专题 25 直线与圆
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2011
文 20
直线与圆
圆的方程的求法，直线与圆的位置关系
2013
卷 2
文 20
直线与圆
圆方程的求法，直线与圆的位置关系
2014
卷 2
文 20
直线与圆
圆方程的求法，圆的几何性质，直线与圆的位置关系
2015
卷 1[来源:
学*科*网]
理 14[来源:学科网]
圆与椭圆
椭圆的标准方程及其几何性质，过三点圆的方程的求法
文 20
直线与圆
直线与圆的位置关系
卷 2
理 7
直线与圆
三角形外接圆的求法，圆的弦长的计算公式
文 7
点与圆
三角形外接圆的求法，两点间距离公式
2016
卷 1
文 15
直线与圆
直线与圆的位置关系
卷 2
理 4 文
6
直线与圆
圆的方程、点到直线的距离公式
卷 3
文 15
直线与圆
直线与圆的位置关系
2017
卷 3
理 20
直线、圆、抛物线
直线与抛物线的位置关系；圆的方程的求法
文 20
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的几何性质，圆的定值问题的解法
2018
卷 1
文 15
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的弦长计算
卷 3
理 6 文
8
直线与圆
直线与圆位置关系，点到直线的距离公式，三角形的面积公式
2019
卷 3
理 21
直线与圆，直线与
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准
抛物线
方程及其几何性质，抛物线的定点问题
文 21
直线与圆，直线与
抛物线
直线与圆位置关系，直线与抛物线位置关系，抛物线的定义、标准
方程及其几何性质，抛物线的定点问题
2020
卷 1
理 11
直线与圆
直线与圆位置关系，圆与圆的位置关系，圆的几何性质
文 6
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的弦的最值问题
卷 2
理 5 文
8
直线与圆
直线与圆的位置关系，圆的方程的求法，点到直线距离公式
卷 3
理 10
直线与圆
直线与圆相切，直线与曲线相切，导数的几何意义
文 8
直线与圆
点到动直线距离公式的最值问题
大数据分析*预测高考
考点
出现频率
2021 年预测
考点 86 直线方程与圆的方程
37 次考 8 次
命题角度：
( 1)圆的方程；(2)与圆有关的轨迹问题；(3)
与圆有关的最值问题．
考点 87 两直线的位置关系
37 次考 1 次
考点 88 直线与圆、圆与圆的位置关系
37 次考 35 次
十年试题分类*探求规 律
考点 86 直线方程与圆的方程
1 ．(2020 全国Ⅲ文 6)在平面内， A , B 是两个定点， C 是动点．若 AC BC 1 ，则点 C 的轨迹为( )
A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．直线
【答案】A
【思路导引】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可．
【解析】设 AB 2a a 0 ，以 AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： A a, 0 , B a, 0 ，设C x, y ，可得：
x a, y ,
x a, y ，
从而：
x a x a y2 ，结合题意可得： x a x a y
2
1，
整理可得： x
2
y
2
a
2
1 ，即点 C 的轨迹是 以 AB 中点为圆心，
为半径的圆．故选：A．
2 ．(2020 全国Ⅲ文 8)点(0 ， ﹣ 1)到直线 y k x 1 距离的最大值为( )
A ． 1 B ．
C ．
D ． 2
【答案】B
【解析】由 y k(x 1) 可知直线过定点 P( 1, 0) ，设 A(0, 1) ，当直线y k(x 1) 与 AP 垂直时，点
A 到
直线 y k(x 1) 距离最大，即为 | AP |
．
3 ．(2015 北京文)圆心为 ( 1 ，1)且过原点的圆的方程是
A ． (x 1)
2
(y 1)
2
1 B ． (x 1)
2
(y 1)
2
1
C ． (x 1)
2
(y 1)
2
2 D ． (x 1)
2
(y 1)
2
2
【答案】D 【解析】 由题意可得圆的半径为 r
，则圆的标准方程为 x 1
2
y 1
2
2 ．
4 ．【2018 ·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点(0 ，0) ，( 1 ，1) ，(2 ，0)的圆的方程为__________．
【答案】 x
2
y
2
2x 0
【解析】设圆的方程为 x
2
y
2
Dx Ey F 0 ，圆经过三点(0 ，0) ，( 1 ，1) ，(2 ，0)，
F 0 D 2
则 1 1 D E F 0 ，解得 E 0 ，则圆的方程为 x
2
y
2
2x 0 ．
4 0 2D F 0 F 0
5 ．【2017 ·天津文】设抛物线y
2
4x 的焦点为 F ，准线为 l ．已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴
的 正半轴相切于点 A ．若 FAC 120 ，则圆的方程为___________．
【答案】 (x 1)
2
(y
)
2
1
【 解析 】 由题可 设 圆 心坐标为 C( 1, m) ， 则 A(0, m) ， 焦 点 F (1, 0) ， A C ( 1, 0), A F
(1, m) ，
cos CAF
，解得m
，由于圆 C 与y 轴得正半轴相切，则m
，
所求圆的圆心为 ( 1,
) ，半径为 1 ，所求圆的方程为 (x 1)2
(y
)2
1．
6．【2016 ·浙江文数】已知 a R ，方程 a
2 x
2
(a 2)y
2
4x 8y 5a 0 表示圆，则圆心坐标是_____，
半径是______．
【答案】 ( 2, 4) ；5．
【 解 析 】 由 题 意 a
2
a 2 ， a 1 或2 ， a 1 时 方 程 为 x
2
y
2
4x 8y 5 0 ，
即
(x 2)
2
(y 4)
2
25 ， 圆 心为 ( 2, 4) ， 半径为 5 ， a 2 时方程为 4x
2
4y
2
4x 8y 10 0
， (x )
2
(y 1)
2
不表示圆．
7．【2016 ·天津文数】已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点M(0,
) 在圆 C 上，且圆心到直线 2x y
0 的距离为
，则圆 C 的方程为__________．
【答案】 (x 2)2
y2
9.
【解析】设 C(a, 0)(a 0) ，则
a 2, r
3 ，故圆 C 的方程为 (x 2)
2
y
2
9.
8 ．(2011 辽宁文)已知圆 C 经过 A(5 ，1) ，B( 1 ，3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ．
【答案】 (x 2)
2
y
2
10 【解析】 以题意设圆 C 的方程为 (x a)
2
y
2
r
2 ，把所给的两点坐标代入方
程得
解得
所以圆 C ： (x 2)
2
y
2
10 ．
考点 87 两直线的位置关系
9 ．【2016 ·上海文科】 已知平行直线 l1 : 2x y 1 0, l2 : 2x y 1 0 ，则 l1 , l2 的距离
_______________． 【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得 d
10 ．(2011 浙江文)若直线x 2y 5 0 与直线 2x my 6 0 互相垂直，则实数 m = ．
【答案】1【解析】当 m 0 时，两直线不垂直，故 m 0 ．因为直线 x 2y 5 0 与直线 2x my 6
0
的斜率分别为
和
，由
(
) 1 ，故 m 1．
考点 88 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
11 ．(2020 ·新课标Ⅰ文)已知圆x
2
y
2
6x 0 ，过点(1 ，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A ． 1 B ． 2
C ． 3 D ． 4
【答案】B
【解析】圆x
2
y
2
6x 0 化为 (x 3)
2
y
2
9 ，所以圆心 C 坐标为C(3, 0) ，半径为 3 ，
设P(1, 2) ，当过点P 的直线和直线 CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为 2
2
2 ．
12 ．(2020·新课标Ⅱ文理 5)若过点 2 , 1 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x y 3 0 的距离为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【思路导引】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 a, a , a 0 ，可得圆的半径为 a ，写出圆的标
准方程，利用点 2, 1 在圆上，求得实数 a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x y 3
0
的距离．
【解析】由于圆上的点 2, 1 在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题
意， ∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为 a, a ，则圆的半径为 a ，圆的标准方程为
x a
2
y a
2
a
2 ．由题意可得 2 a
2
1 a
2
a
2 ，可得 a
2
6a 5 0 ，解得 a 1 或 a
5 ，
∴圆心的坐标为 1, 1 或 5, 5 ，圆心到直线2x y 3 0 的距离均为 d
，
∴圆心到直线2x y 3 0 的距离为
．故选 B．
13 ．(2020 全国 Ⅰ理 11】 已知⊙ M : x2
y2
2x 2y 2 0 ，直线l : 2x y 2 0 ， P 为 l 上的动点，
过点 P 作⊙ M 的切线PA , PB ，切点为 A , B ，当 PM AB 最小时，直线 AB 的方程为 ( )
A ． 2x y 1 0 B ． 2x y 1 0 C ． 2x y 1 0 D ． 2x y 1 0
【答案】D
【思路导引】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 A, P, B, M 共圆，且 AB MP ，根据
PM AB 2S△PAM
2 PA 可知，当直线MP l 时， PM AB 最小，求出以MP 为直径的圆的方程，
根据圆系的知识即可求出直线 AB 的方程．
β ．图中阴影区域的面积的最大值为
【解析】圆的方程可化为 x 1
2
y 1
2
4 ，点M 到直线l 的距离为d
2 ，∴
直
线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点 A, P, B, M 四点共圆，且 AB MP ，
∴ PM AB 2S△PAM
2
