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专题01 三角函数
求法
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
必备公式
辅助角公式
，（其中
）；
求
解析式
求法
方法一：代数法
方法二：读图法
表示平衡位置；
表示振幅
求法
方法一：图中读出周期
，利用
求解；
方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取
舍答案.
求法
方法一：将最高（低）点代入
求解；
方法二：若无最高（低）点，可使用其他特殊点代入
求解；但需注意根据具体题意取舍答案.
二、典型题型
1．（2024·山西长治·一模）已知函数
的部分图象如
图所示，若方程
在
上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是
（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数
的解析式，再分析
在
上的图象性质即可得解.
【详解】观察图象知，
，函数
的周期
，
，
由
，得
，而
，则
，
于是
，当
时，
，
当
，即
，函数
单调递减，函数值从
减小到
，
当
，即
时，函数
单调递增，函数值从
增大到
，
显然函数
的
上的图象关于直线
对称，
方程
在
上有两个不相等的实数根，即直线
与函数
在
上
的图象有两个公共点，
所以实数m 的取值范围是
.
故选：B
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
的部分图象如
图所示，其中
，
，则（ ）
A．
B．
C．直线
是
图象的一条对称轴D．
是
图象的一个对称中心
【答案】D
2
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【分析】根据周期性求出
，根据函数过点
求出
，即可得到函数解析式，再根据
余弦函数的性质判断即可.
【详解】依题意
，又
，所以
，解得
，
所以
，
又函数过点
，所以
，所以
，
又
，所以
，
所以
，故A、B 错误；
又
，所以
不是
的对称轴，故C 错误；
，所以
是
图象的一个对称中心，故D
正确.
故选：D
3．（2024·陕西西安·三模）如图，函数
的部分图象，若点
是
中点，
则点
的纵坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，
，
，则
，代入函数解析式得到方程组，结
合诱导公式，变形得到
，从而求出答案.
【详解】设
，则
，故
，
设
，
，则
，
故
，
3
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其中
，
则
，解得
，负值舍去，
即
，故
的纵坐标为
.
故选：C
4．（多选）（23-24 高一下·内蒙古·期中）已知函数
的部分图像如图所示，
，
为
的图像与
轴的交点，
为
图像上的最高点，
是边长为1 的等边三角形，
，
则（ ）
A．
B．直线
是
图像的一条对称轴
C．
的单调递减区间为
D．
的单调递增区间为
【答案】BC
【分析】由图可得
，再利用正弦函数的图象与性质分析各个选项即
可.
【详解】对于A，由图可得：
的最小正周期为2，所以
，即
，
易得
，所以
，
4
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因为
，所以
，
，
，
由五点作图法可得：
，即
，所以
，
所以
，故A 不正确；
对于B，由于
，为最大值，
所以直线
是
图象的一条对称轴，故B 正确；
对于C，令
，解得；
，
所以单调递减区间为
，故C 正确；
对于D，令
，解得；
，
所以
的单调递增区间为
，故D 不正确，
故选：BC，
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数
的部分图象如图
所示，将
图象上所有点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，得到
的
图象，若
在区间
上恰有两个极大值点，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合图象求得
的最小正周期，即可求得
，然后结合图象上的点的坐标
及
可求得
，得到
的解析式，进而利用三角函数图象的变换法则得到
的解析式，最后利用正弦函数的图象求得m 的取值范围．
【详解】设
的最小正周期为T，则由图象知
，
5
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所以
，则
，
由
在
处取得最小值，可得
，
，
得
，
．因为
，所以
，
所以
；
（或由题意可得
，
，亦可得
）
，
由
，得
，
所以由题意得
，解得
，
即实数m 的取值范围是
．
故答案为：
.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数
的部分图象如
图，则关于
的不等式
的解集是 .
【答案】
，
【分析】先根据函数的图象求函数的解析式，再解不等式.
【详解】由题意得
，所以
.
6
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因为
，所以
.
又
，所以
.
又
，所以
，所以
.
又
的图像过点
，所以
，所以
，
所以
，
，则
，
.
又
，所以
.
又
，所以
，所以
，则
，所以
.
又
，所以
，所以
，
所以
.
由
，得
，
即
，
所以
，
，
解得
，
.
所以不等式的解集为
，
.
故答案为：
，
【点睛】关键点点睛：本题在求
的值时，一个是根据函数图象，得到
，再根据图象得
，再结合
，可得
.这里利用
不易想到.
