专题06
椭圆压轴题（解析版）
1.椭圆的定义：
平面内一个动点P 到两个定点
1
F 、2
F 的距离之和等于常数
)
2
(
2
1
2
1
F
F
a
PF
PF
,这个动点P 的轨
迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 当2a =
2
1F
F
时，轨迹是线段F 1F 2 ；
当2a <
2
1F
F
时，无轨迹；
2.椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
标准方程
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1
0
y
x
a
b
a
b
图形
对称性
对称轴x 轴和y 轴,对称中心(0,0)
范围
]
,
,
,
[
]
[
x
a a
y
b b
]
,
,
,
[
]
[
x
b b
y
a a
顶点
1
2
)
,0 ,)
( ,0
(
A
a
A a
1
2
)
0,
,)
(0,
(
B
b B
b
1
2
)
0,
,)
(0,
(
A
a
A
a
1
2
)
,0 ,)
( ,0
(
B
b
B b
轴长
长轴长
1
2
2
A A
a
,短轴长
1
2
2
B B
b
焦点
1
2
)
,0 ,)
( ,0
(
F
c
F c
1
2
)
0,
,)
(0,
(
F
c F
c
焦距
1
2
2
F F
c
离心率
0
1
c
e
e
a
3.直线与椭圆的位置关系
（1）．直线与椭圆的三种位置关系
类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示．
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（2）．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系
设直线方程为y
kx
m
＋
,椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
,由方程组
2
2
2
2
1
y
kx
m
x
y
a
b
消去一个变量,得到
关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论：
0
直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交；
0
直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切；
0
直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离．
（3）．弦长问题
设直线l
y
kx
m
：
交椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
于点
1
1
1
2
2
2
,
,
,
P x y
P x
y
两点,则
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
1
1
1
|
|
y
y
PP
x
x
y
y
x
x
k
x
x
k
x
x
x
x
同理可得
1
2
1
2
2
1
|
|
1
PP
y
y
k
可利用根与系数的关系求解
1
2
1
2
,
x
x
y
y
,常进行以下变形：
2
1
2
1
2
1
2
|
|
4
,
x
x
x
x
x x
2
1
2
1
2
1
2
|
|
4
y
y
y
y
y y
题型一
椭圆的标准方程
例1（1）若△ABC 的三边长a､b､c 满足2b
a
c
，
( 1,0)
A
､
(1,0)
C
，则顶点B 的轨迹方程是
.
【答案】
2
2
1
0
4
3
x
y
y
【分析】根据椭圆定义即得轨迹方程，注意限定轨迹的取值范围.
【详解】设点B 的坐标为( , )
x y ，
∵2b
a
c
，即
2
BC
BA
AC
，又
( 1,0)
A
､
(1,0)
C
，
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∴
4
2
BC
BA
，
根据椭圆的定义可知，点B 的轨迹是以
( 1,0)
A
､
(1,0)
C
为焦点，以4 为长轴长的椭圆，
故顶点B 的轨迹方程为
2
2
1
4
3
x
y
，又B 为三角形的顶点，
故所求的轨迹方程为
2
2
1
0
4
3
x
y
y
.
