文档文本内容
数列
一、倒序相加求和
1.
已知函数
，数列
满足
.
(1)求证：
为定值，并求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，求证：
．
2.
定义在
上的函数
．
(1)求
．
(2)是否存在常数
，对任意的
，有
？
3.
已知函数
，数列
满足
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
4.
已知函数
，数列
是正项等比数列，且
，
(1)计算
的值；
(2)用书本上推导等差数列前n 项和的方法，求
的
值.
5.
已知
，数列
的前
项和为
，点
均在函数
的
图象上.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，令
，求数列
的前2024 项和
.
二、错位相减求和
6.
已知数列
的前
项和
，且
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前n 项和
.
7.
已知等差数列
的通项公式
，数列
满足
．
(1)证明：数列
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)已知数列
求数列
的前
项和
．
8.
已知数列
的前
项和为
，数列
是公比为3 的等比数列，且
.
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
9.
已知正项数列
满足
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
10. 已知
的前
项和为
，且
.
(1)当
为何值时，数列
为等比数列，并求此时数列的通项公式；
(2)当
时，设
，求数列
的前
项和
.
三、裂项相消求和
11.
已知等差数列
的前
项和为
，公差不为
，
，且
成等比数列．
(1)求
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
．
12. 已知
为公差不为零的等差数列，其中
，
，
成等比数列，
.
(1)求数列
通项公式；
(2)记
，设
的前
项和为
，求最小的正整数
，使得
.
13. 设正项数列
的前
项和为
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和
，求证：
14. 在数列
中，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
.
15. 已知数列
的通项公式为
. 数列
满足
，
.
(1)求数列
的前n 项和
.
(2)证明数列
是等比数列，并求数列
的通项公式.
(3)求数列
的前n 项和
.
四、分组、并项求和
16. 已知数列
的各项均为正数，前
项和为
，且
．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
17. 已知
是等差数列，
是等比数列，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和；
(3)求数列
前
项和
的最大值．
18. 已知数列
的前
项和为
，且
(1)求数列
的通项公式
；
(2)设数列
满足
，
为数列
的前
项和，求
.
19. 已知数列
满足：
，
．
(1)求
，并判断
是否恒成立；
(2)设
，证明：
是等差数列；
(3)数列
的前
项和为
，求
．
20. 已知等差数列
的前n 项和为
，
是公比大于1 的等比数列，
(1)求
和
的通项公式；
(2)设
求数列
的前n 项和
.
五、数列其他求和方法
21. 已知数列
的前n 项和为
，且
（
）.数列
是公比为2 的等比数列，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前n 项和
；
(3)证明：
.
22. 在公差不为0 的等差数列
中，
，且
成等比数列．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，证明：
．
23. 记
为数列
的前
项和，已知
，
，数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，若对任意
，
，求实数
的取值范围.
24. 已知数列
的前
项和为
，其中
，
；数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
；
25. 已知数列
的首项为
，且满足
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设数列
的前n 项和为
，求数列
的前
项和.
六、数列与不等式
26. 已知各项均为正数的数列
的前n 项和为
，
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求使得
成立的正整数
的取值范围．
27. 已知数列
满足
的前
项和为
.
(1)证明：
为等比数列，并求数列
的通项公式.
(2)记
的前
项和为
.
（i）求
；
（ii）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
28. 已知数列
满足
，
.
(1)证明：数列
是常数列，并求数列
的通项公式；
(2)设
，
为
的前
项和.
（i）求
；
（ii）若
，
恒成立，求实数
的最大值.
29. 已知数列
的前
项和为
，
，
.
(1)证明数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和；
(3)设
，若对任意正整数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
30. 已知
是等差数列，其前
项和为
，
是等比数列，已知
，
，
，
是
和
的等比中项.
(1)求
和
的通项公式；
(2)对任意的正整数
，设
求数列
的前
项和
.
(3)若
对于
恒成立，求实数
的取值范围.
七、数列新定义
31. 已知数列
满足：对任意的
，都有
（为常数），则称数列
为“
友好数
列”，特别地，当
时，数列
为“极好数列”.
(1)若数列
的通项公式分别为
，求证：数列
为“
友
好数列”；
(2)若数列
为“极好数列”，
，求数列
的通项公式
；
(3)已知正整数列
为“
友好数列”，数列
为等比数列，且
，求证：
数列
为等差数列.
32. 已知数列
的首项
，前
项和为
，若对任意的正整数
，均有
成
立，其中
和
是实数，则称此数列为“
”数列.
(1)若等差数列
是“
”数列，求
的值；
(2)若正项数列
是“
”数列，求数列
的通项公式；
(3)对于给定的
，是否存在三个不同的数列
为“
”数列，且
？若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由.
33. 已知数列
的前
项和为
，若数列
满足
，则称数列
是“方特数
列”.
(1)证明：数列
是“方特数列”；
(2)若数列
是“方特数列”，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，数列
是“方特数列”.
34. 定义: 对于任意
，满足条件
且
(
是与
无关的常数)
的无穷数列
称为
数列.
(1)若
，证明:数列
是
数列；
(2)设数列
的通项为
，且数列
是
数列，求常数
的取值范围；
(3)设数列
，问数列
是否是
数列？请说明理由.
35. 定义:对于任意
，满足条件
且
(
是与
无关的常数)的无穷数列
称为
数列.
(1)若
，试举反例说明数列
不是
数列；
(2)若
，证明:数列
是
数列；
(3)设数列
的通项为
，且数列
是
数列，求常数
的取值范围.