7．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
的部分
图象如图所示，将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标伸长到原来的
7
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2 倍，再把得到的图象向左平移
个单位长度，可得到
的图象．若方程
在
上有两个不相等的实数根，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】易得
，再由点
在
的图象上，代入函数解析式求得
，再利用伸缩变换和平移变换得到
，作出其图象，
利用数形结合法求解．
【详解】解：由
的部分图象，可得
．
由图可知点
在
的图象上，则
，
，
由五点作图法可得
，
，解得
，则
．
将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标伸长到原来的2 倍得到
的图象，
再把得到的图象向左平移
个单位长度，可得到
的图象．
作出函数
的部分图象如图所示，
8
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由根据函数
的图象知：
当
时，直线
与函数
在
上的图象有两个交点，
即方程
在
上有两个不相等的实数根．
故答案为：
三、专项训练
一、单选题
1．（2024·北京石景山·一模）已知函数
的部分图象如图
所示，则
的值是（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】由图可得
，求得
，再利用图象过点
，可得到
，从而得到
，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】由图象可知
，解得
，因为
，所以
，解得
，
将
代入解析式化简得
，因为
，则
，得
，
故
，所以
.
故选：A
2．（2024·江西南昌·一模）函数
的部分图象如图所示，
9
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是等腰直角三角形，其中
两点为图象与
轴的交点，
为图象的最高点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】如图，过
作
轴于
，根据题意得到
，进而可求出
，再利用
，得到
，则有
，可求出
，从而
，即可求出结果.
【详解】如图，过
作
轴于
，则
，
又
是等腰直角三角形，所以
，故
，得到
，
又
，所以
，则
，所以
，
所以
，得到
，又
，得到
，
所以
，则
，
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）知函数
（
，
），如图：
，
，
是曲线
与坐标轴的三个交点，直线
交曲线
于点
，若直线
，
的斜率分别为
，3，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据正弦型函数的周期公式得出
，根据函数图像的对称性得出点
是线
段
的中点；再根据图象设出点
坐标，写出点
，
，
的坐标；最后根据斜率公式
和题意列出方程组，求解即可.
【详解】由题意可得：函数
的最小正周期为
，点
是线段
的中点.
根据图象可设
，
则
，
.
由图象可得
，
则
.
因为直线
，
的斜率分别为
，3,
所以
，整理得：
.
又因为
，
，
所以
，解得：
.
又因为
，
所以
.
故选：B.
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二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则函数
的对称中心为
C．若函数
在
内单调递增，则
的取值范围为
D．若函数
在
内没有最值，则
的取值范围为
【答案】ACD
【分析】借助图象可得
的值，再结合正弦型函数的性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由题意可知，
，由
，可得
，
因为
，所以
，故选项A 正确；
对B：若
，则
，令
，则
，
所以函数
的对称中心为
，故选项B 不正确；
对C：因为
，令
，
得
，根据
的部分图象可知
，
所以
，即
，因为
，所以
，故选项C 正确；
对D：由选项C 可知，
，
在
上单调递增．
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因为
在
内没有最值，所以
,又
，可得
，
故选项D 正确.
故选：ACD．
5．（2024·吉林长春·三模）已知
的部分图象如
图所示，则（ ）
A．
的最小正周期为π
B．
满足
C．
在区间
的值域为
D．
在区间
上有3 个极值点
【答案】AD
【分析】根据图象确定
和周期，再确定
，代入最值点确定
，从而得出解析式，再由
正弦函数的图象与性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知，
，所以
，故A 正确；
又因为
，所以
，
而且
，所以
，所以函数解析式为
.
所以
，故B 错误；
对于C，当
时，
，所以
，所以
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的值域为
，故C 错误；
对于D，当
时，
，当
取得
时，
取得极
值，所以
在
上有3 个极值点，故D 正确.
故选：AD.
6．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知
的部分图
象如图所示，则（ ）
A．
B．
在区间
单调递减
C．
在区间
的值域为
D．
在区间
有3 个极值点
【答案】AD
【分析】求出函数解析式，进而求得函数值判断A，举反例判断BC，利用整体代换法判断
D 即可.
【详解】由图像得
，
，解得
，
故
，故此时有
，
将
代入函数解析式，得
，
故
，解得
，
而
，故
，此时
，
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显然
成立，故A 正确，
易知
，
，而
，
，
又
，故
在区间
上并非单调递减，故B 错误，
易知
，
，
故
在区间
的值域不可能为
，故C 错误，
当
时，
，
，
当
时，
取得极值，
可得
在区间
有3 个极值点，故D 正确.
故选：AD
三、填空题
7．（2024·重庆·一模）已知
的部分图象
如图所示，当
时，
的最大值为 ．
【答案】
【分析】
由图象求出函数
的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数
在
上的最大值.