PA AM 2 PA ，而 PA MP
2
4 ，
当直线MP l 时， MP min
， PA min
1 ，此时PM AB 最小．
∴ MP : y 1 x 1 即y x ，由
x
0
解得，
∴以MP 为直径的圆的方程为 x 1 x 1
y y 1 0 ，即 x
2
y
2
y 1 0 ，两圆的方程相减可得：
2x y 1 0 ，即为直线 AB 的方程，故选 D．
14 ．(2020· 北京卷)已知半径为 1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7
【答案】A
【解析】设圆心C x, y ，则
x 3
2
y 4
2
1 ，化简得 x 3
2
y 4
2
1，
所以圆心 C 的轨迹是以M(3, 4) 为圆心，1 为半径的圆，
所以| OC | 1 | OM |
5 ，所以| OC | 5 1 4 ，当且仅当 C 在线段 OM 上时取得等号，故
选 A ．
β ．图中阴影区域的面积的最大值为
15 ．(2019 北京文 8)如图，A ，B 是半径为 2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点， APB 是锐角，大小为
(A)4 β+4cosβ (B)4 β+4sin β (C)2 β+2cosβ (D)2 β+2sin β
【答案】B
【解析】由题意和题图可知，当 P 为优弧
的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为 O
，
AOB 2
， BOP AOP 2 2
．
此时阴影部分面积 S S 扇形AOB
S△AOP
S△BOP
2
2
2
2 2 sin
4
4sin
．
故
选 B ．
16．【2018 ·全国Ⅲ文】直线x y 2 0 分别与x 轴，y 轴交于 A ，B 两点，点P 在圆 (x 2)2
y2
2 上，
则 △ABP 面积的取值范围是
A ． 2 ，6 B ． 4 ，8
C ．
，3
D ． 2
，3
【答案】A
【解析】 直线 x y 2 0 分别与x 轴，y 轴交于 A ，B 两点， A 2, 0 , B 0, 2 ，则 AB 2
．
点 P 在圆 (x 2)
2
y
2
2 上， 圆心为(2 ，0) ，则圆心到直线的距离 d1
2
．
故点 P 到直线x y 2 0 的距离 d2 的范围为
, 3
，则 S△ABP
AB d2
d2
2, 6 ．
故答案为 A．
17 ． 【2018 高考全国 2 理 2】 已知集合 A x , y x
2
y
2
3 , x Z , y Z ，则 A 中元素的个数为
( )
A ． 9 B ． 8 C ． 5 D ． 4
【答案】A
【解析】试题分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数．
试题解析： x2
y2
3 , x2
3 ，又 x Z , x 1 , 0 , 1 ．当 x 1 时， y 1 , 0 ,
1 ； 当x 0 时， y 1 , 0 , 1 ；当
x 1 时， y 1 , 0 , 1 ；所以共有 9 个，选
A．
【考点】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别．
18 ．【2018 高考全国 3 理 6】直线 x y 2 0 分别与 x 轴y 交于 A , B 两点，点 P 在圆 x 2
2
y
2
2 上，
则 △ABP 面积的取值范围是 ( )
A ． 2，6 B ． 4 ，8 C ．
，3
D ． 2
，3
【答案】A
【解析】 直线 x y 2 0 分别与 x 轴， y 轴交于A , B 两点， A 2 , 0 , B 0 , 2 ，则 AB 2
．
点 P 在圆 x 2
2
y
2
2 上， 圆心为 2 , 0 ，则圆心到直线距离 d1
2
，故点 P 到直线
x y 2 0 的距离d2 的范围为
, 3
，则S△ABP
AB d2
d2
2 , 6 ，故选 A．
19 ． 【2018 高考北京理 7】在平面直角坐标系中，记 d 为点P cos , sin 到直线 x my 2 0 的距
离．当
, m 变化时， d 的最大值为 ( )
A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
【答案】C
【解析】试题分析：P 为单位圆上一点，而直线x my 2 0 过点 A 2 , 0 ，则根据几何意义得 d 的最大
值为 OA 1 ．
试题解析： cos
2
sin
2
1 , P 为单位圆上一点，而直线 x my 2 0 过点 A 2 , 0 ，所以 d 的
最大 值为 OA 1 2 1 3 ，选 C．
【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，
求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
20．(2017新课标Ⅲ理)在矩形 ABCD 中，AB 1，AD 2 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．
若 A P
A B
A D ，则
的最大值为
A ．3 B ． 2
C ．
D ．2
【答案】A 【解析】如图建立直角坐标系，
则 A(0, 1) ， B(0, 0) ， D(2, 1) ， P(x, y) ，由等面积法可得圆的半径为
，
所以圆的方程为 (x 2)
2
y
2
，
所以 A P (x, y 1) ， A B (0, 1) ， A D (2, 0) ，
由 A P
A B
A D ，得
所以
=
y 1 ，
x x
2 2
点P(x, y) 在圆上，所以圆心到直线
y 1 z 0 的距离小于半径，
所以 | 2 z | ≤ 2 ，解得1≤ z ≤3 ，所以 z 的最大值为 3，
即
的最大值为 3 ，选 A．
21 ．【2016 · 山东文数】已知圆 M ： x
2 + y
2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2
，则圆
M 与圆 N：（x-1）
2 + (y - 1)
2 = 1 的位置关系是( )
(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离
【答案】B
【解析】由x
2
y
2
2ay 0 ( a 0 )得x
2
y a
2
a
2 ( a 0 )，所以圆M 的圆心为 0, a ，半径为 r1
a ，
圆 心 为 1, 1 ， 半径 为 r2
1 ， 所 以 MN
0 1
2
2 1
2
， r1
r2
3 ， r1
r2
1
， 因 为
因为圆M 截直线
0 所得线段的长度是2
所以
设
1
即
1
解得a
2
圆
1
r1
r2
MN r1
r2 ，所以圆M 与圆 N 相交，故选 B．
22 ．【2016 ·北京文数】圆 (x 1)
2
y
2
2 的圆心到直线 y x 3 的距离为( )
A ．1 B ．2 C ．
D ．2
【答案】C
【解析】圆心坐标为 ( 1, 0) ，由点到直线的距离公式可知 d
，故选 C．
23 ．【2016 ·新课标 2 文数】圆 x2+y2−2x−8y+ 13=0 的圆心到直线 ax+y− 1=0 的距离为 1 ，则 a=( )
(A)− (B)− (C)
(D)2
【答案】A
【 解 析 】 由 x
2
y
2
2x 8y 13 0 配 方 得 (x 1)
2
(y 4)
2
4 ， 所 以 圆 心 为 (1, 4) ， 因
为 圆
x2
y2
2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1 ，所以
1 ，解得 a ，
故
选 A ．
24 ．(2015 安徽文)直线 3x 4y b 与圆 x
2
y
2
2x 2y 1 0 相切，则b 的值是
A ．－2 或 12 B ．2 或－12 C ．－2 或－12 D ．2 或 12
【答案】D
【解析】圆的标准方程为 (x 1)
2
(y 1)
2
1 ，圆心 (1, 1) 到直线 3x 4y b 的距离
1 ，所以
b 2
或b 12 ．
25 ．(2015 新课标 2 文)已知三点 A(1,0) ， B(0,
) ， C(2,
) ，则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为
5
3
3
2
3
4
3
【答案】B 【解析】 由题意可得， AB = BC = AC = 2 ， ∴ ΔABC 为等边三角形，故 ΔABC 的外接圆
圆心
时 ΔABC 的中心，又等边 ΔABC 的高为
，故中心为 (1,
) ，故 ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离
为
C
D
B
A
1+ (
)
2 =
．
26 ．(2015 山东理)一条光线从点 ( 2, 3) 射出，经 y 轴反射后与圆 (x 3)
2
(y 2)
2
1 相切，则反射光
线
所在直线的斜率为
A ． 或 B ．
或
C ．
或
D ．
或
【答案】D 【解析】 ( 2, 3) 关于 y 轴对称点的坐标为 (2, 3) ，设反射光线所在直线为
y 3 k(x 2) ，即kx y 2k 3 0 ，则 d
1 ，
| 5k 5 |
，解得 k 或 ．
27 ．(2015 广东理)平行于直线 2x y 1 0 且与圆x
2
y
2
5 相切的直线的方程是
A ． 2x y 5 0 或 2x y 5 0 B ． 2x y
0 或 2x y
0
C ． 2x y 5 0 或 2x y 5 0 D ． 2x y
0 或 2x y
0
【答案】A 【解析】 设所求直线的方程为 2x y c 0 (c 1) ，则
，所以c
，
故
所求直线的方程为 2x y 5 0 或 2x y 5 0 ．
28 ．(2015 新课标 2 理)过三点 A(1, 3) ， B(4, 2) ， C(1, 7) 的圆交于 y 轴于M 、 N 两点，则 MN =
A ．2
B ．8 C ．4
D ．10
【答案】C 【解析】设过 A, B, C 三点的圆的方程为 x
2
y
2
Dx Ey F 0 ，
D 3E F 10 0
则 4D 2E F 20 0 ，解得D 2, E 4, F 20 ，
D 7E F 50 0
所求圆的方程为x
2
y
2
2x 4y 20 0 ，令 x = 0 ，得 y
2
4y 20 0 ，
设M(0, y1 ) ， N(0, y2 ) ，则 y1
y2
4 ， y1 y2
20 ，
所以| MN | | y1
y2 | (y1
y2 )
2
4y1y2
4
．
29 ．(2015 重庆理)已知直线 l： x ay 1 0(a R) 是圆 C ： x
2
y
2
4x 2y 1 0 的对称轴，过点
A( 4, a) 作圆 C 的一条切线，切点为 B ，则 AB ＝
A ．2 B ． 4
C ．6 D ． 2
【答案】C 【解析】圆C 标准方程为 (x 2)
2
(y 1)
2
4 ，圆心为C(2, 1) ，半径为 r 2
， 因此2 a 1 1 0 ， a 1 ，即 A( 4, 1) ，
AB AC
2
r
2
( 4 2)
2
( 1 1)
2
4 6 ．选 C．
30 ．(2014 新课标 2 文理)设点M(x0 , 1) ，若在圆 O : x
2
y
2 =1 上存在点 N ，使得 OMN 45
° ，则 x0 的
取
值范围是
A ． 1, 1 B ．
，
C ．
,
D ．
