文档文本内容
重难点24：同角三角函数与诱导公式的运
用问题之题型归纳（九大题型总结）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................4
题型一、基于单一三角函数值的其余三角函数值求解................................4
题型二、基于同角三角函数关系的三角函数式化简....................................5
题型三、利用同角关系证明三角恒等式........................................................7
题型四、同角三角函数正余弦和差与乘积的运用........................................8
题型五、已知正切求有关正余弦齐次式值问题..........................................10
题型六、利用诱导公式求三角函数值..........................................................12
题型七、利用诱导公式化简三角函数式......................................................13
题型八、利用诱导公式证明三角恒等式......................................................14
题型九、同角三角函数关系与诱导公式综合..............................................16
题型精析・方法突破提能力..............................................................................18
同角三角函数的核心公式（解题基础）
所有题型均基于以下 2 组关系，需牢记 “符号优先” 原则（由角所在象限确定三
角函数正负）：
平方关系：sin
2α +cos
2α =1（变形：sin
2α +cos
2α =1，cos
2α =1−sin
2α ）；
商数关系：tan α = sin α
cosα （cosα ≠0，即α ≠π
2 +kπ )，(k ∈ℤ）。
题型
1 ：基于单一三角函数值的其余三角函数值求解
已知sin α 、cosα 、tan α 中的一个值，及角α所在象限（或范围），求另外两
个值（如 “已知sin α = 3
5 ，α ∈( π
2 ,π )，求cosα 和tan α”）。
解题步骤
步骤1：定符号：根据角α的象限，结合 “一全正、二正弦、三正切、四余弦” 确定未知
三角函数的正负；
知识网络・核心根基深扎牢
步骤2 ：用平方关系求另一个函数值：若已知sin α ，用cos
2α =1−sin
2α求\
(\cos\alpha\)（反之亦然），注意开方时保留第一步确定的符号；
用商数关系求正切值：代入tan α = sin α
cosα 计算，结果符号与第一步一致。
题型
2 ：基于同角三角函数关系的三角函数式化简
给出含sin α 、cosα 、tan α的混合式（如sin α −cosα
tan α −1
），要求化简为 “单个三
角函数” 或 “常数”，常含根号、分式或高次项。
解题步骤
步骤1：统一函数名：利用tan α = sin α
cosα ，将式中所有正切化为正弦和余弦，减少函数种
类；
消去分母 / 根号：分式通分后约分，根号内利用平方关系sin
2α +cos
2α =1化简（注意根
号开方的符号）；
步骤2：合并同类项 / 约分：消去多余项，最终化为最简形式（如sin α 、cosα或常
数）。
典型示例
题型
3 ：利用同角关系证明三角恒等式
要求证明 “左边三角函数式 = 右边三角函数式”，两侧均含sin α 、cosα、tan α
的混合项（如证明sin
4α −cos
4α =sin
2α −cos
2α ）。
解题步骤
步骤1：选择化简方向：优先化简 “较复杂的一侧”（项数多、次数高、含分式 / 根号
的一侧），或两侧同时化简为同一形式；
步骤2：用同角关系变形：对所选一侧，通过 “统一函数名”“平方关系展开”“因式分
解” 等手段化简；
步骤3：验证两侧相等：若化简后两侧完全一致（或均等于同一常数），则恒等式成立。
题型
4 ：同角三角函数正余弦和差与乘积的运用
同角三角函数的正余弦和差与乘积，本质是通过 “完全平方公式” 关联，核心等式
如下：
和的平方：(sin α +cosα )
2=sin
2α +2sin α cosα +cos
2α =1+2sin α cosα；
差的平方：(sin α −cosα )
2=sin
2α −2sin α cosα +cos
2α =1−2sin α cosα；
和差与乘积的转化：
已知sin α +cosα =k ，则sin α cosα = k
2−1
2
；
已知sin α −cosα =m，则sin α cosα = 1−m
2
2
；
已知sin α cosα =n，则sin α +cosα =± ❑√1+2n，sin α −cosα =± ❑√1−2n（符号由
(α )所在象限确定）。
题型
5 ：已知正切求有关正余弦齐次式值问题
正余弦齐次式是指式子中每一项的正余弦次数之和相等的三角函数式，常见类型：
一次齐次式：如asin α +bcosα（每顶次数和为 1）；
二次齐次式：如asin
2α +bsin α cosα +c cos
2α（每顶次数和为 2）；
齐次分式：如asin α +bcosα
c sin α +d cosα （分子分母均为一次齐次式）、asin
2α +bsin α cosα
c cos
2α +d sin
2α
（分
子分母均为二次齐次式）。
这类式子的关键特性：可通过 “除以cosα（一次齐次式）” 或 “除以cos
2α（二次齐
次式）”，将所有项转化为tan α的表达式，进而代入已知值计算。
题型
6 ：利用诱导公式求三角函数值
已知某锐角或特殊角的三角函数值，求 “任意角（如负角、大于90
∘的角、含π的
角）” 的三角函数值，如 “已知sin30
∘= 1
2 ，求sin 210
∘、cos(−150
∘)的值”。
解题步骤
步骤1：将目标角拆分为 “诱导公式形式”：把目标角写成 “k ⋅π
2 +α”（k ∈ℤ，α
为锐角或特殊角）；
步骤2：按 “奇变偶不变” 判断函数名是否改变：确定k的奇偶性，变名或保留原函数
名；
步骤3：按 “符号看象限” 确定结果正负：将α 视为锐角，判断“k ⋅π
2 +α” 所在象
限，结合函数符号规律定号；
步骤4：代入已知值计算：将\(\alpha\)的三角函数值代入，得到结果。
题型
7 ：利用诱导公式化简三角函数式
给出含多个任意角的三角函数式（如sin(π +α )、cos( 3 π
2 −α )），要求化简为
“仅含锐角α 的三角函数式”或“常数”，如化简sin(π −α )cos(2π −α )
tan(π +α )cos(−α )
。
解题步骤
步骤1：逐个处理式子中的诱导公式项：对每个三角函数，按 “奇变偶不变，符号看象
限” 化简；
步骤2：利用同角三角函数关系辅助化简：结合tan α = sin α
cosα 、sin
2α +cos
2α =1等，消去
多余项；
步骤3：合并同类项或约分：最终化为最简形式（含单个三角函数或常数）。
题型
8 ：利用诱导公式证明三角恒等式
要求证明 “左边三角函数式 = 右边三角函数式”，且两边均含多个任意角的三角函
数（需用诱导公式化简后验证等式成立），如证明sin(π −α )sin(π +α )=sin
2α。
解题步骤
步骤1：选择化简方向：优先化简 “较复杂的一侧”（项数多、角的形式复杂的一侧），
或两侧同时化简；
步骤2：对两侧分别用诱导公式化简：按 “定号→变名” 步骤处理每个三角函数；
步骤3：化简后验证两侧是否相等：若化简后两侧表达式完全一致（或均等于同一常
数），则等式成立。
【例题1】若
sinθ
1−cosθ =2，则sinθ =（ ）
A．4
5
B．−4
5
C．3
5
D．−3
5
【答案】A
【分析】根据题意结合sin
2θ+cos
2θ =1解方程即可.