【详解】因为
，
设
，
由图可知，函数
的最小正周期为
，则
，
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又因为
，则
，
因为
，可得
，
所以，
，则
，
则
，
当
时，
，
故
.
故答案为：
.
8．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数
，（
，
，
）的大致图象如图所示，将函数
的图象上点的横坐标拉伸为原来的3 倍后，再
向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则函数
的一个单调递增区间为
.
【答案】
（答案不唯一）
【分析】先根据
的部分图象得到函数的周期、振幅、初相，进而求出
的解析
式，再根据函数图象的伸缩变换和平移变换得到
的解析式，后可求
的单调递增
区间.
【详解】由图可知
， 得
，所以
，
，
，
所以
，
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由图
，得
，
，
又
，所以
，
故
，
由题意
，
令
，
，得
，
故函数
的单调递增区间为
，
，
当
时，函数
的一个单调递增区间为
，
故答案为：
（答案不唯一）
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数
的部分图
象如图所示，
，
，则满足条件
的最大负整数x 为 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，求得
，把不等式转
化为
，得到
或
，求得不等式的解
集，即可求解.
【详解】因为函数
满足
，结合图象可得
又因为
，可得
，
，解得
，
，
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又由
，所以
，可得
，
，
则不等式
，即为
，
即
或
，可得
或
，
所以
或
，
即
或
，
显然
满足不等式．
故答案为：
.
10．（2022·全国·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则满足不等
式
的最小正整数x 为 ．
【答案】3
【分析】由图求出函数
，由
得
，再解不等式可
得答案.
【详解】根据题意，本题可只考虑
的情况，
由题图知函数
的图象经过点
和
，
则
，
由五点作图法可知
，则
，所以
，
则
，
所以
，
因为
，所以
，
18
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令
，得
，
令
，则
，令
，则
，
易知
，而
，
所以满足不等式
的最小正整数x 为3．
故答案为：3.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由图象求出
和正确解出
.
四、解答题
11．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）函数
的部分
图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，求函数
在
上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象易得
和周期，结合
可得结果；
（2）根据平移和伸缩变换可得
，进而由整体法即可求解函数的值域.
【详解】（1）观察图象可得
，函数
的周期
，解得
，
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即
，由
，得
，
即
，
，
而
，则
，
所以函数
的解析式是
.
（2）将
的图象向左平移
个单位长度，
可得到函数
的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，
得到函数
的图象，则
，
当
时，
，则
，
所以
，
因此
在
上的值域为
.
12．（2023·河北·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，其中
，且
.
(1)求
与
的值；
(2)若斜率为
的直线与曲线
相切，求切点坐标.
【答案】(1)
，
(2)
或
20
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【分析】
（1）在
中，由射影定理得
长，即
个周期，从而待定
，再由
求
解
即可；
（2）设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线斜率，求解切点坐标.
【详解】（1）
如图，过点
向
轴引垂线交于点
，
由正弦曲线的性质知
，
由射影定理知
，而
，∴
，
∴
，
∴
，由
，解得
.
当
时，由
，且由已知图象及五点对应法，
得
，
由
，则当
时，
；
所以有
，
；
（2）
由（1）知
，设切点
，
∴
则
，∴
，则
，
∴
或
，且
，
∴故其切点坐标为
或
.
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13．（2023·山西·模拟预测）已知函数
的部分图
象如图所示.
(1)求
的解析式；
(2)将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，求
在
上的值域.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）由图可知
，根据最小正周期求得
，由图象经过点
求得
，即可得出
；
（2）利用图象平移规律得
，根据三角函数的性质求得值域.
【详解】（1）由图可知
，
的最小正周期
，则
，即
.
因为
的图象经过点
，所以
，
解得
，因为
，所以
，
故
.
（2）由（1）结合题意可得
.
因为
，所以
.
22
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，即
时，
取得最大值
；
当
，即
时，
取得最小值
.
故
在
上的值域为
.
14．（23-24 高三上·山西·阶段练习）已知函数
的部分图象如
图所示．
(1)求
的解析式；
(2)求
在
上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
得到
，根据
的图象关于直线
对称得到
，
即可得到
的解析式；
（2）根据正弦型函数的单调性求值域即可.
【详解】（1）由图可得，
的最小正周期
．
因为
，且
，所以
．
因为
的图象关于直线
对称，
所以
，解得
．
因为
，所以
．
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故
．
（2）由
，得
．
当
，即
时，
取得最大值，最大值为2；
当
，即
时，
取得最小值，最小值为
．
故
在
上的值域为
．
24
