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微专题拓展05 函数同构经典模型
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 4
题型一：双变量对称同构问题............................................................................................................4
题型二：指对同构的核心原理与应用................................................................................................4
题型三：同构思想求解方程问题........................................................................................................5
题型四：和式结构同构问题................................................................................................................6
题型五：积式结构同构问题................................................................................................................6
题型六：同构法破解函数零点问题....................................................................................................7
题型七：基于同构思想的函数最值问题............................................................................................8
题型八：同构法求解不等式恒成立问题............................................................................................9
题型九：朗博同构与放缩技巧应用....................................................................................................9
题型十：公切线问题中的隐形同构模型..........................................................................................10
03 课后拓展精练............................................................................................................................11
一、八大同构函数图像
①
，②
，
③
，④
，
⑤
，⑥
，
⑦
，⑧
．
二、同构
1、常规变形方式
①
；②
；③
；④
；⑤
．
2、变形同构
①
；
②
；
③
④
⑤
3、双变量同构
(1)
为增函
数．
(2)
为减函数．
题型一：双变量对称同构问题
例1．已知函数
，对任意
，且
都有
成立，
则实数
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
例2．已知函数
，若对任意两个不相等的正实数
，
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．已知函数
，若对任意的
，当
时，都有
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．若对任意的
，且
，都有
成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．e
D．
变式2．（2026·四川凉山·一模）若
都有
成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
题型二：指对同构的核心原理与应用
例4．对不等式
进行同构变形，并写出相应的同构函数.
例5．对不等式
进行同构变形，并写出相应的同构函数.
例6．对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
.
题型三：同构思想求解方程问题
例7．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：
，
，此时称
与
为同构式.已知实数
满足
，
，则
（ ）
A．6
B．8
C．
D．
例8．（2026·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为
同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于a 的方程
和关于b 的
方程
可化为同构方程，则
的值为（ ）
A．
B．e
C．
D．1
例9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知实数
，
满足
，
，其中是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．已知实数
，
满足
，
，其中e 是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．已知
满足
，其中是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
题型四：和式结构同构问题
例10．若关于
的不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例11．已知当
时，函数
恒成立，求实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例12．已知不等式
对任意的
恒成立，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5．当
，满足
，则实数a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6．（2026·四川成都·三模）不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数
，若对任意
恒成立，则实
数a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：积式结构同构问题
例13．已知
对
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例14．关于
的不等式
对
恒成立，实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例15．若函数
，且
，则正实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8．（2026·湖南株洲·三模）若存在
，使得
对
恒成立，则
实数b 的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式9．已知关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：同构法破解函数零点问题
例16．已知函数
的表达式为
，函数
的表达式为
，其中函数
经过点
.
(1)求实数
的值，并求函数
上一点
处的切线方程；
(2)求函数
和
的单调区间和极值；
(3)是否存在直线
，使得其与两条曲线
和
一共有三个不同的交点，并且从左到右的三
个交点的横坐标成等差数列，请说明理由.
例17．（2026·高三·上海·阶段检测）已知曲线
和
，它们的图像分别为曲线
和
．
(1)求函数
和
的最大值；
(2)证明：曲线
和
有唯一交点；
(3)设直线
与两条直线
、
共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为
，
，
，求证：
，
，
成等比数列．
例18．已知函数
和
，证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共
有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
变式10．（2026·高三·福建泉州·阶段检测）已知函数
和
有相同的最大值．
(1)求
；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点
的横坐标
满足
．
题型七：基于同构思想的函数最值问题
例19．设函数
，
，若存在
，
，使得
，则
的最
大值为________．
例20．已知函数
，
，若
，
，则
的最大值为
________．
例21．（2026·高三·甘肃·阶段检测）已知
满足
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式11．已知函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式12．已知函数
，
，若
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：同构法求解不等式恒成立问题
例22．（2026·福建三明·模拟预测）已知e 为自然对数的底数，a，b 均为大于1 的实数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例23．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例24．（2026·高三·四川绵阳·阶段检测）已知
且
则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
变式13．求证：当
时，
．
题型九：朗博同构与放缩技巧应用
例25．已知函数
，（其中是自然对数的底数），若
在
上恒成立，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例26．（2026·广东·模拟预测）已知函数
．
（1）求
的极值；
（2）当
时，
，求实数
的取值范围．
例27．（2026·山东日照·模拟预测）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十：公切线问题中的隐形同构模型
例28．（2026·高三·山东·期中）若直线为曲线
与
的公切线，则直线的方程可
以为_________.（写出符合条件的一个方程即可）
例29．（2026·高三·河北石家庄·阶段检测）若直线
是曲线
与曲线
的
公切线，则
__________.
例30．已知直线
是曲线
与
的公切线，则
______．
变式14．若直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
______
1．（2026·高三·陕西安康·阶段检测）已知函数
，对任意的实数
，且
，
不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，对任意
，
，且
，都有
成立，
则实数a 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，若
，且
，
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知定义在
上的函数
，其导函数为
，不等式
恒成立．若对
，不等
式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．对任意
，
恒成立，则实数
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知不等式
对任意
恒成立，则正数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·山东东营·二模）已知函数
，若
恒成立，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·高三·河南南阳·期末）若关于x 的不等式
恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若对任意的
，不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若关于x 的不等式
对
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·高三·安徽淮北·阶段检测）对
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数
，
，若
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，
相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于
的方程
和关于
的方程
（
，
，
）可化为同构方程，则
________，
________．
15．数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式
子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式
或不等式问题.如
与
（将
化为
）可以同构为
.若已知关于a 的方程
和关于b 的方程
可化为同构方程，则
______，
______.
16．（2026·高三·黑龙江鸡西·期中）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形
式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数
等混合式子结构的等式或不等式问题.如
与
（可化为
）可以同构为
.若已知
恒成立，则
的取值范围是______.
17．（2026·高三·江西宜春·开学考试）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构形式相同的两个式子称
､
为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于
的方程
和关于b
的方程
可化为同构方程，则
的值为_______．
18．同构式通俗讲是结构相同的表达式，如:
， 称
与
为同构式. 已知实数
满足
， 则
__________.
19．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：
，
，称
与
为同构式．已知实数
满足
，
，则
______．
20．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：
，
，称
与
为同构式.已知实数
满足
，
，则
___________.
21．（2026·高三·辽宁·期中）已知实数
满足
，
，其中e 为自然对数的底数，则
______．
22．已知函数
，
，若对任意的
，
恒成立，则实数a 的最
小值为______．
23．若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的最大值是
____________．
24．若对任意
，
恒成立，则
的取值范围是______.
25．
时对
恒有
，则实数
的取值范围为________．
26．已知
，
，若
，则
的取值范围是__________．
27．已知函数
，
，若
，其中
，
的最大值为__________．
28．（2026·陕西榆林·三模）已知直线
是函数
和函数
图象的公切线，则
______.
29．（2026·高三·辽宁·阶段检测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构形式相同的两个式子称为同
､
构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于
的方程
和关于
的方程
可化为同构方程.
（1）求
的值；
（2）已知函数
.若斜率为
的直线与曲线
相交于
，
两
点，求证：.
30．（2026·江苏·模拟预测）已知
，
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，若
恒成立，求
的最小值；
(3)已知当
时，存在
，使得函数
有三个零点
，且
成等差数列，
求
的值.