【详解】因为
sinθ
1−cosθ =2，则sinθ =2(1−cosθ)，且cosθ≠1，
联立方程{
sinθ =2(1−cosθ)
sin
2θ+cos
2θ =1 )，解得{
sinθ = 4
5
cosθ = 3
5)
或{
sinθ =0
cosθ =1)（舍去），
所以sinθ = 4
5 .
故选：A.
【1-1】已知α是锐角，❑√3sinα +2❑√2cosα = ❑√11，则sinα =（ ）
A．
❑√77
11
B．
❑√33
11
C．
❑√55
11
D．
❑√11
11
【答案】B
【分析】由❑√3sinα +2❑√2cosα = ❑√11联立sin
2α +cos
2α =1可得.
【详解】由❑√3sinα +2❑√2cosα = ❑√11得cosα =
❑√11
2❑√2 −
❑√3
2❑√2 sinα，
由sin
2α +cos
2α =1得sin
2α +(
❑√11
2❑√2 −
❑√3
2❑√2 sinα)
2
=1，
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、基于单一三角函数值的其余三角函数值求解
典例探究
举一反三
化简得(❑√11sinα −❑√3)
2=0，得sinα =
❑√33
11
故选：B.
【1-2】已知角θ∈[0,π)，且满足sinθ+2cosθ =0，则sinθ的值为（ ）
A．2❑√5
5
B．−2❑√5
5
C．
❑√5
5
D．−
❑√5
5
【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】由{
sinθ+2cosθ =0
sin
2θ+cos
2θ =1)，得{
sin
2θ = 4
5
cos
2θ = 1
5)
，
又θ∈[0,π)，所以sinθ = 2❑√5
5
.
故选：A.
【1-3】化简cosα
1+sinα −cosα
1−sinα =（ ）
A．−2sinα B．2sinα
C．−2tanα
D．2tanα
【答案】C
【分析】通分后结合平方关系和商数关系可得正确的选项.
【详解】原式=cosα (1−sinα )−cosα (1+sinα )
(1+sinα )(1−sinα )
= −2cosα sinα
1−sin
2α
= −2cosα sinα
cos
2α
= −2sinα
cosα
=−2tanα．
故选：C.
【例题2】化简cosα tanα =（ ）
A．cosα
B．cos
2α
C．sinα
D．sin
2α
【答案】C
题型二、基于同角三角函数关系的三角函数式化简
典例探究
【分析】根据同角三角函数的关系即可得出答案.
【详解】由tan α = sin α
cosα 可得：cosα tan α =sin α.
故选：C
【2-1】已知α为第二象限角，则x = sin α
|sin α ) +
❑√1−sin
2α
cosα
的值是（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】先根据角所在象限得到sin α >0，cosα <0，进而化简求值．
【详解】∵α是第二象限角，
∴sin α >0，cosα <0，故x = sin α
sin α + −cosα
cosα =1−1=0．
故选：B．
【2-2】❑√2+2cos8+2❑√1−sin 8的化简结果是（ ）
A．4 cos 4−2sin 4
B．2sin 4
C．2sin 4−4 cos 4
D．−2sin 4
【答案】D
【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】由于5π
4 <4<3π
2 ，所以cos 4<0,sin 4<0，且cos 4>sin 4，
所以❑√2+2cos8+2❑√1−sin 8
=
❑√2+2(2cos
24−1)+2
❑√sin
24−2sin 4 cos 4 +cos
24
=
❑√4 cos
24 +2
❑√(cos 4−sin 4)
2
=2|cos 4)+2|cos 4−sin 4)
=−2cos 4 +2(cos 4−sin 4)=−2sin 4.
故选：D
举一反三
【2-3】化简：
sin α
1−cosα ⋅❑√
tan α −sin α
tan α +sin α
．
【答案】（答案见解析.
【分析】根据同角三角函数关系即可求解.
【详解】原式=
sin α
1−cosα ⋅
❑
√
sin α
cosα −sin α
sin α
cosα +sin α
=
sin α
1−cosα
❑√
sin α (1−cosα )
sin α (1+cosα ) =
sin α
1−cosα
❑√
(1−cosα )
2
(1+cosα )(1−cosα ) =
sin α
1−cosα|
1−cosα
sin α )
，
而{
1−cosα ≠0
cosα ≤1 )，所以1−cosα >0，且sin α ≠0，结合cosα ≠0，
所以当sin α >0且≠1时，即α ∈(2kπ ,2kπ + π
2)∪(2kπ + π
2 ,2kπ + π)时，所求为
1，
当sin α <0且≠−1时，即α ∈(2kπ + π ,2kπ + 3 π
2 )∪(2kπ + 3 π
2 ,2kπ +2π)所求为
−1.