（2）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的两个焦点为
1
2
,
F F ，过
2
F 的直线与C 交于
,
A B 两点.若
2
2
3
AF
F B
，
1
2
AB
AF
，且
1
ABF
的面积为4 15 ，则椭圆C 的方程为（
）
A．
2
2
1
25
15
x
y
B．
2
2
1
25
10
x
y
C．
2
2
1
10
6
x
y
D．
2
2
1
10
4
x
y
【答案】A
【分析】设
2
BF
m
，则
2
3
AF
m
，
1
2
AF
m
，由椭圆的定义得
2
5
m
a
，在
1
ABF
中，由余弦定理得
1
1
cos
4
F AB
，根据同角三角函数的平方关系得
1
15
sin
4
F AB
，在
1
2
AF F
△
中，由余弦定理得
2
2
5
2
c
a
，
再结合
1
ABF
的面积为4 15 ，即可求出
2
a ，进而得出椭圆的方程．
【详解】设
2
BF
m
，则
2
3
AF
m
，
2
2
1
4
2
AB
AF
BF
m
AF
，则
1
2
AF
m
，
由椭圆的定义可知
1
2
2
3
5
2
AF
AF
m
m
m
a
，
所以
2
5
m
a
，
所以
2
6
5
AF
a
，
1
4
5
AF
a
，
8
5
AB
a
，
1
2
2
8
2
2
2
5
5
BF
a
BF
a
m
a
a
a
，
在
1
ABF
中，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
8
4
8
1
5
5
5
cos
8
4
2
4
2
5
5
a
a
a
AB
AF
BF
F AB
a
a
AB
AF
，
则
1
π
(0
)
2
F AB
，，
所以
2
1
1
15
sin
1 cos
4
F AB
F AB
，
在
1
2
AF F
△
中，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
F F
AF
AF
AF AF
F AF
，
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即
2
2
2
4
6
4
6
1
4
2
5
5
5
5
4
a
a
a
a
c
，
整理可得
2
2
5
2
c
a
，
因为三角形
1
ABF 的面积为4 15 ，
故
1
1
1
sin
4 15
2 AF AB
F AB
，即1
4
8
15
4 15
2
5
5
4
a
a
，
得
2
25
a
，
所以
2
10
c
，
2
2
2
2
10
15
5
b
a
c
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
25
15
x
y
，
故选：A．
（3）已知圆
2
2
: (
1)
16
C
x
y
，
( 1,0)
F
为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F (如图)，然后将纸片展开，
得到一条折痕l ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲
线的方程为（
）
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
1
4
x
y
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
1
5
4
x
y
【答案】A
【分析】由图形可知PF
PC
PA
PC
AC
结果为定值，进而根据椭图的定义推断出点P 的轨迹方程.
【详解】
( 1,0)
F
，(1,0)
C
，点F 关于折痕l 的对称点A 在圆周上，折痕l 为线段AF 的垂直平分线，折痕l 与
AC 相交于点P ，如图所示：
则有PA
PF
，可知
4
2
PF
PC
PA
PC
AC
FC
，
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所以点P 的轨迹是以
,
F C 为左、右焦点的椭圆，其中长轴2
4
a
，焦距2
2
c
，所以点P 的轨迹方程为
2
2
1
4
3
x
y
，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
故选：A
（4）已知椭圆C 的焦点为
1
2
(0, 1),
(0,1)
F
F
，过
2
F 的直线与C 交于P，Q 两点，若
2
2
1
4
3
,|
|
5
PF
F Q
PQ
QF
，
则椭圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
5
5
1
2
3
x
y
B．
2
2
1
2
y
x
C．
2
2
1
2
3
x
y
D．
2
2
1
4
5
x
y
【答案】B
【分析】由已知可设
2
2
,
3
F Q
m PF
m
可求出所有线段用m 表示，在
1
2
PF F
△
中由余弦定理得
1
2
90
F PF
从而可求.
【详解】如图，由已知可设
2
2
,
3
F Q
m PF
m
，又因为
1
1
4
|
|
5
5
PQ
QF
QF
m
根据椭圆的定义
2
1
2 ,
6
2 ,
3
QF
QF
a
m
a
a
m
，
1
2
2
2
3
PF
a
PF
a
a
a
m
在
1
2
PF F
△
中由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
16
9
25
cos
0
2
2 4
3
PQ
PF
QF
m
m
m
F PQ
PQ
PF
m
m
，所以
1
90
F PQ
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
9
9
4
,
3
2
1
3
PF
PF
F F
m
m
m
a
m
b
故椭圆方程为：
2
2
1
2
y
x
故选：B
（5）已知
( 2,0)
M
，P 是圆
2
2
:
4
32
0
N x
x
y
上一动点，线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，则动点
Q 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
1
9
5
x
y
B．
2
2
1
5
9
x
y
C．
2
2
1
5
9
x
y
D．
2
2
1
9
5
x
y
【答案】A
【分析】根据垂直平分线的性质得|
|
|
| |
|
|
| |
| 6 |
| 4
QM
QN
QP
QN
PN
MN
，再由椭圆的定义可得出
点Q 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，由椭圆的方程可求得动点Q 的轨迹方程.
