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第 04 讲 数列求和
目录
第一部分：知识点必背................................................1
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：倒序相加求和.........................................3
高频考点二：分组（并项）求和.....................................5
高频考点三：裂项相消求和.........................................7
高频考点四：错位相减求和........................................10
高频考点五：数列求和的其他方法..................................13
第四部分：数学文化题...............................................15
第五部分：高考新题型（劣构性试题）.................................17
第一部分：知识点必背
1.公式法
(1)等差数列前 项和公式 ;
(2)等比数列前 项和公式
2.裂项相消求和法
裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前 项和变成首尾
若干少数项之和,从而求出数列的前 项和.
①②
③
④
⑤
3.错位相减求和法
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个
数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列{c
n
}的通项公式 ，其中{a
n
}、{b
n
}
中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列
的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q倍错位相减
法．
4.分组求和法
如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和
的数列，那么可用分组求和法.
5.倒序相加求和法
即如果一个数列的前 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前
项和.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．2．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为
的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
3．（2021·全国（乙卷文）·统考高考真题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知
， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：倒序相加求和
典型例题
例题1．（2023·江苏·统考模拟预测）若数列 满足 ， ，则
的前 项和为______.
例题2．（2023·湖北·统考模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个 阶代数方程
必有 个复数解等.若函数 ，设
，则 __________.
例题3．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知函数 ，则
______；设数列 满足 ，则此数列的前2023项的和为______.
例题4．（2023春·河南信阳·高二统考期中）给出定义：设 是函数 的导函数， 是函
数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称( )为函数 的“拐点”．经
研究发现所有的三次函数． 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的对称中心，已知函数
(1)求出 的对称中心；
(2)求 的值．
练透核心考点
1．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）已知函数 ，则
___．
2．（2023春·山东淄博·高二沂源县第一中学校考期中）已知 ，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ______．
3．（2023春·河南新乡·高二新乡市第一中学校考阶段练习）已知函数 满足 ，若数
列 满足 ，则数列 的前16项的和为______.
4．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，设 ，
．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
高频考点二：分组（并项）求和
典型例题
例题1．（2023·北京海淀·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，则
__________．
例题2．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 成
等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2023项和.
例题3．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在数列 中， ，当 时，(1)求证：数列 是等差数列；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求
例题4．（2023春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求 ．
练透核心考点
1．（2023·重庆·校联考三模）已知数列 满足： ， ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为 ，求 .
2．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期中）设等比数列 的前 项和为 ，公比 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和为 .3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ， 分别为等差数列，等比数列，且 ， ，
， .
(1)求 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 .
4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)将数列 和数列 中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列 ，求 的前100项
和.
高频考点三：裂项相消求和
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的
理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究.形数就是指平
面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数
的前四个数，若三角形数组成数列 ，四边形数组成数列 ，记 ，则数列 的前10项
和为（ ）
A． B． C． D．例题2．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区前锋学校校考期中）①某班植树小组今年计划植树不少
于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数 等于
_______；
② ______
例题3．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知数列 的各项均不为0，其前 项和
满足 ， ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
例题4．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)设 求数列 的前 项和.
例题5．（2023·云南保山·统考二模）已知 是数列 的前n项和， ，______.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个
补充在横线处，并求解：
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前6项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
练透核心考点1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西南昌·统考三模）已知 ，将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新数
列 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ， ，
.
(1)求 ， 及 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，求 的最小
值.
4．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，等
差数列 中， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记 ， ，求数列 的前n项和 ．5．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知等比数列 的公比 ，若
，且 ， ， 分别是等差数列 第1，3，5项．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 求数列{ }的前n项和 ．
高频考点四：错位相减求和
典型例题
例题1．（2023春·河南·高二襄城高中校联考阶段练习）已知数列 满足
，则 的前100项和为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知数列 的前 项的和为 ， ，数列
为单调递增的等比数列，且有 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，设 的前 项的和为 ，求 的值.例题4．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
例题5．（2023春·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）在① ；②
这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.
已知数列 的前 项和是 ，数列 的前 项和是 ，___________.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 .
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， ， 满足：
，若 是首项为2，公比为2的等比数列， ，则数
列 的前 项的和是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知数列 和数列 ， ， .设 ，则数
列 的前 项和 _________.3．（2023·广东深圳·校考一模）已知函数 的首项 ，且满足 ．
(1)求证 为等比数列，并求 ．
(2)对于实数 ， 表示不超过 的最大整数，求 的值．
4．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知数列 和 ， ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
5．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足
（ 为常数）.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .高频考点五：数列求和的其他方法
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的称号．设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数．已知数列 满足
，且 ，若 ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．4956 B．4959 C．4962 D．4965
例题2．（2023·全国·模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， .
(1)证明：数列 为等比数列.
(2)求数列 的前 项和 .
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，___________， .(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 ，当 时， ， .记数列 的前n项和为 ，求 .
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
① ；② ；③ .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
2．（2023·全国·高二专题练习）在① ， ；②公差为1，且 成等比数列；③ ，
，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知等差数列 的前 项和为 ，且满足___________
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，其中 表示不超过 的最大整数，求 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，且 ，正项等比数列
满足： ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
第四部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形，每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形，并将中间三角形变为白色，白色三角形不变.若第一个三角
形的面积为1，第n个图中白色部分的面积记为 ，则 ______.著名的洛卡斯数列 满足 ，
， ， 中所有既是偶数，又是3的倍数的项从小到大排列构成一个新的数列，该数
列的第n项为 ，则数列 的前n项和 ______.
2．（2023·全国·高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.用一点（或
一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，…他们研究了各种平
面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数
等等）.如前四个四棱锥数分别为 、 、 、 ，第 个四棱锥数为
.中国古代也有类似的研究，如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的
《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有 个球，第二层有 个球，第三层
有 个球， 若一个“三角垛”共有 层，则第 层有 ____个球，这个“三角垛”共有______个球.
3．（2023·全国·高三专题练习）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最简
单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形
的摆放规律相同)，设第 个图形包含 个小正方形.(1)求出 ；
(2)归纳出 与 的关系式，并根据你得到的关系式求 的表达式；
(3)求证： .
4．（2023·全国·高三专题练习）斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记
载着这样一个数列： 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就
是著名的斐波那契数列．那么 是斐波那契数列中的第______项．
5．（2023春·山东德州·高二统考期中）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME—7）的会徽图案，会
徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知 为直角顶点，设， ， ，… ， 构成数列 ，令 ， 为数
列 的前n项和，则 ___________．
第五部分：高考新题型（劣构性试题）
1．（2023·江西·统考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式及 ；
(2)设__________，求数列 的前 项和 ．
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知在公差为正数的等差数列 中， ，a，a，2a 构成等比数列.
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(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
3．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）从① ，②，③前 项和 满足 中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.
已知数列 的首项 ，且__________.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
4．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）在① ，②
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：设数列 的前 项和为 ， ，且______．
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