【例题3】求证：
(1)1−2sin x cos x
cos
2 x−sin
2 x
= 1−tan x
1+ tan x ；
(2)sin
4 x +cos
4 x =1−2sin
2 x cos
2 x.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论；
（2）利用平方关系可证结论.
题型三、利用同角关系证明三角恒等式
典例探究
【详解】（1）证明：左边=cos
2 x +sin
2 x−2sin x cos x
cos
2 x−sin
2 x
=
(cos x−sin x)
2
(cos x−sin x)(sin x +cos x)
= cos x−sin x
sin x +cos x = 1−tan x
tan x +1 =右边.
（2）证明：左边= (cos
2 x +sin
2 x)
2−2cos
2 x sin
2 x =1−2cos
2 x sin
2 x=右边.
【3-1】证明：cot
2α −cos
2α =cot
2α ⋅cos
2α．
【答案】证明见详解
【分析】由同角间的关系将左边化简变形可得到右边，即可证明.
【详解】左边= cos
2α
sin
2α
−cos
2α =cos
2α· 1−sin
2α
sin
2α
=cos
2α· cos
2α
sin
2α
=cos
2α cot
2α =右
边，故等式成立.
【3-2】证明下列恒等式：2cos
2θ+sin
4θ =cos
4θ+1．
【答案】证明详见解析
【分析】根据同角三角函数的基本关系式证得等式成立.
【详解】左边=2cos
2θ+sin
4θ
=2cos
2θ+(sin
2θ)
2
=2cos
2θ+(1−cos
2θ)
2
=2cos
2θ+1−2cos
2θ+cos
4θ
=cos
4θ+1 =右边，
所以原等式成立.
【3-3】求证：
举一反三
（1）1+ tan
2α =
1
cos
2α ；
（2）sin
4α −cos
4α =sin
2α −cos
2α；
（3）tan
2α sin
2α = tan
2α −sin
2α.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解；
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系、商的关系即可证明.
（2）利用平方关系即可证明.
（3）利用同角三角函数的商的关系即可证明.
【详解】（1）1+ tan
2α =1+ sin
2α
cos
2α
= cos
2α +sin
2α
cos
2α
=
1
cos
2α
，即证.
（2）sin
4α −cos
4α =(sin
2α −cos
2α)(sin
2α +cos
2α)=sin
2α −cos
2α，即证.
（3）右边= tan
2α −sin
2α = sin
2α
cos
2α
−sin
2α
=sin
2α(
1
cos
2α
−1)=sin
2α ⋅1−cos
2α
cos
2α
=sin
2α ⋅sin
2α
cos
2α
=sin
2α ⋅tan
2α =左边，即
证.
【例题4】已知sinθ+cosθ =
❑√5
2 ，则sinθcosθ =（ ）
A．−1
8
B．−1
4
C．1
8
D．1
4
【答案】C
【分析】将已知两边平方，再结合平方关系即可得解.
【详解】因为sinθ+cosθ =
❑√5
2 ，可得(sinθ+cosθ)
2=1+2sinθcosθ = 5
4 ，
所以sinθcosθ = 1
8．
题型四、同角三角函数正余弦和差与乘积的运用
典例探究
故选：C．
【4-1】已知α是第二象限角,sin α cosα =−1
5,则cosα −sin α =
A．
❑√35
5
B．−
❑√35
5
C．−
❑√35
5
或
❑√35
5
D．7
5
【答案】B
【解析】先由题意，得到cosα <0，sin α >0，再由同角三角函数基本关系，即可求
出结果.
【详解】因为α是第二象限角，所以cosα <0，sin α >0，
又sin α cosα =−1
5，
所以cosα −sin α =−
❑√(cosα −sin α )
2= ❑√1−2sin α cosα =−❑√1+ 2
5 =−
❑√35
5
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数化简求值的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，
属于基础题型.
【4-2】已知sin α −cosα =−1
3，则sin α cosα =（ ）
A．2
9
B．4
9
C．2
3
D．8
9
【答案】B
【分析】利用完全平方公式与三角函数基本关系式即可求解.
【详解】因为(sin α −cosα )
2=1−2sin α cosα = 1
9，所以sin α cosα = 4
9 .
故选：B
【4-3】已知sinα cosα =−1
8，α ∈(0,π)，则sinα −cosα =（ ）
A．
❑√5
2
B．−
❑√5
2
C．
❑√3
2
D．−
❑√3
2
举一反三
【答案】A
【分析】由已知可得sinα −cosα >0，可求得(sinα −cosα )
2= 5
4 ，进而可求
sinα −cosα的值.
【详解】因为α ∈(0,π)，所以sinα >0，又sinα cosα =−1
8，所以cosα <0，
所以sinα −cosα >0，
又(sinα −cosα )
2=sin
2α −2sinα cosα +cos
2α =1−2×(−1
8 )= 5
4 ，
所以sinα −cosα =
❑√5
2 .
故选：A.
【例题5】已知sinθ =−2cosθ，则3+cos
2θ
sinθcosθ =（ ）
A．−6
B．−1
2
C．8
D．−8
【答案】D
【分析】由已知求得tanθ =−2，化为二次齐次式，再化为tanθ的代数式，求解即可.
【详解】因为sinθ =−2cosθ，所以tanθ =−2，
所以3+cos
2θ
sinθcosθ = 3sin
2θ+ 4 cos
2θ
sinθcosθ
= 3 tan
2θ+ 4
tanθ
=−8.
故选：D.
