ ）
A．圆O2的圆心坐标为(2,2)
B．圆心距|O1O2|=2❑√2
C．圆O1与圆O2相交
D．圆O1与圆O2的公共弦的长为2❑√2
【答案】BCD
【详解】由x
2+ y
2−4 x + 4 y −12=0得(x−2)
2+( y +2)
2=20，所以圆O2的圆心坐标为O2(2,−2)，半径为r2=2❑√5，
故A 错误；
由圆O1：x
2+ y
2= 4得圆心O1(0,0)，半径r1=2，所以|O1O2|=
❑√(2−0)
2+(−2−0)
2=2❑√2，故B 正确；
又r1+r2=2+2❑√5,r2−r1=2❑√5−2，所以r2−r1<|O1O2|<r1+r2，所以圆O1与圆O2相交，故C 正确；
由¿，两式相减得：x−y +2=0，
由圆心O1(0,0)到直线x−y +2=0的距离为：d = |2|
❑√2 = ❑√2，
所以圆O1与圆O2的公共弦的长为2
❑√r1
2−d
2=2❑√4−2=2❑√2，故D 正确.
三、填空题
5．（2026·江西·模拟预测）直线(tan 2
5 π)x + y + 2
5 π=0的倾斜角为________．
【答案】3
5 π
【分析】根据给定方程，求出该直线斜率，结合诱导公式求出倾斜角.
【详解】设直线(tan 2
5 π)x + y + 2
5 π=0的倾斜角为θ，则tanθ =−tan 2
5 π=tan(π−2
5 π)= tan 3
5 π，
而0≤θ<π，所以θ = 3
5 π.
故答案为：3
5 π
6．（2026·上海·三模）若⃗n=(2,−4)是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角大小为__________．
【答案】
arctan 1
2
【分析】先由直线的法向量推导直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围，根据斜率与倾斜角的对应关系求解倾斜角.
【详解】已知n
→
=(2,−4)是直线l的一个法向量，可设直线l的一般式方程为2 x−4 y +C =0（C为常数），
将其化为斜截式即y = 1
2 x + C
4 ，因此直线l的斜率k = 1
2，
设直线l的倾斜角为α，其中α ∈[0,π )，由斜率的定义可得tan α =k = 1
2，
因为1
2 >0，故α ∈(0, π
2)，因此α =arctan 1
2.
四、解答题
7．已知圆C 的方程为x
2+ y
2−6 x−4 y +9=0
(1)若直线l 经过圆C 的圆心，且倾斜角为3π
4 ，求直线l 的方程；
(2)若直线y = x +1与圆C 交于A，B 两点，求弦AB 的长.
【答案】(1)x + y −5=0
(2)2❑√2
【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案；
（2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解.
【详解】（1）由题意得圆C 的标准方程为：(x−3)
2+( y −2)
2= 4，
所以圆心坐标为(3,2)，
由直线的点斜式方程可得直线方程为y −2= tan 3π
4
(x−3)，
即x + y −5=0；
（2）圆心(3,2)到直线y = x +1的距离为d =|3−2+1|
❑√2
= ❑√2，
所以弦AB 的长为2
❑√2
2−(❑√2)
2=2❑√2.
8．已知圆C :( x −1)
2+ y
2= 4.
(1)若直线l 经过点A(−1,3)，且与圆C 相切，求直线l 的方程；
(2)若圆C1: x
2+ y
2−2mx −2 y +m
2−8=0与圆C 相切，求实数m 的值.
【答案】(1)x =−1或5 x +12 y −31=0
(2)m=±2❑√6+1或m=1
【分析】（1）首先设出过定点直线，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线，不要忘记讨论斜率不存在的情
况；
（2）分内切和外切，结合公式，列式求值.
【详解】（1）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =−1，与圆C 相切，符合题意.
若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y −3=k( x +1)，即kx−y + k +3=0，
则|2k +3|
❑√k
2+1
=2，解得k =−5
12，所以直线l 的方程为5 x +12 y −31=0.
综上，直线l 的方程为x =−1或5 x +12 y −31=0.
