2011-2020年高考数学真题分专题训练专题35不等式选讲（教师版含解析）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

专题 35 不等式选讲
十年大数据*全景展示
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
不等式选
讲
2011
文理 24
绝对值不等式的解法
不等式选
讲
2012
文理 24
文理 24
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
多元不等式的证明
不等式选
讲
卷 1
2013
不等式选
讲
卷 2 
文理 24
卷 1 
文理 24
卷 2 
文理 24
卷 1 
文理 24
卷 2 
文理 24
卷 1 
文理 24
不等式选
讲
基本不等式的应用
2014
2015
不等式选
讲
绝对值不等式的解法
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
不等式的证明
不等式选
讲
不等式选
讲
分段函数的图像，绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
不等式的证明
不等式选
讲
2016 
卷 2 
文理 24
卷 3 
文理 24
不等式选
讲
不等式选
讲
卷 1 
文理 23
不等式选
讲
2017 
卷 2 
文理 23
不等式选
讲
卷 3 
文理 23
绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
2018 
卷 1 
文理 23
不等式选
讲
不等式选
讲
卷 2 
文理 23
卷 3 
文理 23
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法
三元条件不等式的证明
不等式选
讲
不等式选
讲
2019 
卷 1 
文理 23
卷 2 
文理 23
不等式选
讲
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明
绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法
不等式选
讲
卷 3 
文理 23
不等式选
讲
卷 1 
文理 23
不等式选
讲
2020 
卷 2 
文理 23
卷 3 
文理 23
绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法
三元条件不等式的证明
不等式选
讲
大数据分析*预测高考
出现频率
考 点
2021 年预测
考点 120 绝对值不等式的求解
23 次考 4 次
2021 年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值
考点 121 含绝对值不等式的恒成立问题 23 次考 12 次 不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题
的解法等．
考点 122 不等式的证明
23 次考 7 次
十年试题分类*探求规律
考点 120 绝对值不等式的求解
f x 3x 1 2 x 1
1．(2020 全国Ⅰ文理 22)已知函数
．
  

y 
f x
(1)画出
的图像；
   
 
(2)求不等式 f x
f x 1 的解集．



x 1
x 3,


1
  

 
  x 1
，作出图像，如图所示：
f x 
5x 1,
【解析】(1)∵
3


1
x 3, x  


3
(2)将函数  的图像向左平移1 个单位，可得函数  
f x 1
的图像，如图所示：
f x
7


7 
6 
x 3 5 x 1 1
    
 
,
x  

，∴不等式的解集为
．
由
，解得
6
2．(2020 江苏 23)设 xR ，解不等式2 | x 1| | x | 4
．


2
3
2,
【答案】 

【思路导引】根据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．

x  1
 1 x  0

x  0



或
【解析】
或
，
2x 2 x  4
2x 2  x  4
2x 2  x  4


2


2
2  x  1 或1 x 0 或0  x 
2,
，∴解集为
．
3
3
3．(2016 全国 I 文理)已知函数 f (x) | x 1| | 2x 3| ．
(I)在图中画出 y  f (x) 的图像；
(II)求不等式| f (x) |1 的解集．
【解析】(1)如图所示：

 
4，x ≤1
x


3
2
  


  

  
， f x 
1．
(2) f x 
3x 2， 1 x


3
2
4  x，x≥


当 x≤1 ， x 4 1，解得 x 5 或 x 3 ，∴x≤ 1；



3
1
3
1
3
3
2
当1 x  ， 3x 2 1，解得 x 1 或 x

，∴1 x 或1 x 
；
2
3
3
当 x≥ ， 4 x 1，解得 x 5 或 x 3 ，∴ ≤x 3 或 x 5 
．
 





2
2
1


1
，  ，  
，
．
综上， x  或1 x 3 或 x 5 ， 
f x
∴
 ，解集为
1
1 3
5

3
3
1
 

 
 