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【详解】由题意，可知圆N 的标准方程为
2
2
2
36
x
y
，圆心为
2,0
N
，半径为6．
∵线段MP 的垂直平分线交NP 于点Q ，
∴|
| |
|
QP
QM
，
∴|
|
|
| |
|
|
| |
| 6 |
| 4
QM
QN
QP
QN
PN
MN
，
∴点Q 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，
∴
3
a ，
2
c
，
2
2
5
b
a
c
，
∴其轨迹方程为
2
2
1
9
5
x
y
．
故选：A
练习题
（1）已知椭圆C 的焦点为
1
1,0
F
，
(
)
2 1,0
F
，过
2
F 的直线交于C 与A，B，若
2
2
2
AF
F B
，
1
AB
BF
，
则C 的方程为（
）
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
3
2
x
y
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
1
9
8
x
y
+
=
【答案】B
【分析】根据给定条件利用椭圆定义及余弦定理列出方程求出
2
2
,
a b 即可得解.
【详解】依题意，设椭圆方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，
由椭圆定义知，
1
2
2
BF
a
BF
，因
2
2
2
AF
F B
，
1
AB
BF
，则
2
2
3|
| 2
|
|
BF
a
BF
，解得
2
1
|
|
2
BF
a
，
于是得
1
3
2
BF
a
，
2
AF
a
，
1
AF
a
，显然点A 在y 轴上，如图，
在
2
Rt OAF
中，
2
|
| 1
OF ，
2
1
cos
AF O
a
，在
1
2
BF F
△
中，
1
2
2
1
1
|
| 2,cos
F F
BF F
a
，
由余弦定理得
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
cos
BF
BF
F F
BF
F F
BF F
，即
2
2
3
1
1
1
(
)
(
)
4
2
2 (
)
2
2
2
a
a
a
a
，解得
2
3
a ，
2
2
1
2
b
a
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
3
2
x
y
.
故选：B
（2）在ABC
中，点
2,0
A
、点
2,0
B
，且|
|
AB 是|
|
AC 和|
|
BC 的等差中项，则点C 的轨迹方程是（
）
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A．
2
2
1
16
12
x
y
B．
2
2
1
16
12
x
y
(
4)
x
C．
2
2
1
64
60
x
y
D．
2
2
1
64
60
x
y
(
8)
x
【答案】B
【分析】由A 、B 的坐标求出|
|
AB ，代入2 |
| |
|
|
|
AB
AC
BC
，可知点C 的轨迹是以
( 2,0)
A
，(2,0)
B
为焦点，
半长轴长是8 的椭圆，由此求出其轨迹方程．
【详解】解：点
( 2,0)
A
、点
(2,0)
B
，|
| 4
AB
，
|
|
AB 是|
|
AC 和|
|
BC 的等差中项，
则2 |
| |
|
|
| 8
AB
AC
BC
，
点C 的轨迹是以
( 2,0)
A
，
(2,0)
B
为焦点，半长轴长是4 的椭圆（去掉长轴上的顶点）．
则
4
a
，
2
c
，
2
2
2
12
b
a
c
．
点A 的轨迹方程是：
2
2
1(
4)
16
12
x
y
x
故选：B．
（3）已知椭圆C 的焦点为
1
1,0
F
，
2 1,0
F
，过
2
F 的直线与C 交于A，B 两点．若
2
2
3
2
AF
BF
，
1
2
2
BF
BF
，
则椭圆C 的方程为（
）
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
3
2
x
y
C．
2
2
1
4
3
x
y
D．
2
2
1
5
4
x
y
【答案】D
【解析】设
2
|
| 2
BF
m
，用m 表示
2
|
|
AF
，
1
|
|
BF ，由椭圆定义得
1
|
| 3
AF
m
，判断出
1
2
|
| |
|
AF
AF
，故点A 为
椭圆的上（下）顶点，设
(0, )
A
b ，由
2
2
