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第 08 讲 函数与方程(精讲）
目录
第08讲 函数与方程(精讲）...........................................1
第一部分：知识点必背................................................2
1、函数的零点....................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................6
高频考点一：函数零点所在区间的判断...............................6
高频考点二：函数零点个数的判断...................................9
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数....................14
高频考点四：比较零点大小关系....................................20
高频考点五：求零点和............................................23
高频考点六：根据零点所在区间求参数..............................29
高频考点七：二分法求零点........................................33
第四部分：新文化（定义）题.........................................35
第五部分：数学思想方法.............................................38
①函数与方程的思想..............................................38
②数形结合的思想................................................40
③分类讨论的思想................................................43
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、函数的零点
对于一般函数 ，我们把使 成立的实数 叫做函数 的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 轴的交点的横坐标
即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
3、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程
的近似解就是求函数 零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交
点；
④函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交点
，其中 为常数.
第二部分：高考真题回归
1．（2021·天津·统考高考真题）设 ，函数 ，若 在区间
内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】 最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，
由 可得 ，
（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
（2）当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点；
所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足
或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .
2．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④
【详解】对于①，当 时，由 ，可得 或 ，①正确；
对于②，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，存在 ，使得 只有一个零点，②正确；
对于③，当直线 过点 时， ，解得 ，
所以，当 时，直线 与曲线 有两个交点，
若函数 有三个零点，则直线 与曲线 有两个交点，
直线 与曲线 有一个交点，所以， ，此不等式无解，
因此，不存在 ，使得函数 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 与曲线 相切于点 ，
对函数 求导得 ，由题意可得 ，解得 ，
所以，当 时，函数 有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
3．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若 至
少有3个零点，则实数 的取值范围为______.
【答案】【详解】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 .综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
4．（2022·北京·统考高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ________；
________．
【答案】 1
【详解】∵ ，∴
∴
故答案为：1，
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程 的近似解，以下区间可以作为初始区
间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，显然函数图象是连续的，
则有 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
故区间 可以作为初始区间，故A，C，D错误.
故选：B.
例题2．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数 零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】函数 在 上单调递增，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是 ，
故选：C．
例题3．（2023秋·重庆·高一校联考期末）已知 均为 上连续不断的曲线，根据下表能
判断方程 有实数解的区间是（ ）
0 1 2 3
A． B． C． D．
【答案】B
因为 均为 上连续不断的曲线，所以 在 上连续不断的曲线，
， ，
， ，
，
因为 ，所以函数 有零点的区间为 ，
即方程 有实数解的区间是 .
故选：B.
例题4．（2023春·山西忻州·高一河曲县中学校校考开学考试）函数 的零点所
在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 在 上单调递增，且 ， .
则由零点存在定理得所求零点在区间 .
故选：B.练透核心考点
1．（2023春·安徽阜阳·高一统考开学考试）已知函数 在下列区间中，包含 零点的区
间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于 在 上是增函数， 在 上是减函数，
因此 在 上是增函数，
又 ， ，因此函数有唯一零点且在区间 上，
故选：B．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 的解在 内，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】构建 ，则 在定义域内单调递增，故 在定义域内至多有一个零点，
∵ ，
∴ 仅在 内存在零点，即方程 的解仅在 内，
故 .
故选：B.
3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）函数 的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 在 上单调递增，
因为 ， ， ，则 ，
所以函数 的零点所在区间是 ，
故选： .
4．（多选）（2023秋·江苏泰州·高一统考期末）已知函数 的图象是一条不间断的曲线，它的部分
函数值如下表，则（ ）
1 2 3 4 5 6A． 在区间 上不一定单调
B． 在区间 内可能存在零点
C． 在区间 内一定不存在零点
D． 至少有 个零点
【答案】ABD
【详解】由所给表格可知 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
又函数 的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间 、 、 存在零点，
即 至少有 个零点，故D正确；
对于A，由于只知道 ， 的函数值，故无法判断 在区间 上的单调性，故A正确；
对于B、C，虽然 ， ，由于不知道函数在 内的取值情况，
所以函数在 内可能存在零点，故B正确，C错误；
故选：ABD
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数 的零点个数
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 可得 ，作出函数 与 的图象如下图所示：
由图可知，函数 与 的图象的交点个数为 ，
故函数 的零点个数为 .
