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第 03 讲 二项式定理 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二 部分：典型例题剖析
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度1：求二项展开式的特定项（或系数）
角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题
角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题
题型二：二项式系数与各项的系数和问题
题型三：项式系数的性质
角度1:二项式系数最大问题
角度2：系数最大问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：二项式定理
（1）二项式定理
一般地，对于每个 （ ）， 的展开式中 共有 个，将它们合并同类
项，就可以得到二项展开式：(a+b) n =C0anb0 +C1an−1b1 +C2an−2b2 +⋯+Cran−rbr +⋯+Cna0bn （
n n n n n
）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：(a+b) n =C0anb0 +C1an−1b1 +C2an−2b2 +⋯+Cran−rbr +⋯+Cna0bn ， 等号右边的
n n n n n
多项式叫做 的二项展开式.
（3）二项式系数与项的系数
二项展开式中各项的二项式系数为 ( ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符
号等.
（4）二项展开式的通项
二项展开式中的 ( )叫做二项展开式的通项,用 表示,即通项为展开式的第
项: .通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面
有着广泛的应用.
知识点二：二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：
②增减性：当 时，二项式系数递增，当 时，二项式系数递减；
③最大值：当 为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当 为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
知识点三：各二项式系数和
（1） 展开式的各二项式系数和：
；
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度1：求二项展开式的特定项（或系数）
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测（理））已知 的展开式的各项系数之和为81，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】由题意，令 得： ，解得： ．
故选：B
例题2．（2022·北京师范大学第三附属中学模拟预测） 的展开式中的常数项为___________.
【答案】24
【详解】解：由通项公式得: ,
令 ,即可得 ,
所以展开式的常数项为: .
故答案为：24
例题3．（2022·云南师大附中高三阶段练习）在 的展开式中， 的系数为8，则实数 的值为______．
【答案】2
【详解】 的展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 系数是 ，解得 ．
故答案为：2.
例题4．（2022·浙江绍兴·一模） 的展开式中常数项为______.（用数字作答）
【答案】84
【详解】根据通项公式 ,
令 ,解得 ,所以 ,
故答案为:84.
同类题型归类练
1．（2022·四川广安·高三阶段练习（理））在 展开式中 的系数为24，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】解： 展开式中 的系数为 ，解得 .
故选：D.
2．（2022·上海市延安中学高三期中） 的二项展开式中， 的系数为_________.
【答案】
【详解】 的二项展开式通项为 ，
令 ，解得 ，
所以 ，
所以 的系数为 ，
故答案为： .
3．（2022·四川雅安·模拟预测（理））在 的展开式中， 的系数为 ，则 ______．
【答案】 ##
【详解】 的展开式中，含 的项为 ，所以 .
故答案为：
4．（2022·上海奉贤·高三期中）在 的展开式中， 的系数为______．
【答案】1
【详解】展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，即 的系数为 ，
故答案为：1
角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题
典型例题
例题1．（2022·福建·福州三中高三阶段练习） 的展开式中 的系数是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【详解】由 知展开式中含有 的项为：
和 ，
所以展开式中 的系数为：4+8=12
故选：C．
例题2．（2022·广东惠州·高三阶段练习） 的展开式中， 的系数为_________.（用数字作
答）
【答案】–256
【详解】 展开式的通项公式为： ，
展开式中含x项为：
，
∴展开式中含 项的系数为–256.
故答案为：
例题3．（2022·吉林·长春外国语学校高二期中） 的展开式中，记 项的系数为
，则 ______．
【答案】30
【详解】含有 的项为 ，则 ；
含有 的项为 ，则 ；则 .
故答案为：30.
同类题型归类练
1．（2022·浙江·高二期中） 的展开式中所有项的系数和为________．
【答案】0
【详解】令 有 ，故 的展开式中所有项的系数和为0.
故答案为：0
2．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习） 的展开式中含 项的系数是
__________（结果用数字表示）.
【答案】
【详解】展开式中含 项的系数是 .
故答案为：
3．（2022·云南普洱·高二期末） 的展开式的常数项为_______．
【答案】
【详解】由于 ，
故展开式的常数项为 ，
故答案为： ．
角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试） 的展开式中 的系数为（ ）
A．42 B．56 C．62 D．66
【答案】B
【详解】 ，
故 的系数为 .故选B.
一题多解
可以看成4个 相乘，展开式中 可以在1个 里选择 ，在1个 里选
择 ，在剩下的因式中选择2，此时 的系数为 ，也可以在3个 中各选1个 ，剩下的因式中选择2，此时 的系数为 ，综上所述，展开式中 的系数为 .故选B.