3
2
AF
F B
得
5
2
( ,
)
3
3
B
b
，代入椭圆方程即可得解，求得b 后再得a ，
可得椭圆方程．
【详解】设
2
|
| 2
BF
m
，则
2
|
| 3
AF
m
，
1
|
| 4
BF
m
，
由椭圆定义知
1
2
1
2
|
|
|
| |
|
|
| 6
BF
BF
AF
AF
m
，
所以
1
|
| 6
3
3
AF
m
m
m
，
所以
1
2
|
| |
|
AF
AF
，
故点A 为椭圆的上（下）顶点，设
(0,
)
A
b
，
由
2
2
3
2
AF
F B
，得
5
2
( ,
)
3
3
B
b
，
点B 在椭圆上，故
2
2
2
25
4 b
a
b
，
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解得
2
5
a ，又由
1
c ，可得
2
b
，
故椭圆方程为
2
2
1
5
4
x
y
．
故选：D．
（4）椭圆的两个焦点分别为
1
8,0
F
、
2 8,0
F
，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方
程为
A．
2
2
1
36
100
x
y
B．
2
2
1
100
36
x
y
C．
2
2
1
400
336
x
y
D．
2
2
1
20
12
x
y
【答案】B
【分析】由焦点坐标，可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，再根据椭圆的定义得到a=10，进而求得b，即可
得椭圆的方程.
【详解】已知两个焦点的坐标分别是F1（-8，0），F2（8，0），
可知椭圆的焦点在x 轴上，且c=8，
由椭圆的定义可得：2a=20，即a=10，
由a，b，c 的关系解得b=
2
2
a
c
=6∴椭圆方程是
2
2
1
100
36
x
y
,故选B
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的定义和性质，涉及到两焦点的距离问题时，常采用定
义法求椭圆的标准方程.
（5）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1F ，
2
F ，P 为C 上一点，若I 为
1
2
PF F
△
的内心，
且
1
2
1
2
3
PF F
IF F
S
S
△
△
，则C 的方程可能是
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
3
x
y
C．
2
2
1
3
2
x
y
D．
2
2
1
4
3
x
y
【答案】D
【分析】先根据I 为
1
2
PF F
△
的内心，且
1
2
1
2
3
PF F
IF F
S
S
△
△
得
1
2
1
2
2F F
PF
PF
，即
2
a
c
，再依次讨论选项即
可得答案.
【详解】解：因为I 为
1
2
PF F
△
的内心，设
1
2
PF F
△
内切圆的半径为r ，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
PF F
S
PF
PF
F F
r
△
，
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因为
1
2
1
2
3
PF F
IF F
S
S
△
△
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
3
2
2
PF F
S
PF
PF
F F
r
F F
r
△
，
所以
1
2
1
2
2F F
PF
PF
，
根据椭圆的定义得：2
4
a
c
，即
2
a
c
.
对于A 选项，
2,
1
a
c
，不满足
2
a
c
，故错误；
对于B 选项，
3,
2
a
c
，不满足
2
a
c
，故错误；
对于C 选项，
3,
1
a
c
，不满足
2
a
c
，故错误；
对于D 选项，
2,
1
a
c
，满足
2
a
c
，故正确.
故选：D.
题型二椭圆中的最值与范围问题
例2（1）已知定圆
2
2
1
5
1
C
x
y
:
，
2
2
2
5
225
C
x
y
:
，定点
4,1
M
，动圆C 满足与
1
C 外切且与
2
C
内切，则
1
CM
CC
的最大值为
A．16
2
B．16
2
C．16
3
D．16
3
【答案】A
【分析】将动圆C 的轨迹方程表示出来：
2
2
1
64
39
x
y
,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最
值.