故选：C.例题2．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数 ，则方程 的实
根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】 ，解得 或 ，
当 时， ，解得 ， ，解得 （舍）；
当 时， ，解得 或 （舍）， ，解得 或
（舍）；
综上，方程 的实根为 或 或 ，
即方程 的实根个数为3个，
故选：A.
例题3．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知 为定义在 上的奇函数，当 时， 单
调递增，且 ， ， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】当 时， 单调递增，且 ，且 为定义在 上的奇函数,
所以 ,可得 且 在 上单调递增,
由 ，得 ．
又因为 ， ,可得 ,
为定义在 上的奇函数,又可得 ,
根据题意作出满足要求的 的大致图像,
由图知，直线 与 的图像有4个公共点，
所以 有4个零点．故选：A.
例题4．（2023秋·天津河西·高一统考期末）已知函数 的零点个数为
___________.
【答案】
【详解】当 时，由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
则 时，函数 零点的个数，
即为函数 图象交点的个数，
如图，作出函数 的图象，
由图可知，两函数的图象有 个交点，
即当 时，函数 有 个零点，
综上所述，函数 有 个零点.
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023·江西赣州·统考一模）若函数 ，则方程 的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A【详解】由 ，
则可作出函数 的图象如下：
由方程 ，得 或 ，
所以方程 的实根个数为3．
故选：A．
2．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数 的零点个数是（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【详解】
分别做出函数 和函数 的图像，如上图所示，
由图像可知，两个函数的交点个数是 ，
所以函数 的零点个数是 .
故选:C3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 则 解的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】 时， ，解得
时， ， ， ， 无解.
由 ，则有 ，
时， ，通过函数图像可知，方程有两个根，如图所示，
时， ， 无解.
故选： .
4．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）已知函数 ，则函数 的零点个数为
___________.
【答案】
【详解】解：当 时， ，解得 ；
当 时， 得 ，
易得 ，
作出函数 ， 的图象，如图，
所以，结合指数函数与幂函数性质，函数 ， 在 有两个交点，
所以当 时， 有两个实数根，所以，函数 的零点个数为
故答案为：
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若方程 ，且 有两个不同实数根，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，方程 有两个不同实数根，
等价于函数 与 的图象有两个不同的交点，
当 时，如图所示，
由图可知，当 时，函数 与 的图象有两个不同的交点，满足题意
当 时，如图所示由图可知，当 时，函数 与 的图象有且仅有一个交点，
不满足题意,
综上所示，实数 的取值范围为 ．
故选：D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数 有
两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数 有两个不同的零点，即方程 有两个不同的根，从而函数
的图象和函数 的图象有两个不同的交点，
由 可知，当 时，函数 是周期为1的函数，
如图，在同一直角坐标系中作出函数 的图象和函数 的图象，
数形结合可得，当 即 时，两函数图象有两个不同的交点，
故函数 有两个不同的零点.
故选：A.例题3．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数 ，函
数 恰有三个不同的零点，则 的取值范围是 _______．
【答案】
【详解】
， ，画出 的图像，
化简， ，故 的必过点 ，
恰有三个不同的零点，即为 有三个不同的实根，作出
和 的图像，
直线 与曲线 相切时，有 ，由 ，可得 ，解得
或 ，又由 ，得 ，故 （舍去），
当 与曲线 相切时，两图像恰有三个交点，令 ，此时，解
得 ，
结合图像可得， 或
故答案为：
例题4．（2023秋·四川成都·高一中和中学校考期末）已知函数 （ 且 ）是奇
函数，且 .
(1)求 ， 的值及 的定义域；
(2)设函数 有零点，求常数 的取值范围；
【答案】(1) ， ，(2)
【详解】（1）由 ，可得 ①
又 是奇函数，∴ ，
即 ②
联立①、②并注意到 ，解得 ， ，
所以 ，要使函数有意义，则有 ，解得：
∴ 的定义域为 .
（2）∵ ， ，∴ ，
∴ 有零点，即关于x的方程 有实数解，
∴ 有实数解，
∵ ， 且 ，
∴ 且 ，
∴k的取值范围是 .
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 恰有两个零点，
则 的可能取值为（ ）．
A． B． C．4 D．6
【答案】BD
【详解】因为函数 与函数 交于点 ,
由函数图象的性质得函数 与 在 上至多一个交点，
由题意，函数 ，函数 有两个交点，若 时， 恰有两个零点时，如图（1）所示，则满足 ，解得
；
若 时， 恰有一个零点，在 时， 恰有一个零点，
则 或
解得 ，
结合选项，可得 的可能取值为 和 .
