微考点 抽象函数的单调性6 类常见考点全归纳
考点一 单调性的判定与证明
考点二 解不等式
考点三 参数的确定
考点四 大小的判定
考点五 最值的求解
考点六 综合问题的应用
抽象函数中的单调性问题
抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式,只给出了其他一些条件(如函数的定义域、经过的特殊
点、解析递推式、部分图像性质等)的函数问题,是高中与大学部分的一个衔接点.因为抽象函数无具体解析
式,所以判断或应用其单调性比较困难,是高中数学学习中的一大难点.下面结合几类常见的有关抽象函数的
单调性问题的技巧策略加以实例剖析.
一、单调性的判定与证明
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来解决抽象函数单调性的判定或证明等相关问题.通
过抽象函数的分析,结合函数单调性的定义,以及对应的条件加以判断对应抽象函数的单调性问题.解决此类
问题的关键是把x1写成(x1−x2)+x2或者把x1写成x1
x2
×x2(对应字母的顺序可以结合实际条件加以变换).
具体如下：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是
和型
抽象函数
“
”
y
x
f
，判断符号时要变形为：
1
1
1
2
1
2
)
(
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
2
1
2
1
2
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
;
②若给出的是
积型
抽象函数
“
”
xy
f
，判断符号时要变形为：
1
1
2
1
1
2
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
1
2
2
1
2
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
.
常见函数模型包括：
Ⅰ：若
，可认为函数为幂函数
(
的范围或数值需要其他条件确定)；
Ⅱ：若
，可认为函数为对数函数
(
的范围或数值需要其他条件确
定)；
Ⅲ：若
，可认为函数为指数函数
(
的范围或数值需要其他条件确
定)；
Ⅳ：若
，可认为函数为正比例函数
或
Ⅵ：若
，可认为是余弦函数
.
Ⅶ：若
，可认为函数为一次函数
或
题干
证明
已知函数
满足任意的实数
，都有
，且当
时，
．
判断
在
上的单调性并
证明．
设
且
，则
，
因
，则
，故
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递增．
定义在
上的函数
满足当
时，
，且对任意的
，
，有
．证明：
是增函数．
法一：
，且
，令
，
则
，则
，
因为
，所以
，
，
所以
，
是增函数；
法二：
，且
，
所以
，
由
，得
，又
，
所以
，即
，
所以
是增函数.
已知定义在
上的函数
，对
任意的
，恒有
成立．若
时，恒有
，试判断
在
上的单调性，并说
明理由．
在
上
为减函数，理由如下：
设
，则
，
又
，故
，
所以
，即
在
上为减函数.
【典例1】已知定义在R上的函数f (x)对任意实数x、y,恒有f (x)+f (y)=f (x+y),且当x>0时,f (x)<0.
求证:函数f (x)在R上是减函数.
【解析】设x1,x2∈R,且x1>x2,则x1−x2>0,由条件知,当x>0时,f (x)<0,
于
是
f(x1−x2)<0,
从
而
f(x1)−f(x2)=f[(x1−x2)+x2)−f(x2)=f(x1−x2)+f(x2)−f(x2)=f(x1−x2)<0,
所以,函数f (x)在R上是减函数.
二、参数的确定
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来破解已知不等条件背景下抽象函数的参数确定问
题.通过抽象函数的单调性的分析,结合函数单调性的定义,建立起涉及参数的不等式(组),同时要注意在函数
的定义域内讨论问题,进而通过求解不等式(组)来确定参数的取值问题.
【典例2】已知函数y=f (x)在区间(-1,1)上是减函数,又有f (1−a)−f (2 3
−a)>0成立,则实数a的取值范
围为_____.
【解析】由f (1−a)−f (2 3
−a)>0,得f (1−a)>f (2 3
−a).由于函数y=f (x)在区间(-1,1)上是减函数,
根据函数单调性的定义,可得{
1<1
−
−
a<1,
1<2 3
−
−
a<1,
1−a<2 3
−a,)
解得1
3 <a<1
2
,所以实数a的取值范围是(
1
3 ,1
2).
故填答案:(
1
3 ,1
2).
三、大小的判定
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来判定一些涉及抽象函数的函数值的大小比较问题.
【典例3】若函数f (x)为R上的增函数,对实数a,b满足a+ b>0,试比较f (a)+f (b)与f (−a)+f (−b)的
大小关系.
【解析】由a+ b>0,可得a>−b且b>−a.
由于函数f (x)为R上的增函数,
可得f (a)>f (−b),f (b)>f (−a),
结合不等式的性质,可得f (a)+f (b)>f (−a)+f (−b).
四、最值的求解
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来求解给定区间背景下抽象函数的最值问题.求解函
数在单调区间上的最值,其方法是根据单调函数的定义来解决,同时结合函数的奇偶性加以解决.而结合题目
中的特征及关系式,利用函数的单调性和奇偶性,使问题解决得干净利索,别具一格,达到极佳的效果.
【典例4】已知函数f (x)对任意x,y∈R,总有f (x)+f (y)=f (x+y),且当x>0时,f (x)<0,f (1)=−2
3
,求
函数f (x)在区间[
3,3
−
)上的最值.
