文档文本内容
第 08 讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆 ，其右焦点为 ，若直线 过点 与
交于 ，则 最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中的通径问题
【分析】由题意当 为通径时，即 垂直 轴时，其长度最小，由此即可得解．
【详解】要使|AB)最小，即为 和焦点 在的轴垂直的直线截得的线段长．
右焦点为 ，直线为 ，联立此直线和椭圆解得交点的纵坐标为 ，
故|AB)最小值为1．
故选：B．
2．（2024·山东·模拟预测）已知直线 ： ，椭圆 ： ，则“ ”是
“ 与 相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
【分析】利用“数形结合”的思想结合“一元二次方程根有一解求解的判别式等于零”求
解即可.
【详解】当 时，直线 ： ，直线与椭圆相切，当“ 与 相切”时，
联立 有 ，令 有 ，
所以 是直线与椭圆相切的充要条件.
故选:C.
3．（2024·江西·二模）直线 过抛物线 ： 的焦点，且与 交于 两
点，若使 的直线 恰有2条，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】根据抛物线方程可得通径长，根据抛物线的焦点弦中通径长最短可确定 ，
由此可得所求范围.
【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为 ，通径长为 ，
当 垂直于 轴时， 两点坐标为 ，
此时 ，且 ，
即抛物线的焦点弦中，通径最短，
所以 .
故选：A．
4．（23-24高二上·安徽·期末）已知点 为抛物线 的焦点，直线
与该抛物线交于 两点，点 为 的中点，过点 向该抛物线的准线作垂线，垂足为
.若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、根据韦达定理求参数
【分析】先运用中位线定理，将 转化得到 两点到准线的距离和，再用抛物线
的定义得到 的值.
【详解】根据题意，过点 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ，
所以 ，
所以 ，
设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
根据定义可得 ，
联立 ，
．
故选：B.5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率大于
0的直线 交 于 两点，若 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由弦长求参数、直线与抛物线交点相关问题
【分析】设出直线方程，联立曲线后借助焦点弦公式计算即可得.
【详解】依题意F(1,0)，设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
解得 ，所以直线 的斜率为 ．
故选：B.
6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点
为 上一点，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．3 D．5【答案】C
【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】因为椭圆 ，所以 ， ，由 ，得
，进而解得 ，再利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】由椭圆的定义可知， 且 ，
因为 ，所以 ，
又 ，故 ，
所以 ．
故选：C
7．（23-24高二上·贵州黔东南·期末）若直线 与双曲线 有公共
点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数
或范围
【分析】结合双曲线的渐近线求离心率的取值范围.
【详解】由题意： 的斜率要小于双曲线渐近线 的斜率，
所以 .
故选:：D
8．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）设双曲线 ： 的左、右焦点
分别为 ， ， 为双曲线 上一点，且 ，若 的面积为3，则 （ ）A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】三角形面积公式及其应用、双曲线定义的理解、求双曲线中三角形（四边形）
的面积问题
【分析】根据已知条件，结合双曲线的定义和性质，即可得出答案.
【详解】由双曲线C： ,
可得 ，∴ .
∵ ,
∴ .
假设 在双曲线右支上，
则 两边平方得，
∴ ，
又∵ 的面积为 3，
∴ ，即a=2.
故选：A.
二、多选题
9．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）椭圆C： 的焦点为 ， ，
上顶点为A，直线 与椭圆C的另一个交点为B，若 ，则（ ）
A．椭圆C的焦距为2 B． 的周长为8
C．椭圆C的离心率为 D． 的面积为
【答案】ABD
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的离心率或
离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】由已知结合椭圆的定义及性质先求出 ， ， ，即可根据焦距，焦点三角形的周
长以及离心率求解ABC，根据余弦定理以及三角形面积公式可得D.
【详解】由题意可知， ， ，
故 为等边三角形，则 ， ，又 ，
所以 ， ， ，
所以焦距 ，A正确；
离心率 ，C错误；
由椭圆定义可知， 的周长 ，B正确．
设 ，则 ，又 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，D正确，
故选：ABD．
10．（24-25高二上·全国·单元测试）加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他
在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心
是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为
时，蒙日圆方程为 ．已知长方形 的四边均与椭圆
相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．若 为正方形，则 的边长为
C．椭圆 的蒙日圆方程为D．长方形 的面积的最大值为14
【答案】ACD
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合
长方形 的对角线长和基本不等式可求得B错误D正确.