4．(2014 全国 II 文理)设函数 f x = x
x a (a 0)
a
 

(Ⅰ)证明： f x ≥2；
 
 
(Ⅱ)若 f 3 
5，求a 的取值范围．
1
1
1
【解析】(I)由a 0 ，有 f (x)  x  
 x a  x  (x a)  a  2，∴ f (x) ≥2．
a
a
a
1
(Ⅱ) f (3)  3 
 3a ．
a
1
5 21
当时a ＞3 时， f (3) = a，由f (3)＜5 得 3＜ ＜
a
；
a
2
1
1 5
当 0＜a ≤3 时， f (3) = 6 a  ，由 f (3) ＜5 得
＜a ≤3．
a
2
1 5 
5 21
综上：a 的取值范围是(
，
)．
2
2
5．(2011 新课标文理)设函数 f (x) 
x a 3x ，其中
f (x) 3x 2 的解集；
  

a  0
．
(Ⅰ)当a 1 时，求不等式
(Ⅱ)若不等式 f (x) 0 的解集为 x | x
f (x) 3x 2 可化为| x 1| 2，由此可得 
x  3 或 x  1


 1 
，求 a 的值．
【解析】(Ⅰ)当a 1 时，

．
故不等式 f (x) 3x 2 的解集为{x| x 3 或 x  1}．
x  a
( Ⅱ) 由 f (x) 0 得 x a 3x 0 ，此不等式化为不等式组
x  a
a  x 3x 0
 


或
，
x a 3x  0

x≥a 
x≤a


x |x   

，由题设可得 a
= 1，故a  2
a
即
a 或
x≤
4 

a ，因为a 0 ，∴不等式组的解集为

．
x≤
2
2


2
考点 121 含绝对值不等式的恒成立问题
  

6．(2020 全国Ⅱ文理 22)已知函数 f x
x2 
x  2a 1 ．
a
(1)当a  2 时，求不等式 f x 4 的解集；
(2)若 f x 4 ，求a 的取值范围．


3
2
11
2 
x x 
x ；(2),13,
．
【答案】(1)
或
【思路导引】(1)分别在x 3、3  x  4 和 x  4
三种情况下解不等式求得结果；
  
  
2
(2)利用绝对值三角不等式可得到 f x
a 1 ，由此构造不等式求得结果．
   

f x x 4 
x 3
【解析】(1)当a  2 时，
．
3
x 
当x 3 时， f x 4x 3x 72x  4
，解得：
，无解；
；
；
2
    
 
f x 4 x x 3 1 4
当3  x  4 时，
11
2
      
 
f x 
x 4 x 3 2x 7 4
当 x  4 时，
x 
，解得：
4 的解集为
3
2
11
2 
 
 
f x

x 
或
x x

．
综上所述：

   
  
      
 
    
   
2
f x
x a2
x 2a 1
x a2
x 2a 1
a2 
2a 1 
a 1
(当且仅当
(2)
2a 1 x  a2 时取等号)， a 12  ，解得：a  1 或a 3，a 的取值范围为,13,．
4
 

7．(2019 全国 II 文理 23)[选修 4-5：不等式选讲](10 分)
f (x) | x a | x| x 2 | (x a).
已知
(1)当a 1 时，求不等式f (x)  0 的解集；
x(,1) 时， f (x)  0
a
，求 的取值范围．
(2)若
【解析】(1)当 a=1 时， f (x)=|x 1| x+|x 2|(x 1) ．
当 x 1 时，f (x)  2(x 1)  0 ；当 x 1 时， f (x)  0，∴不等式 f (x)  0 的解集为(,1)．
2
(2)因为 f (a)=0 ，∴a 1．
当a 1， x(,1) 时， f (x)=(a  x) x+(2  x)(x a)=2(a  x)(x 1)<0
∴a 的取值范围是[1,) ．
8．(2018 全国Ⅰ文理)已知f (x) | x 1| | ax1|．
(1)当a 1 时，求不等式

f (x) 1 的解集；
(2)若x(0,1)时不等式 f (x)  x
a
成立，求 的取值范围．
2, x≤1,

【解析】(1)当a 1 时， f (x) | x 1| | x 1|

  
f (x) 2x, 1 x 1,
，即
2, x≥1.

