2026 年高考数学·教考衔接
教材命题点探源
-----------------------------------供2026 高考备考二轮、三轮复习及考前使用-----------------------------
教考衔接一 集合与常用逻辑用语、不等式
--------------------------■高考命题·解读■-----------------------------
核心考点
五年考情
考点1.判断元素与集合的关系
2022·全国乙卷
考点2.集合元素互异性的应用
2023·全国乙卷
考点3.根据集合的包含关系求参数
2023·新课标 II 卷
考点4.交集的概念及运算
2025·全国二卷；2024·全国甲卷；
2024·新高考全国 I 卷；2023·新课标 I 卷；
2022·新高考全国 I 卷；2022 新高考全国 II 卷；
2022·全国甲卷；2022·全国乙卷；
2021·新高考全国 I 卷；2021 全国甲卷；
2021·全国乙卷
考点5.补集的概念及运算
2025·全国一卷
考点6.集合的交并补混合运算
2024·全国甲卷；2023 全国甲卷；2023 全国乙卷；
2022·全国甲卷；2021 新高考全国 II 卷；
2021·全国乙卷
考点7.判断命题的真假
2024·新课标 II 卷；2021·全国乙卷
考点8.充分条件和必要条件的判断与探求
2024·全国甲卷
考点9.判断命题的必要不充分条件
2023·全国甲卷；2021·全国甲卷
考点10.判断命题的充要条件
2023·新课标 I 卷
🎯【命题解读】（考前必看）
1.集合是高考的必考内容，一般以选择题的形式出现，试题较为简单，属于送分题，命题的热点为集合的基本
运算，常结合一元二次不等式的解法进行考查.
2.高考对常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件的判断，全
称量词命题、存在量词命题的否定，题目难度中等或偏下，以选择题或填空题为主.
3.高考在不等式部分的命题点有：
（1）不等式的性质及应用，不等式常与函数相结合；
（2）不等式的解法，常与集合的基本运算相结合；
（3）利用基本不等式求最值、证明不等式等.难度一般不大，常与其他知识相结合.
🎯练教材-----必刷经典母题
【教材母题1】 (人教A 版必修第一册P14 习题1.3·T1)集合A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},求A∪B,A∩B.
【解析】因为B={x|3x-7≥8-2x}={x|x≥3},A={x|2≤x<4},所以A∪B={x|x≥2},A∩B={x|3≤x<4}.
【教材母题2】 (人教B 版必修第一册P21 习题1-1B·T5)已知A={x||x|<3},B={x∈N|x2<11},求A∩B.
【解析】因为A={x||x|<3}={x|-3<x<3},B={x∈N|x2<11}={0,1,2,3},所以A∩B={0,1,2}.
【🚀衔接高考】
（1）（2025·全国二卷）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故
.
（2）(2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=( )
A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
【答案】A
【解析】因为A={x|-5<x3<5}={x|-3√5<x<3√5},B={-3,-1,0,2,3},所以A∩B={-1,0},故选A.
（3）(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M={x|❑√x<4},N={x|3x≥1},则M∩N=( )
A.{x|0≤x<2} B.{x|
1
3 ≤x<2} C.{x|3≤x<16} D.{x|
1
3 ≤x<16}
【答案】D
【解析】因为M={x|❑√x<4},所以M={x|0≤x<16};因为N={x|3x≥1},所以N={x|x≥1
3},所以M∩N={x|
1
3 ≤x<16}
,
故选D.
（4）(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=( )
A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4}
【答案】B
【解析】由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2,所以B={x|0≤x≤2},所以A∩B={1,2},故选B.
（5）(2020·新高考Ⅰ卷)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=( )
A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}
【答案】C
【解析】A∪B={x|1≤x ≤3}∪{x|2< x<4}={x|1≤x<4}.故选C.
【教材母题3】 (人教A 版必修第一册P9 练习·T3)判断下列两个集合之间的关系:
（1）A={x|x<0}，B={x|x<1}；
（2）A={x|x=3k,k∈N}，B={x|x=6z,z∈N}；
（3）A={x∈N+|x 是4 与10 的公倍数}，B={x|x=20m,m∈N+}.
【解析】 (1)A⫋B；(2)B⫋A；(3)A=B.
【🚀衔接高考】
（1）(2021·全国乙卷)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( )
A.⌀ B.S C.T D.Z
【答案】C
【解析】解法一：在集合T 中，令n=k(k∈Z),则t=4n+1=2(2k)+1(k∈Z),而集合S 中，s=2n+1(n∈Z),所以必有
T⊆S，所以S∩T=T，故选C.
解法二：S={…,-3,-1,1,3,5,…},T={…,-3,1,5,…},观察可知,T⊆S,所以S∩T=T,故选C.
（2）(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)=( )
A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.⌀
【答案】A.
【解析】集合M∪N 表示被3 除余1 或2 的整数集,则它在整数集中的补集是恰好被3 整除的整数集,故选A.
【教材母题4】(人教A 版必修第一册P14 习题1.3·T4)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求
∁R(A∪B),∁R(A∩B),(∁RA)∩B,A∪(∁RB).