，
【答案】A 【解析】当点M 的坐标为 (1, 1) 时，圆上存在点 N(1, 0) ，使得 OMN 45 ，所以 x0
1 符合
题意，排除 B、D ；当点M 的坐标为 (
, 1) 时，OM
，过点M 作圆 O 的一条切线MN ，连接 ON
，
则在 Rt OMN 中， sin OMN
，则 OMN 45 ，故此时在圆 O 上不存在点 N ，使得
OMN 45
° ，即 x0
不符合题意，排除 C ，故选 A．
31 ．(2014 福建文)已知直线l 过圆 x
2
y 3
2
4 的圆心，且与直线 x y 1 0 垂直，则 l 的方程是
A ． x y 2 0 B ． x y 2 0 C ． x y 3 0 D ． x y 3 0
【答案】D 【解析】直线l 过点 (0, 3) ，斜率为1 ，所以直线l 的方程为 x y 3 0 ．
32 ．(2014 北京文)已知圆 C : x 3
2
y 4
2
1 和两点 A m, 0 ，B m, 0 m 0 ，若圆 C 上
存在点 P ，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为
A ． 7 B ． 6 C ． 5 D ． 4
【答案】B【解析】因为圆 C 的圆心为 (3, 4) ，半径为 1 ， | OC | 5 ，所以以原点为圆心、以 m 为半径与
圆
C 有公共点的最大圆的半径为 6 ，所以 m 的最大值为 6 ，故选 B．
33 ．(2014 湖南文)若圆 C1 : x
2
y
2
1 与圆 C2 : x
2
y
2
6x 8y m 0 外切，则 m
A ． 21 B ． 19 C ． 9 D ． 11
【答案】C 【解析】 由题意得 C1 (0, 0), C2 (3, 4) ， r1
1, r2
25 m ， | C1C2 | r1
r2
1 25 m
5 ，
所以 m 9 ．
34 ．(2014 安徽文)过点 P（
, 1）的直线l 与圆 x
2
y
2
1 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围
是
A ．（0，
]
B ．（0，
]
C ． [0，
]
D ． [0，
]
【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为
，由题意可知
min
0,
max
2
．
35 ．(2014 浙江文)已知圆 x
2
y
2
2x 2y a 0 截直线x y 2 0 所得弦的长度为 4 ，则实数 a 的值是
A ． － 2 B ． － 4 C ． － 6 D ． － 8
【答案】B 【解析】圆的标准方程为 (x 1)
2
(y 1)
2
2 a ，则圆心 C( 1, 1) ，半径 r 满足 r
2
2 a
，
则圆心 C 到直线 x y 2 0 的距离 d 2
所以 r
2
4 2 2 a ，故 a 4 ．
36．(2014 四川文)设 m R ，过定点 A 的动直线x my 0 和过定点B 的动直线 mx y m 3 0 交于
点 P(x, y) ，则 | PA | | PB | 的取值范围是
A ． [ 5 , 2 5 ] B ． [ 10 , 2 5 ] C ． [ 10 , 4 5 ] D ． [2 5 , 4 5 ]
【答案】B【解析】易知直线 x my 0 过定点 A(0, 0) ，直线 mx y m 3 0 过定点B(1, 3) ，且两条
直 线相互垂直，故点 P 在以 AB 为直径的圆上运动，故
| PA | | PB | | AB | cos PAB | AB | sin PAB
sin( PAB
) [
, 2
] ．故选 B．
37 ．(2014 江西文)在平面直角坐标系中， A, B 分别是x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直
线
2x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为
A ．
B ．
C ． (6 2
)
D ．
【答案】A 【解析】 由题意可知以线段 AB 为直径的圆C 过原点 O ，要使圆 C 的面积最小，只需圆 C 的
半 径或直径最小．又圆 C 与直线 2x y 4 0 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点0
到直
线2x y 4 0 的距离，此时 2r
，得 r
，圆 C 的面积的最小值为 S r
2
．
38 ．(2014 福建理)已知直线l 过圆 x
2
y 3
2
4 的圆心，且与直线 x y 1 0 垂直，则 l 的方程是
A ． x y 2 0 B ． x y 2 0 C ． x y 3 0 D ． x y 3 0
【答案】D 【解析】直线l 过点 (0, 3) ，斜率为1 ，所以直线l 的方程为 x y 3 0 ．
39 ．(2014 北京理)已知圆 C : x 3
2
y 4
2
1 和两点 A m, 0 ，B m, 0 m 0 ，若圆 C 上
存在点 P ，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为
A ． 7 B ． 6 C ． 5 D ． 4
【答案】B【解析】因为圆 C 的圆心为 (3, 4) ，半径为 1 ， | OC | 5 ，所以以原点为圆心、以m 为半径与
圆
C 有公共点的最大圆的半径为 6 ，所以 m 的最大值为 6 ，故选 B．
40 ．(2014 湖南理)若圆 C1 : x
2
y
2
1 与圆 C2 : x
2
y
2
6x 8y m 0 外切，则 m
A ． 21 B ． 19 C ． 9 D ． 11
【答案】C 【解析】 由题意得 C1 (0, 0), C2 (3, 4) ， r1
1, r2
，
| C1C2 | r1
r2
1
5 ，所以 m 9 ．
41 ． (2014 安徽理)过点 P（
, 1）的直线l 与圆 x
2
y
2
1 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范
围是
A ．（0，
] B ．（0，
] C ． [0，
] D ． [0，
]
【答案】D 【解析】设直线l 的倾斜角为
，由题意可知
min
0,
max
2
．
42 ．(2014 浙江理)已知圆 x
2
y
2
2x 2y a 0 截直线x y 2 0 所得弦的长度为 4 ，则实数 a 的值是
A ．－2 B ． －4 C ．－6 D ．－8
【答案】B 【解析】圆的标准方程为 (x 1)
2
(y 1)
2
2 a ，则圆心 C( 1, 1) ，半径 r 满足 r
2
2 a
，
则圆心 C 到直线 x y 2 0 的距离 d 2
所以 r
2
4 2 2 a ，故 a 4 ．
43．(2014 四川理)设 m R ，过定点 A 的动直线 x my 0 和过定点 B 的动直线 mx y m 3 0 交于
点 P(x, y) ，则 | PA | | PB | 的取值范围是
A ． [ 5 , 2 5 ] B ． [ 10 , 2 5 ] C ． [ 10 , 4 5 ] D ． [2 5 , 4 5 ]
【答案】B【解析】易知直线 x my 0 过定点 A(0, 0) ，直线 mx y m 3 0 过定点B(1, 3) ，且两条
直 线相互垂直，故点 P 在以 AB 为直径的圆上运动，
故| PA | | PB | | AB | cos PAB | AB | sin PAB
sin( PAB
)
A
1
B
2
C
4
D
[
, 2
] ．故选 B．
44 ．(2014 江西理)在平面直角坐标系中， A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线
2x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小值为
A ．
B ．
C ． (6 2
)
D ．
【答案】A 【解析】 由题意可知以线段 AB 为直径的圆C 过原点 O ，要使圆 C 的面积最小，只需圆 C 的
半 径或直径最小．又圆 C 与直线2x y 4 0 相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点 O
到直
线2x y 4 0 的距离，此时 2r
，得 r
，圆 C 的面积的最小值为 S r
2
．
45．(2013 山东文)过点(3 ，1)作圆 x 1
2
y
2
1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为( )
A ． 2x y 3 0 B ． 2x y 3 0 C ． 4x y 3 0 D ． 4x y 3 0
【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线 AB 一定与点(3 ，1) ，( 1 ，0)的连线垂直，这两点连线的斜率
为 ，故直线 AB 的斜率一定是–2 ，只有选项 A 中直线的斜率为–2．
46．(2013 重庆文)已知圆C1 : x 2
2
y 3
2
1 ，圆C2 : x 3
2
y 4
2
9 ，M , N 分别是圆
C1 , C2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PM
PN 的最小值为
A ． 5
4 B ．
1 C ． 6 2
D ．
【答案】A 【解析】 圆 C1 ，C2 的圆心分别为 C1 ，C2 ，由题意知|PM|≥|PC1 | －1 ，|PN|≥|PC2 | －
3， ∴|PM|＋|PN|≥|PC1 |＋|PC2 | －4 ，故所求值为|PC1 |＋|PC2 | －4 的最小值．
又 C1 关于 x 轴对称的点为 C3(2 ，－3)，
所以|PC1 |＋|PC2 | －4 的最小值为|C3C2 | －4＝
2 3
2
3 4
2
4 5
4 ，故选 A．
x 2y 5 5 0 被圆 x
2
y
2
2x 4y 0 截得的弦长为
4 6
【答案】C 【解析】圆心(1, 2) ，圆心到直线的距离
2 (
)
2
1
2
4 ．
d
=1
半径r
5
所以最后弦长
47
(2013 安徽文)直
1+4 5+
48 ．(2013 新课标 2 文)已知点 A 1, 0 ； B 1, 0 ； C 0, 1 ，直线 y ax b (a 0) 将△ ABC 分
割为面
积相等的两部分，则b 的取值范围是
A ． (0, 1) B ． 1
, 1
C ． 1
, 1
D ． 1 , 1
2 2 2 3 3 2
【答案】B 【解析】( 1)当y ax b 过 A 1, 0 与BC 的中点D 时，符合要求，此b ，
(2)当 y ax b 位于②位置时 A1
, 0 ， D1
,
， 令 S A1BD1
得 a
， ∵ a 0 ， ∴ b
(3) 当 y ax b 位于③位置时 A2
,
， D2
,
，
令 S A2 CD2
，即 1 b
，化简得 a
2
2b
2
4b 1 ， ∵ a 0 ，
∴2b
2
4b 1 0 ，解得1
b 1
．
综上： 1
b ，故选 B．
49 ．(2013 陕西文)已知点 M(a ，b)在圆 O : x
2
y
2
1 外， 则直线 ax + by = 1 与圆 O 的位置关系是
A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定
【答案】B 【解析】点 M(a ， b)在圆 x
2
y
2
1 外
a
2
b
2
1 .