故选：BD.2．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知函数 若 恰有2个零点，则实数a
的取值范围是___________.
【答案】 或
【详解】又 ，得 ，得 ；
由 ，得 ，得 或 ，
因为 恰有2个零点，
所以若 和 是函数 的零点，则 不是函数 的零点，则 ；
若 和 是函数 的零点，则 不是函数 的零点，则 ，
若 和 是函数 的零点， 不是函数 的零点，则不存在这样的 .
综上所述：实数a的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 恰有一个零点，则实数a的取值范围为
______．
【答案】 ．
【详解】由 ，x=0不是方程的解，∴ ，
将原方程唯一零点转变为直线 与曲线 有唯一交点，
下面讨论曲线 的图像：
的定义域为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
因此y在 处，取得极小值，其极小值为 ，
当 时， ，即y是单调递减的，当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ，
故图像如下图：
；
故答案为： .
4．（2023·高三课时练习）若函数 存在零点，则实数 的取值范围是________
【答案】
【详解】解：设 ，
则函数 存在零点等价于 图像有交点，
如图：
函数 的图像恒过点 ，当其和函数 的图像相切时，
，
所以 的图像有交点时 ，
故答案为：高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知 ，且 是方程 的两实
数根，则 ， ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵ ， 为方程 的两实数根，∴ ， 为函数 的图像与x轴交点的
横坐标，
令 ，∴m，n为函数 的图像与x轴交点的横坐标，
易知函数 的图像可由 的图像向上平移2022个单位长度得到，
所以 .
故选：C.
例题2．（2023秋·广东江门·高一统考期末）已知 ， ，
的零点分别是 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：函数 ， ， 的零点，
即为函数 分别与函数 、 、 的图象交点的横坐标，
如图所示：由图可得 .
故选：B
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零
点分别为 ， ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数 ， ， 的零点，即为 与
， ， 的交点，
作出 与 ， ， 的图象，
如图所示，可知
故选：C
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分别为
、 、 ，则 、 、 的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 为 上的增函数，
因为 ， ，所以， ，
因为函数 、 在 上均为增函数，故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，所以， ，
由 可得 ，因此， .
故选：A.2．（2023·上海·高一专题练习）已知函数 ，且m，n是方程 的两个根
（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n
【答案】B
【详解】因为函数 ，
令 ，
a、b为 的零点，
函数 的图象是由 的图象向上平移一个单位得到的，
又m，n是方程 的两个根（m＜n），
如图所示：
由图知：a＜m＜n＜b，
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 是自然对数的底数，函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，则下列不等式中成立的是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x，
由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x，
作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图：
∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b，
∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b，
由图象知a＜1＜b，
故选A．高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的所有零点之和为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 时，由 得 ，
时，由 得 或 ，
所以四个零点和为 ．
故选：D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义域为 的偶函数，且满足 ，当
时， ， （ ），则函数 所有零点的和为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】因为 零点，等价于 与 函数图像交点的横坐标，
因为 ，故可得 是周期为 的函数；
又因为 ，当 时， ，
解得 .
不妨在同一直角坐标系中画出两者的图象如下所示：数形结合可知， 有6个交点，
则 有6个零点，且每两个零点关于 对称，
则每组零点之和为 ，共有3组，
故可得所有零点之和为 .
故选：D.
例题3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在 上的奇函数 满足 ，且当
时， ，则函数 的所有零点之和为______.
【答案】18
【详解】∵ 满足 ，则 关于直线 对称，
又∵ 是定义在 上的奇函数，则 ，
即 ，则 ，
∴ 是以4为周期的周期函数，
对 ，可得 ，则 ，
∴ 关于点 对称，
令 ，则 ，
可知： 与 均关于点 对称，如图所示：
设 与 的交点横坐标依次为 ，
则 ，
故函数 的所有零点之和为 .故答案为：18.