【5-1】若tan α =3，则sin 2α −2cos
2α =（ ）
A．−2
5
B．2
5
C．−6
5
D．6
5
【答案】B
题型五、已知正切求有关正余弦齐次式值问题
典例探究
举一反三
【分析】利用二倍角公式和弦化切思想即可求解.
【详解】由sin 2α −2cos
2α = 2sin α cosα −2cos
2α
sin
2α +cos
2α
= 2tan α −2
tan
2α +1
，
因为tan α =3，所以上式sin2α −2cos
2α = 2tan α −2
tan
2α +1
= 6−2
9+1 = 2
5，
故选：B.
【5-2】已知tanα
tanα −1 =−1，则sin
2α +sinα cosα +2=（ ）
A．2
3
B．12
5
C．3
4
D．13
5
【答案】D
【分析】由题意求出tanα = 1
2，利用同角的平方关系，转化为齐次式问题进行求解.
【详解】因为tanα
tanα −1 =−1，所以tanα = 1
2，
因为sin
2α +sinα cosα +2=sin
2α +sinα cosα +2sin
2α +2cos
2α
sin
2α +cos
2α
，
分子分母同时除以cos
2α得：sin
2α +sinα cosα +2= tan
2α + tan α +2tan
2α +2
tan
2α +1
，
代入tanα = 1
2计算得：sin
2α +sinα cosα +2= 13
5 .
故选：D.
【5-3】若tanα = 1
4 ，则cosα
sin
3α +sinα cos
2α +cosα
=（ ）
A．5
8
B．8
5
C．5
4
D．4
5
【答案】D
【分析】利用同角的正余弦平方关系化为齐次式可求值.
【详解】
cosα
sin
3α +sinα cos
2α +cosα
=cosα
sinα (sin
2α +cos
2α)+cosα
=cosα
sinα +cosα
=
1
tanα +1 =
1
1
4 +1
= 4
5 .
故选：D.
【例题6】已知cos(
9π
2 −α)= 7
8，则sin(3π+α )=（ ）
A．−7
8
B．7
8
C．−
❑√15
8
D．
❑√15
8
【答案】A
【分析】由诱导公式计算即可.
【详解】由cos(
9π
2 −α)=cos(2π×2+π
2 −α)=cos(
π
2 −α)=sinα = 7
8得
sin(3π+α )=−sinα =−7
8．
故选：A
【6-1】cos(−10π
3 )=（ ）
A．
❑√3
2
B．−
❑√3
2
C．1
2
D．−1
2
【答案】D
【分析】利用诱导公式即可求解.
题型六、利用诱导公式求三角函数值
典例探究
举一反三
【详解】cos(−10π
3 )=cos 10π
3
=cos(3π+π
3 )=cos(π+π
3 )=−cosπ
3 =−1
2.
故选：D.
【6-2】sin 400°cos20°−cos40°cos110° =（ ）
A．−
❑√3
2
B．
❑√3
2
C．−1
2
D．1
2
【答案】B
【分析】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值.
【详解】
sin 400°cos20°−cos40°cos110° =sin(360°+ 40°)cos20°−cos40°cos(90°+20°)
=sin 40°cos20°−cos40° (−sin20°)=sin 40°cos20°+cos40°sin20°
=sin(40°+20°)=sin60° =
❑√3
2 .
故选：B.
【6-3】若sin(5π−α )=
❑√2
3 ，则sin α =（ ）
A．
❑√7
3
B．
❑√2
3
C．−
❑√2
3
D．−
❑√7
3
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简即可.
【详解】因为sin(5π−α )=sin(4π+π−α )=sin(π−α )=sin α，
所以sin α =
❑√2
3 ，
故选：B.
【7-1】化简sin(π−α )
tan(π+α ) ⋅
cot(
π
2 −α)
cos(
π
2 +α)
= .
【答案】−1
题型七、利用诱导公式化简三角函数式
典例探究
【分析】根据诱导公式和同角的商数关系化简计算即可求解.
【详解】sin(π−α )
tan(π+α ) ⋅
cot(
π
2 −α)
cos(
π
2 +α)
=sinα
tanα ⋅tanα
−sinα =−1.
故答案为：−1
【7-1】化简：sin(α + π
2 )tan(π +α )cos(π −α )
cos(−α )tan(π −α )
= ．
【答案】cosα
【分析】利用三角函数的诱导公式直接化解即可.
【详解】原式= cosα tan α(−cosα )
cosα(−tan α )
=cosα.
故答案为：cosα.
【点睛】本题考查三角函数诱导公式的应用，属于基础题.
【7-2】已知tanα =3，则
sin(
π
2 −α)−cos(−π−α )
sin(π−α )+cos(
3π
2 +α)
= .
【答案】1
3
【分析】利用诱导公式化简，然后弦化切可得.
【详解】因为tanα =3，
所以，原式= cosα +cosα
sinα +sinα =
1
tan α = 1
3.
故答案为：1
3
【7-3】化简：
sin(π
2 +α )⋅sin(π−α )⋅tan α
2cos( 3π
2 −α )⋅cos(5π−α )⋅tan(3π−α )
= ．
举一反三
【答案】−1
2/−0.5
【分析】利用诱导公式化简得答案.
【详解】
sin(π
2 +α )⋅sin(π−α )⋅tan α
2cos( 3π
2 −α )⋅cos(5π−α )⋅tan(3π−α )
=
cosα ⋅sin α ⋅tan α
−2sin α ⋅(−cosα )⋅(−tan α ) =−1
2.
故答案为：−1
2
【例题8】求证：sin α
1+cosα = 1−cosα
sin α
.
【答案】证明见解析
【分析】直接作差计算等于零即可证明.
【详解】证法1 因为
sin α
1+cosα −1−cosα
sin α
= sin
2α −(1−cos
2α)
(1+cosα )sin α
= sin
2α +cos
2α −1
(1+cosα )sin α =0，
所以sin α
1+cosα = 1−cosa
sin α
.