【解析】因为A∪B={x|2<x<10},所以∁R(A∪B)={x|x≤2 或x≥10}.因为A∩B={x|3≤x<7},所以∁R(A∩B)={x|x<3 或
x≥7}.因为A={x|3≤x<7},所以∁RA={x|x<3 或x≥7},(∁RA)∩B={x|2<x<3 或7≤x<10}.因为B={x|2<x<10},所以∁RB={x|
x≤2 或x≥10},所以A∪(∁RB)={x|x≤2 或3≤x<7 或x≥10}.
【教材母题5】 (人教B 版必修第一册P19·例4)已知U={x∈N|x≤7},A={x∈U|x2≤7},B={x∈U|0<2x≤7},求
∁UA,∁UB,(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∩B).
【解析】不难看出U={0,1,2,3,4,5,6,7},A={0,1,2},B={1,2,3},因此∁UA={3,4,5,6,7},∁UB={0,4,5,6,7},
(∁UA)∪(∁UB)={0,3,4,5,6,7},∁U(A∩B)={0,3,4,5,6,7}.
【🚀衔接高考】
（1）（2025·全国一卷）已知集合U＝{x|x 是小于9 的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA 中元素个数为
(
)
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C.
【解析】由描述法给出的定义可知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，因为A＝{1，3，5}，所以∁UA＝{2，4，
6，7，8}，从而∁UA 中元素的个数为5.因此正确选项是C.
（2）（2025·天津高考）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，则
，集合
，故
故选D.
（3）(2024·全国甲卷)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|❑√x∈A},则∁A(A∩B)=( )
A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5}
【答案】D
【解析】B={1,4,9,16,25,81},A∩B={1,4,9},则∁A(A∩B)={2,3,5}.故选D.
（4）(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=( )
A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN
【答案】A
【解析】因为M∪N={x|x<2},所以∁U(M∪N)={x|x≥2},故选A.
（5）(2023·全国乙卷)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M∪∁UN=( )
A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U
【答案】A
【解析】由题意知,∁UN={2,4,8},所以M∪∁UN={0,2,4,6,8}.
（6）(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩(∁UB)=( )
A.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3}
【答案】B
【解析】由题设可得∁UB={1,5,6},故A∩(∁UB)={1,6}.
【教材母题6】 (人教A 版必修第一册P9 习题1.2·T5)
（1）设a,b∈R,P={1,a},Q={-1,-b},若P=Q,求a-b 的值;
（2）已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,求实数a 的取值范围.
【解析】（1）由于P=Q,所以a=-1,且-b=1,故a-b=0.
（2）如图所示,因为B⊆A,所以a≥2.
【🚀新题预测】
（1）（2025·江西模拟）已知集合
，
，
，则
中的元素个数至少为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】由
中元素的互异性，得
，即
且
，而
，则当
且
时，
与
均互异，因此
中至少有
元素，取
，此时
，
有4
个元素，∴
中的元素个数至少为4 个.故选C.
（2）（2026·重庆模拟）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，可得
，解得
，所以
，由
，可得
，又
，所以
，所以实数
的取值范围是
.故选A.
【教材母题7】 (人教A 版必修第一册P35·T9)已知集合A={1,3,a2},B={1,a+2},是否存在实数a,使得A∪B=A?若
存在,试求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.
【解析】若A∪B=A,则B⊆A,所以a+2=3 或a+2=a2,解得a=-1 或1 或2.因为a=-1 或1 时,不满足集合元素的互异性,
所以a=2,所以存在实数a=2,使得A∪B=A.
【教材母题8】 (人教B 版必修第一册P22 习题1-1C·T1)已知集合A={1,3,m},B={m2,1},且A∪B=A,求m 的值.
【解析】因为A∪B=A,所以B⊆A,所以m2=3 或m2=m,所以m=±❑√3或m=0 或m=1,当m=1 时,A={1,3,1},不符合元素
的互异性,所以m=±❑√3或m=0.
【🚀衔接高考】
(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=( )
A.2 B.1 C.2
3 D.-1
【答案】B
【解析】依题意,有a-2=0 或2a-2=0.当a-2=0 时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B;
当2a-2=0 时,解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B.所以a=1,故选B.
【🚀新题预测】
（1）（2026·江西萍乡模拟）已知集合
，
，
，若集合
C 有3 个真子集，则实数m 的值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
有3 个真子集，所以
中有2 个元素，故
中有两个元素，
故
且
，则
，解得
且
.故选C.
（2）（2026·湖南长沙模拟）已知集合
，若
，则
的可能取值组成的集
合为
______
．
【答案】
【解析】
，∴
．∴当
时，
；当
时，
；当
时，
，
∴
的值为0，1，
，∴
的值为
．
【教材母题9】 (人教A 版必修第一册P23 习题1.4·T6)设a,b,c 分别是△ABC 的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如
果△ABC 为直角三角形,那么有a2+b2=c2(勾股定理).反过来,如果a2+b2=c2,那么△ABC 为直角三角形(勾股定理的逆
定理).由此可知,a2+b2=c2是△ABC 为直角三角形的充要条件.请利用边长a,b,c 分别给出△ABC 为锐角三角形和钝
角三角形的一个充要条件,并证明.
