微专题12 数列的递推关系
近几年高考：数列的递推关系是高考重点考查内容,作为两类
特殊数列——等差数列、等比数列,可直接根据它们的通项公
式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数
列求解,体现了化归思想在数列中的应用.
一、高考真题
1.(2021·浙江卷)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
an
1+ ❑√an
(n∈N*),
记数列{an}的前n 项和为Sn,则( )
A.3
2
<S100<3
B.3<S100<4
C.4<S100<9
2
D.9
2
<S100<5
2.(2019·上海卷)已知数列{an}的前n 项和为Sn,且满足Sn+an=2,
则S5= .
3.(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16 项和为
540,则a1= .
4.(2022·北京卷)已知数列{an}的各项均为正数,其前n 项和Sn满
足an·Sn=9(n=1,2,…).给出下列四个结论:
①{an}的第2 项小于3;②{an}为等比数列;
③{an}为递减数列;④{an}中存在小于1
100
的项,
其中所有正确结论的序号是 .
二．典型例题
1.形如an+1=pan+f(n)型
（1） an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)
例1 在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则数列{an}的通项公式为
.
（2） an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)
例2 已知数列{an}满足an+1=3an-4n-5,a1=5,求数列{an}的通项
公式.
(3) an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)
例3 在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an= .
训练1 (1)已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则an= .
(2)(2025·温州调研)已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an+3n,则an=
.
2.形如an+1=pan+qan-1(a1=a,a2=b)型
例4 已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),求这个
数列的通项公式.
规律方法 形如a1=m1,a2=m2,an+2=pan+1+qan(p,q 是常数)的二阶
递推数列都可用特征根法求得通项an,其特征方程为x2=px+q,
①
若①有二异根α,β,则可令an=c1αn+c2βn(c1,c2是待定常数);
若①有二重根α=β,则可令an=(c1+nc2)αn(c1,c2是待定常数).
再利用a1=m1,a2=m2,可求得c1,c2,进而求得an.
训练2 (1)在数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an(n∈N*),
则数列{an}的通项公式为 .
(2)在数列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,则an= .
3.形如an+1= pan
r an+ s
型
例5 (1)(2025·许昌质检)已知数列{an}中,a1=1,an+1= 2an
an+2
,则
an= .
(2)已知在数列{an}中,a1=2,an+1= an
an+3
(n∈N*),则an=
.
规律方法 求形如an+1= pan+q
r an+ s
通项公式的方法:
(1)当q=0 时,可用构造法:两边同时取倒数转化为1
an+1
= s
p
· 1
an
+ r
p
的形式,化归为bn+1=pbn+q 型,求出bn的表达式,再求an.
(2)当q≠0 时,可用不动点法.
①若只有一个不动点x0,则{
1
an−x0}是等差数列;
②若有两个不动点x1,x2,则{
an−x1
an−x2}是等比数列.
训练3 (1)已知数列{an}的首项a1=2
3
,an+1= 2an
an+1
,则{an}的通项
公式为 .
(2)在数列{an}中,若a1=1,an+1=
an
2an+1
,则an= .
4.形如an+1=pan
q(p>0,an>0)型
例6 在正项数列{an}中,a1=1,an+1=2an
2,求数列{an}的通项公式.
训练4 已知数列{an}满足an=3
2 an−1
2
+3an-1+1
2
,a1=2,则
log2(a5+1)= .
【精准强化练】
一、单选题
1.数列{an}中,an+1=2an+1,a1=1,则a100=( )
A.2100+1
B.2101
C.2100-1
D.2100
2.已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10=(
)
A.47
B.48
C.49
D.410
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=
an
4 an+1
,则满足an> 1
37
的n 的
最大取值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
4.设数列{an}的前n 项和为Sn,若Sn=2an-2n+1,则S10=( )
A.211-23
B.210-19
C.3×210-23
D.3×29-19
5.(2025·武汉调研)在数列{an}中,a1=3,an=2an-1-n+2,若an>980,
则n 的最小值是( )
A.8
B.9
C.10
D.11
6.已知数列{an}中,a1=2
3
,an+1=an+an·an+1,则数列{an}的通项公式
an=( )
A.
3
3n−1
B.3n−1
3
C.5
2
-n
D.
2
5−2n
7.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2❑√an+1+1,则a10=( )
A.80
B.100
C.120
D.143
8.(2025·六安模拟)某种生命体M 在生长一天后会分裂成2 个生
命体M 和1 个生命体N,1 个生命体N 生长一天后可以分裂成2
个生命体N 和1 个生命体M,每个新生命体都可以持续生长并
发生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算,记an表示第n
天生命体M 的个数,bn表示第n 天生命体N 的个数,且
a1=1,b1=0,则下列结论中正确的是( )
A.a4=13 B.数列{
bn
an}为递增数列
C.
5
∑
n=1
bn=63 D.若{an+λbn}为等比数列,则λ=1
二、多选题
9.(2025·广州质检)已知数列{an}满足a1=1,an+1=
an
2+3an
(n∈N*),则以下结论正确的是( )
A.{
1
an
+3}为等比数列 B.{an}的通项公式为an=
1
2
n−1−3
C.{an}为递增数列 D.{
1
an}的前n 项和Tn=2n+2-
3n-4
10.已知数列{an}满足a1=1,an-3an+1=2an·an+1(n∈N*),则下列结论
正确的是( )
A.{
1
an
+1}为等比数列 B.{an}的通项公式为an=
1
2×3
n−1−1
C.{an}为递增数列 D.{
1
an}的前n 项和Tn=3n-n
11.(2025·济宁质检)设数列{an}的前n 项和为Sn,满足
(an-1)2=4(100-Sn),n∈N*且a1>0,
an+an-1≠0(n≥2),则下列选项正确的是( )
A.an=2n-23 B.数列{
Sn
n }为等差数列
C.当n=10 时,Sn有最大值
D.设bn=anan+1an+2,则当n=8 或n=10 时,数列{bn}的前n 项和取最
大值
三、填空题
12.已知数列{an}满足an+1=2an-n+1,a1=3,则an= .
13.已知数列{an}满足:a1=2,an+1=an+2n,则{an}的通项公式为
.
14.(2025·石家庄调研)在正项数列{an}中,a1=1,a2=10, an
an−1
=
❑√
an−1
an−2
(n=3,4,5,…).则{an}的通项an= .