证法2 因为(1+cosα )(1−cosα )=1−cos
2α =sin
2α，
又1+cosα ≠0，sin α ≠0，
所以sin α
1+cosα = 1−cosα
sin α
.
题型八、利用诱导公式证明三角恒等式
典例探究
举一反三
【8-1】已知：asin α +bcosα =c，acosα −bsin α =d，求证：a
2+b
2=c
2+d
2．
【答案】证明见解析
【分析】结合sin
2α +cos
2α =1，化简证得等式成立.
【详解】右边
= c
2+d
2=(asin α +bcosα )
2+(acosα −bsin α )
2
=a
2(sin
2α +cos
2α )+b
2(cos
2α +sin
2α )=a
2+b
2 =左边.
【8-2】求证：当k =2或3 时，
tan(k π−α )tan(k π+α )
cos(2k π−α )sin[(2k +1)π+α ] = sin α
cos
3α
.
【答案】证明见解析
【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.
【详解】当k =2时，左边=
tan(2π−α )tan(2π+α )
cos(4π−α )sin(5π+α ) = −tan α ⋅tan α
cosα ⋅(−sin α ) =
tan
2α
cosα sin α = sin α
cos
3α
；
当k =3时，左边=
tan(3π−α )tan(3π+α )
cos(6π−α )sin(7π+α ) = −tan α ⋅tan α
cosα ⋅(−sin α ) =
tan
2α
cosα sin α = sin α
cos
3α
；
综上，k =2或k =3有原等式恒成立.
【8-3】求证：sin α
cos
2α
−2sin α +cos
2α sin α = sin
5α
cos
2α
．
【答案】证明见解析
【分析】利用配方法和平方关系可证该恒等式.
【详解】左边= sin α
cos
2α
⋅(1−2cos
2α +cos
4α )
= sin α(1−cos
2α )
2
cos
2α
= sin α(sin
2α )
2
cos
2α
= sin
5α
cos
2α
=右边，
∴原等式成立．
【8-4】求证：
tan(2π−a)cos(
3π
2 −a)cos(6π−a)
sin(a+ 3π
2 )cos(a+ 3π
2 )
=−tan a
【答案】证明见解析
【分析】对等式左边用诱导公式进行化简证明
【详解】左边＝−tan a⋅(−sin a)⋅cosa
−cosa⋅sin a
=−tan a＝右边，所以原等式成立．
【例题9】若π
2 <α <π，则cosα ❑√
1−sin α
1+sin α −❑√1−2sin α cosα =（ ）
A．sin α +1
B．2cosα +sin α
C．−sin α −cosα
D．cosα −1
【答案】D
【分析】法一（极限法）：令α →π
2 ，则
cosα ❑√
1−sin α
1+sin α −❑√1−2sin α cosα →−1，排除A，B；令α →π，则
cosα ❑√
1−sin α
1+sin α −❑√1−2sin α cosα →−2，排除C，故选D.
法二：根据二倍角公式结合π
2 <α <π，化简即可求解.
【详解】法一（极限法）：令α →π
2 ，则
cosα ❑√
1−sin α
1+sin α −❑√1−2sin α cosα →−1，而sin α +1→2，2cosα +sin α →1，排除
A，B；
题型九、同角三角函数关系与诱导公式综合
典例探究
令α →π，则cosα ⋅❑√
1−sin α
1+sin α −❑√1−2sin α cosα →−2，而−sin α −cosα →1，
排除C，故选D.
法二：原式=cosα
❑
√
1−2sin α
2 cos α
2
1+2sin α
2 cos α
2
−
❑√(sin α −cosα )
2
=cosα
❑
√
(sin α
2 −cos α
2)
2
(sin α
2 +cos α
2)
2 −|sin α −cosα )=cosα ×|sin α
2 −cos α
2)
|sin α
2 +cos α
2)
−|sin α −cosα ).
因为π
2 <α <π，所以π
4 < α
2 <π
2 ，sin α >0>cosα，所以sin α −cosα >0，
sin α
2 >
❑√2
2 >cos α
2 >0，所以sin α
2 −cos α
2 >0，sin α
2 +cos α
2 >0，
所以原式
=cosα ×
sin α
2 −cos α
2
sin α
2 +cos α
2
−(sin α −cosα )=(cos
2 α
2 −sin
2 α
2)×
sin α
2 −cos α
2
sin α
2 +cos α
2
−(sin α −cosα )
=(cos α
2 −sin α
2)(sin α
2 −cos α
2)−sin α +cosα =−cos
2 α
2 −sin
2 α
2 +2sin α
2 cos α
2 −sin α +cosα
=−1+sin α −sin α +cosα =cosα −1.
故选：D.
举一反三
【9-1】若tanθ−1
2tanθ+1 =1．则1
2 cos2θ+2的值为（ ）
A．−17
10
B．17
10
C．−2❑√5
5
D．2❑√5
5
【答案】B
【分析】先求出tanθ的值，再将待求式化为关于tanθ的式子代入计算即得．
【详解】由tanθ−1
2tanθ+1 =1，解得tanθ =−2．
则1
2 cos2θ+2= cos
2θ−sin
2θ+ 4(cos
2θ+sin
2θ)
2(cos
2θ+sin
2θ)
= 5cos
2θ+3sin
2θ
2(cos
2θ+sin
2θ)
= 5+3 tan
2θ
2(1+ tan
2θ)
= 5+12
2(1+ 4) = 17
10，
故选：B．
【9-2】已知cosθ = 3
5，且θ是第四象限的角，则sin2θ
cos2θ+1 的值为 .
【答案】−4
3
【分析】由cosθ = 3
5利用同角三角函数平方关系得sinθ，进而得tanθ，最后利用二
倍角公式化简即可求解.