1
故不等式f (x) 1 的解集为{x | x  } ．
2
(2)当x(0,1)时| x 1| | ax1| x
成立等价于当x(0,1)时| ax1|1 成立．
若a≤0，则当 x(0,1)时| ax1|≥1
；
2
2
，
若a 0 
| ax1|1
的解集为
(0, 2] ．
0  x 
，∴
≥1，故0  a≤2 ．
a
a
a
综上， 的取值范围为
9．(2018 全国Ⅱ文理)设函数 f (x)  5 | x a | | x 2 | ．
(1)当a 1 时，求不等式 f (x)≥0 的解集；
(2)若 f (x)≤1，求a 的取值范围．
2x 4, x≤1,

【解析】(1)当a 1 时， f (x)  2,1 x≤2,
2x 6, x  2.

可得 f (x)≥0 的解集为{x | 2≤ x≤3}．
(2) f (x)≤1 等价于| x a | | x 2 |≥4 ．
而| x a | | x 2 |≥| a 2 | ，且当 x  2 时等号成立．故 f (x)≤1 等价于| a 2 |≥4 ．
由| a 2 |≥4 可得a≤6 或a≥2，∴a 的取值范围是(,6][2,)．
10．(2018 全国Ⅲ文理)设函数 f (x) | 2x 1| | x 1| ．
(1)画出 y  f (x) 的图像；
(2)当 x[0,) 时， f (x)≤axb ，求a b 的最小值．

1
3x, x   ,

2


1
f (x)  x  2, ≤x 1,
【解析】(1)
2

3x, x≥1.


y  f (x) 的图像如图所示．
(2)由(1)知， y  f (x) 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当且仅当
a≥3 且b≥2 时， f (x)≤axb 在[0,) 成立，因此a b 的最小值为 5．
11．(2018 江苏)若 x ， y ， z 为实数，且 x 2y 2z  6 ，求x2  y  z2 的最小值．
2
【解析】由柯西不等式，得(x2  y 2  z 2)(1
2  22  22)≥(x 2y 2z)
．
2
x
y
z
2
4
4
因为 x  2y  2z=6 ，∴ x
2  y 2  z 2 ≥4，当且仅当  
 时，不等式取等号，此时 x  ，y  ，z  ，
1
2
2
3
3
3
∴ x 2  y 2  z 的最小值为 4．
2
f (x)  x ax 4 ， g(x) | x 1| | x 1|．
2
12．(2017 全国Ⅰ文理)已知函数
(1)当a 1 时，求不等式 f (x)≥ g(x) 的解集；
(2)若不等式 f (x)≥ g(x) 的解集包含[1,1]，求a 的取值范围．
【解析】(1)当a 1 时，不等式 f (x)≥ g(x) 等价于2
x  x | x 1|  | x 1| 4 ≤0 ．①
当 x  1 时，①式化为2
x 3x 4≤0 ，无解；
当1≤x≤1 时，①式化为x2  x 2≤0 ，从而1≤x≤1；
1 17
当 x 1 时，①式化为x2  x 4≤0 ，从而1 x≤
，∴ f (x)≥ g(x) 的解集为
2
1 17
{x | 1 x≤
}．
2
(2)当 x[1,1]时， g(x)  2 ，∴ f (x)≥ g(x) 的解集包含[1,1]，等价于当 x[1,1]时 f (x)≥2 ．
又 f (x) 在[1,1]的最小值必为 f (1)与 f (1)之一，∴ f (1)≥2 且 f (1)≥2 ，得1≤a≤1，∴a 的取
值范围为[1,1]．
13．(2017 全国Ⅲ文理)已知函数 f (x) | x 1| | x 2 |．
(1)求不等式 f (x)≥1 的解集；
f (x)≥x x m 的解集非空，求m 的取值范围．
2
(2)若不等式
3,
x  1