例题2．（2022·辽宁·模拟预测）记 的展开式中含 项的系数为 （其中 ），则函
数 的最小值为（ ）
A．﹣45 B．﹣15 C．0 D．15
【答案】A
【详解】由二项式展开式得：含 项的系数为 ，
即 ．
故选：A．
例题3．（2022·全国·高二单元测试） 的展开式中所有不含 的项的系数之和为
（ ）
A． B． C．10 D．64
【答案】A
【详解】在 的展开式中，通项公式为
若展开式中的项不含 ，则 ，此时符合条件的项为 展开式中的所有项.
令 ，得这些项的系数之和为
故选：
同类题型归类练
1．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）关于 的展开式，下列结论不正确的是
（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0
C．常数项为 D．系数最大的项为第3项
【答案】D
【详解】解： ，可得二项式系数和为 ，故A正确；
令 得所有项的系数和为0，故B正确；
常数项 ，故C正确；
，系数为 ，最大为 或 ，为第3项或第5项，故D错误.
故选：D.
2．（2022·安徽·高二期中） 的展开式中含 项的系数为（ ）A．－120 B．120 C．－60 D．60
【答案】A
【详解】由题意得， 的展开式中含 项为 ．
故选：A．
3．（2022·浙江邵外高二阶段练习） 的展开式的各项系数和为 ，则a的值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】B
【详解】∵ 的展开式的各项系数和为-32，
令 ，可得 ，
故（1- ，解得 ，
故选：B.
题型二：二项式系数与各项的系数和问题
典型例题
例题1．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）在 的展开式中，所有二项式系数
和为64，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】由题意可知： ，
故选：A
例题2．（2022·浙江邵外高二期中）已知 的展开式中第 项和第 项的二项式系数相等，则 为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知可得 ，所以， .
故选：A.
例题3．（2022·浙江·绍兴一中高三期中） 的展开式中，所有项的二项式系数之和为________.
【答案】
【详解】在展开式中，所有项的二项式系数和为 .
故答案为： .例题4．（2022·山东潍坊·高三阶段练习）若 展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常
数项为______．
【答案】5670
【详解】因为二项式系数和等于 ,所以 ,
由二项式展开式通项公式 ,
令 解得 ,所以常数项为 .
故答案为: 5670.
例题5．（2022·上海市杨思高级中学高三期中）已知 的二项展开式中，所有二项式系数的和为
256，则展开式中的常数项为___________.
【答案】1120
【详解】 所有二项式系数的和为256, , ,
则展开式的通项公式为 ，
令 可得 ， 展开式的常数项为 .
故答案为：1120.
同类题型归类练
1．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）求 的展开式的第4项的二项式系数（ ）
A． B． C．15 D．20
【答案】D
【详解】由二项展开式的二项式系数的性质，
可得二项式 的展开式的第4项的二项式系数 .
故选：D.
2．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）若 的展开式中，第3项的二项式系数与第7项的二项
式系数相等，则 （ ）．
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【详解】根据二项式系数的对称性知 ，则 ，
故选：C．3．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）在 的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为
，则展开式的项数为___________
【答案】
【详解】由题意，二项式 的展开式的二项式系数之和为 ，
令 ，可得展开式的各项系数之和为 ，
因为二项式系数之和与各项系数之和比为 ，可得 ，即 ，解得 ，
所以二项式 展开式的项数为 .
故答案为： .
4．（2022·北京八十中高二期中）二项式 的展开式中各项的二项式系数之和为________.
【答案】32
【详解】由 ，即二项式系数和为32.
故答案为：32
5．（2022·山东德州·模拟预测）在 的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为 ，则
展开式的常数项为______．
【答案】
【详解】解：由题意得：
令 ，则 ，所以 的展开式中，各项系数和为
又二项式系数和为 ，所以 ，解得 ．
二项展开式的通项 ，令 ，得
所以展开式的常数项为 ．
故答案为： ．
题型三：项式系数的性质
角度1:二项式系数最大问题
典型例题例题1．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中高三阶段练习）已知 的展开式中，第3项的系数与
倒数第3项的系数之比为 ，则展开式中二项式系数最大的项为第（ ）项.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】 的展开式通项公式为 ，
则第3项的系数为 ，倒数第3项的系数为 ，
因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，
故选：C
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知 为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为 ，
展开式的二项式系数的最大值为 ，且 ，则 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】由题意可知 , ,
,即 ,
，解得 ．
故选：C．
例题3．（2022·湖南·郴州一中高三阶段练习）已知 （ ）展开式中第5项和第6项的二
项式系数最大，则其展开式中常数项是________.
【答案】 ##
【详解】解：因为 （ ）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，
所以 ，解得
所以 展开式的通项为 ，由 得， ，
所以常数项为第四项 ．
故答案为：
例题4．（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）在二项式 的展开式中.