【解析】令x=y=0,得f (0)=0;再令y=−x,得f (x)+f (−x)=f (0)=0,所以函数f (x)为奇函数.
对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则x2−x1>0,所以f(x2)−f(x1)=f(x2)+f(−x1)=f(x2)−x1)<0,
即f(x1)>f(x2),所以函数f (x)在R上为减函数,则在区间[
3,3
−
)上也必为减函数.
而f (3)=f (2+1)=f (2)+f (1)=3f (1)= 2
−,所以f (
3
−)=−f (3)=2,
所以函数f (x)在区间[
3,3
−
)上的取值范围为[
2,2
−
),即函数f (x)在区间[
3,3
−
)上的最大值为2,最小值
为-2.
五、综合问题的应用
合理借助函数的单调性的定义与相关性质,可以用来处理一些涉及抽象函数的综合应用问题.通过创新
条件给出相应抽象函数的基本性质,结合抽象函数的单调性来合理转化与应用,进而把对应的抽象不等式与
抽象函数的单调性加以合理链接,为进一步求解提供条件,背景新颖,创新应用.
【典例5】设f (x)是定义在(0,+∞)上的函数,满足条件:
(1)f (xy)=f (x)+f (y);
(2)f (2)=1；
(3)f (x)在(0,+∞)上是增函数.
如果f (2)+f (x
3
−)≤2,求实数x的取值范围.
【解析】由于f (xy)=f (x)+f (y),令x=y=2,可得f (4)=f (2)+f (2)=2f (2).又f (2)=1,则有f (4)=2.
而f (2)+f (x
3
−)=f[2(x
3
−))=f (2x
6
−),那么f (2)+f (x
3
−)≤2可化为f (2x
6
−)≤2=f (4),
即f (2x
6
−)≤f (4).由于函数f (x)在(0,+∞)上是增函数,可得{
2x
6>0,
−
2x
6≤4,
−
)解得3<x≤5,
故实数x的取值范围为(3,5].
其实,函数的单调性是函数的重要性质之一,特别是有效融合进抽象函数,使得问题更加抽象,思维得以提
升,素养得以培养,在解决单调性的判定与证明、参数的确定、大小的比较、求解函数值与最值以及综合应
用等方面都有着广泛的应用,使得问题更具挑战性,在相关场合都有比较大的用途.
考点一 单调性的判定与证明
1．（25-26 高一·全国·课后作业）已知函数
满足任意的实数
，都有
，且当
时，
．
(1)求
的值；
(2)判断
在
上的单调性并证明．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
定义在
上，且
，当
时，
．
(1)求证：当
时，
；
(2)求证：
在
上单调递减．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
，对任意的
，恒有
成立．
(1)求
的值；
(2)求证：当
时，
；
(3)若
时，恒有
，试判断
在
上的单调性，并说明理由．
4．（2025 高一·全国·专题练习）定义在
上的函数
满足当
时，
，且对任意的
，
，有
．证明：
(1)
；
(2)对任意的
恒有
；
(3)
是增函数．
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
满足条件：
对定义域上任意
①
，都有
；
当
②
时，
．
(1)求证：
；
(2)求证：
在
上单调递增．
6．（2025 高二·河北保定·阶段练习）已知函数
在
上满足
，且当
时，
；当
时，
．
(1)求
的值；
(2)判断并证明函数
的单调性；
(3)若
，求不等式
的解集．
7．（25-26 高一·全国·课后作业）已知函数
对任意的实数m，n，都有
，且
当
时，有
．
(1)求
的值；
(2)求证：
在R 上为增函数；
考点二 解不等式
8．（25-26 高三·甘肃兰州·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足：
，且当
时，
．则关于
的不等式
的解集为 ．
9．（25-26 高三·安徽·阶段练习）已知
的定义域为
，且
，对于任意正数x，y，都有
，若当
时，
，则不等式
的解集为 .
10．（25-26 高一·全国·期末）已知函数
的定义域为R，对任意的a，
，都有
，当
时，
，且
，若
，则不等式
的解
集是 ．
11．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
，对任意实数
满足：
，若
时，
恒成立，则满足不等式
的实数
的取值范
围是 ．
12．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，对于
，
，有
，
且
，则不等式
的解集为 ．
13．（2025 高一·安徽合肥·期末）已知定义在
上的函数
满足：当
时，
，且对任意
的
，均有
.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025 高一·江苏宿迁·期中）已知函数
的定义域为
，对任意的
，若对任意的
，有
，则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 参数的确定
15．（江苏省镇江市2025-2026 学年高三学期期初监测数学试题）已知对于
，恒有
，且当
时，
.对于
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·江苏·模拟预测）已知定义在
上的函数
，对任意正数x，y 满足
，且当
时，
，若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·全国·模拟预测）已知函数
对任意
恒有
，且当
时，
．若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2025 高一·四川南充·期中）已知函数
的定义域为
，
，都有
，且
，都有
，若
，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2025 高二·黑龙江牡丹江·期末）已知函数
的定义域为
，对任意
，
都满足
，且
，当
时，
且
.