【解析】(1) f (x)  2x 1,1≤x ≤2 ，
3,
x  2

当 x  1 时， f x ≥1 无解；
 

当1≤x≤2 时，由 f x ≥1 得，2x 1≥1，解得1≤ ≤2；
 

x
当 x＞2 时，由 f x ≥1 解得 ＞2．
 

x
 



∴ f x ≥1 的解集为 x x≥1 ．
 

 x  m 得m ≤ x 1 
x 2 
x
   



(2)由 f x ≥ x
2
2
x ，而
2
3  
5 
5
x 1  x 2  x 2  x≤ x +1+ x 2 x 2  x =- x -
+ ≤ ，



2  
4 
4
3
5


5
4
且当 x  时，x 1  x 2  x 2  x = ，故 m 的取值范围为 -， ．


2
4
14．(2016 全国 III 文理)已知函数 f (x) | 2x a | a
(Ⅰ)当 a=2 时，求不等式 f (x)≤6 的解集；
(Ⅱ)设函数 g(x) | 2x 1| ，当 xR 时， f (x)  g(x)≥3 ，求 a 的取值范围．
【解析】(Ⅰ)当a  2 时， f (x) | 2x 2 | 2 ．
解不等式| 2x 2 | 2 „ 6 ，得1„ x „ 3，因此 f (x)  6 的解集为{x | 1„ x „ 3}．
(Ⅱ)当 xR 时， f (x)  g(x) | 2x a | a|12x |
1
…| 2x a 12x | a |1a | a ，当 x  
时等号成立，
2
∴当 xR 时， f (x)  g(x) … 3 等价于|1a | a … 3． ①
当a „1 时，①等价于1a  a …3 ，无解．
当a 1 时，①等价于a 1a …3 ，解得a … 2 ．
∴a 的取值范围是[2,) ．
15．(201 5 全国 I 文理)已知函数 f (x) | x 1| 2 | x a | ，a 0 ．
(Ⅰ)当a 1 时，求不等式 f (x) 1 的解集；
(Ⅱ)若 f (x) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求a 的取值范围．
【解析】(
)
Ⅰ当a 1 时，不等式 f (x) 1 化为| x 1| 2 | x 1| 1 0，
当 x≤1 时，不等式化为 x 4  0，无解；
2
当1 x 1 时，不等式化为3x 2 0 ，解得  x 1；
3
当 x≥1 时，不等式化为x 2 0，解得1≤x  2 ．
2
∴ f (x) 1 的解集为{x |  x  2}．
3
x 12a, x  1

(
)
Ⅱ有题设可得， f (x)  3x 12a,1≤ x≤a ，∴函数 f (x) 图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别
x 12a, x  a

2a 1
2
2
3
, 0), B(2a 1, 0),C(a,a 1) ，
(a 1)  6 ，故a  2．∴
2
为 A(


ABC 的面积为 (a 1)
2 ．有题设得
3
3
a 的取值范围为(2,) ．
1 1
16．(2014 全国 I 文理)若a  0,b  0 ，且   ab 
．
a b
a3 b3 的最小值；
(Ⅰ)求
(Ⅱ)是否存在a,b ，使得2a 3b 6 ？并说明理由．
1 1
【解析】(I)由 ab   
a b
2
，得ab 2 ，且当a b  2 时取等号．
ab
故a
∴a
3
3
b3  2 a 3b3  4 2 ，且当a b  2 时取等号．
b3 的 最小值为4 2 ．
(II)由(I)知，2a 3b  2 6 ab  4 3 ．由于4 3  6 ，从而不存在a,b ，
使得2a 3b  6 ．
f (x) | 2x 1| | 2x a | 
g(x) x 3
．
16．(2013 全国 I 文理)已知函数
=
，
=
a
f (x) ＜ g(x)
(Ⅰ)当 =-2 时，求不等式
的解集；
a
1
2
a
x

，求 的取值范围．
f (x) ≤ g(x) 
a
(Ⅱ)设 ＞-1，且当 ∈[
，
)时，
2
a 
=
f (x) ＜ g(x) 化为| 2x 1| | 2x 2 | x 3  0
，
【解析】(Ⅰ)当
2 时，不等式

1
2
5x,
x 



1  x 1
，
设函数y =| 2x 1| | 2x 2 | x 3 
y x 2,
，
=
2

3x 6, 
x 1


x(0, 2)
y
时， 
＜0，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当
∴原不等式解集是{x | 0  x  2}
．
a
1
2
x

f (x) =1a
f (x) ≤ g(x) 化为1a≤x 3，
(Ⅱ)当 ∈[
，
)时，
，不等式
2
a
1
a
4
∴ x≥a 2 对 ∈[ 
x
，
)都成立，故 ≥a 2 ，即a
≤ 
，
2
2
2
3
4
3
a
1，
∴ 的取值范围为(
]．
17．(2012 新课标文理)已知函数 f (x) | x  a | | x 2 | ．
(Ⅰ)当a  3|时，求不等式 f (x) … 3 的解集；
(Ⅱ)若 f (x) „ | x 4 | 的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．
【解析】(1)当a  3 时， f (x) … 3  x 3  x 2 … 3

