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第13 题 几何密钥解码，代数工具协同求离心率（解透一
题）
【成都市2024-2025 学年高三下学期二诊T7】
已知双曲线
的右焦点为
，若
关于直线
的对称点 P
在双曲线C 上.则双曲线C 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
考的过程
在双曲线相关问题的研究中，求解双曲线的离心率是一个重要的课题.离心率作为双曲线的
关键参数，能够反映双曲线的形状特征.对于已知双曲线右焦点关于某直线对称点在双曲线
上的情况，精确求解离心率具有一定的挑战性，需要综合运用多种数学方法和知识.
【方法一】利用对称点和点在双曲线上的性质
设双曲线的右焦点为
，其中
.依据点关于直线对称的性质，可求出点
关于直线
的对称点
的坐标.点关于直线对称的性质表明，两点连线与
对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上.即直线
的斜率
与直线
的斜率3 满足
，同时
与
两点的中点
满足直线方程
.求P 点坐标后，
将其代入双曲线方程
，再结合
和离心率
，即可求解离心率.
因为直线
的斜率
，且
，所以
，即
.又因为
，所以
.
联立方程组
，将
代入
可得：
，等式两边同时乘以得到
，展开可得
，
移项合并同类项得
，解得
.
把
代入
得
，
所以
.
将P 点坐标代入双曲线方程
得：
.
因为
，设
，则
，
上式可化为
.
通分得到
，即
，
整理得
.
令
，则方程变为
.
由求根公式
，解得
或
（因为
，所以舍去
）.
所以
，则
.
方法的关键在于准确求出对称点的坐标，充分利用了点关于直线对称的两个重要性质.在代
入双曲线方程后，得到的四次方程转，通过换元可以化为关于
的二次方程.计算过程
中涉及到较多的代数运算，需要仔细认真，以避免计算错误
作为小题，显得小题大做.
【方法二】向量法优化对称点的坐标求法
设
，
，直线
的方向向量为
，
.根据对称点连线与
对称轴垂直的性质，可知
与直线
的方向向量
垂直，所以
，即
.同时，F 与P 的中点
在直线
上，可得
.联立这
两个方程求出P 点坐标
设
，
根据对称点连线与对称轴垂直的性质得方程组
解得
，
，所以
.
后续将P 点坐标代入双曲线方程
，与方法一的化简计算过程相同，最终可得
向量法的优点是将几何关系用向量的运算表示出来，更加简洁明了.通过向量垂直和中点在
直线上这两个条件建立方程组，思路清晰.但同样在后续代入双曲线方程求解离心率时，需
要进行复杂的代数运算，要注意运算的准确性.同时，对于向量的相关知识和运算要熟练掌
握.
【方法三】几何推理+ 公式法
当题目直接给出与焦点相关或隐含几何条件（如焦点三角形为直角三角形、等边三角形
等），思考回归定义，基于
的焦点三角形离心率优化运算.做示意图
.
双曲线的标准方程为
，焦距为
，焦点
，设左焦点为
.直线
的
倾斜角为
，则
，进而可得
.
在
中：
根据中点性质可得：
根据双曲线定义：
因此，离心率
对称性转化：利用对称轴垂直平分线段的性质，直接构建直角三角形以简化计算.
几何关系优先：通过中点和平行关系推导线段比例，避免进行坐标代数运算.
离心率公式直接应用：在焦点三角形中将几何量与
直接关联，迅速得出 的值.
易错点提醒：1、 要注意双曲线定义中距离差的绝对值条件（需验证
)）.2、
准确判断
的直角位置，需严格依据对称性和中点性质进行验证.
通过几何对称性、平行关系与三角函数的结合，可高效解决双曲线离心率问题.此类问题需
重点挖掘题目中的几何特征，减少代数运算量，突出数学直观与逻辑推理的核心素养.
【双曲线焦点三角形中
公式应用求e】
1．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
为
的右支上一点，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【椭圆焦点三角形】
2．设椭圆
的左，右焦点分别为
，点P 在C 上，若
，
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
点A 在C 上，点B 在y 轴
上，
，
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．双曲线
的左右焦点分别为
是双曲线右支上一点，点
关于
平分线的对称点也在此双曲线上，且
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知双曲线
的左焦点为
，过点
的直线与双曲线
左支交于
，
两
点，
两点关于
轴对称，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