例题4．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）已知函数 ，若关于 的方程
恰有3个不相等的实数根，则实数 的取值范围是__________；若三个不相等的实数根分别为
，则 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】作出函数 的图象及直线 ，如图，
观察图象知，曲线 与直线 有3个公共点时， ，
而曲线 与直线 交点的横坐标即为方程 的解，
所以方程 恰有3个不等实根，实数 的取值范围是 ；
如图，三个交点的横坐标分别为 ，且 ，
由对称性可知， ，
对于函数 ，当 时， ，
所以 ，即 的取值范围是 .
故答案为： ；
练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【详解】令 ，得 ，
图象关于 对称，在 上递减.
，令 ，
所以 是奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于 对称，
， 在 上递增，
所以 与 有两个交点，
两个交点关于 对称，所以函数 的所有零点之和为 .
故选：B
2．（多选）（2023秋·广东·高一统考期末）已知函数 ，函数 有四个不
同的零点 ，且 ，则（ ）
A．a的取值范围是 B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】因为函数 有四个不同的零点 ，
所以方程 有四个不同的解，
即函数 与 图象有四个不同的交点，如图，由图可知， ， ，
且 ， ，
得 ，解得 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，但 ，故等号不成立，
所以 .
故选：ABC
3．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）定义在 上的奇函数 ，当 时，
，则函数 的所有零点之和为___________．
【答案】
【详解】令 ，即 ，故函数 的零点就是函数 与 图象交点的横坐
标，
当 时， ，函数 与 在 上图象如图所示：
设 与 图象交点的横坐标分别为 ，
由对称性可知， ， .由 ，结合奇偶性得出 ，即
解得 ，即 .
故答案为：
4．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）定义域为 的函数 ，若关于
的方程 恰有5个不同的实数解 ， ， ， ， ，则 ______．
【答案】
【详解】作出函数 的图像如图所示，
由于方程 恰有5个不同的实数解，
令 ，则 有两个不等的实数根，且其中一个为 ，
画出直线 ， ，与函数 交于5个点，
其横坐标分别为 ， ， ， ， ，设 ，
且 ， 因为函数 的图像关于直线 对称，
则 ，所以 .
故答案为：
高频考点六：根据零点所在区间求参数
典型例题
例题1．（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校考期末）设函数 ，若函数
在 上存在零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 在 上递增，则函数 在 上存在零点，
需 ，
解得 .
故选：B.
例题2．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）设函数 ，
，若函数 在区间 上有且仅有一个零点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则
令 ，即 ，故
，作出函数 的图象如图所示：
函数 的零点个数即为函数 的图象与直线 的交点个数，直线 过定点当直线 过点 时， ，
当直线 与曲线 相切时，
设切点坐标为 ，由 ，故切线的斜率为
所以 ，解得 ，则 ，解得
结合图象可知，当 或 时，函数 的图象与直线 只有一个交点，即函数 在
区间 上有且仅有一个零点，所以实数m的取值范围是 ，
故选：C
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设 为实数，函数 在 上有零点，则实数 的取
值范围为________．
【答案】
【详解】因为 在 单调递增，且有零点，
所以 ，解得 ，
故答案为：
例题4．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数 的零点为 ，且
，则 __________.
【答案】2
【详解】易知函数 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以 ，
根据函数的零点的判定定理可得：
函数 的零点所在的区间是 ，
所以 ．故答案为：2
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时， ，此时 只有一个零点，零点为-1，不符合要求；
当 时，函数 为二次函数， ，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得
，解得 .
故选：D.
2．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）若关于 的方程 在 上有解，则实数 的取
值范围是______．
【答案】
【详解】方程 在 上有解，
等价于函数 与 在 有交点，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
3．（2023·高三课时练习）已知函数 的零点 ， ，则 ______．
【答案】2
【详解】因为函数 为R上单调减函数，
故函数 为R上单调减函数，
又 ， ，
故 在 上有唯一零点，
结合题意可知 ，
故答案为：2
4．（2023春·河南新乡·高一校考开学考试）已知函数 与 的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：由题意得方程 在区间 内有解，
即 在区间 内有解，
即函数 的图象与 的图象在区间 内有交点，
如图，作出函数 与 在区间 上的图象，
把点 带入 ，得 ，解得 ，
所以 .
故答案为： ．
高频考点七：二分法求零点
典型例题
例题1．（2023秋·浙江·高一期末）用二分法求方程 的近似解，以下区间可以作为初始区
间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，显然函数图象是连续的，
则有 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
故区间 可以作为初始区间，故A，C，D错误.
故选：B.