x „ 2

2  x  3

x … 3
x 3 x 2 …3


…3
或 3 x  x 2 …3
或



3 x 2  x

 x „1 或 x … 4 ．
(2)原命题 f (x)„ x 4 在[1, 2]上恒成立
 x a 2x„ 4x 在[1, 2]上恒成立
 2 x „ a „ 2 x 在[1, 2]上恒成立
 3„ a „ 0 ．
考点 122 不等式的证明
18．(2020 全国Ⅲ文理 23)设a , b , cR , a b c  0 , abc 1．
(1)证明：abbcca 0 ；





(2)用max a , b , c 表示a , b , c 的最大值，证明：max a , b , c 
4 ．
3
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析．
【思路导引】(1)根据题设条件a b c  0,两边平方，再利用均值不等式证明即可；
max{a,b,c} a ，由题意得出a 0,b,c  0
(2)思路一：不妨设
，
  

2
b c
b2  c2  2bc
由a3  a 2 a 

，结合基本不等式，即可得出证明．
bc
bc
思路二：假设出a,b,c 中最大值，根据反证法与基本不等式推出矛盾，即可得出结论．
【解析】(1)证明：
0, 
a b c   a b c
2  0.
a
2 b 2 c 2 2ab2ac2ca  0, 即2ab2bc2ca  a
2 b 2 c

2
2ab2bc 2ca  0,abbc ca  0.
(2)证法一：不妨设max{a,b,c}  a ，由a b c 0,abc 1 可知，a  0,b  0,c  0 ，
1
  

2
b c  2bc 
2bc 2bc
b c
2
2
a  bc,a  
， 
 
 

a3
a2 a


 ，
4
bc
bc
bc
bc
当且仅当b c
时，取等号，a 
，即max{a,b,c}… 4
．
3
3 4
1
1
3
,a b c3 4, 而
证法二：不妨设a b 0 c 4 ，则ab  c
3 4
2
1
3
 21
4
矛盾，∴命题得证．
3 4  a b  2 ab 
3
6 4
19．(2019 全国 I 文理 2 3)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：
1
1 1
   a
a b c
2 b 2  c2
(1)
(2)
；
(a b) (bc)
3
3 (c a)
b  2ab,b
 abbcca 
3  24 ．
【解析】(1)因为a2
2
2 c 2  2bc,c2 a 2  2ac，又abc 1，
1 1 
1 1
abbcca
1
1
故有a 2 b 2 c 2
   ，∴   
 a
2 b c2 ．
2
abc
a b c
a b c
(2)因为a, b, c 为正数且abc 1，故有
(a b) (b c) (c a)  3 (a b)
 3(2 ab)(2 bc)(2 ac) =24．
(bc) (c a)  24．
3
3
3
3
3(b c) 3(a c) =3(a+b)(b+c)(a+c)
3
∴(a b)
3
3
3
x, y, z R ，且x  y  z 1．
20．(2019 全国 III 文理 23)设
(x 1) 2 (y 1) 2 (z 1)2 的最小值；
(1)求
(2)若
1
(x 2) 2 (y 1) 2 (z a) 2 成立，证明：a  3 或a  1
．
3
【解析】(1)由于
[(x 1) (y 1) (z 1)]
2  (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) 2[(x 1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x 1)]
2
   
 
 
 
 

3 (x 1)2
(y 1)2
(z 1)2

 ，
4
3
5
1
z   1
故由已知得(x 1)
2 (y 1) 2 (z 1) 2 ，当且仅当x= 
，y=– 
， 
时等号成立．
3
3
3
4
∴(x 1)
(2)由于[(x 2) (y 1) (z a)]
 (x 2) (y 1) (z a) 2[(x 2)(y 1) (y 1)(z a) (z a)(x 2)]
2 (y 1) 2 (z 1)2 的最小值为 
．
3
2
2
2
2
3 (x 2)
„  
2 (y 1)  