.圆 O(0，0)到直线 ax by 1 距离 d
1 = 圆的半径，故直线与圆相交，故选 B．
50．(2013 天津文)已知过点 P(2，2) 的直线与圆(x 1)
2
y
2
5 相切， 且与直线 ax y 1 0 垂直， 则 a
A ． B ．1 C ．2 D ．
【答案】C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为 y 2 k(x 2) ，即kx y 2 2k 0 ，圆心(1, 0)
到
直线的距离
，即
，解得k ．因为直线与直线 ax y 1 0 垂直，所
以 k ， 即 a 2 ，选 C．
51 ．(2013 广东文)垂直于直线 y x 1 且与圆 x
2
y
2
1 相切于第一象限的直线方程是
A ． x y
0 B ． x y 1 0
C ． x y 1 0 D ． x y
0
【答案】A【解析】 ∵圆心到直线的距离等于 r 1 ，排除 B 、C；相切于第一象限排除 D ，选 A ．直接法
可
设所求的直线方程为： y x k k 0 ，再利用圆心到直线的距离等于 r 1 ，求得k
．
52 ．(2013 新课标 2 文)设抛物线 C : y
2
4x 的焦点为 F ，直线 l 过 F 且与 C 交于 A ， B 两点 ．若
| AF | 3 | BF | ，则l 的方程为
A ． y x 1 或 y x 1 B ． y
(x 1) 或y
(x 1)
C ． y
(x 1) 或y
(x 1) D ． y
(x 1) 或y
(x 1)
【答案】C【解析】抛物线y
2
4x 的焦点坐标为 (1, 0) ，准线方程为 x 1 ，设 A(x1 , y1 ) ，B(x2 , y2 ) ，
则
因为|AF|=3|BF| ，所以 x1
1 3(x2
1) ，所以 x1
3x2
2 ，
因为| y1 | =3 | y2 | ， x1 =9 x2 ，所以 x1 =3 ， x2 = ，当 x1 =3 时， y1
2
12 ，
所以此时 y1
2
，若 y1
2
，则 A(3, 2
), B( ,
) ，
此时kAB
，此时直线方程为 y
(x 1) ．若 y1
2
，
A
1
B
2
C
4
D
则 A(3, 2
), B( ,
) ，此时kAB
，此时直线方程为 y
(x 1) ．
所以l 的方程是 y
(x 1) 或 y
(x 1) ，选 C．
53 ．(2013 山东理)过点(3 ，1)作圆 x 1
2
y
2
1 的两条切线，切点分别为 A ，B ，则直线 AB 的方程为
A ． 2x y 3 0
C ． 4x y 3 0
B ． 2x y 3 0
D ． 4x y 3 0
【答案】A 【解析】根据平面几何知识，直线 AB 一定与点(3 ，1) ，( 1 ，0)的连线垂直，这两点连线的斜率
为 ，故直线 AB 的斜率一定是 2 ，只有选项 A 中直线的斜率为 2 ．
54．(2013 重庆理)已知圆C1 : x 2
2
y 3
2
1 ，圆C2 : x 3
2
y 4
2
9 ，M , N 分别是圆
C1 , C2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 PM
PN 的最小值为
A ． 5
4 B ．
1 C ． 6 2
D ．
【答案】A 【解析】圆 C1 ，C2 的圆心分别为 C1 ，C2 ，由题意知|PM|≥|PC1 | －1 ，|PN|≥|PC2 | －
3， ∴|PM|＋|PN|≥|PC1 |＋|PC2 | －4 ，故所求值为|PC1 |＋|PC2 | －4 的最小值．
又 C1 关于 x 轴对称的点为 C3(2 ，－3)，
所以|PC1 |＋|PC2 | －4 的最小值为|C3C2 | －4＝
2 3
2
3 4
2
4 5
4 ，
故选 A．
x 2y 5 5 0 被圆 x
2
y
2
2x 4y 0 截得的弦长为
4 6
【答案】C 【解析】圆心(1, 2) ，圆心到直线的距离
2 (
)
2
1
2
4 ．
课标 2 理)已知点 A 1, 0 ； B 1, 0 ； C 0, 1 ，直线 y ax b (a 0) 将△ ABC
分割为面
积相等的两部分，则b 的取值范围是
1 2 1
2 3
C
D
A
(0 1)
B
d
=1
半径r
5
所以最后弦长
55
(2013 安徽理)直
2
2
56
(2013
2 1
1+4 5+
1
3
1
【答案】B 【解析】( 1)当y ax b 过 A 1, 0 与BC 的中点D 时，符合要求，此b ，
(2)当 y ax b 位于②位置时 A1
, 0 ， D1
,
， 令 S A1BD1
得 a
， ∵ a 0 ， ∴ b ．
(3) 当 y ax b 位于③位置时 A2
,
， D2
,
， 令 S A2 CD2
，即 1 b
，
化简得 a
2
2b
2
4b 1 ， ∵ a 0 ， ∴2b
2
4b 1 0 ，解得1
b 1
综上： 1
b ，故选 B．
57 ．(2013 陕西理)已知点M(a, b) 在圆 O : x
2
y
2
1 外， 则直线 ax by 1 与圆 O 的位置关系是
A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定
【答案】B 【解析】点 M(a ， b)在圆 x
2
y
2
1 外， ∴ a
2
b
2
1 ．圆 O(0, 0) 到直线 ax by 1 距离
d
1 = 圆的半径，故直线与圆相交．所以选 B．
58．(2013 天津理)已知过点 P(2，2) 的直线与圆(x 1)
2
y
2
5 相切， 且与直线 ax y 1 0 垂直， 则 a
A ． B ．1 C ．2 D ．
【答案】C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为 y 2 k(x 2) ，即 kx y 2 2k 0 ，圆心(1, 0)
到
的
直线的距离
，即
，解得k ．因为直线与直线 ax y 1 0 垂直，所
以 k ， 即 a 2 ，选 C．
59 ．(2013 广东理)垂直于直线 y x 1 且与圆 x
2
y
2
1 相切于第一象限的直线方程是
A ． x y
0 B ． x y 1 0
C ． x y 1 0 D ． x y
0
【答案】A【解析】 ∵圆心到直线的距离等于 r 1 ，排除 B 、C；相切于第一象限排除 D ，选 A ．直接法可
设所求的直线方程为： y x k k 0 ，再利用圆心到直线的距离等于 r 1 ，求得k
．
60 ．(2013 新课标 2 理)设抛物线 C : y
2
4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于 A ， B 两点．
若 | AF | 3 | BF | ，则l 的方程为
A ． y x 1 或 y x 1 B ． y
(x 1) 或y
(x 1)
C ． y
(x 1) 或y
(x 1) D ． y
(x 1) 或y
(x 1)
【答案】C 【解析】抛物线 y
2
4x 的焦点坐标为 (1, 0) ，准线方程为 x 1 ，设 A(x1 , y1 ) ，
B(x2 , y2 ) ，则因为|AF|=3|BF| ，所以 x1
1 3(x2
1) ，所以 x1
3x2
2 ，
因为| y1 | =3 | y2 | ， x1 =9 x2 ，所以 x1 =3 ， x2 = ，当 x1 =3 时， y1
2
12 ，
所以此时 y1
2
，若 y1
2
，则 A(3, 2
), B( ,
) ，
此时kAB
，此时直线方程为 y
(x 1) ．若 y1
2
，
则 A(3, 2
), B( ,
) ，此时kAB
，此时直线方程为 y
(x 1) ．
所以l 的方程是 y
(x 1) 或 y
(x 1) ，选 C．
的
61 ．(2012 浙江文)设 a R ，则“ a 1 ”是“直线l1 ：ax 2y 1 0 与直线l2 ：x (a 1)y 4 0 平
行”
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】“直线l1 ：ax 2y 1 0 与直线l2 ：x (a 1)y 4 0 平行”的充要条件是 a(a 1)
2 ，
解得， a 1 或 a 2 ，所以是充分不必要条件．
62 ．(2012 天津文)设m ，n R ，若直线 (m 1)x+(n 1)y 2=0 与圆 (x 1)
2 +(y 1)
2 =1 相切，则 m+n
的 取值范围是
A ． [ 1
, 1+
] B ． ( , 1
] [1+
,+ )
C ． [2 2
,2+2
] D ． ( ,2 2
] [2+2
,+ )
【答案】D【解析】 ∵直线 (m 1)x+(n 1)y 2=0 与圆 (x 1)
2 +(y 1)
2 =1 相切， ∴圆心 (1,1) 到直线
的距
离为 d=
=1 ，所以 mn m n 1 (
)
2 ，
设t=m n ，则 t
2
t+1 ，解得t ( ,2 2
] [2+2
,+ ) ．
63 ．(2012 湖北文)过点P(1, 1) 的直线，将圆形区域 (x, y) | x
2
y
2 4 分为两部分，使得这两部分的面积
之差最大，则该直线的方程为
A ． x y 2 0 B ． y 1 0 C ． x y 0 D ． x 3y 4 0
【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，