【解析】 (1)△ABC 为锐角三角形的充要条件是a2+b2>c2,
证明如下:必要性,在△ABC 中,∠C 是锐角,故由余弦定理得cos C=a
2+b
2-c
2
2ab
>0,则a2+b2-c2>0,即a2+b2>c2.
充分性:由余弦定理可知cos C=a
2+b
2-c
2
2ab
,因为a2+b2>c2,所以cos C>0,所以0<C<π
2 ,又a≤b≤c,所以A,B∈(0, π
2),
即△ABC 是锐角三角形.
(2)△ABC 为钝角三角形的充要条件是a2+b2<c2.同理可以证明.
【🚀衔接高考】
(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n 项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{
Sn
n }为等差数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】若{an}为等差数列,设其公差为d,则Sn=na1+n(n-1)
2
d,所以Sn
n =a1+(n-1)·d
2 ,所以Sn+1
n+1-Sn
n =a1+(n+1-1)·d
2 -
[a1+(n-1)· d
2]=d
2 ,为常数,所以{
Sn
n }为等差数列,即甲⇒乙;若{
Sn
n }为等差数列,设其公差为t,
则Sn
n =S1
1 +(n-1)t=a1+(n-1)t,所以Sn=na1+n(n-1)t,所以当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=na1+n(n-1)t-[(n-1)a1+(n-1)(n-2)t]=a1+2(n-1)t,
当n=1 时,a1=S1也满足上式,所以an=a1+2(n-1)t(n∈N*),所以an+1-an=a1+2(n+1-1)t-[a1+2(n-1)·t]=2t,为常数,
所以{an}为等差数列,即甲⇐乙.所以甲是乙的充要条件,故选C.
【教材母题10】 (人教A 版必修第一册P34·T5)已知a,b,c 是实数,判断下列命题的真假:
(1)“a>b”是“a2>b2”的充分条件;( )
(2)“a>b”是“a2>b2”的必要条件;( )
(3)“a>b”是“ac2>bc2”的充分条件;( )
(4)“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
【解析】 (1)当b<a<0 时,a2<b2,假命题;(2)当a2>b2时,得a<b<0 或a>b>0,假命题;
(3)当c=0 时,由a>b 无法推出ac2>bc2,假命题;(4)当ac2>bc2时,c2>0,a>b,真命题.
【🚀衔接高考】
（1）(2025·天津高考)设x∈R，则“x=0”是“sin 2x=0”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.充分性:当x=0 时，sin 0=0，故充分性成立；必要性:当sin 2x=0 时，2x=kπ，k∈Z，即x=kπ
2
，
k∈Z，故必要性不成立，故“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.
（2）(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( )
A.x=-3 是a⊥b 的必要条件 B.x=-3 是a∥b 的必要条件
C.x=0 是a⊥b 的充分条件 D.x=-1+❑√3是a∥b 的充分条件
【答案】C
【解析】a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0 或x=-3,所以x=-3 是a⊥b 的充分条件,x=0 是a⊥b 的充分条件,故A 错误,C 正确.
a∥b⇔2x+2=x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1±❑√3,故B,D 错误.
（3）（2025·北京高考）已知函数
的定义域为D，则“
的值域为
”是“对任意
，存在
，使得
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数
的值域为
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，充分性成立；取
，
，则对任意
，一定存在
，使
得
，取
，则
，但此时函数
的值域为
，必要性不成立；
所以“
的值域为
”是“对任意
，存在
，使得
”的充分不必要条件.故选A.
【教材母题11】 (人教A 版必修第一册P35·T6)用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假:
(1)任意实数的平方大于或等于0;
(2)对任意实数a,二次函数y=x2+a 的图象关于y 轴对称;
(3)存在整数x,y,使得2x+4y=3;
(4)存在一个无理数,它的立方是有理数.
【解析】(1)∀x∈R,x2≥0,真命题;(2)∀a∈R,二次函数y=x2+a 的图象关于y 轴对称,真命题;
(3)∃x∈Z,y∈Z,2x+4y=3,假命题,理由:2x+4y=2(x+2y)为偶数;(4)∃x∈R 为无理数,x 的立方是有理数,真命题,例如x=
3√2,x3=2.
【🚀衔接高考】
(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则( )
A.p 和q 都是真命题
B. ¬p 和q 都是真命题
C.p 和¬q 都是真命题
D. ¬p 和¬q 都是真命题
【答案】B
【解析】因为∀x∈R,|x+1|≥0,所以命题p 为假命题,所以¬p 为真命题.因为x3=x,所以x3-x=0,所以x(x2-1)=0,即x(x+1)
(x-1)=0,解得x=-1 或x=0 或x=1,所以∃x>0,使得x3=x,所以命题q 为真命题,所以¬q 为假命题,所以¬p 和q 都是真命
题,故选B.