【详解】因为cosθ = 3
5，且θ是第四象限的角，
所以sinθ =−
❑√1−cos
2θ =−4
5 ，所以tanθ = sinθ
cosθ =−4
3 ，
所以sin2θ
cos2θ+1 = 2sinθcosθ
2cos
2θ
= sinθ
cosθ = tanθ =−4
3 ，
故答案为：−4
3 .
【9-3】已知sinθ−cosθ = 1
5 ,π<θ<2π，则（ ）
A．sin2θ = 24
25
B．π<θ< 3π
2
C．cos2θ =−7
25
D．cos(2θ−π
4 )= 31❑√2
50
【答案】ABD
【分析】借助同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角差的余弦公式逐项计算即可
得.
【详解】因为sinθ−cosθ = 1
5，所以
(sinθ−cosθ)
2=1−2sinθcosθ =1−sin2θ = 1
25，
所以sin2θ = 24
25 ，故A 正确；
因为π<θ<2π，所以sinθ<0，又sin2θ =2sinθcosθ>0，
所以cosθ<0，π<θ< 3π
2 ，故B 正确；
因为sinθ−cosθ = 1
5 ,sinθ<0，cosθ<0，
所以cos2θ =(cosθ−sinθ)(cosθ+sinθ)>0,cos2θ =
❑√1−sin
22θ = 7
25，故C 错
误；
cos(2θ−π
4 )=cos2θcosπ
4 +sin2θsinπ
4 = 31❑√2
50
，故D 正确．
故选：ABD．
【突破提升训练・1】设sinθ−cosθ =
❑√2
3 ，则sinθ⋅cosθ =（ ）
A．−7
18
B．−1
18
C．1
18
D．7
18
【答案】D
【分析】结合完全平方公式及三角函数平方关系求解即可.
【详解】因为(sinθ−cosθ)
2=sin
2θ+cos
2θ−2sinθcosθ =1−2sinθcosθ，
sinθ−cosθ =
❑√2
3 ，
所以sinθcosθ = 7
18.
题型精析・方法突破提能力
故选：D.
【突破提升训练・2】sin2025
∘+
❑√2
2 tan2025
∘=（ ）
A．❑√2
B．
❑√2
2
C．0
D．−❑√2
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值计算即得.
【详解】
sin2025
∘+
❑√2
2 tan2025
∘=sin225
∘+
❑√2
2 tan225
∘=−sin 45
∘+
❑√2
2 tan 45
∘=−
❑√2
2 +
❑√2
2 =0
.
故选: C.
【突破提升训练・3】已知cosα = 3
5，则sin(
3
2 π−α)=（ ）
A．4
5
B．−4
5
C．3
5
D．−3
5
【答案】D
【分析】利用诱导公式即可求得结果.
【详解】由诱导公式得sin(
3
2 π−α)=−cosα =−3
5
故选：D
【突破提升训练・4】已知tan α =2，则sin α cos2α
sin α −cosα ＝（ ）
A．−6
5
B．6
5
C．6
D．－6
【答案】A
【分析】利用余弦二倍角公式以及同角三角函数关系式，化简整理，可得答案.
【详解】
sin α cos2α
sin α −cosα =−
sin α (sin
2α −cos
2α)
(sin α −cosα )(sin
2α +cos
2α)
=−sin α (sin α −cosα )(sin α +cosα )
(sin α −cosα )(sin
2α +cos
2α)
=−sin α (sin α +cosα )
sin
2α +cos
2α
=−tan α (1+ tan α )
tan
2α +1
=−2×(1+2)
2
2+1
=−6
5 .
故选：A.
【突破提升训练・5】已知0<α <π
2 ，0< β <π
2 ，且3cosα =cos(α −2 β)，则tan α的最
小值为（ ）
A．2
B．2❑√2
C．4
D．4 ❑√2
【答案】B
【分析】根据条件，利用余弦的差角公式、倍角公式和同角三角函数间的关系，得到
tanα =2tan β +
1
tan β ，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】由3cosα =cos(α −2 β)，得到3cosα =cosα cos2 β +sinα sin2 β，
因为0<α <π
2 ，0< β <π
2 ，则0<2 β <π，cosα ≠0,sin2 β ≠0，
所以
tanα = 3−cos2 β
sin2 β
= 3(sin
2 β +cos
2 β)−cos
2 β +sin
2 β
2sin β cos β
= 2sin
2 β +cos
2 β
sin β cos β
=2tan β +
1
tan β
，
又0< β <π
2 ，则tan β >0，所以tanα =2tan β +
1
tan β ≥2❑√2，
当且仅当2tan β =
1
tan β ，即tan β =
❑√2
2 时取等号，
故选：B.
【突破提升训练・6】若点P(4 ,−3)在角α的终边上，则cos(2α −3π)⋅tan(α −π)
sin(π−α )
=
（ ）
A．−7
20
B．7
20
C．−7
25
D．7
25
【答案】A
【分析】先由三角函数的定义，得到cosα = 4
5 ，再化简原式为−2cos
2α −1
cosα
，代入
计算，即可求解.
【详解】由点P(4 ,−3)在角α的终边上，可得cosα = 4
5 ，
则cos(2α −3π)⋅tan(α −π)
sin(π−α )
= −cos2α ⋅tanα
sinα
=−2cos
2α −1
cosα
=−7
20．
故选：A.
【突破提升训练・7】已知tan α =3，且α在第一象限，则cosα = ．
【答案】
❑√10
10 / 1
❑√10
【分析】根据三角函数的基本关系求解即可．
【详解】因为tan α =3，所以sin α =3cosα，又sin
2α +cos
2α =1，可得10cos
2α =1，
因为α在第一象限，cosα >0，所以cosα =
❑√10
10 ．
故答案为：
❑√10
10 ．
【突破提升训练・8】已知tan α =−3
4 ，α ∈(0,π)，则sin α −cosα = ．
【答案】7
5
【解析】由tan α =−3
4 可解得sin α = 3
5，cosα =−4
5 ，进而求解.