所以需该直线与直线 OP 垂直即可．又已知点 P(1, 1) ，则 kOP
1 ，故所求直线的斜率为– 1 ．又所求直线过
点P(1, 1) ，故由点斜式得，所求直线的方程为 y 1 x 1 ，即 x y 2 0 ．故选 A．
64．(2012 天津文)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x 4y 5 0 与圆x
2
y
2
4 相交于 A, B 两点，则
弦 AB 的长等于( )
(A) 3
(B) 2
(C)
(D)
【答案】B【解析】圆 x
2
y
2
4 的圆心O(0, 0) 到直线3x 4y 5 0 的距离 d
1 ，弦 AB 的长
AB 2
2
．
65 ．(2012 浙江理)设 a R ，则“ a 1 ”是“直线 l1 ：ax 2y 1 0 与直线l2 ：x (a 1)y 4 0 平
行”
的
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】“直线l1 ：ax 2y 1 0 与直线l2 ：x (a 1)y 4 0 平行”的充要条件是 a(a 1)
2 ，
解得， a 1 或 a 2 ，所以是充分不必要条件．
66 ．(2012 天津理)设 m ，n R ，若直线 (m 1)x+(n 1)y 2=0 与圆 (x 1)
2 +(y 1)
2 =1 相切，则
m+n 的 取值范围是
(
, 1
3 ]
[1 + 3 ,+
)
( ,2 2 2 ] [2+2 2 ,+ )
【答案】D【解析】 ∵直线 (m 1)x+(n 1)y 2=0 与圆 (x 1)
2 +(y 1)
2 =1 相切， ∴圆心 (1,1) 到直线
的距
d = |(m 1)+(n 1) 2| =1 ，所以
(m 1)
2 +(n 1)
2
t
2
t+ 1 ， 解得
67 ．(2012 湖北理)过点 P(1, 1) 的直线，将圆形区域 (x, y) | x
2
y
2 4 分为两部分，使得这两部分的面积
之差最大，则该直线的方程为
A ． x y 2 0 B ． y 1 0 C ． x y 0 D ． x 3y 4 0
【答案】A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，
所以需该直线与直线 OP 垂直即可．又已知点 P(1, 1) ，则 kOP
1 ，故所求直线的斜率为 1．又所求直线
过
点P(1, 1) ，故由点斜式得，所求直线的方程为
y 1 x 1 ，即 x y 2 0 ．故选 A．
68．(2012 天津理)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x 4y 5 0 与圆 x
2
y
2
4 相交于 A, B 两点，则
弦
AB 的长等于
3 B ． 2 C ．
C
D
mn
m
n
1
( m n )
2
t
(
2
2 2 ]
[2+2 2 +
[2
2 2 2+2
设t=m
n
A
[ 1
3 1+
D
A
离
B
2
5
3
3
d 1
【答案】B 【解析】圆x
2
y
2
4 的圆心O(0 0) 到直线3x
4y
5
0 的
弦 AB 的长AB 2
2
．
69 ．(2011 北京文)已知点 A(0 ，2) ，B(2 ，0) ．若点 C 在函数 y x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为 2 的
点 C 的个数为
A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
【答案】A【解析】设点 C(t, t
2 ) ，直线 AB 的方程是 x y 2 0 ，| AB | 2
，由于 ABC 的面积为
2，
则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程
2
h 2 ，即 h
，
由点到直线的距离公式得
，即| t t
2
2 | 2 ，解得有 4 个实根，
故这样的点C 有 4 个．
70 ．(2011 江西文)若曲线 C1 ： x
2
y
2
2x 0 与曲线 C2 ： y(y mx m) 0 有四个不同的交点，则实数
m 的取值范围是
A ．(
，
文) B ．(
，0) (0 ，
)
C ．[
，
] D ．( ，
) (
，+ )
【答案】B【解析】 C1 : (x 1)
2
y
2
1 ， C2 表示两条直线即x 轴和直线l ： y m(x 1) ，显然 x 轴与
C1 有两个交点， 由题意l 与 C2 相交，所以C1 的圆心到l 的距离
d
r 1 ，解得 m (
,
) ，又当 m 0 时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，
不符合题意．故选 B．
71 ．(2011 北京理)已知点 A(0 ，2) ，B(2 ，0) ．若点 C 在函数 y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为 2 的
点 C 的个数为
A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
【答案】A【解析】设点 C(t, t
2 ) ，直线 AB 的方程是 x y 2 0 ，| AB | 2
，由于 ABC 的面积为
2， 则这个三角形中 AB 边上的高 h 满足方程
2
h 2 ，即 h
，
由点到直线的距离公式得
，即| t t2
2 | 2 ，解得有 4 个实根，
故这样的点C 有 4 个．
72 ．(2011 江西理)若曲线 C1 ： x
2
y
2
2x 0 与曲线 C2 ： y(y mx m) 0 有四个不同的交点，则实数
m 的取值范围是
A ．(
，
) B ．(
，0) (0 ，
)
C ．[
，
] D ．( ，
) (
，+ )
【答案】B 【解析】 C1 : (x 1)
2
y
2
1 ， C2 表示两条直线即x 轴和直线l ： y m(x 1)
， 显然 x 轴与 C1 有两个交点， 由题意l 与 C2 相交，所以 C1 的圆心到l 的距离
d
r 1 ，解得 m (
,
) ，又当 m 0 时，
直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选 B．
73 ． 【2020 年高考天津卷 12】 已 知直线 x
y 8 0 和圆 x
2
y
2
r
2 (r 0) 相交于 A, B 两点．
若 | AB | 6 ，则 r 的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心 0, 0 到直线 x
y 8 0 的距离d
4 ，由 l 2
可得
6 2
，解得 r = 5 ．
74 ．【2020 年高考浙江卷 15】设直线l : y kx b(k 0) ，圆 C1 : x
2
y
2
1 ，C2 : (x 4)
2
y
2
1 ，若直线
l 与 C1 ， C2 都相切，则k ； b ．
【答案】
；
【解析】 由题意可知直线l 是圆 C1 和圆 C 2 的公切线， ∵ k 0 ，为如图所示的切线，
由对称性可知直线l 必过点 2, 0 ，即 2k b 0 ①
并且 1 ， ②
1 k
2 1 k
2
由①②解得： k
， b
，故答案为：
；
．
75．【2020 年高考江苏卷 14】在平面直角坐标系xOy 中，已知P(
, 0) ，A、B 是圆 C ：x
2
(y )
2
36
上的两个动点，满足PA PB ，则 PAB 面积的最大值是________．
【答案】 10
【解析】如图，作 PC 所在直径 EF ，交 AB 于点D ，则：
∵ PA PB ， CA CB R 6 ， ∴ PC AB ， EF 为垂径．
要使面积 S PAB 最大，则 P、D 位于 C 两侧，并设 CD x ，
计算可知 PC 1 ，故 PD 1 x ， AB 2BD 2
，
故 S PAB
AB PD (1 x)
，令 x 6cos
，
S PAB
(1 x)
(1 6cos
) 6sin
6sin
18sin 2
， 0 q
，
记函数 f(
) 6sin
18sin 2
，
则 f (
) 6cos
36cos 2
6(12 cos
2
cos
6) ，
令 f (
) 6(12 cos
2
cos
6) 0 ，解得cos
( cos
0 舍去)
显然，当 0 cos
时， f (
) 0 ， f(
) 单调递减；
当 cos
1 时， f (
) 0 ， f(
) 单调递增；
结 合 cos
在 (0,
) 递 减 ， 故 cos
时 f(
) 最 大 ， 此 时 sin
，
故
b
4 k
2 10
，即 PAB 面积的最大值是 10
．
3 3
(注：实际上可设 BCD
，利用直角 BCD 可更快速计算得出该面积表达式)
76 ． 【2019 ·浙江卷】 已知圆 C 的圆心坐标是(0, m) ，半径长是 r ．若直线2x y 3 0 与圆 C 相切
于点 A( 2, 1) ，则 m =___________ ， r =___________．
【答案】 2 ，
【解析】由题意可知 kAC
AC : y 1 (x 2) ，把(0, m) 代入直线 AC 的方程得m 2 ，此
时
r | AC |
．
77 ．【2018 · 全国 I 文】直线 y x 1 与圆 x2
y2
