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第 06 讲 函数 的图象及其应用
(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函
数 的图象，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出平移后的解析式，再代值求解即可.
【详解】由题意可得 ，则 ．
故选：B
2．（23-24高一下·北京·阶段练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将
图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 的解
析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意利用 的图象变换规律，得出结论.
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象；
再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图
象.
故选：A.3．（23-24高一上·甘肃酒泉·期末）将函数 的图象向右平移 个
单位长度后得到函数 的图象，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据平移求出平移后的函数解析式，利用函数相等可求答案.
【详解】将 的图象向右平移 个单位长度后得到的解析式为
，
由题意 ，
所以 ， ，即 ， .
因为 ，所以 .
故选：B.
4．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）为了得到函数 的图象，只需将
函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
B．向左平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）
C．所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再将图象向左平移 个单位
D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移 个单位
【答案】B
【分析】由三角函数的伸缩和平移变化对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为 ，
将函数 向左平移 个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标
不变），可得 ，故A错误；将函数 向左平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不
变），可得 ，故B正确；
将函数 所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再将图象向左平移
个单位，可得 ，故C错误；
将函数 所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平
移 个单位，可得 ，故D错误；
故选：B.
5．（2024·陕西西安·一模）将函数 的图象向左平移m（ ）个单
位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（ ）．
A． B．π C． D．
【答案】D
【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得.
【详解】将函数 的图象向左平移m个单位，
得 的图象，
因为 的图象关于原点对称，
所以 ，即 ，
当 时，得 ，
使 ， ， 的整数 不存在.
故选：D
6．（2024·广东佛山·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单
位长度后得到函数 的图像，且函数 是偶函数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D． E．均不是【答案】A
【分析】
结合图象变换求得 解析式，再结合偶函数性质求解即可.
【详解】由题意知， （ ）
又因为 为偶函数，所以 关于 轴对称.
所以 ， ，解得 ， ，
又 ，所以当 时， 取得最小值为 .
故选：A.
7．（23-24高一下·河北保定·开学考试）已知函数
的部分图象如图所示，将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由 的部分图象可求得其解析式为 ，再根据平移规则可求
得 .
【详解】根据图象可知 ，
由 ，可得 ，
又 ，可得 ；由 可知 ，可得 ；
将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度可得
.
故选：C
8．（2022高三·全国·专题练习）将奇函数 的图象向右平移
个单位长度，得到函数 的图象，若 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 为奇函数，得到 ，进而求出 ，
从而得到 或 ，得到答案.
【详解】 为奇函数，故 ，即 ，
又 ，故 ，
由题意得 ，
令 得 ，
当 时， ，
故 或 ，解得 或 ，
故 .
故选：D
二、多选题
9．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）为了得到函数 的图象，只要将函数
的图象（ ）A．向左平移 个单位长度，再将横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变
B．向右平移 个单位长度，再将横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变
C．向左平移 个单位长度，再将横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变
D．横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 ，再向左平移 个单位长度
【答案】BCD
【分析】利用三角函数图象变换规律，依次对每一选项进行判断，即可求解．
【详解】对于A，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象解析式
，
再将横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 ，
得到的图象解析式为 ，故A错；
对于B，将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到的图象解析式为 ，
再将横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 ，
得到的图象解析式为： ，故B对；
对于C，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象解析式
，
再将横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 ，
得到的图象解析式为： ，故C对；
对于D，将函数 的图象横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 ，得到的图象解析式
为 ，
再向左平移 个单位长度得到的图象的解析式为，故D对．
故选：BCD．
10．（23-24高三上·山东聊城·期末）已知 ，函数
的最小正周期为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数 在区间 上单调递增
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度可得函数 的图象
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】BC
【分析】现根据题意求出 ，然后根据正弦函数的性质依次判定即可.