【教材母题12】 (人教A 版必修第一册P57·T4)求下列不等式的解集:
（1）14-4x2≥x; （2）x2-14x+45≤0;
（3）x2+6x+10>0; （4）x(x+2)>x(3-x)+1.
【解析】 (1)由14-4x2≥x 得4x2+x-14≤0,所以(x+2)(4x-7)≤0,所以-2≤x≤7
4 ,所以不等式14-4x2≥x 的解集为{x|-2≤x≤7
4 }.
(2)因为x2-14x+45≤0,所以(x-5)(x-9)≤0,所以5≤x≤9,所以不等式x2-14x+45≤0 的解集为{x|5≤x≤9}.
(3)因为x2+6x+10>0,所以(x+3)2+1>0,所以x∈R,所以不等式x2+6x+10>0 的解集为R.
(4)由x(x+2)>x(3-x)+1 得2x2-x-1>0,所以(2x+1)(x-1)>0,
所以x>1 或x<-1
2,所以不等式x(x+2)>x(3-x)+1 的解集为{x| x<- 1
2 或x>1}.
【🚀衔接高考】
（1）(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=( )
A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2}
【答案】C
【解析】因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3 或x≤-2},所以M∩N={-2},故选C.
（2）（2025·全国二卷）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
即为
即
，故
，故解集为
，故选C.
（3）（2025·上海高考）不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】原不等式转化为
，解得
，则其解集为
.
【教材母题13】(湘教版必修第一册P39·例5)设a,b 为正数,证明下列不等式:
（1）a+1
a≥2; （2）b
a+a
b ≥2.
【证明】 (1)因为a,1
a均为正数,由基本不等式,得a+1
a≥2❑√a· 1
a
=2,当且仅当a=1
a,即a=1 时等号成立,所以原不等
式成立.
(2)因为a,b 为正数,所以b
a,a
b 也为正数,由基本不等式,得b
a+a
b ≥2❑√
b
a · a
b
=2,当且仅当b
a=a
b,即a=b 时等号成立,
所以原不等式成立.
【🚀衔接高考】
（1）(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4 的是( )
A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+
4
|sin x| C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 4
ln x
【答案】C
【解析】选项A,因为y=x2+2x+4=(x+1)2+3,所以当x=-1 时,y 取得最小值,且ymin=3,所以选项A 不符合题意;
选项B,因为y=|sin x|+
4
|sin x|≥2❑√
|sin x|·
4
|sin x|
=4,所以y≥4,当且仅当|sin x|=
4
|sin x|,即|sin x|=2 时取等号,但
是根据正弦函数的有界性可知|sin x|=2 不可能成立,因此可知y>4,所以选项B 不符合题意;选项C,因为y=2x+22-x≥2
❑√2
x·2
2- x=4,当且仅当2x=22-x,即x=2-x,即x=1 时取等号,所以ymin=4,所以选项C 符合题意;
（2）（2025·上海高考）设
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将
展开利用基本不等式计算即可.
【解析】易知
，当且仅当
，即
时取得最
小值.
【教材母题14】 (人教A 版必修第一册P58·T6)当k 取什么值时,一元二次不等式2kx2+kx-3
8<0,对一切实数x 都
成立.
【解析】令y=2kx2+kx-3
8,由题意得k≠0.因为y<0 恒成立,所以开口向下,抛物线与x 轴无交点,所以
{
k <0,
Δ=k
2- 4×2k·(- 3
8)<0,解得-3<k<0,故所求k 的取值范围为(-3,0).
【🚀衔接高考】
（2025·天津高考）若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为
________________.
【答案】
【分析】先设
，根据不等式的形式，为了消
可以取
，得到
，验证
时，
是否可
以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【解析】设
，原题转化为求的最小值，原不等式可化为对任意的
，
，
不妨代入
，得
，得
，
当
时，原不等式可化为
，即
，
观察可知，当
时，
对
一定成立，当且仅当
取等号，
此时，
，说明
时，
均可取到，满足题意，故
的最小值为
.
【🚀新题预测】
（2026·江西模拟）已知对任意的
，不等式
恒成立，则
的取值集合为
.
【答案】
【解析】当
时，由
，可得
对任意的
恒成立，即
对任意的
恒成
立，此时
不存在；当
时，由
对任意的
恒成立，作出
的大致图
象，如图所示：
由题意可知
，又
是整数，所以
或
或
.故答案为
.
【教材母题15】 (人教A 版必修第一册P58T·10)购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品
价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.
哪种购物方式比较经济?你能把所得结论作一些推广吗?
