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第25 章一元二次方程 数学活动（导学案）
（1）理解两个一元二次方程存在公共解的含义，掌握方程有公共解的判定条件及推理方法；掌握线段黄
金分割的定义，能通过列一元二次方程推导黄金分割比，熟记黄金分割近似值，会判断简单的黄金分割线
段.
（2）经历“特例计算—猜想结论—推理证明—归纳总结”的探究过程，提升代数推理、归纳概括能力；
通过线段分割建模解方程的过程，强化数形结合、数学建模的思想方法.
（3）在自主探究与合作交流中体验数学探究的乐趣；感受黄金分割的数学美感与实用价值，体会代数与
几何的内在统一性，提升数学学习的积极性与审美素养.
重点：探究并掌握两个一元二次方程有公共实数解的条件及推理过程；利用一元二次方程推导黄金分割比，
理解黄金分割的定义与核心性质.
难点：从特殊方程的公共解猜想，归纳出任意两个一元二次方程有公共解的一般条件，完成从特殊到一般
的代数推理； 准确从线段分割问题中提取等量关系，建立一元二次方程模型，理解黄金分割比的无理数本
质及几何意义.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
复习提问：1.解一元二次方程的基本思想和方法？
解一元二次方程的基本思想是降次转化为一元一次方程；基本方法：配方法、公式法、因式分解法？
2.一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系？
3.列一元二次方程解决实际的通用步骤？
4.几个一元二次方程有公共解的条件引入活动课题.
【学法指导】
新知自研：自研课本第23 页的内容
【学法指导】自研课本P23 页内容
（一）活动1 探究一元二次方程有公共解的条件
活动①特例感知，初步探究
给出两组具体一元二次方程，让学生独立求解：
① x
2 -3x+2=0 ② x
2 -4x+3=0
追问：公共解x=1 满足什么特点？
活动②探究一元二次方程有公共解的条件
设三个一元二次方程：ax
2 +bx+c=0、bx
2 +cx+a=0、cx
2 +ax+b=0(abc≠0)，若两个方程有公共实数根x=m.
引导学生推理：
（二） 活动2 神奇的线段分割
活动①你能把任意一条线段分成不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和？
学生交流讨论：
活动②将一条线段AB 分割为AP、PB 两段（AP＞PB），若满足较长线段与整条线段的比等于较短线段与较
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长线段的比，这种分割方式有何特殊性？
建模列方程，自主求解
活动③将一条线段分成不等的三条线段，三条线段为a、b、c，且a>b>c，你能找的a、b、c，使
和
同时成立吗？
讨论交流:
【自研自探】
自研课本P23 页内容
典型例题
例1.我们可以用一元二次方程知识研究下面关于“减半”矩形的问题，即：任意给定一个矩形
，是
否存在另一个矩形
的周长和面积分别是矩形
周长和面积的一半．
(1)阅读探究过程并完成填空；
当已知矩形
的边长分别是和时．
设所求矩形的一边长是
，则另一边长为
，
根据题意，得
，
整理，得
；
∵
，
∴
______；
______；
∴满足要求的矩形
存在；
(2)请你继续解决下列问题：
如果已知矩形
的边长分别是
和，请你仿照上述方法研究是否存在满足要求的矩形
；
如果矩形
的边长为
，
，请你研究满足什么条件时，矩形
存在？
第二环节 合作探究
1.讨论一元二次方程有公共解的条件.
2.讨论线段三种分割方法.
拓展提升：
1.综合与实践：阅读材料，并解决以下问题．
(1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39 页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关
于一元二次方程的几何解法：以
为例，求解过程如下：
①变形：将方程
变形为
；
②构图：画四个长为
，宽为
的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；
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③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为
，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正
方形面积之和，即
，因此，可得新的一元二次方程
，∵
表
示边长，∴
，即
．
这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程
可以得到原方程的
另一个根是________．
(2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程
的一个正根（写出完整的求解过程，并在
画图区画出示意图、标明各边长）．
(3)拓展应用：一般地对于形如：
一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2 是由四个面
积为3 的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4 ．那么
________ ，
________ ，方程
的一个正根为________．
1.如图，在矩形
中，
，点
以
的速度从顶点
出发沿折线
向
点
运动，同时点
以
的速度从顶点
出发沿边
向点
运动．当其中一个动点到达末端停止运
动时，另一点也停止运动．
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(1)若运动时间为秒，则
______________，
_____________．
(2)两动点运动几秒，使四边形
的面积是矩形
面积的
？
(3)是否存在某一时刻，点
与点
之间的距离为
？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说
明理由．
1．（2025·南充·统考期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也
可以求二次函数的顶点坐标等，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个
完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
我们规定：一个整数能表示成
(a，b 是整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5 是“完美数”，
理由：因为
，所以5 是“完美数”．
【解决问题】：
（1）下列各数中，“完美数”有_____ (只填序号)；
①10 ②24 ③34 ④60
【探究问题】：
（2）若
可配方成
(m，n 为常数)，则
的值为_____；
（3）已知
(a，b 是整数，k 是常数)，要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个
k 值，并说明理由；
【拓展应用】：
（4）已知实数x，y 均满足
，求代数式
的最小值．
1. 知识技能:两个一元二次方程的公共解可同时满足两个方程，可通过 ，求
解 .
2. 思想方法:（1）特殊到一般：通过具体 ，归纳出 规律.（2）数形结合：
将 问题转化为 问题，以代数解几何.（3）数学建模：从实际几
何情境中提取 ，建立 解决问题.
3. 易错提醒:（1）探究方程公共解时，忽略 前提，误将 .（2）未根
据 的实际意义 .
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