【详解】定圆
2
2
1
5
1
C
x
y
:
，
2
2
2
5
225
C
x
y
:
，动圆C 满足与
1
C 外切且与
2
C 内切
设动圆半径为r ，则
1
2
1
2
1,
15
16
CC
r
CC
r
CC
CC
表示椭圆，轨迹方程为：
2
2
1
64
39
x
y
1
2
2
16
16
2
16
CM
CC
CM
CC
C M
故答案选A
（2）已知椭圆方程
2
2
1,
4
3
x
y
F
是其左焦点，点
1,1
A
是椭圆内一点，点P 是椭圆上任意一点，若PA
PF
的最大值为
max
D
，最小值为
min
D
，那么
max
min
D
D
（
）
A．4 3
B．4
C．8
D．8 3
【答案】C
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【分析】利用椭圆的定义转化为PA
PF
的最值问题，数形结合即可求解.
【详解】由题意，设椭圆的右焦点为
(1,0)
F
，连接PF，
则
4
4
PA
PF
PA
PF
PA
PF
，
如图：
当点P 在位置M 时，PA
PF
取到最大值AF，
当点P 在位置N 时，PA
PF
取到最小值
AF
，
所以PA
PF
的取值范围是
,
AF
AF
，即[ 1,1]
，
所以|
|
|
|
PA
PF
的最大值
max
D
5，|
|
|
|
PA
PF
最小值
min
D
3，
所以
max
min
8
D
D
.
故选：C.
（3）已知F 是椭圆
2
2
1
16
7
x
y
的左焦点，P 为椭圆上任意一点，点Q 的坐标为( 2,1)
，则|
|
|
|
PQ
PF
的最
小值为（
）
A．1
2
B．8
26
C．3
D．
2
5
【答案】B
【分析】将|
|
|
|
PQ
PF
转化到8
PQ
PF
－
，当三点共线且P 在射线F Q
的延长线上时，取得最小值.
【详解】椭圆
2
2
1
16
7
x
y
的
4
7
3
a
b
c
，
，
，点Q 在椭圆内部，
如图，
设椭圆的右焦点为
3,0
F
，
则
2
8
PF
PF
a
；
8
PQ
PF
PQ
PF
－
8
PQ
PF
－
；
由图形知，当P 在直线QF上时，
26
PQ
PF
QF
－
，
当P 不在直线
'
QF
上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有，
26
PQ
PF
QF
－
，
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当P 在射线F Q
的延长线上时，
'
PQ
PF
－
取得最小值
26
，
PQ
PF
的最小值为8
26
．
故选：B
（4）设
1F ，2
F 分别是椭圆
2
2
1
9
5
x
y
的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点Q 的坐标为
1,1
，则
1
PQ
PF
的取值范围为（
）
A．
2,6
B．
10
2, 3
C．6
2 2,6
2 2
D．6
10,6
10
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义可得，
1
2
6
PQ
PF
PQ
PF
，当
2
,
,
P Q F 三点共线时，取值最大或最小.
【详解】根据椭圆的定义可得，
1
2
2
6
PF
PF
a
，则
1
2
6
PQ
PF
PQ
PF
，因为
2
2
2
QF
PQ
PF
QF
，则当
2
,
,
P Q F 三点共线时，取值最大或最小.
由已知得，
3
a ，
2
2
2
4
c
a
b
，
2
c
，
2 2,0
F
，
2
10
QF
.
如图1，当P 点位于图中
1P 时，根据三角形三边关系取值最大.
1
2
2
6
6
10
6
PQ
PF
PQ
PF
QF
.
如图2，当P 点位于图中
2P 时，根据三角形三边关系取值最大.
1
2
2
6
6
10
6
PQ
PF
PQ
PF
QF
.
故答案为：6
10,6
10
.
练习题
（1）已知F 是椭圆
2
2
:
1
9
x
C
y
的左焦点，M 是椭圆C 上任意一点，Q 是圆
2
2
:
4 2
10
32
0
E x
y
x
y
上任意一点，则MQ
MF
的最小值为（
）
A．-4
B．-3
C．-2
D．-1
【答案】C
【分析】结合椭圆的定义以及圆的几何性质求得MQ
MF
的最小值.