【解析】若按第一种策略购物,设第一次购物时的价格为p1元/kg,购n kg,第二次购物时的价格为p2元/kg,仍购n
kg,两次购物的平均价格为p1n+ p2n
2n
= p1+ p2
2
;若按第二种策略购物,第一次花m 元钱,能购m
p1
kg 物品,第二次仍
花m 元钱,能购m
p2
kg 物品,两次购物的平均价格为
2m
m
p1
+ m
p2
=
2
1
p1
+ 1
p2
.比较两次购物的平均价格: p1+ p2
2
-
2
1
p1
+ 1
p2
= p1+ p2
2
-2 p1 p2
p1+ p2
=( p1+ p2)
2- 4 p1 p2
2( p1+ p2)
= ( p1- p2)
2
2( p1+ p2)
≥0,
所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格,因而用第二种策略比较经济.
推广:一般地,如果是多次购买同一种物品,用第二种策略购买比较经济.
【教材母题16】 (人教A 版必修第一册P58·T5)若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab 的取值范围.
【解析】因为a,b>0,所以a+b≥2❑√ab,所以ab=a+b+3≥2❑√ab+3,所以ab-2❑√ab-3≥0,所以(❑√ab+1)(❑√ab-3)≥0.因为
❑√ab+1>0,所以❑√ab-3≥0,所以ab≥9,当且仅当a=b,即a=b=3 时,ab 取得最小值9,故ab 的取值范围是[9,+∞).
【🚀衔接高考】
(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y 满足x2+y2-xy=1,则( )
A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
【答案】BC
【解析】因为ab≤(
a+b
2 )
2
≤a
2+b
2
2
(a,b∈R),由x2+y2-xy=1 可变形为(x+y)2-1=3xy≤3(
x + y
2 )
2
,解得-2≤x+y≤2,
当且仅当x=y=-1 时,x+y=-2,当且仅当x=y=1 时,x+y=2,所以A 错误,B 正确;由x2+y2-xy=1 可变形为(x2+y2)-1=xy≤
x
2+ y
2
2
,解得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1 时取等号,所以C 正确;因为x2+y2-xy=1 变形为(x - y
2)
2
+3
4 y2=1,
设x- y
2 =cos θ,
❑√3
2 y=sin θ,所以x=cos θ+
❑√3
3 sin θ,y=2❑√3
3
sin θ,因此x2+y2=cos2θ+5
3sin2θ+2❑√3
3
sin θcos θ=1+
❑√3
3
sin 2θ-1
3cos 2θ+1
3=4
3 +2
3sin(2θ - π
6)∈[
2
3 ,2],所以当x=
❑√3
3
,y=-
❑√3
3
时,x2+y2=2
3,但是x2+y2≥1 不成立,所以D 错误.
【🚀新题预测】
(多选)(2026·山东青岛模拟)若实数a>0，b>0，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是( )
A.a＋b≤8
B.ab≥16 C.a＋3b≥4＋6❑√3
D. 1
a-1 ＋
4
b-1≥4
3
【答案】BCD
【解析】对于选项A，由a＋b＋8＝ab≤(
a＋b
2 )
2
，当且仅当a＝b 时等号成立，不妨设a＋b＝t，
则t2－4t－32≥0，解得t≥8 或t≤－4，因为a>0，b>0，则a＋b≥8，故A 项错误；
对于选项B，由ab－8＝a＋b≥2❑√ab，当且仅当a＝b 时等号成立，
不妨设❑√ab＝s，则s2－2s－8≥0，解得s≥4 或s≤－2，因为s>0，则s≥4，即ab≥16，故B 项正确；
对于选项C，由ab＝a＋b＋8 可得a(b－1)＝b＋8，则b－1>0，且a＝b＋8
b-1 ，
则a＋3b＝b＋8
b-1 ＋3b＝1＋9
b-1＋3b＝4＋9
b-1＋3(b－1)≥4＋2❑√27＝4＋6❑√3，
当且仅当9
b-1＝3(b－1)，即b＝❑√3＋1，a＝3❑√3＋1 时取等号，a＋3b 有最小值4＋6❑√3，故C 项正确；
对于选项D，由ab＝a＋b＋8 可得ab－a－b＋1＝9，即(a－1)(b－1)＝9，且a－1>0，b－1>0，
则1
a-1 ＋
4
b-1≥2❑√
1
a-1 ·
4
b-1 ＝4
3
，当且仅当1
a-1 ＝
4
b-1时等号成立，由{
1
a-1 ＝
4
b-1 ,
ab＝a＋b＋8
解得{
a＝5
2 ,
b＝7,
即当且仅当a＝5
2，b＝7 时，1
a-1 ＋
4
b-1有最小值4
3 ，故D 项正确.
🎯读教材-----玩味阅读材料
【阅读1】通过阅读《阅读与思考——集合中元素的个数》(人教A 版必修第一册P15)和《阅读材料——康托尔
与集合论》,得出如下结论:
结论1：把含有限个元素的集合A 叫做有限集,用card(A)来表示有限集合A 中元素的个数.
结论2：一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
结论3：对于有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)
+card(A∩B∩C).
结论4：有限集合中元素的个数,我们可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,如
A={1,2,3,4,…,n,…},B={2,4,6,8,…,2n,…},
我们无法数出集合中元素的个数,但可通过构建正整数n 和正偶数2n 之间的一个函数关系,而且还是“一一对
应”的函数关系,得到集合A 和集合B 元素个数一样多.