【详解】
,
所以 ，故A错误；
即 ，
当 时， ，所以函数单调递增，故B正确；
将函数 的图象向左平移 个单位长度得
，故C正确；
，所以函数 的图象不关于直线 对称.
故选：BC.
三、填空题
11．（23-24高三下·北京·开学考试）将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
若 ，则写出a的一个可能值为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用给定变换求出函数 的解析式，再结合函数的奇偶性列式计算求出 的
值，取其一即得.
【详解】将 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得
到函数 的图象，
再将所得图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
由 得函数 为偶函数，
则 ，解得 ，令 ，可得 的一个值为 .
故答案为： （答案不唯一）.
12．（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函数 的最小正周期为
，将函数 的图象上的所有点向右平移 个单位长度，再将所得的图象上各点的横
坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到 的图象，则 在 上的值域
为 .
【答案】
【分析】化简 的解析式，根据 的最小正周期求得 ，根据三角函数图象变换的
知识求得 ，进而求得 在 上的值域.
【详解】 ， ， ， ，
将函数 的图象上的所有点向右平移 个单位长度，
得到 ，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，
得到 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 在 上的值域为 .
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 在区间 上
的最小值为 ．
(1)求常数 的值；
(2)将函数 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到函数 ，请求出函数
， 的单调递减区间．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】
（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再由 的取值范围，求出 ，即可求出函数
值的取值范围，从而得解；
（2）首先得到平移后的函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）
因为
，
当 时， ，所以 ，则 ，
因为 的最小值为 ，所以 ；
（2）
由（1）得， ，
将函数 向右平移 个单位得到 ，
再向下平移 个单位，得到函数 ，
令 ， ，
则 ， ，
即 的单调递减区间为 ， ，
由 可得函数 在 上的单调递减区间为 ，
14．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知函数 ．
(1)填写下表，并用“五点法”画出 在 上的图象；
x 0
1 0
(2)将 的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移 个单位后，得到 的图象，求 的对称中心．
【答案】(1)表格及图象见解析
(2) ，
【分析】
（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图；
（2）先通过图象变换得到 ，然后令 可得对称中心．
【详解】（1）
，列表如下：
0
x 0
1 0 0
图象如图：
（2）
的图象横坐标扩大为原来的2倍得 ，
再向左平移 个单位后，得 ，
令 ， ，得 ， ，
所以函数 的对称中心为 ， ．
B能力提升1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，将
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 个单
位长度，得到函数 的图象，若 为偶函数，则θ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式化简得 ，再利用三角函数的图象与性质
及图象的变换法则可得 ，又由 为偶函数，从而可求解.
【详解】由题意得 ，
由三角函数图象的变换法则可得 ，
由 为偶函数，得 ， ，得 ， ，
又 ，所以当 时， 取得最小值 ，故B正确.
故选：B.
2．（2024·天津·一模）如图是函数 的部分图
象， 是图象的一个最高点， 是图象与 轴的交点， 是图象与 轴的交点，且
的面积等于 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称；
B．函数 的最小正周期为 ；
C．函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到；D．函数 的单调递增区间是 .
【答案】D
【分析】根据部分图像求出 的表达式，再由函数图像平移及正弦函数性质可判断各
项.
【详解】由图像可知 ， ，
即 ，所以 ，故B错误；
即 ，所以 ，且图像过点 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
当 时 ，故A错误；
将 的图象向右平移 个单位长度得到 ，故C错误；
令 ，则 ，函数 为增函数，
当 时 为增函数，
即 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间是 ，故D正确；
故选：D.