2y 3 0 交于 A，B 两点，则 AB ________．
【答案】 2
【解析】根据题意，圆的方程可化为 x
2
y 1
2
4 ，所以圆的圆心为 0, 1 ，且半径是 2，
根据点到直线的距离公式可以求得d
，[来源:学科网 ZXXK]
结合圆中的特殊三角形，可知AB 2
2
，故答案为 2
．
78 ．【2018 ·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l : y 2x 上在第一象限内的点， B(5, 0) ， 以
AB
为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D ．若 AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为________．
【答案】3
【解析】设 A a, 2a (a 0) ，则由圆心 C 为 AB 中点得C
, a ,
易得C : x 5 x a y y 2a 0 ，与 y 2x 联立解得点D 的横坐标 xD
1, 所以D 1, 2 ．
f(
)max
6
36
3
【答案】
所以 A B 5 a, 2a , C D 1 a 5 , 2 a ，由 A B C D 0 得
2
79 ．【 2018 高 考 上 海 12 】 已 知 实 数 x1 ,x2 ,y1 ,y2 满 足 ： x
2
1
y
2
1
1 , x
2
2
y
2
2
1 , x1x2
y1y2
， 则
1∣
1∣的最大值为 ．
3
2
x1x2
y1y2
，
容易想到点 A x1 , y1 到直线 x y 1 0
的
距离，因此问题转化为圆上两点 A x1 , y1 , B x2 , y2 到直线 x y 1 0 距离和的最大值问题，再三角换
元，进而应用三角函数来求最大值．
试题解析： 由已知可得两点 A x1 , y1 , B x2 , y2 在单位圆 x
2
y
2
1 上．
x1x2
y1y2
, cos AOB OA OB , AOB ．
设 A cos
, sin
, B cos
, sin
则
已知点 A x1 , y1 , B x2 , y2 在直线 x y 1 0 的下方时，
2
5
a
1
a 5 2a
2
a
0 a2
2a
3
0 a
3 或
1
因为
0
所
【解析】试题分析
由已知可得点A
B
在单位圆
2
2
1 上
又
cos
sin
1
容易想到向量的数量积
从而得
AOB 的大小
2
2
3
3
OA
OB
x2
y2
1
x2
y2
1
x1
y1
1
取最大值
2
2
2
2 2 2 2
2
1 3 cos
sin
2
【答案】
≤
得2
5 ≤0
cos
sin
1
2 2 2 2
3 3 3
2 2 2 2 2
4
3 sin
12
2
取最大值
2
的最大值为 3 2 ．
80 ．(2017 江苏理)在平面直角坐标系xOy 中， A( 12, 0) ， B(0, 6) ，点 P 在圆 O ： x
2
y
2
50 上，
若
PA PB ≤ 20 ，则点 P 的横坐标的取值范围是 ．
[ 5 2 , 1] 【解析】设 P(x, y) ，由PA PB 20
如图由 2x y 5 ≤ 0 可知， P 在
上， 由
解得M(1, 7) ， N( 5, 5) ，
所以 P 点横坐标的取值范围为[ 5
, 1] ．
1
2 3 3
1
1
3
1
cos sin 1 cos sin
cos
sin
1
cos
sin
sin
cos
3
cos
1
cos
sin
x2
y2
x1
y1
x1
y1
sin
3
2
当且仅
综上
6
4
1
1
1 x2 y 2
1
3
2
81．【2016 ·四川文科】在平面直角坐标系中， 当P(x，y)不是原点时，定义P 的“伴 随点”为P
' (
,
) ；
当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点”为它自身，现有下列命题：
若点 A 的“伴随 点”是点A' ，则点A
' 的“伴随点”是点 A．
单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ．
【答案】②③
【解析】对于① ，若令 P(1, 1) ，则其伴随点为 P( , ) ，而P( , ) 的伴随点为 ( 1, 1) ，而不是
P ， 故①错误；对于② ，令单位圆上点的坐标为 P(cos x, sin x) ，则其伴随点为P (sin x, cos x) ，仍在
单位圆 上，故②正确；对于③ ，设曲线 f(x, y) 0 关于x 轴对称，则f(x, y) 0 与曲线 f(x, y) 0 表
示同一曲
线，其伴随曲线分别为 f(
,
) 0 与 f(
,
) 0 ，它们也表示同一曲线，又因
为伴随曲线 f(
,
) 0 与 f(
,
) 0 关于 y 轴对称，所以③正确；对于④ ，取
直线 y kx b 上一点 P(x ，y) ，则其伴随点 (
,
) ，消参后轨迹是圆，故④错误．所以真命题
为②③．
82 ．[2016 ·新课标Ⅲ文数]已知直线l ： x
y 6 0 与圆 x
2
y
2
12 交于 A, B 两点，过 A, B 分
别 作l 的垂线与 x 轴交于 C, D 两点，则| CD | _____________．
【答案】4
【解析】 由x
y 6 0 ，得 x
y 6 ，代入圆的方程，并整理，得 y
2
3
y 6 0 ，解得
y1
2
, y2
，所以 x1
0, x2
3 ，所以| AB | (x1
y2 )
2
(y1
y2 )
2
2
．又直线l 的倾斜角
为30 ，由平面几何知识知在梯形 ABDC 中， | CD |
4 ．
83 ． 【2016 ·新课标 1 文数】设直线 y=x+2a 与圆 C ：x2+y2-2ay-2=0 相交于 A ，B 两点，若 ⃞⃞
= 2
3， 则圆 C 的面积为
．
【答案】 4
【解析】圆 C : x
2
y
2
2ay 2 0 ，即 C : x
2
(y a)
2
a
2
2 ， 圆心为C(0, a) ，由| AB | 2
, 圆心
C 到直线 y x 2a 的距离为
，所以得 (
)
2
(
)
2
a
2
2 ，则 a
2
2, 所以圆
的面积为 π (a
2
2) 4π ．
84 ．(2015 重庆文)若点P(1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为________．
【答案】 x 2y 5 0 【解析】 由点 P(1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：
x
2
y
2
5 ，所以该圆在点 P 处的切线方程为1 x 2 y 5 即x 2y 5 0 ．
85 ．(2015 湖南文)若直线 3x 4y 5 0 与圆 x
2
y
2
r
2 r 0 相交于 A, B 两点，且 AOB 120
o (O
为坐标原点) ，则 r =_____．
【答案】2 【解析】如图直线 3x 4y 5 0 与圆 x
2
y
2
r
2（r＞0）交于 A, B 两点，O 为坐标原点，且
AOB 120
o ，则圆心 (0, 0) 到直线 3x 4y 5 0 的距离为 ，
， ∴ r = 2 ．
86 ．(2015 湖北文)如图，已知圆 C 与x 轴相切于点T(1, 0) ，与 y 轴正半轴交于两点 A, B ( B 在 A 的上方)，
且| AB | 2 ．
( 1)圆 C 的标准方程为 ．
(2)圆 C 在点 B 处的切线在x 轴上的截距为 ．
【答案】(Ⅰ) (x 1)
2
(y
)
2
2 ；(Ⅱ) 1
【解析】(Ⅰ)设点 C 的坐标为(x0 , y0 ) ，则由圆 C 与 x 轴相切于点T(1, 0) 知，点 C 的横坐标为1 ，即 x0
1 ，
半径 r y0 ．又因为 AB 2 ，所以1
2
1
2
y
2
0 ，即 y0
r ，所 以圆 C 的标准方程为 (x 1)2
(y
)2
2 ．
2
0
0
(Ⅱ)令 x 0 得： B(0,
1) ．设圆 C 在点B 处的切线方程为y (
1) kx ，则圆心 C 到其距离为：
k 2 2 1
k
1 2 ．
87．(2015 湖北理)如图，圆 C 与 x 轴相切于点T(1, 0) ，与y 轴正半轴交于两点 A, B (B 在A 的上方)，且
(Ⅰ)圆 C 的标准方程为 ；
(Ⅱ)过点 A 任作一条直线与圆 O : x
2
y
2
1 相交于M, N 两点，下列三个结论：
MA
MB
． (写出所有正确结论的序号)
【答案】(Ⅰ) (x 1)
2
(y
)
2
2 ；(Ⅱ)①②③
【解析】(Ⅰ)由题意，设 C(1, r) ( r 为圆 C 的半径) ，因为| AB | 2 ，
所以 r
，所以圆心 C(1,
) ，
故圆 C 的标准方程为 (x 1)
2
(y
)
2
2 ．
(Ⅱ)由 2 2 ，解得 或 ，
因为 B 在 A 的上方，所以 A(0,
1) ， B(0,
1) ．
不妨令直线MN 的方程为 x = 0 ， M (0, 1) N(0, 1) ，
所以| MA |=
， | MB | 2
， | NA | 2
， | NB |
，
所以 | NA | 2
1 ， | M A |
1 所以 | NA | | M A | ，所以
| NB |
| MB | 2
，
| NB | | MB |
得
解之得k
1
即圆C 在点B 处的切线方
①
②
2
③
y
x
(
1)