【详解】∵ tan α = sin α
cosα =−3
4 ，且sin
2α +cos
2α =1，
又α ∈(0,π)，则可解得sin α = 3
5，cosα =−4
5 ，
故sin α −cosα = 7
5．
故答案为：7
5.
【点睛】本题考查同角三角函数的关系，属于基础题.
【突破提升训练・9】已知cosα =−4
5 ,α ∈(0,π )，则tan α = .
【答案】−3
4
【解析】由sin
2α +cos
2α =1结合条件可得sin α = 3
5，再由tan α = sin α
cosα 可得解.
【详解】由cosα =−4
5 ,α ∈(0,π )，可得sin α =
❑√1−cos
2α = 3
5，
所以tan α = sin α
cosα =−3
4 ，
故答案为：−3
4 .
【突破提升训练・10】已知tan x =2, x∈(π , 3 π
2 )，则cos x= .
【答案】−
❑√5
5
【分析】解{
sin x =2cos x
sin
2 x +cos
2 x =1
cos x<0
,即得解.
【详解】由题得{
sin x =2cos x
sin
2 x +cos
2 x =1
cos x<0
,∴cos x =−
❑√5
5 .
故答案为：−
❑√5
5
【点睛】本题主要考查同角的商数关系和平方关系，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平.
【突破提升训练・11】已知sin α +cosα =−1
3，则sin α cosα = ．
【答案】−4
9
【分析】利用平方的方法求得正确答案.
【详解】由sin α +cosα =−1
3两边平方得：
sin
2α +cos
2α +2sin α sin α =1+2sin α sin α = 1
9 ,sin α sin α =−4
9 .
故答案为：−4
9
【突破提升训练・12】设sinθ−cosθ =
❑√2
3 ，则sinθ⋅cosθ =
【答案】7
18
【分析】将sinθ−cosθ =
❑√2
3 两边平方，结合平方关系计算可得.
【详解】因为sinθ−cosθ =
❑√2
3 ，
所以(sinθ−cosθ)
2=sin
2θ+cos
2θ−2sinθcosθ =1−2sinθcosθ = 2
9，
所以sinθcosθ = 7
18.
故答案为：7
18
【突破提升训练・13】已知tanα = 3
4 ，则sinα −4cosα
5sinα +2cosα 的值为 .
【答案】−13
23
【分析】利用同角三角函数关系，把原式转化为含tan α的表达式，再代入已知tan α
的值计算求解．
【详解】∵tan α = sin α
cosα = 3
4 ，
∴cosα ≠0，
∴sin α −4 cosα
5sin α +2cosα = tan α −4
5 tan α +2 =
3
4 −4
5× 3
4 +2
=−13
23，
故答案为：−13
23．
【突破提升训练・14】若tanα =1，则sinα +cosα
2sinα −cosα = .
【答案】2
【分析】观察所求式子为齐次式，故可以采用弦化切，即分子分母同时除以cosα即
可得到答案.
【详解】由tan α =1，可知cosα ≠0，故sinα +cosα
2sinα −cosα =tanα +1
2tanα −1 = 1+1
2−1 =2.
故答案为：2.
【突破提升训练・15】已知tan α =2，则sin
2α −sin α cosα = .
【答案】2
5/0.4
【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算得解.
【详解】由tan α =2，得
sin
2α −sin α cosα = sin
2α −sin α cosα
sin
2α +cos
2α
= tan
2α −tan α
tan
2α +1
= 2
2−2
2
2+1
= 2
5.
故答案为：2
5
【突破提升训练・16】已知sinα = 1
3，则cos(α +π
2 )= ．
【答案】−1
3
【分析】利用诱导公式求解即可.
【详解】由诱导公式可得cos(α +π
2 )=−sin α =−1
3.
故答案为：−1
3
【突破提升训练・17】化简：
cos(π+α )cos(
π
2 +α)
sin(−π
2 −α)
= .
【答案】−sin α
【分析】利用诱导公式可化简所求代数式.
【详解】
cos(π+α )cos(
π
2 +α)
sin(−π
2 −α)
= (−cosα )⋅(−sin α )
−cosα
=−sin α.
故答案为：−sin α.
【突破提升训练・18】（1）化简：
❑√1+2sin10
°cos10
°
cos10
°+
❑√1−cos
210
° .
（2）已知α是第三象限角，且tan α是方程x
2−x−2=0的一个实根，求
sin
2α −2sin α cosα +3cos
2α的值.
【答案】（1）1；（2）3
5
【分析】（1）利用平方关系计算可得；
（2）依题意可得tan α >0，再求出tan α，最后由同角三角函数的基本关系将弦化切，
再代入计算可得.
【详解】（1）
❑√1+2sin10
°cos10
°
cos10
°+
❑√1−cos
210
° =
❑√sin
210
°+cos
210
°+2sin10
°cos10
°
cos10
°+
❑√sin
210
°
=
❑√(sin10
°+cos10
°)
2
cos10
°+sin10
°
= sin10
°+cos10
°
cos10
°+sin10
° =1；
（2）因为α是第三象限角，所以tan α >0，
又tan α是方程x
2−x−2=0的一个实根，由x
2−x−2=0，解得x1=2，x2=−1，
所以tan α =2，
所以sin
2α −2sin α cosα +3cos
2α = sin
2α −2sin α cosα +3cos
2α
sin
2α +cos
2α
= tan
2α −2tan α +3
tan
2α +1
= 2
2−2×2+3
2
2+1
= 3
5.
【突破提升训练・19】化简：1−2sin α cosα
cos
2α −sin
2α
⋅1+2sin α cosα
1−2sin
2α
.
【答案】1
【分析】由二倍角公式以及平方关系即可求解.