（2）圆C1的方程可化为( x −m)
2+( y −1)
2=9.
若圆C1与圆C 外切，则❑√(m−1)
2+1=5，解得m=±2❑√6+1.
若圆C1与圆C 内切，则❑√(m−1)
2+1=1，解得m=1.
综上，m=±2❑√6+1或m=1.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：
与直线
：
平行，则实数
的值为
（ ）
A．-1
B．0
C．3
D．-1 或3
【答案】A
【详解】当
时，直线：
与直线
：
，显然直线与
不平行；
当
时，因为直线：
与直线
：
平行，
所以
，解得
，检验符合.
2．（2026·河南开封·模拟预测）过点
的直线与曲线
（
）有两个交点，则直线斜
率的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【详解】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线
，
曲线
是以
为圆心，1 为半径的半圆（如图所示），
设曲线
的下端点为
，要使与曲线
有两个交点，
则应位于直线
和切线
之间，所以
，
所以斜率的最大值为
3．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆
：
交于
两点，当
面积取得最大
值时，直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离
表示弦长，进而写出
的面积解析式；利
用基本不等式得到面积最大时
，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率．
【详解】由题意得圆
的圆心为
，半径
，
设圆心
到直线的距离
，
因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
若的斜率不存在，则的方程为
，
，
若的斜率存在，设的方程为
，即
，
所以
，即
，
整理得
，解得
，
，
综上，直线的斜率为
或
．
二、多选题
4．（2026·山西忻州·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆
，
．直线
与
两个圆均有公共点．记直线被
，
截得的弦长分别为
，
．则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．若
，则
或
D．存在直线，使得
【答案】ABCD
【分析】由题意可将
，
到直线
的距离
分别表示出来，从而得到弦长
，
，再逐一分析四个选
项即可.
【详解】圆
的圆心为
，圆
的圆心为
．直线
化为
．
两个圆心到直线的距离分别为
，
．
两圆的半径均为1，故弦长满足
．
对于A，当
时，
，所以
．故A 正确；
对于B，当
时，
，所以
．故B 正确；
对于C，若
，则
，即
，化简得
．
所以
或
．故C 正确；
对于D，若取直线
，则该直线经过两个圆的圆心，此时
，
故
．故D 正确．
三、填空题
5．（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy 中，直线
过定点A，以原点为圆心的圆
O 过点A，不与x 轴垂直的直线
与圆O 交于B，C 两点，若
，则直线
的纵截距为________．
【答案】
【分析】求出点
坐标，再由正三角形性质求出弦
中点坐标并求出直线
的方程即可.
【详解】直线
，即
，则
，
由
，得
是圆
的内接正三角形，连接
并延长交
于
，
则
，即点
，直线
的斜率为
，且
，
因此直线
的斜率为
，方程为
，即
，
所以直线
的纵截距为
.
四、解答题
6．已知圆
.
(1)若圆
的切线在
轴和
轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
(2)从圆
外一点
向该圆引一条切线，切点为
，且有
（
为坐标原点），求
的最小值．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）由圆的方程可确定圆心和半径，设切线方程为
，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求
得
的值，由此可得切线方程；
（2）设
，根据
，利用勾股定理和两点间距离公式可构造方程求得
点轨迹为
，则
可确定所求最小值即为点
到直线
的距离，由此可得结果.
【详解】（1）由圆的方程可知：圆心
，半径
，
由题意可设圆
的切线为：
，即
，
圆心
到直线的距离
，解得：
或
，
所求切线方程为：
或
.
（2）设
，
切线
与半径
垂直，
，
又
，
，
整理可得：
，则点
在直线
上，
的最小值即为点
到直线
的距离，
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·内蒙古赤峰·三模）过原点且倾斜角为
的直线被圆
所截得的弦长为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【详解】过原点且倾斜角为
的直线方程为
，即
.
由
，得
，其圆心为
，半径
.