3．（23-24高三下·湖北·开学考试）将函数 的图象上所有点的横坐标不变纵
坐标伸长为原来的2倍，向下平移1个单位长度，向左平移 个单位长度，最后
所有点的纵坐标不变横坐标压缩到原来的0.5倍，得到函数 的图象．若对任意
，都存在 ，使得 ，则 的取值范围为
【答案】
【分析】由题意易得 在 上的值域是 在 上值域的子集，再分析
的最值判断值域的包含关系求解即可【详解】由已知可知 ，
因为对任意 ，都存在 ，使得 ，
所以 在 上的值域是 在 上值域的子集，
当 时， ，则 ，
所以 在 上的值域 ，
且
因为 值域中一定有1这个元素，所以 （必要条
件）
还需要约束 的最小值小于等于-1，所以 或者
因此 或者 ，所以 ．
故答案为:
4．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数 ，将 图
像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 倍，得到 的图像，
的部分图像如图所示，若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据伸缩变换求出 的解析式，利用向量关系得到 ，利用周期公式进行
求解即可．
【详解】把 图像上的每一点的横坐标缩短到原来的 ，得到 的图像，
则 图像．且 ， 的最小正周期 ，
设 ，则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，解得 ，
即 ，解得 ．
故答案为： ．
5．（2024·山东临沂·一模）已知向量 ， ，函数
.
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)将 图象上所有的点向右平移 个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的
纵坐标变为原来的 ，得到函数 的图象，当 时，解不等式 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简 ，依题意可
得 ，即可求出 ，最后由 利用两角
差的余弦公式计算可得；
（2）根据三角函数的变换规则求出 解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为 ， ，函数 ，
所以，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以
.
（2）将 图象上所有的点向右平移 个单位得到
，
再将 向下平移1个单位得到 ，
最后将 的所有点的纵坐标变为原来的 得到 ，
即 ，
由 ，即 ，所以 ， ，
解得 ， ，
令 可得 ，令 可得 ，
又 ，所以 ，
即在 时不等式 的解集为 .
6．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数 ，把函数
的图像先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位，得到函数 的图像.(1)求 的单调递增区间及对称轴方程；
(2)当 时，若方程 恰好有两个不同的根 ，求 的取值范围及
的值.
【答案】(1)单调递增区间为 ， ，对称轴方程为 ，
.
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用两角和的余弦公式和辅助角公式化简 ，再利用正弦函数的图象
和性质求解即可；
（2）根据平移得到 的解析式，由 的取值范围求出 的单调区间和值域，进而得
到函数图象，根据图象求解即可.
【详解】（1）由题意可得
，
令 ， ，解得 ， ，
令 ， ，解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，对称轴方程为 ，
.
（2）根据题意及（1）中结论可得 ，
当 时， ，
令 得 ，令 得 ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
时， 单调递增，且 ， ， ， ，
大致图像如图所示，
方程 恰好有两个不同的根 ，
所以 的取值范围为 ，
又因为 的对称轴为 和 ，
所以当 时 ，当 时 .
C综合素养（新定义解答题）
1．（22-23高一下·上海浦东新·期中）定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为
．
(1)记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若 ，求满足要求的所有x的
集合；
(2)记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数 与直线
有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围；
(3)已知 ，若有序数对(a,b)的“跟随函数” 在 处取得最大值，当b在区
间(0, ]变化时，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)
【分析】（1）写出解析式 ，解方程 即可；
（2）由题意求得 ，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然
后作出函数 的图象，结合函数图象可得结论；（3）写出 ，利用辅助角公式得出 （ 的值），然后利用二倍角的正切公
式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围．
【详解】（1）由题意 ， ， ，
，
又 ，所以 或 ，即所求集合为 ；
（2）由题意 ，则 ，
时， ，
时， ，
作出函数 ， 的图象，如图， 在 和 上递增，在 和
上递减， ， ，
由图象可知， 时，函数 的图象与直线 有且仅
有四个不同的交点，
所以 的范围是 ；
（3）由题意 ，其中 ，
，
易知 时， ，
，
，同理 ，
，，
时，函数 是增函数，因此 ，
从而 ，即 ．
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数 的表达式，
然后利用三角函数性质求解．对于函数 一般借助辅助角公式进行变
形，即 ，其中 ，
．