【详解】对于A，由椭圆 的方程知 ，则 ，
椭圆 的离心率 ，A正确；
对于C，由A知，椭圆 对应的蒙日圆方程为 ，C正确；
对于B，由C可知，正方形 是圆 的内接正方形， 正方形 对角线长为圆的直
径 ，
正方形 的边长为 ，B错误；
对于D，设长方形 的长和宽分别为 长方形 的对角线长为椭圆 对应蒙日圆的直
径 ，
长方形 的面积 （当且仅当 时取等号），
即长方形 的面积的最大值为14，D正确．
故选：ACD．
三、填空题
11．（24-25高二下·全国·课后作业）已知抛物线方程为 ，其焦点为 ．
①过 作直线交抛物线于 两点，以 为直径的圆与直线 相切；②过 作斜率
为 的直线，与抛物线在第一象限内交于 点， ，以 为直径的圆与 轴相切.
在以上两个条件中任选一个，则 ．
【答案】2
【知识点】抛物线定义的理解、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关
的几何性质、直线与抛物线交点相关问题
【分析】若选择条件①：可以根据焦点弦的弦长公式列方程 即可求
解；若选择条件②：可以根据抛物线性质以及解直角三角形知识即可求解.
【详解】若选择条件①：设A(x ,y )，B(x ,y )，则以 为直径的圆的半径
1 1 2 2
，
根据焦点弦的弦长公式可得，以 为直径的圆的直径 ，所以半径为 ，则 ，解得 ．
若选择条件②：因为以 为直径的圆与 轴相切，所以圆的半径为2，
则 ，即 ，
过点 作 轴的垂线，垂足为 ，如图，
在 中，由已知条件可得， ，所以 ，
则 ，所以 ，解得 ．
故答案为：2.
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点 在椭圆 上，点 在直线
上，则|PQ)的最小值为 .
【答案】 /
【知识点】求点到直线的距离、求椭圆中的最值问题
【分析】设出于直线 平行的直线 的方程并与椭圆方程联立，利用判别式求得直线 的
方程，再根据两平行线间的距离公式即可得解.
【详解】如图，由直线 的方程与椭圆的方程可以知道，直线 与椭圆不相交．
设与直线 平行的直线 与椭圆 相切，由 ，得 ，
则 ，解得 ，
由图可知，当 时，直线 与椭圆的切点到直线 的距离最近，
又直线 与直线 间的距离 ，
所以 .
故答案为： ## .
四、解答题
13．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，且F
与圆 上点的距离的最小值为2．
(1)求 ；
(2)已知点 ， ， 是抛物线 的两条切线， ， 是切点，求 ．
【答案】(1)2
(2)
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求抛物线的切线方程、直线与抛物线交点相关
问题
【分析】（1）根据圆外一点到圆上的点的最小距离的求法确定 的值.
（2）设过 点的切线方程，带入抛物线方程，由直线与抛物线相切，可求切线斜率和切点
坐标，利用两点间的距离公式求|AB).
【详解】（1）因为 （ ），则其到圆心距离减去半径为2，故
.
（2）由（1）可知，抛物线 的标准方程为： .
如图：因为过 点的切线一定有斜率，故设切线方程为： ，即
，
代入 得： ，整理得： .
因为直线与抛物线相切，所以 或 .
当 时，由 ，所以切点 ；
当 时，由 ，所以切点B(2,1).
所以
14．（2024高三·全国·专题练习）已知点 分别为椭圆 的左､右焦点，直线
与椭圆 有且仅有一个公共点，直线 ，垂足分别为点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： 为定值，并求出该定值；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析，定值为1
【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题
【分析】（1）联立直线与椭圆方程得 ，然后利用判别式法化
简证明即可；
（2）结合（1）的结论，利用点到直线的距离和数量积的定义即可求得 为定值1.
【详解】（1）联立 与 消y得： ，由直线与椭圆有一个公共点可知： ，
化简得： ；
（2）由题意得： ，
因为 ，所以 ∥ ，故 ，
其中 ， ，
所以 ，
为定值，该定值为1.