故圆心
到直线
的距离为
，
则弦长为
．
2．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知b是a,c的等差中项，若圆C :( x−1)
2+( y −2)
2=9上到直线l:ax +by +c =0的距
离为1 的点有且仅有3 个，则直线l的斜率为（ ）
A．1
2或−1
2
B．
❑√3
3 或−
❑√3
3
C．2 或-2
D．❑√3或−❑√3
【答案】D
【分析】先根据等差中项性质得到a,b,c的关系，再由圆上点到直线距离为1 的点的个数确定圆心到直线距离，最后
结合点到直线距离公式求出直线斜率.
【详解】 因为b是a,c的等差中项，所以2b=a+c，即a+c =2b，
由题意可得圆C :( x−1)
2+( y −2)
2=9的圆心为C(1,2)，半径r =3，
若圆上到直线l距离为1的点恰好有3个，
则圆心到直线l的距离d =r −1=2，
根据点到直线的距离公式，圆心C(1,2)到l:ax +by +c =0的距离：
d = ∣a⋅1+b⋅2+c∣
❑√a
2+b
2
=|a+2b+c|
❑√a
2+b
2 =
|4 b|
❑√a
2+b
2，又因为d =2，
所以∣4 b∣
❑√a
2+b
2 =2，整理得4 b
2=a
2+b
2，即a
2=3b
2，( a
b )
2
=3，
所以 直线l的斜率k =−a
b，因此k
2=3，即k =± ❑√3.
二、多选题
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）记圆O: x
2+ y
2= 4，圆C : x
2+ y
2−2 y +a=0，点A(0,2)，已知圆O和圆C相内切，
且圆O的半径大于圆C的半径，M , N是圆O上两点，直线MN与圆C相切，设AM , AN与圆C的另一个交点分别为
P ,Q，则（ ）
A．a=−3
B．⃗MN =2⃗PQ
C．|PQ|= ❑√3当且仅当∠MAN =60°
D．∠MAN ≤90°
【答案】BCD
【分析】对A 直接由两圆相内切得a=0，所以A 错误；对B 由圆的弦长公式及三角形的中位线定理可得；对D 由圆
心角与圆周角的关系可得；对C 由正弦定理并结合BD 选项解析可得.
【详解】对于A，圆O: x
2+ y
2= 4，圆心O(0,0)，半径R =2，
整理圆C : x
2+( y −1)
2=1−a，
圆心C (0,1)，半径r = ❑√1−a.
两圆相内切且O半径大于C半径，圆心距∣OC ∣=1= R−r，得r =1，
因此❑√1−a=1，解得a=0，故选项A 错误；
对于B，由A 选项分析知a=0时，圆C方程为x
2+ y
2−2 y =0，点A (0,2)在圆C上，
若直线AM的斜率存在，设直线AM的方程为y =kx +2，
则圆O到直线AM的距离d =
2
❑√1+k
2，所以|AM|=2
❑√4−d
2=2❑√
4−
4
1+k
2 =
4|k|
❑√1+k
2，
则圆C (0,1)到直线AM的距离d1=
1
❑√1+k
2，|AP|=2
❑√1−d1
2=2❑√
1−
1
1+k
2 =
2|k|
❑√1+k
2，
所以|AM|=2|AP|，即P为AM的中点，
同理得Q为AN的中点，得|MN|=2|PQ|，所以⃗MN =2⃗PQ.
若直线AM的斜率不存在，则M (0,−2), P(0,0)，P点仍为AM的中点，
同理得Q为AN的中点，得|MN|=2|PQ|，所以⃗MN =2⃗PQ.
综上所述，⃗MN =2⃗PQ，所以B 正确；
对于D，根据圆周角与圆心角的关系，且∠MON ≤180°（当直线MN过圆心O时，∠MON =180°），
所以∠MAN = 1
2 ∠MON ≤90°，故D 正确；
对于C，当| PQ|= ❑√3时，由B 选项解析知|MN|=2|PQ|=2❑√3，
在△AMN中，由正弦定理得sin ∠MAN =|MN|
2 R = 2❑√3
4
=
❑√3
2 ，
得∠MAN =60°或∠MAN =120°，
由D 选项解析可知∠MAN ≤90°，所以∠MAN =60°.