【教材母题16】 (人教A 版必修第一册P35·T11)学校举办运动会时,高一(1)班共有28 名同学参加比赛,有15 人
参加游泳比赛,有8 人参加田径比赛,有14 人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3 人,同时参加游泳
比赛和球类比赛的有3 人,没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛
的有多少人?
【解析】解法一：设参加游泳、田径和球类的学生分别形成集合A,B,C.由题意得
card(A)=15,card(B)=8,card(C)=14,card(A∩B)=3,card(A∩B∩C)=0,card(A∩C)=3,card(A∪B∪C)=28.
由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C),
得card(B∩C)=15+8+14-3-3+0-28=3,所以card(B∪C)=card(B)+card(C)-card(B∩C)=8+14-3=19,
所以只参加游泳一项比赛的人数为card(A∪B∪C)-card(B∪C)=28-19=9.
解法二 如图所示.
设同时参加田径和球类比赛的有x 人,则28=15+8+14-3-3-x,解得x=3,
即同时参加田径和球类比赛的有3 人,而只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9 人.
【🚀衔接高考】
(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足
球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56%
C.46% D.42%
【答案】C
【解析】解法一：用Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图,设既喜欢足球又喜
欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x,则(60%-x)+(82%-x)+x=96%,解得x=46%.故选C.
法二 设该中学学生人数为n,喜欢足球的学生形成集合A,喜欢游泳的学生形成集合B,则
card(A∪B)=0.96n,card(A)=0.6n,card(B)=0.82n,因为card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),
所以card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B)=0.6n+0.82n-0.96n=0.46n,故选C.
【🚀新题预测】
【新高考·项目式】（2026·上饶模拟）某校校园文化节拟开展“笔墨飘香书汉字”书法大赛，全校共有37 名
同学提交了作品进行参赛，有20 人提交了楷书作品，有14 人提交了隶书作品，有16 人提交了行书作品，同时
提交楷书作品和隶书作品的有4 人，同时提交楷书作品和行书作品的有5 人，同时提交隶书作品和行书作品的
有6 人，则同时提交三种作品的有（ ）
A. 4 人
B. 3 人
C. 2 人
D. 1 人
【答案】 C
【解析】选C.设同时提交三种作品的有x 人，集合A 为提交了楷书作品的人，集合B 为提交了隶书作品的人，
集合C 为提交了行书作品的人.
方法一：如图所示，则11+ x + x + 4 - x +5- x + 4+ x +6- x +5+ x =37，解得x =2.
方法二:由三元容斥原理
card ( A ∪B∪C )=card( A )+card(B)+card(C )-card( A ∩B)-card( A ∩C )-card(B∩C )+card( A ∩B∩C )
可得37=20+14+16- 4 -5-6+ x，解得x =2.
【阅读2】阅读《阅读与思考——几何命题与充分条件、必要条件》(人教A 版必修第一册P24),如下结论:
结论1：三角形相似的判定定理可以判定两个三角形是相似三角形;但利用三角形相似的判定定理不一定可以判
定两个三角形不是相似三角形,如:和同一个三角形均不相似的两个三角形可能相似,即“p⇒q”⇏“¬p⇒¬q”.
结论2：三角形相似的性质定理可以判定两个三角形不是相似三角形,但三角形相似的性质定理不一定可以判定
两个三角形是相似三角形,如:面积比等于某组边的平方比的两个三角形不一定相似,
即:“q⇒r”⇒“¬r⇒¬q”,“q⇒r” ⇏“¬q⇒¬r”.
【🚀新题预测】
给定两个命题p,q, ¬p 是q 的必要不充分条件,则p 是¬q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由q⇒¬p 且¬p⇏q 可得p⇒¬q 且¬q⇏p,所以p 是¬q 的充分不必要条件.
🎯研教材-----深度探究思考
【探究1】 (人教A 版必修第一册P8 例1·练习T1 拓展)
n 元集合A={a1,a2,…,an}的子集有2n个,真子集有2n-1 个,非空子集有2n-1 个,非空真子集有2n-2 个.
【证明】在此仅证明子集个数为2n个.在此子集中:不含元素的集合,有Cn
0个;有1 个元素的集合,有Cn
1个;有2 个元
素的集合,有Cn
2个;……有k 个元素的集合,有Cn
k个;……有n 个元素的集合,有Cn
n个.故集合A 子集的个数为Cn
0+Cn
1+
Cn
2+…+Cn
k+…+Cn
n=2n.
【🚀新题预测】
（2026·唐山模拟）已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|x=3n,n∈Z},则A∩B 的子集个数是( )
A.3 B.6
C.8 D.9
【答案】C
【解析】由题意得,A∩B={-3,0,3},则A∩B 的子集有23=8 个.