例题2．（2023秋·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）在用二分法求函数 零点
的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为 ，则下一步应当确定零点位于区间（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设 ，
由二分法知当零点在 时，取区间的中点1.6625，计算得
由 知，下一步应当确定零点位于区间 ，
故选：A
例题3．（多选）（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）某同学求函数 的零点时，用
计算器算得部分函数值如表所示：
则方程 的近似解（精确度 ）可取为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】因为函数 在其定义域上单调递增，结合表格可知，
方程 的近似解在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.625）内，又精确度0.1，
∴方程 的近似解（精确度0.1）可取为2.51，2.56.
故选：AB．
练透核心考点
1．（2023春·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A， 有唯一零点 ，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点；
对于B， 有唯一零点 ，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点；
对于C， 有两个不同零点 ，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零
点；
对于D， 有唯一零点 ，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点.
故选：B.2．（多选）（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】选项A：由 ，可得 在 上存在零点；
选项B：由 ，可得 在 上存在零点；
选项C： ，则其零点为 ，
但不存在实数 满足 ，因而不能用二分法求此函数零点；
选项D：由 ，可得 在 上存在零点.
故选：ABD
3．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）小明在学习在二分法后，利用二分法研究方程 在
（1，3）上的近似解，经过两次二分后，可确定近似解 所在的区间为___________.
【答案】
【详解】设 ，则 ， ，
， ； ， ，
故近似解 所在的区间为 .
故答案为：
第四部分：新文化（定义）题
1．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之
一，享有“数学王子”的称号，设 ，用 表示不超过 的最大整数， 也被称为“高斯函
数”，例如 ， ， ，设 为函数 的零点，则 （ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B【详解】 ，函数在 上单调递增，
，
，
若 ，则 ，
所以 .
故选：B
2．（2022春·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”
中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日
自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一
天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研
究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（ ）天墙才能被打穿？
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：设需要n天时间才能打穿，则 ，
化简并整理得 ，
令 ，则 ； ，
又 在 单调递增，
∴ 在 内存在一个零点，
∴至少需要4天时间才能打通．
故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高
斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整
数，如 ， ， 表示实数 的非负纯小数，即 ，如 ， ．
若函数 （ ，且 ）有且仅有 个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 有且仅有3个零点，即 的图象与函数 的图象有且仅有 个交点．
而 ，
画出函数 的图象，
易知当 时， 与 的图象最多有1个交点，故 ，
作出函数 的大致图象，结合题意可得 ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“ ”： 设函数
．若函数 恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
【详解】因为 ，
所以
由图可知，当 或 时，函数 与 的图象有两个公共点，
的取值范围是 .
故答案为：5．（2022秋·山东·高一统考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
美誉，函数 称为高斯函数，其中 ， 表示不超过x的最大整数，例如： ，
．
①若函数 ，则 的值域为______；
②若函数 ，则方程 所有的解为______．
【答案】
【详解】① ，存在 ，使得 ，则 ，因此 ，所以函数 的值域为
；
②令 ，则 ， ，由方程 ，得 ，
由 解得， ，而 ，于是得 或 ，
当 时， ，当 时， ，
所以方程 所有的解为 .
故答案为： ；第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）已知函数 与 的零点分别
为a，b，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
根据题意， ，
所以 且 ，
，
所以 且 ，
对比 和 可知，结合 和 只有一个交点，
所以 ，故 ，故选项A错误；
分析图像可知， ，故选项B错误；
若成立，则有 ，即有 ，
即有 ，故矛盾，所以选项C错误；
，故选项D正确.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 若直线 与 有三个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 与 相切于点 ，
则 ，解得 ，此时 ，
由 得 ，由 可得 ，此时切点为 ，
作出函数 与 的图象如图，
由图象可知，当 或 时，直线 与 有三个不同的交点，
故选：C
3．（2020秋·安徽合肥·高三长丰县第一中学校考阶段练习）已知函数 ，则方程
的根的个数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】画出函数 的图象如图，令 ，
当 时， 与 的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为 ， ， 且 ，
当 时，该方程有两解， 时，该方程也有两解， 时，该方程有0个解或1个
解或2个解，
当 时，方程 的根的个数可能为4个，5个，6个；
当 时， 与 的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为 ， 且 ，
当 时，该方程有两解， 时，该方程也有两解，
当 时，方程 的根的个数为4个；
综上所述：方程 的根的个数可能为4个，5个，6个．
故选：A
4．（2023·高一课时练习）若正实数 是方程 的根，则 ___________．
【答案】
【详解】由题可得： ，即 ，
令 ，则 在 上单调递增，
，
∵正实数 是方程 的根，
∴ ，即 ．
②数形结合的思想
1．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知 为定义在 上的奇函数，当 时， 单调递
增，且 ， ， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A【详解】当 时， 单调递增，且 ，且 为定义在 上的奇函数,
所以 ,可得 且 在 上单调递增,
由 ，得 ．
又因为 ， ,可得 ,
为定义在 上的奇函数,又可得 ,
根据题意作出满足要求的 的大致图像,
由图知，直线 与 的图像有4个公共点，
所以 有4个零点．
故选：A.