当∠MAN =60°时，在△AMN中由正弦定理||MN|
2 R =sin ∠MAN =
❑√3
2
，
得| MN |= 4×
❑√3
2 =2❑√3，故| PQ|= 1
2 | MN |= ❑√3，故C 正确.
三、填空题
4．（2026·河北沧州·一模）已知过原点O的直线与圆C : x
2+ y
2−8 x +8=0交于M , N两点，弦MN的中点为P，则点
P的轨迹长度为___________．
【答案】2π
【分析】先求得圆C的圆心和半径，然后求得弦MN中点P的轨迹，进而求得轨迹的长度.
【详解】圆C : x
2+ y
2−8 x +8=0，即(x −4)
2+ y
2=8，
所以圆心C (4,0)，半径r =2❑√2，
设P(x , y)，⃗OP =(x , y),⃗PC =(4−x ,−y)，
由OP⊥CP，得x (4−x)−y
2= 4 x−x
2−y
2=0，
x
2+ y
2−4 x =0,(x−2)
2+ y
2= 4，
所以P点的轨迹是以D (2,0)为圆心，半径为R =2的圆，在圆C内部的部分，
|CD|=2∈(2❑√2−2,2❑√2+2)，所以圆C与圆(x −2)
2+ y
2= 4相交，
由¿两式相减并化简得x =2，
所以P点的轨迹是以D (2,0)为圆心，半径为R =2的半圆（右半圆），
所以轨迹长度为1
2 ×2π×2=2π.
故答案为：2π
四、解答题
5．已知圆心为C的圆经过A (1,0)，B (4,3)两点，且圆心C在直线x−y −2=0上．
(1)求圆C的标准方程．
(2)过直线l：x−2 y −11=0上的点P作圆C的切线PM，PN，切点分别为M，N．
①求四边形PMCN面积的最小值；
②当四边形PMCN的面积最小时，求直线MN的方程．
【答案】(1)(x−3)
2+( y −1)
2=5
(2)①5 ❑√3；②2 x−4 y −7 =0
【分析】（1）设圆心和半径得出标准方程，再利用已知两点在圆上及圆心所在直线列方程组，求出圆心坐标及半径，
进而求出圆的方程；
（2）利用圆的几何性质，结合点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系求出面积最小值；当四边形面积最小是，
求出PC所在直线方程，进而求出点P坐标，从而求出PC为直径的圆的方程，联立两圆方程求出交点所在直线方程．
【详解】（1）设圆C的圆心为C (a,b)，半径为r，则圆C的标准方程为(x−a)
2+( y −b)
2=r
2（r >0），
∵圆心为C的圆经过A (1,0)，B (4,3)两点，且圆心C在直线x−y −2=0上，
∴¿，解得¿
∴圆C的标准方程为(x−3)
2+( y −1)
2=5．
（2）
①圆心C到直线l的距离d =|3−2×1−11|
❑√1
2+(−2)
2 =2❑√5，
由（1）可知圆C的半径r = ❑√5，则|PM|≥
❑√d
2−r
2= ❑√15，
∴四边形PMCN的面积S =|PM|⋅r ≥❑√15×❑√5=5 ❑√3，
∴四边形PMCN面积的最小值为5 ❑√3；
②当四边形PMCN的面积最小时，直线PC的方程为2 x + y −7 =0，
由¿，得¿，即P的坐标为(5,−3)，
∵ PM ⊥CM，PN ⊥CN，∴ M，N在以PC为直径的圆上，
∵ P(5,−3)，C (3,1)，
设PC为直径的圆的圆心为(m,n)，半径为r1，则标准方程为(x −m)
2+( y −n)
2=r1
2，
¿，
∴ PC为直径的圆的方程为(x−4)
2+( y +1)
2=5，
∵ M，N在圆C上，
∴直线MN的方程为(x−4)
2+( y +1)
2−[(x−3)
2+( y −1)
2]=5−5，即2 x−4 y −7 =0．