(1)求
，
的值；
(2)用函数单调性的定义证明
在
上单调递减；
(3)若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围.
20．（2025 高一·河北保定·阶段练习）已知函数
对任意的实数m，n，都有
，
且当
时，有
．
(1)求
的值；
(2)求证：
在R 上为增函数；
(3)若
，且关于x 的不等式
对任意
恒成立，求实数a 的取值范围．
考点四 大小的判定
21．（2025 高二·广东揭阳·期末）已知定义在
上的函数
，对任意
，总有
成立，且当
时，
．设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2025 高三·新疆·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，设
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 最值的求解
23．（2025 高三·山西大同·期末）已知函数
对任意的实数x，y 都有
，且当
时，
，
，则当
时，
的值域为 ．
24．（2025 高二·河南周口·期末）函数
对任意
、
总有
，当
时，
，
，则下列命题中正确的个数是（ ）
①
是偶函数；
②
是
上的减函数；
③
在
上的最小值为
；
若
④
，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
25．【多选】（2025·湖南·模拟预测）已知定义在R 上的函数
满足：对任意实数x，y，恒有
，若
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数
的最小值为
C．
为R 上的增函数
D．关于x 的不等式
的解集为
考点六 综合问题的应用
26．（2025 高一·河北保定·期末）已知定义域为
的函数
满足
，
，
且
时，
，则下列说法正确的（ ）
A．
B．
为减函数
C．
为奇函数
D．不等式
的解集为
27．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
满足
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
的定义域为
C．若
在
上单调递增
D．若
，则
28．【多选】（25-26 高三·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数
的定义域为
，且满
足
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数
是奇函数
C．
D．当
时，
，则
在
上单调递减
29．【多选】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的定义域为
，且
，
则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．
有唯一极值点
D．
单调递增
30．【多选】（25-26 高一·全国·期中）已知定义在R 上的函数
满足：①
是偶函数；
当
②
时，
；
当
③
，
时，
．则（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．不等式
的解集为
D．
31．【多选】（25-26 高一·全国·单元测试）已知定义在
上的函数
满足
，且
当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
在
单调递增
D．
是偶函数
32．【多选】（2025 高二·辽宁·期末）已知函数
的定义域为
，且
的图象是一条连续不断的曲
线，对
，
都有：①
，
当
②
时，
，
当
③
时，
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
为奇函数
C．
在
上单调递增
D．
33．【多选】（2025 高二·福建三明·期末）已知函数
是R 上的奇函数，且过点
，对于一切正实
数m，n，都有
.当
时，
恒成立，则（ ）
A．
B．方程
所有根的和为
C．
在
上是单调函数
D．不等式
的解集为
34．【多选】（2025 高二·陕西西安·期末）已知函数
是
上的奇函数，且过点
，对于一切正实
数
，都有
，当
时，
恒成立，则（ ）
A．
B．
在
上是单调函数
C．当
时，
D．当
时，
35．【多选】（2025 高二·云南昆明·阶段练习）已知定义域为
的函数
不是常值函数，当
时，
，而且对任意的
有
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若
，则
C．
在
上单调递减
D．若
，则不等式
的解集为
36．【多选】（2025 高二·河北沧州·阶段练习）已知函数
的定义域为
，且满足
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数
是奇函数
C．
D．若当
时，
，则
在
上单调递增
37．【多选】（2025·山西·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足：对任意的
，
，且当
时，
．则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
在区间
上单调递增
D．
在区间
上单调递减
38．【多选】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
满足：
定义域为
①
，②
，
当
③
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
的取值范围为
39．【多选】（2025·重庆·模拟预测）已知函数
对任意的
都有
，
，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．关于x 的不等式
的解集是
D．
40．【多选】（2025·江西南昌·模拟预测）已知定义在R 上的单调函数
，满足
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
可能是单调递减函数
C．
为奇函数
D．若
，则
41．【多选】（2025 高三·山西·阶段练习）已知
是定义在
上的非常值函数，当
时，
，对任意的
，都有
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．不等式
的解集为
42．（25-26 高一·湖南邵阳·阶段练习）已知定义在
上的函数
满足：对
，都有
，且当
时，
．
(1)判断函数
的奇偶性并用定义证明；
(2)判断函数
在
上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式：
．
43．（2025 高一·黑龙江佳木斯·期中）已知函数
对任意的
，都有
，
且当
时，
．
(1)求证：
是
上的增函数；
(2)若
，
，解不等式
．
44．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
上的函数
满足：对任意
都有
，当
时，有
．
(1)判定
在
上的奇偶性，并说明理由；
(2)判定
在
上的单调性，并给出证明；
(3)求证：
；
45．（2025 高三·全国·专题练习）定义在
上的函数
满足下列条件：
对任意
①
，都有
；
当
②
时，有
.求证：
(1)
是奇函数；
(2)
是单调递减函数；
(3)
，其中
.
46．（25-26 高一·河南驻马店·开学考试）已知定义在
上的函数
满足对任意的x，
，
，当
时，
，
.
(1)证明：
为奇函数.
(2)证明：
在
上是减函数.
(3)求不等式
的解集.