2
(z a)2

 ，
(2 a) 2
4 a

1 a
2a  2
故由已知(x 2)
2
2
(y 1) 2 (z a) 2 …
，当且仅当 x
y 
z 
，
，
时等号成
3
3
3
3
(2 a) 2
立，因此(x 2)
(y 1) 2 (z a)2 的最小值为
．
3
(2 a) 2
1
…
，解得a „ 3 或a … 1．
由题设知
3
3
21．(2017 全国Ⅱ文理)已知a 0 ，b 0，a3 b  2 ，证明：
3
  

 
4 ；
(1) a b a 
b
(2) a b  2．
【解析】(1)(a b)(a
5 5


2
 4．
5 b 5)  a6
2
ab 5 a 5b b 6 (a 3 b 3)2 2a 3b3 ab(a 4 b 4)  4ab a 2 b 2
3(a b) 2
3(a b) 3
(a b) 3  a 3 3a 2b 3ab b 3  2 3ab(a b)  2
(ab)  2
，
(2)∵
4
4
∴(a b) 8 ，因此a b  2．
3
22．(2017 江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a2 b 2  4 ，c2 d 16 ，证明acbd 8．
2
【解析】证明：由柯西不等式可得：(acbd)
2 ≤(a
2 b 2)(c2  d2) ，
因为a 2 b 2  4,c 2  d2 16, ∴(acbd)
2 ≤64 ，因此 

ac bd 
8 ．
≤
1
1
2
   
 x 
  
，M 为不等式 f x 
2 的解集．
23．(2016 全国 II 文理)已知函数 f x
x
2
(I)求 M；
(II)证明：当 a，b M
时， a b  1ab ．

1
f x  x  x   2x
1
1
，若1 x   1
【解析】(I)当 x
时，
；
2
2
2
2
1
1
1
1
当 ≤ x ≤ 时， f x 
x x
      
1 2 恒成立；
2
2
2
2
1
1
当 x  时， f x 
2x ，若 f x 
2， < x 1．
  

  


2
2
综上可得，M
x | 1 x 1
    
．
，  ，时，
有 a
(Ⅱ)当a b
1 1

2


1 b
2 1 0 ，即a

2b2 1 a 2 b
，
2
2b2  2ab 1 a
2  2ab b 2
 

，则 ab 1
2
a b ，即 a b 
ab 1 ，证毕．
   
2
 


则a
24．(2015 全国 II 文理)设a,b,c,d 均为正数，且a b c d ，证明：
(Ⅰ)若ab> cd ，则 a  b  c  d ；
(Ⅱ) a  b  c  d 是| a b || c d | 的充要条件．
【解析】(Ⅰ)∵( a  b)
由题设a b c d ，ab cd 得( a  b)
(a b)  (c d)2 ，即(a b)
因为a b c d ，∴ab cd ，由(Ⅰ) 得 a  b  c  d ．
( a  b)  ( c  d )2 ，即a b  2 ab  c d  2 cd ．
 (a b) 4ab  (c d) 4cd  (c d)2 ．
2  a b 2 ab ，( c  d )
 ( c  d )2 ，因此 a  b  c  d ．
4ab  (c d) 4cd ．
2  c d 2 cd ，
2
(Ⅱ)(ⅰ)若| a b || c d |，则
2
2
2
(ⅱ)若 a  b  c  d ， 则
因为a +b = c +d ，∴ab> cd ，于是(a b)
因此| a b || c d |．
综上 a  b  c  d 是| a b || c d |的充要条件．
a,b,c
2
2
2
2
25．(2013 全国 II 文理)设
均为正数，且a b c 1，证明：
1
3
abbcca 
(
)
Ⅰ
；
a2
b2
c2
(
)
Ⅱ


1 ．
b
c
a
【解析】(
)
Ⅰ a2 b 2  2ab,b 2 c 2  2bc,c 2  a2  2ca 得a2 b 2 c  abbcca，
2
  
 
由题设得 a b c
2 
2 2 2 



1，即a 
b 
c 
2ab 2bc 2ca 1，
1
∴3 ab bc ca 
1，即abbcca
  
  
．
3
a2
b2
c2
a2
b2
c2
(
)
Ⅱ∵
b  2a, 
c  2b, 
a  2c ，∴


 (a b c)  2(ab c) ，
b
c
a
b
c
a
a2
b2
c2
a2
b2
c2
即


 ab c ，∴


1．
b
c
a
b
c
a