【详解】原式
= (sinα −cosα )
2
cos
2α −sin
2α
⋅
(sinα +cosα )
2
sin
2α +cos
2α −2sin
2α
=
(sin
2α −cos
2α)
2
(cos
2α −sin
2α)(cos
2α −sin
2α)
=1.
【突破提升训练・20】（1）化简：sin
2α ⋅tan α + cos
2α
tan α +2sin α ⋅cosα.
（2）求证：tan α ⋅sin α
tan α −sin α = tan α +sin α
tan α ⋅sin α .
【答案】（1）
1
sin α ⋅cosα （2）证明见解析
【分析】（1）切化弦，利用sin
2α +cos
2α =1化简可得结果；
（2）根据(tan α −sin α )⋅(tan α +cosα ) = tan
2α −sin
2α变形可证结论.
【详解】（1）原式= sin
2α ⋅sin α
cosα +sin α ⋅cosα + cos
2α
sin α
cosα
+sin α ⋅cosα
=sin α(
sin
2α
cosα +cosα)+cosα(
cos
2α
sin α +sin α)
=sin α ⋅sin
2α +cos
2α
cosα
+cosα ⋅cos
2α +sin
2α
sin α
= sin α
cosα + cosα
sin α
= sin
2α +cos
2α
sin α ⋅cosα
=
1
sin α ⋅cosα .
（2）证明：因为(tan α −sin α )⋅(tan α +sin α ) = tan
2α −sin
2α
= tan
2α −tan
2α ⋅cos
2α
= tan
2α(1−cos
2α )
= tan
2α ⋅sin
2α，
所以tan α sin α
tan α −sin α = tan α +sin α
tan α ⋅sin α .
【点睛】本题考查了利用同角公式进行化简、证明恒等式，属于基础题.
【突破提升训练・21】化简：
(1)
sin(2π+α )cos(π+α )
cos(π
2 +α )
；
(2)sin(360
∘+α )
cos(360
∘−α )
.
【答案】(1)cosα；
(2)tan α.
【分析】（1）利用诱导公式化简即得.
（2）利用诱导公式、同角公式化简即得.
【详解】（1）
sin(2π+α )cos(π+α )
cos(π
2 +α )
= sin α ⋅(−cosα )
−sin α
=cosα.
（2）sin(360
∘+α )
cos(360
∘−α )
= sin α
cosα = tan α.
【突破提升训练・22】化简：
sin(π−α )cot(
π
2 −α)cos(−α )
tan(π+α )tan(
π
2 +α)sin(2π−α )
.
【答案】sinα
【分析】由诱导公式化简即可.
【详解】原式=
sinα ⋅sinα
cosα ⋅cosα
tanα ⋅cosα
−sin α
(−sinα )
=sinα ⋅sinα
sinα
=sinα.
【突破提升训练・23】求证：
cos(π −θ)
cosθ[sin(
3 π
2 −θ)−1)
+
cos(2π −θ)
cos(π +θ)sin(
π
2 +θ)−sin(
3 π
2 +θ)
=
2
sin
2θ ．
【答案】证明见解析
【分析】直接利用诱导公式化简左边即得证明.
【详解】证明：左边=
−cosθ
cosθ(−cosθ−1) +
cosθ
−cosθcosθ+cosθ
=
1
1+cosθ +
1
1−cosθ
=
2
1−cos
2θ
=
2
sin
2θ
=右边，
所以原式或立．
【点睛】本题主要考查诱导公式化简证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【突破提升训练・24】求证:tan(π −α )cos(2π −α )sin(
3
2 π −α)
cos(−π −α )sin(π +α )
=1.
【答案】见解析
【解析】利用诱导公式化简式子左边为1，从而证明等式.
【详解】左边= −tan α ⋅cosα ⋅(−cosα )
cos(π +α )⋅(−sin α )
=
−sin α
cosα ⋅cosα ⋅(−cosα )
(−cosα )⋅(−sin α )
=1=右边，
所以等式成立.
【点睛】本题考查利用诱导公式证明等式，考查运算求解能力，属于基础题.
【突破提升训练・25】证明：
tan(2π−x)sin(−2π−x)cos(6π−x)cos(π−x)
sin(x + 3π
2 )cos(
π
2 −x)
=sin x
．
【答案】证明见解析
【分析】利用诱导公式化简即可.
【详解】左边= −tan x (−sin x)cos x (−cos x)
−cos xsin x
=tan xcos x =sin x =右边，
所以
tan(2π−x)sin(−2π−x)cos(6π−x)cos(π−x)
sin(x + 3π
2 )cos(
π
2 −x)
=sin x
．
【突破提升训练・26】证明：2sin (α +nπ )cos(α −nπ )
sin (α +nπ )+sin (α −nπ ) =(−1)
ncosα，n∈Z．
【答案】证明见解析
【分析】按n的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证．
【详解】证明：当n 为偶数时，令n=2k，k ∈Z，
左边= 2sin (α +2kπ )cos(α −2kπ )
sin (α +2kπ )+sin (α −2kπ ) = 2sin α cosα
sin α +sin α = 2sin α cosα
2sin α
=cosα．
右边=(−1)
2k cosα =cosα，∴左边=右边．
当n 为奇数时，令n=2k −1，k ∈Z，
左边= 2sin (α +2kπ −π )cos(α −2kπ + π )
sin (α +2kπ −π )+sin (α −2kπ + π )
= 2sin (α −π )cos(α + π )
sin (α −π )+sin (α + π )
= 2(−sin α )(−cosα )
(−sin α )+(−sin α ) = 2sin α cosα
−2sin α
=−cosα．
右边=(−1)
2k −1cosα =−cosα，∴左边=右边．
综上所述，2sin (α +nπ )cos(α −nπ )
sin (α +nπ )+sin (α −nπ ) =(−1)
ncosα，n∈Z成立．