【探究2】(人教A 版必修第一册P13 练习T3 拓展)
德摩根定律:①∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)(“交之补”等于“补之并”).②∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB)(“并之补”等于“补
之交”)
证明：借助Venn 图来证明:
①如图所示,
由图可得:∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
②如图所示,
由图可得:∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
【🚀新题预测】
(2026·佛山模拟)已知集合A={x|x>2},B={x|x<1},则(∁RA)∩(∁RB)=( )
A.⌀ B.{x|1<x<2} C.{x|1≤x≤2} D.R
【答案】 C
解析 由于A={x|x>2},B={x|x<1},故A∪B={x|x<1 或x>2},所以(∁RA)∩(∁RB)=∁R(A∪B)={x|1≤x≤2}.
【探究3】 (人教A 版必修第一册P43T10)糖水不等式
【教材母题18】(人教A 版必修第一册P43 习题2.1T10 改编)已知b 克糖水中有a 克糖(b>a>0)，再添加m 克水
(m>0)，糖水甜度变淡了．下面式子可以说明这一事实的是( )
A．＜ B．＞ C．＜ D．＜
【答案】A.
【解析】向糖水溶液中加入m 克水，糖水的浓度变为，此时浓度变小，糖水变淡，即＜.故选A．
糖水不等式：已知b>a>0,m>0,则a+m
b+m>a
b.
【证明】因为b>a,所以a+m
b+m-a
b=(a+m)b-a(b+m)
(b+m)b
=(b-a)m
(b+m)b >0,故a+m
b+m>a
b.
【推论】(对数型糖水不等式)若b>a>1,m>0,则有:
（1）logba<log(b+m)(a+m);
（2）logab>log(a+m)(b+m).
【证明】因为b>a>1,m>0,所以lg b>lg a>0,由糖水不等式,得logba=lga
lgb <
lga+lg b+m
b
lgb+lg b+m
b
=lg a(b+m)
b
lg(b+m)
=log(b+m)
a(b+m)
b
=log(b+m)(a+ am
b )<log(b+m)(a+m),即logba<log(b+m)(a+m),logab=lgb
lga>
lgb+lg a+m
a
lga+lg a+m
a
=lg b(a+m)
a
lg(a+m)
=log(a+m)(b+ b
a m)>log(a+m)(b+m).
【🚀衔接高考】
（1）(2022·全国甲卷)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则( )
A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a
【答案】A
【解析】解法一(糖水不等式)
由已知条件9m=10,可得m=log910=lg10
lg9 >
lg10+lg 10
9
lg9+lg 10
9
=lg 100
9
lg10
=lg 100
9 >lg 11,即m>lg 11,所以a>10lg 11-11=0,
即a>0.又m=lg10
lg9 <
lg10+lg 8
9
lg9+lg 8
9
=lg 80
9
lg8
=log880
9 <log89,即m<log89,所以b<8
lo g89-9=0,即b<0.综上,a>0>b.故选A.
解法二(利用对数型糖水不等式)因为9m=10,所以m=log910.在上述推论中,取a=9,b=10,
可得m=log910>log1011=lg 11,且m=log910<log89.所以a=10m-11>10lg 11-11=0,b=8m-9<8
lo g89-9=0,
即a>0>b,选A.
（2）(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b
【答案】A
【解析】a=log53=lg3
lg5<
lg3+lg 8
5
lg5+lg 8
5
=lg 24
5
lg8
=log824
5 <log85=b,即a<b.a=log53=lg3
lg5<
lg3+lg 13
5
lg5+lg 13
5
=lg 39
5
lg13
=log13
39
5 <log138=c,即a<c.
根据选项应用排除法,选A.
【探究4】(人教A 版必修第一册P39)如图是在北京召开的第24 届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代
数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些
相等关系和不等关系吗?
【解析】将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD 中有4 个全等的直角三角形.设每个直角三角形的两条直
角边的长分别为a,b(a≠b),那么正方形的边长为❑√a
2+b
2,则4 个直角三角形的面积和为2ab,正方形的面积为a2+b2,
由于正方形ABCD 的面积大于4 个直角三角形的面积和,即可得到不等式a2+b2>2ab.
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有a2+b2=2ab,
综上,对任意的a,b∈R,都有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b 时等号成立.
【🚀衔接高考】
（2021·浙江高考）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间
的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为
，
小正方形的面积为
，则
___________.
【答案】25.
【解析】由题意可得，大正方形的边长为：
，则其面积为：
，
小正方形的面积：
，从而
.
【探究5】 (人教A 版必修第一册P45)如图,AB 是圆的直径,点C 是AB 上一点,AC=a,BC=b.过点C 作垂直于AB 的
弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?
提示:如题图,可证△ACD∽△DCB,因而CD=❑√ab.由于CD 小于或等于圆的半径,用不等式表示为❑√ab≤a+b
2
.显
然,当且仅当点C 与圆心重合,即当a=b 时,上述不等式的等号成立.
【🚀衔接高考】
（2025·北京高考）已知a>0,b>0，则（ ）
A．a
2+b
2>2ab B．1
a + 1
b ≥1
ab C．a+b>❑√ab D．1
a + 1
b ≤
2
❑√ab
【答案】C.