B能力提升
x2 y2
15．（2024·山西长治·模拟预测）已知椭圆E: + =1(a>b>0)的右焦点为 ，且
a2 b2
该椭圆过点 ，直线l交椭圆E于A，B两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若AB的中点坐标为 ，求直线l的方程；
(3)若直线l方程为 ，过A、B作直线 的垂线，垂足分别为P、
Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭
圆中的定值问题、求弦中点所在的直线方程或斜率
【分析】（1）根据已知条件求得 ，从而求得椭圆 的方程.
（2）利用点差法求得直线 的斜率，进而求得直线 的方程.
（3）联立直线 的方程和椭圆 的方程，化简写出根与系数关系，计算 ，以及
AF与RQ，从而判断出四边形ARQF为梯形.
【详解】（1）由题得 ，
将 代入 得：
，椭圆E的方程为 .
（2）设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
且 ，
两式相减得： ，可得 ，
l方程为 ，即 .
（3）由 得：
，且 ，
，
∴ ，
又直线 的斜率存在，AF与RQ不平行，
∴四边形ARQF为梯形.
【点睛】关键点点睛：根据已知条件求得 ， 和 是两个未知参数，要求出两个参数的
值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的右焦点以及椭圆所过点”两个已知条件，再结
合 即可求得 ，从而求得椭圆的标准方程.
16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知 为坐标原点， 是圆
上一点，且 ，线段 的垂直平分线交线段 于点
，设动点 的轨迹为曲线 ，且曲线 与直线 相切．(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率为 的直线 与曲线 交于 两点，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形
（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题
【分析】（1）先确定圆心A及半径，由垂直平分线的性质结合椭圆的定义及直线与椭圆的
位置关系计算即可；
（2）设直线 方程，联立椭圆方程，由韦达定理、弦长公式、点到直线的距离及基本不
等式计算即可.
【详解】（1）由题意可知圆 ，
所以圆心 ，半径 ，
因为 ，线段 的垂直平分线交线段 于点 ，所以 ，
又 ，所以 ，
即点 的轨迹是以点 为左、右焦点的椭圆，所以曲线 ．
因为曲线 与直线 相切，故 ，
解得 ，所以 的方程为 ．
（2）由题意得直线 ，由 ，得 ，
令 ，
所以 ，即 或 ．
设 ，则 ，
所以
，
令 ，则 ，则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 面积的最大值为 ．
C综合素养（新定义解答题）
17．（2024·陕西铜川·模拟预测）若 是抛物线 上的不同两点，弦
（不平行于 轴）的垂直平分线与 轴相交于点 ，则称弦 是点 的一条“相关弦”．
已知当 时，点 存在无穷多条“相关弦”．
(1)证明：点 的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(2)当 时，试问：点 的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，
求其最大值（用 表示）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)详见解析.
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定
理求参数
【分析】（1）设 为点 的任意一条“相关弦”，利用“点差法”求得直
线 的斜率为 ，得出 的垂直平分线 的方程求得 ，进而得证；
（2）由（1）弦 所在直线的方程，联立方程组求得 ，利用弦长公
式，求得 ，令 ，得到 ，结合函数的
性质，即可求解.
【详解】（1）证明：设 为点 的任意一条“相关弦”，
且点 的坐标分别是 ， ，则 ， ，两式相减得 ，
因为 ，所以 ．
设直线 的斜率为 ，弦 的中点是 ，
则 ，
可得 的垂直平分线 的方程为 ，
又点 在直线 上，所以 ，
因为 ，可得 ，
故点 的所有“相关弦”的中点的横坐标都为 ，即横坐标相同．
（2）解：由（1）得，弦 所在直线的方程为 ，
且 ， ， ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ，
则
．
因为 ，
令 ，则 ，记 ，则 ，
当 时，则 ，
因此当 时， 有最大值 ，即 的最大值为 ；
当 时，则 ， 在区间 上是减函数，
所以 ，即 不存在最大值．
综上，当 时，点 的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为 ；
当 时，点 的“相关弦”的弦长中不存在最大值．
【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥
曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这
个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性
法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根
与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.