2．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）已知函数 ，若关于 的方程
有8个不相等的实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据 ，可画出其图象为下图所示，
若关于 的方程 有8个不相等的实根，令 ，则 有两个不
相等的实数根 ，且 ，若 则 不符合，所以 ，令 ，则需要满足 ，解得 ，
故选：D
3．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知函数 是定义域为R的偶函数，当 时，
，若关于x的方程 有且仅有5个不同实数根，则
______．
【答案】
【详解】如图，作出函数 的图象，
令 ，
由图可知，当 或 时，方程 有两个解，
当 时，方程 有三个解，
当 时，方程 有四个解，
因为关于x的方程 有且仅有5个不同实数根，
所以关于 方程 的方程其中一个根 ，
另一个根 或 ，
又因 ，所以 ，
所以 ，
所以 .故答案为： .
4．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）关于 的方程 有四个实数解，则 的取值范围是
______________
【答案】
【详解】设 ，则函数 的图象如图所示：
其中 ，
若关于 的方程 有四个实数解，函数 与直线 的交点有4个交点，
由图可得 ，所以 的取值范围是 .
故答案为： .
③分类讨论的思想
1．（2023秋·浙江·高一期末）设函数 ．
(1)当 时，根据定义证明函数 在区间 上单调递减；
(2)设 ，若 在 上存在两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）任取 且 ，则∵
∴
∴ ，即
∴ 在区间 上单调递减．
（2）令
原命题等价于方程 在 上有2个相异实根；
显然
当 时，
当 时，
综上所述：
2．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若对任意 ，存在 ，求实数 的取值范围；
(3)若函数 ，求函数 零点的个数.
【答案】(1)
(2) 或
(3)答案见解析
【详解】（1））由 得： 或 ，
即 的定义域为 或 ，
令 在 内单调递增，
而 时， 为减函数， 时， 为增函数，
故函数 的单调递减区间是 ；
（2）由 与 可知 ，所以 或 ，
分离参数得 ，或 有解，
令 ，则 或 有解，
，或 ，
得 或 .
（3）依题意 ，
令 ，当且仅当 时取等号，即 时取等号，
则函数 转化为 ，
此时只需讨论方程 大于等于2的解的个数，
①当 时， 没有大于等于2的解，此时 没有零点；
②当 时， ，
当 时， ，方程没有大于等于2的解，此时 没有零点；
当 时， ，方程有一个等于2的解，函数 有一个零点；
当 时， ，方程有一个大于2的解，函数 有两个零点.
③当 时， 恒成立，
即方程不存在大于等于2的解，此时函数 没有零点；
综上所述，当 时， 有一个零点；当 时， 有两个零点；当 或 时， 没
有零点.
3．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）已知函数 ．
(1)求 的单调递减区间及最小正周期；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，讨论函数 在 上的
零点个数．
【答案】(1)单调递减区间为 ，最小正周期为
(2)答案见解析
【详解】（1） ，令 ，解得： ，
的单调递减区间为 ，最小正周期 .
（2）由题意得： ；
当 时， ，
当 ，即 时， 单调递增，值域为 ；
当 ，即 时， 单调递减，值域为 ；
则当 ，即 时， 无零点；
当 ，即 时， 有且仅有一个零点；
当 ，即 时， 有两个不同零点；
当 ，即 时， 有且仅有一个零点；
当 ，即 时， 有且仅有一个零点；；
当 ，即 时， 无零点；
综上所述：当 时， 无零点；当 时， 有且仅有
一个零点；当 时， 有两个不同零点.