于是令y
0
其中正确结论的序号是
MA
MB
MA
MB
AB
2
NB
NA
NA
NA
NB
N
d
1
(x
1)
(y
)
2
y
1
y
(
1)
2
(
2 )
2
2
x
2
1
即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距
1
2
故应
2
(
1) 2 ，
(
1) 2
，正确结论的序
号①②
③．
88 ．(2015 江苏文)在平面直角坐标系xOy 中， 以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx y 2m
1 0 (m R) 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
．
【答案】(x 1)
2
y
2
2【解析】因为直线 mx y 2m 1 0(m R) 恒过点 (2, 1) ，所以当点 (2, 1)
为 切点时，半径最大，此时半径 r
，故所求圆的标准方程为 (x 1)
2
y
2
2 ．
89 ．(2014 江苏文)在平面直角坐标系 xOy 中 ，直线 x 2y 3 0 被圆 (x 2) 2
(y 1) 2
4 截得的弦长
为
．
【答案】
【解析】圆心 (2, 1) 到直线x 2y 3 0 的距离 d
．
直线 x 2y 3 0 被圆 (x 2) 2
(y 1) 2
4 截得的弦长为 2 4
．
90 ．(2014 江苏理)在平面直角坐标系xOy 中，直线 x 2y 3 0 被圆 (x 2) 2
(y 1) 2
4 截得的弦
长 为
．
【答案】
【解析】圆心 (2, 1) 到直线x 2y 3 0 的距离 d
．
直线 x 2y 3 0 被圆 (x 2) 2
(y 1) 2
4 截得的弦长为 2 4
．
91 ．(2014 重庆文理)已知直线 ax y 2 0 与圆心为C 的圆 x 1
2
y a
2
4 相交于 A，B 两点，
且 ABC 为等边三角形，则实数 a _________．
【答案】 4
【解析】 由题意知圆心 C(1, a) 到直线 ax y 2 0 的距离等于
，
即
，解得 a 4
．
92．(2014 湖北文理)直线l1 ：y x a 和l2 ：y x b 将单位圆 C : x
2
y
2
1 分成长度相等的四段弧，
则
a
2
b
2
．
【答案】2【解析】由题意得，直线 l1 截圆所得的劣弧长为 ，则圆心到直线 l1 的距离为 ，即 ，
得 a
2
1 ，同理可得b
2
1 ，则 a
2
b
2
2 ．
93．(2014 山东文理)圆心在直线 x 2y 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截x 轴所得弦的长为 2
，
则圆 C 的标准方程为 ．
【答案】 (x 2)
2
(y 1)
2
4 【解析】设圆心为 (2b, b) ，则圆的半径为 2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所
以 2
2
, b 0 ，解得b 1 ，所以圆 C 的标准方程为 (x 2)
2
(y 1)
2
4 ．
94 ．(2014 陕西文理)若圆 C 的半径为 1 ，其圆心与点 (1,0) 关于直线 y x 对称，则圆 C 的标准方程为____．
【答案】x
2
(y 1)
2
1【解析】因为点 (1,0) 关于直线 y x 对称的点的坐标为 (0, 1) ，所以所求圆的圆
心 为 (0, 1) ，半径为 1 ，于是圆 C 的标准方程为 x
2
(y 1)
2
1 ．
95．(2014 重庆文理)已知直线x y a 0 与圆心为 C 的圆 x
2
y
2
2x 4y 4 0 相交于 A，B 两点，
且 AC BC ，则实数 a 的值为_________．
【答案】0 或 6 【解析】圆 C :的标准方程为 (x 1)
2
(y 2)
2
9 ，所以圆心为 C( 1, 2) ，
半径为 3 ．因为 AC BC ，所以圆心 C 到曲线x y a 0 的距离为
，
| 1 2 a | 3
2 2
96 ．(2014 湖北文理)已知圆 O : x
2
y
2
1 和点 A( 2, 0) ，若定点B(b , 0) ( b 2) 和常数
满足：对圆 O 上
任 意一点M ，都有 |MB |
|MA | ，则
(Ⅰ)b
；
(Ⅱ)
．
【答案】 , 【解析】设M x, y ，则 x
2
y
2
1, y
2
1 x
2 ，
2
，
∵
为常数， ∴ b
2
b 1 0 ，解得b 或b 2 (舍去) ， ∴
2
．
| a |
即
所以a
0 或
解得
或
(舍去)．
97 ．(2013 浙江文理)直线 y 2x 3 被圆 x
2
y
2
6x 8y 0 所截得的弦长等于______．
4 5 【解析】 已知圆心为 3, 4 ，半径为 5 ，圆心到直线 y 2x 3 的距离为
，所以弦长l 2 r
2
d
2
4
．
98 ．(2013 湖北文理)已知圆 O ： x
2
y
2
5 ，直 线l ： x cos
y sin
1 (
距离等于 1 的点的个数为k ，则 k
【答案】4 【解析】 由题意圆心到该直线的距离为 1 ，而圆半径为
为 1 ．
99 ．(2012 北京文理)直线 y x 被圆 x
2
(y 2)
2
4 截得的弦长为
0 2
2
2 2
2
(
)
2
2
．
100 ．(2011 浙江理)若直线x 2y 5 0 与直线 2x my 6 0 互相垂直，则实数 m =__．
【答案】1【解析】当 m 0 时，两直线不垂直，故 m 0 ．因为直线 x 2y 5 0 与直线 2x my 6
0
的斜率分别为
和
，由
(
) 1 ，故 m 1．
101 ．(2011 辽宁理)已知圆 C 经过 A(5 ，1) ，B( 1 ，3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为__．
【答案】 (x 2)
2
y
2
10 【解析】 以题意设圆 C 的方程为 (x a)
2
y
2
r
2 ，把所给的两点坐标代入方
程得
解得
所以圆 C ： (x 2)
2
y
2
10 ．
102 ．【2019 年高考全国Ⅰ文】已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称， │AB │ =4，⊙M 过点 A，B 且与直线
x+2=0 相切．
( 1)若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙M 的半径；
(2)是否存在定点 P ，使得当A 运动时， │MA │− │MP │ 为定值？并说明理由．
【答案】( 1) M 的半径r=2 或r=6 ；(2)存在，理由见解析．
【解析】(1)因为 M 过点 A, B ，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上．由已知 A 在直线 x+y=0 上，且 A,
B
d
【答案】2 2 【解析】圆心(0
2)到直线y=x 的距离为
设圆
上到直线
2
圆的半径为2
所以所求弦长
5 ＞2
故圆上有4 个点到该直线的距
【答
5
关于坐标原点 O 对称，所以M 在直线y x 上，故可设M(a, a) ．
因为 M 与直线x+2=0 相切，所以 M 的半径为 r | a 2 | ．
由已知得|AO|=2 ，又M O A O ，故可得 2a
2
4 (a 2)
2 ，解得a=0 或a=4 ．
故 M 的半径r=2 或r=6 ．
(2)存在定点 P(1, 0) ，使得|MA | | MP | 为定值．
理由如下：
设M(x, y) ，由已知得 M 的半径为 r=|x+2|,|AO|=2 ．
由于M O A O ，故可得 x
2
y
2
4 (x 2)
2 ，化简得M 的轨迹方程为 y
2
4x ．
因为曲线 C : y
2
4x 是以点 P(1, 0) 为焦点， 以直线 x 1 为准线的抛物线，所以|MP|=x+
1． 因为|MA| |MP|=r |MP|=x+2 (x+ 1)=1 ，所以存在满足条件的定点P．
103 ．(2017 新课标Ⅲ文)在直角坐标系xOy 中， 曲线 y x
2
mx 2 与 x 轴交于 A ， B 两点，点 C 的坐
标 为 (0, 1) ．当 m 变化时，解答下列问题：
( 1)能否出现 AC BC 的情况？说明理由；
(2)证明过 A ， B ， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值．
【解析】( 1)不能出现 AC BC 的情况，理由如下：
设 A(x1 , 0) ， B(x2 , 0) ，则 x1 ， x2 满足 x
2
mx 2 0 ，所以 x1x2
2 ．
又 C 的坐标为 (0, 1) ，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为
，
所以不能出现 AC
BC 的情况．
(2) BC 的中点坐标为 (
, ) ，可得BC 的中垂线方程为 y x2 (x
) ．
由(1)可得 x1
x2
m ，所以 AB 的中垂线方程为x
．
m m
x x
联立 1
2
x
，又 x
2
2
mx2
2 0 ，可得
2
1
，
y
2
x2 (x
2
2
) y
2
所以过 A 、 B 、 C 三点的圆的圆心坐标为 (
, ) ，半径 r
．
(3)设