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【详解】依题意可知，对于椭圆C ，
3,
1,
2 2
a
b
c
，
对于圆E ，圆心为
2 2,5
E
，半径
32
100
4 32
1
2
r
，
设椭圆C 的右焦点为
1 2 2,0
F
，
1
5
EF
根据椭圆的定义有
1
1
2
6
MF
a
MF
MF
，
根据圆的几何性质有
1
,
1
MQ
ME
MQ
ME
，
当且仅当Q 是线段ME 与圆E 交点时等号成立，
所以
1
1
6
6
MQ
MF
MQ
MF
MQ
MF
1
7
ME
MF
，
其中
1
1
5
ME
MF
EF
，当且仅当
1
,
,
E M F 三点共线，且M 是线段
1
EF 与椭圆的交点时等号成立，
所以
5
7
2
MQ
MF
，
此时
1
,
,
,
E Q M F 四点共线，且
,
Q M 分别是线段
1
EF 与圆E 、椭圆C 的交点.
故选：C
（2）点
1,1
A
，
1F 是椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的左焦点，p 是椭圆上任意一点，则
1
|
|
|
|
PF
PA
的取值范围是（
）
A．[3 5]
，
B．
3
，
C．3
5
，
D．( 5
)
，
【答案】A
【分析】由
1
2
|
|
|
| 2
|
|
|
|
PF
PA
a
PA
PF
，当
2
, ,
P A F 三点共线时，取得
1
|
|
|
|
PF
PA
最值．
【详解】设
2
F 是椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的右焦点，则
1
2
|
|
|
| 2
|
|
|
|
PF
PA
a
PA
PF
又因为
2
2
2
|
|
|
|
AF
PA
PF
AF
，
2
2
2
1 1
1 0
1
AF
，
2
a
所以
2
3
2
|
|
|
| 5
a
PA
PF
，则
1
3 |
|
|
| 5
PA
PF
＋
故选：A
（3）已知点P 是椭圆
2
2
1(
0)
16
12
x
y
xy
上的动点，
1F 、
2
F 为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M 是
1
2
FPF
的角平分线上的一点，且
1
0
F M MP
，则|
|
OM
的取值范围是（
）
A．(0,2)
B．(0, 3)
C．(0, 4)
D．(2,2 3)
【答案】A
【分析】延长
2
PF 与
1F M 交于点G ，由条件判断
1
PFG
为等腰三角形，OM 为
1
2
F F G
的中位线，故
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2
1
2
2
1
1
1
=
2
2
2
2
2
OM
F G
PF
PF
a
PF
，再根据
2
PF 的值域，求得OM
的最值，从而得到结果.
【详解】如图，
延长
2
PF 与
1F M 交于点G ，则PM 是
1
2
FPF
的角平分线，
由
1
0
F M MP
可得
1F M 与PM 垂直，
可得
1
PFG
为等腰三角形，故M 为
1FG 的中点，
由于O为
1
2
F F 的中点，
则OM 为
1
2
F F G
的中位线，故
2
1
= 2
OM
F G ，
由于
1
PF
PG
，所以
2
1
2
F G
PF
PF
，
所以
1
2
2
1
1
=
2
2
2
2
OM
PF
PF
a
PF
，
问题转化为求
2
PF 的最值，
而
2
PF 的最小值为a
c
，
2
PF 的最大值为a
c
，即
2
PF 的值域为[
,
]
a
c a
c
，
故当
2
PF
a
c
或
2
PF
a
c
时，OM 取得最大值为
2
2
2
1
1
=
2
2
2
2(
)
16 12
2
2
2
OM
a
PF
a
a
c
c
a
b
，
当
2
PF
a
时，P 在y 轴上，此时M 与O重合，
OM 取得最小值为0，又由题意，最值取不到，
所以OM
的取值范围是(0,2) ，
故选：A.
（5）两圆
2
2
1 :
4
169
C
x
y
，
2
2
2 :
4
9
C
x
y
.动圆M 在圆
1
C 内部且与圆
1
C 相内切，与圆
2
C 相外切，
求动圆圆心M 到原点O的距离的最大值
.