(1)求 的系数；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)60
(2)
(1)
（1） 的展开式的通项公式为 ，当 ，即 时， 的系数 ，即
的系数为60
(2)
二项式 的展开式第 项的二项式系数为 ，因为 ，即展开式中二
项式系数最大的项为 ，故展开式中二项式系数最大的项为
同类题型归类练
1．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知 的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该
展开式中各项系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则
∴展开式的通项为
则该展开式中各项系数
若求系数的最小值，则 为奇数且 ，即 ，解得
∴系数的最小值为
故选：C.
2．（2022·湖南益阳·高二期末）在 的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】ABC
【详解】解： 已知 的展开式中第5项的二项式系数 最大，则 ，或 ，或 ，
故选：ABC．
3．（2022·北京·牛栏山一中高二期中）在已知 的展开式中各项的二项式系数之和为32．
(1)求 ；
(2)求展开式各项系数之和；
(3)求展开式中二项式系数取得最大值的项．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
(1)
由题知： ，解得 .
(2)
因为 ，令 得 ，
所以展开式各项系数之和为 .
(3)
因为 ，所以展开式中第 项和第 项的二项式系数最大，
因为 ， ，
， .
4．（2022·全国·高二专题练习）已知 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．求展
开式中二项式系数最大的项．
【答案】 ，
【详解】解：令 ，则展开式中各项系数和为 ，
又∵展开式中二项式系数和为 ，
∴ ，即 ．
∵ ，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴ ，．
角度2：系数最大问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习） 按 降幕排列的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第 项和第 项 B．第 项
C．第 项和第 项 D．第 项
【答案】B
【详解】因为 的展开式通项为 ，
其中第 项和第 项的二项式系数最大，但第 项的系数为正，第 项的系数为负，
故 按 降幕排列的展开式中，系数最大的项是第 项.
故选：B.
例题2．（2022·河南河南·三模（理））已知 的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系
数之比为 ，则展开式中二项式系数最大的项的系数为______．
【答案】1120
【详解】设 展开式的通项为 ，故第四项的系数
为 ，倒数第四项的系数 ，所以 ， ，解得 ，所
以第五项二项式系数最大，故最大项的系数为 .
故答案为:1120
例题3．（2022·江苏宿迁·高二期中）在 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等
差数列.
(1)证明：展开式中没有常数项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)证明见解析
(2)第二项 和第三项
(1)
证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为 依次成等差数列， ，
，（舍）或 .
二项展开式中第 项 ，令 ，
所以展开式中没有常数项得证.
(2)
由（1）知二项展开式中第 项的系数为 ，设第 项系数最大，则 且
，化简得 ，
又 或2，则展开式中系数最大的项是第二项 和第三项 .
例题4．（2022·全国·高二单元测试）在 的展开式中.求：
（1）所有项的系数和；
（2） 的系数；
（3）系数最大的项.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【详解】（1）令 ，该展开式中所有项的系数和为 .
（2）该展开式的通项公式为 ， ，
令 ，解得 ，
故 的系数为 .
（3）设第 项的系数最大，
则 ，
解得 ，
又 ，
所以 ，
故该展开式中系数最大的项为 .
同类题型归类练
1．（多选）（2022·江苏·常州市第一中学高二期中） 的展开式中系数最大的项是（ ）A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
【答案】BC
【详解】 的展开式的通项公式为：
则第 项的系数为：
设第 项的系数最大，则
即 ，即
解得 ，所以 或 时， 的展开式中系数最大
即 的展开式中系数最大是第3,4项,
故选：BC
2．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知在 的展开式中，所有偶数项的二项式系数的和为
32.
(1)求n的值；
(2)求展开式中系数最大的项.
【答案】(1)
(2)
(1)
由题意可得 ，即 ，则 .
(2)
展开式的通项为 ，
设展开式的第 项的系数最大，则
解得 ，所以 .所以展开式中系数最大的项为 .
3．（2022·江苏·苏州外国语学校高二期末）若 展开式中前三项的系数和为163，求：
（1）展开式中所有x的有理项；
（2）展开式中系数最大的项.
【答案】（1）144x3，5376；（2）5376.
【详解】易求得展开式前三项的系数为1，2 ，4 .
由题意得1+2 +4 =163，可得n=9.
（1）设展开式中的有理项为 ，
由 = ，
又∵0≤k≤9，∴k=2，6.
故有理项为 ，
.
（2）设展开式中 项的系数最大，
则
∴ ≤k≤ ，
又∵k∈N，∴k=6，
故展开式中系数最大的项为T=5376.
7