【解析】选C.对于A,当a=b时，a
2+b
2=2ab，故A 错误；对于BD，取a= 1
2 ,b= 1
4 ，此时
1
a + 1
b =2+ 4 =6<
1
1
2 × 1
4
=8= 1
ab，
1
a + 1
b =2+ 4 =6>
2
❑√
1
2 × 1
4
= 4 ❑√2=
2
❑√ab，故BD 错误；对于C，由基本不等
式可得a+b≥2❑√ab>❑√ab，故选C.
【探究6】(人教A 版必修第一册P46 练习T1、T2 拓展)基本不等式链:若a>0,b>0,则
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
,当且仅当a=b 时,等号成立,其中
2
1
a + 1
b
,❑√ab,a+b
2
和❑√
a
2+b
2
2
分别叫做a,b 的调和平均数、几何平均数、
算术平均数和平方平均数.
【证明】如图,AB 是圆O 的直径,OF⊥AB,CE⊥OD,AC=a,BC=b,
则DE=C D
2
OD = 2ab
a+b =
2
1
a + 1
b
≤CD=❑√ab≤OD=a+b
2
≤CF=❑√OC
2+O F
2=❑√(
a-b
2 )
2
+(
a+b
2 )
2
=❑√
a
2+b
2
2
.
【🚀衔接高考】
（多选题）(2020·新高考Ⅱ卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则( )
A.a2+b2≥1
2 B.2a-b>1
2 C.log2a+log2b≥-2 D.❑√a+❑√b≤❑√2
【答案】ABD
【解析】因为a>0,b>0,a+b=1,所以a+b≥2❑√ab,当且仅当a=b=1
2时,等号成立,即有ab≤1
4 .
对于A,由❑√
a
2+b
2
2
≥a+b
2
=1
2,得a2+b2≥1
2,故A 正确;对于B,2a-b=22a-1=1
2×22a,因为a>0,所以22a>1,即2a-b>1
2,故B 正
确;对于C,log2a+log2b=log2ab≤log21
4 =-2,故C 错误;对于D,在a+b
2
≤❑√
a
2+b
2
2
中,把a 换成❑√a,b 换成❑√b,得
❑√a+ ❑√b
2
≤❑√
a+b
2
=
❑√2
2 ,
所以❑√a+❑√b≤❑√2,故D 正确.综上可知,正确的选项为ABD.
【探究7】 (人教A 版必修第二册P37T16 拓展)柯西不等式
（1）一般形式:设ai,bi∈R,i=1,2,…,n,则
n
∑
i=1
ai
2·
n
∑
i=1
bi
2≥(
n
∑
i=1
ibi)2,当且仅当ai=0 或bi=kai(k 为常数),等号成立.
证明 构造二次函数f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2=(a1
2+…+an
2)x2+2(a1b1+…+anbn)x+(b1
2+…+bn
2),
易知f(x)≥0 恒成立,故Δ≤0,即4(a1b1+…+anbn)2-4(a1
2+…+an
2)(b1
2+…+bn
2)≤0,
即(
n
∑
i=1
ibi)2≤
n
∑
i=1
ai
2·
n
∑
i=1
bi
2.当且仅当aix+bi=0,即ai=0 或bi=kai(k 为常数),等号成立.
（2）二维形式:若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.当且仅当ad=bc 时,等号成立.
【🚀新题预测】
（1）（2026·河北保定模拟）实数x，y 满足3x2＋4y2＝12，则z＝2x＋❑√3y 的最小值是( )
A.－5
B.－6
C.3
D.4
【答案】A
【解析】∵实数x，y 满足3x2＋4y2＝12，∴x
2
4 ＋y
2
3 ＝1，∴(
x
2
4 ＋y
2
3 )(16＋9)≥(2 x ＋❑√3 y )
2，
即－5≤2x＋❑√3y≤5，当且仅当3❑√3x＝8y，即当{
x＝- 8
5 ,
y ＝- 3 ❑√3
5
时，左边取等号，当{
x＝8
5 ,
y ＝3 ❑√3
5
时，右边取等号，
∴z＝2x＋❑√3y 的最小值是－5.
（2）(2026·盘锦模拟)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要
不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),由|a·b|≤|a||b|得到
(x1x2+y1y2)2≤(x1
2+y1
2)(x2
2+y2
2),当且仅当x1y2=x2y1时取等号.现已知a≥0,b≥0,a+b=5,则❑√2a+2+❑√b+3的最大值为(
)
A.18 B.9
C.2❑√3 D.3❑√3
【答案】D
【解析】因为(x1x2+y1y2)2≤(x1
2+y1
2)(x2
2+y2
2),令x1=❑√2,y1=1,x2=❑√a+1,y2=❑√b+3,又a≥0,b≥0,a+b=5,所以(❑√2a+2+
❑√b+3)2=(❑√2·❑√a+1+1·❑√b+3)2≤[(❑√2)2+12]·(a+1+b+3)=27,当且仅当❑√2·❑√b+3=1·❑√a+1,即a=5,b=0 时等号成立,
即❑√2a+2+❑√b+3≤3❑√3,故选D.