故圆在 y 轴上截得的弦长为 2
3 ，即过 A 、 B 、 C 三点的圆在 y 轴上的截得的弦长为定值．
104．(2016 江苏文)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M : x
2
y
2
12x 14y 60
0 及其上一点 A(2, 4) ．
( 1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外切，且圆心 N 在直线x 6 上，求圆 N 的标准方程；
(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆M 相交于 B, C 两点，且 BC OA ，求直线 l 的方程；
(3)设点T(t, 0) 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得T A T P T Q, 求实数t 的取值范围．
【解析】圆 M 的标准方程为
，所以圆心 M(6 ，7) ，半径为
5， ( 1)由圆心 N 在直线 x 6 上，可设
．因为圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外
切， 所以
，于是圆 N 的半径为
，从而
，解得
．
因此，圆 N 的标准方程为
．
(2)因为直线
OA ，所以直线 l 的斜率为
．
设直线 l 的方程为 y 2x m ，即 2x y m 0
，
则圆心 M 到直线 l 的距离
因为
而
所以
，解得m 5 或m 15 ．
(3)设
故直线 l 的方程为 2x y 5 0 或 2x y 15 0 ．
因为
，所以
… …①
因为点 Q 在圆M 上，所以
… … ．②
将①代入② ，得
．
于是点
既在圆M 上，又在圆
上，
从而圆
与圆
有公共点，
所以
解得
．
因此，实数t 的取值范围是
．
105．(2015 新课标 1 文)已知过点 A(0, 1) 且斜率为k 的直线l 与圆 C：(x 2)
2
(y 3)
2
1 交于M , N 两点．
(Ⅰ)求 k 的取值范围；
(Ⅱ)若 OM ON 12 ，其中 O 为坐标原点，求 MN ．
【解析】(Ⅰ)由题设，可知直线 l 的方程为 y kx 1．
因为 l 与 C 交于两点，所以
1 ．
解得 4
k 4
．所以 k 的取值范围是 4
, 4
．
3 3 3 3
(Ⅱ)设M(x1 , y1 ), N(x2 , y2 ) ．
将y kx 1 代入方程 x 2
2
y 3
2
1 ，整理得 (1 k
2 )x
2
4(k 1)x 7 0 ，
所以 x1
x2
， x1x2
．
O M O N x1x2
y1y2
1 k
2 x1x2
kx1
x2
1
8 ，
由题设可得
8=12 ，解得 k=1 ，所以 l 的方程为 y x 1．
故圆心在直线 l 上，所以 |MN | 2 ．
106．(2014 江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥 BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：
新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆．且古桥两端 O 和 A 到
该 圆上任意一点的距离均不少于 80m ． 经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处， 点 C 位于点O 正东
方向
170m 处(OC 为河岸) ， tan BCO ．
(I)求新桥 BC 的长；
(II)当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
【解析】(I)如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy．
由条件知 A(0 ， 60) ，C( 170 ， 0)，
直线 BC 的斜率 k BC=－tan∠BCO= － ．
又因为AB⊥BC，
所以直线 AB 的斜率k AB= ．
设点 B 的坐标为(a ，b)，
则 k BC=
,
k AB=
,
解得 a=80 ，b=120．
所以 BC= (170 80)
2
(0 120)
2
150 ．
因此新桥 BC 的长是 150 m．
(II)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m ，OM=d m ，(0≤d≤60)．
由条件知，直线 BC 的方程为 y (x 170) ，即 4x 3y 680 0
由于圆M 与直线 BC 相切，故点 M(0 ，d)到直线 BC 的距离是 r，
即 r
．
因为 O 和 A 到圆M 上任意一点的距离均不少于 80 m，
所以
即
解得10 ≤d ≤35
故当 d=10 时， r
最大，即圆面积最大．
所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．
解法二: (I)如图，延长 OA ， CB 交于点 F．
因为 tan∠BCO= ．所以 sin ∠FCO= ，cos∠FCO= ．
因为 OA=60 ，OC=170 ，所以 OF=OC tan∠FCO=
．
CF=
，从而 AF OF OA
．
因为 OA⊥OC ，所以 cos∠AFB=sin ∠FCO== ，
又因为 AB⊥BC ，所以 BF=AF cos∠AFB==
，从而 BC=CF －BF=150．
因此新桥 BC 的长是 150 m．
(II)设保护区的边界圆M 与 BC 的切点为 D ，连接 MD ，则 MD⊥BC ，且 MD 是圆 M 的
半 径，并设 MD=r m ，OM=d m(0≤d≤60)．
因为 OA⊥OC ，所以 sin ∠CFO =cos∠FCO，
故由(1)知，sin ∠CFO = MD MD r 3 所以 r 680 3d ．
d
因为 O 和 A 到圆M 上任意一点的距离均不少于 80 m，
所以
即
解得10 ≤d ≤35
故当 d=10 时， r
最大，即圆面积最大．
所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．
107 ．(2013 江苏文)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A 0,3 ，直线 l：y 2x 4 ．设圆 C 的半径
为 1 ，圆心在 l 上．
MF OF OM 680 5
,
5
(I)若圆心 C 也在直线 y x 1 上，过点 A 作圆C 的切线，求切线的方程；
(II)若圆 C 上存在点M ，使MA 2MO ，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围．
【解析】(I)由题设点
，又
也在直线
上，
，由题，过 A 点切线方程可设为 ，
即 ，则 ，解得： ，
∴所求切线为 或
(II)设点 ， ， ， ， ，
，即 ，又点 在圆 上，
，两式相减得 ，由题以上两式有公共点，
，整理得：
，解得：
，解得：
108 ．(2013 新课标 2 文理)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 P 在x 轴上截得线段长为2 2 ，在 y 轴上
截 得线段长为 2
．
(I)求圆心 P 的轨迹方程；
(II)若 P 点到直线 y x 的距离为
，求圆 P 的方程．
【解析】(I)设P x, y ，圆 P 的半径为 r ．
由题设y
2
2 r
2 , x
2
3 r
3 ，从而 y
2
2 x
2
3 ，故 P 点的轨迹方程为 y
2
x
2
1．
(II)设P x0 , y0 ，由已知得
．
又P 点在双曲线 y
2
x
2
1 上，从而得
y
x
由
x
y
y
x
1
1
得
此时，圆 P 的半径 r
，
故圆 P 的方程为 x
2
y 1
2
3 或x
2
y 1
2
3 ．
109 ．(2011 新课标文理)在平面直角坐标系xoy 中， 曲线 y x
2
6x 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上．
(I)求圆 C 的方程；
(II)若圆 C 与直线 x y a 0 交于 A ，B 两点，且 OA OB, 求 a 的值．
【解析】(I)曲线 y x
2
6x 1 与 y 轴的交点为(0 ，1) ，与x 轴的交点为(3 2
,0), (3 2
,0). 故可设 C 的圆心为(3 ，t) ，则有 3
2
(t 1)
2
(2
)
2
t
2 , 解得 t=1．
则圆 C 的半径为
3. 所以圆 C 的方程为 (x 3)2
(y 1)2
9.
(II)设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 ) ，其坐标满足方程组：
消去 y ，得到方程 2x
2
(2a 8)x a
2
2a 1
0. 由已知可得，判别式 56 16a 4a
2
0.
(8 2a)
a
2
2 a 1
4 2
由于 OA⊥OB ，可得x1x2
y1y2
0,
①
又y1
x1
a, y2
x2
a, 所以 2x1x2
a(x1
x2 ) a
2
0.
由① ，②得 a 1 ，满足 0, 故 a 1.
②
因此
从而
4