【答案】8
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【分析】根据两圆外切和内切的判定，根据圆心距与两圆半径的和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，
根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心M 的轨迹方程，进而可求动圆圆心M 到原点O的距离的最大值.
【详解】设动圆圆心
( , )
M x y ，半径为r，
∵圆M 与圆
2
2
1 :
4
169
C
x
y
内切，与圆
2
2
2 :
4
9
C
x
y
外切，
∴
1
2
13
,
3
MC
r MC
r
，
∴
1
2
16
8
MC
MC
，
由椭圆的定义，M 的轨迹为以
1
2
,
C C 为焦点的椭圆，
设椭圆方程为
2
2
2
2
1,(
0)
x
y
a
b
a
b
，可得
8,
4
a
c
，则
2
2
2
48
b
a
c
，
故动圆圆心M 的轨迹方程为
2
2
1
64
48
x
y
，
由于
( , )
M x y ，则
2
2
2
2
2
1
|
|
48(1
)
48
64
4
x
OM
x
y
x
x
，
由于8
8
x
，故
8
x 时，
2
1
48
4 x
取到最大值
1
64
48
8
4
，
即动圆圆心M 到原点O的距离的最大值为8，
故答案为：8
（6）设点M 是椭圆C ：
2
2
1
9
8
x
y
+
= 上的动点，点N 是圆E ：
2
2
1
1
x
y
上的动点，且直线MN 与圆E 相
切，则MN 的最小值是
.
【答案】
3
【分析】数形结合将MN 转化为
2
|
|
1
ME
，问题转化为求椭圆上一点到圆心E 的距离，采用函数方法即
可求解.
【详解】由题可知
1,0
E
，NE ＝1，设
0
0
,
M
x
y
，
2
2
2
2
0
0
0
0
1
8 1
9
8
9
x
y
x
y
，
0
3
3
x
，
则
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
|
|
|
|
1
1
1
2
8 1 9
x
MN
ME
NE
ME
x
y
x
x
2
2
2
0
0
0
0
0
9
9
18
72
2
8
9
3
3
x
x
x
x
x
，
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∴当
0
3
x 时，
min
36
9
|
|
3
3
MN
.
故答案为：
3 .
题型三椭圆的离心率及离心率的范围
例3：（1）已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
0
a
b
的左右焦点分别为
1F ，
2
F ，过点
2
F 作倾斜角为6
的直线与椭
圆相交于A，B 两点，若
2
2
2
,
AF
F B
，则椭圆C 的离心率e 为（
）
A．
3
9
B．3
4
C．3
5
D．2 3
9
【答案】D
【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与
2
2
2
AF
F B
构建出关于a、b、c 的齐
次方程，根据离心率公式即可解得.
【详解】设
2
,0
F
c
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，过点
2
F 做倾斜角为6
的直线
3
3
k
，
直线方程为：
3
3
y
x
c
，联立方程
2
2
2
2
1
3
3
x
y
a
b
y
x
c
，可得
2
2
2
2
4
3
2 3
0
a
b
y
b cy
b
根据韦达定理：
2
1
2
2
2
2 3
3
b c
y
y
a
b
，
4
1
2
2
2
3
b
y y
a
b
因为
2
2
2
AF
F B
，即
1
1
2
2
,
2
,
c
x
y
x
c y
，所以
1
2
2
y
y
所以
2
2
2
2
2
1
2
1
2
4
2
1
1
2
2
2
2 3
3
1
2
2
2 2
3
b c
a
b
y
y
y
y
b
y
y
y y
a
b
即
2
2
2
12
1
3
2
c
a
b
，所以
2
2
2
3
24
a
b
c
，联立
2
2
2
2
2
2
3
24
a
b
c
a
b
c
，可得
2
2
4
27
a
c
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2
4
2 3
27
9
e
e
故选：D.
（2）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
，点B 为直线:
3
2
6
0
l
x
y
与y 轴的交点，点A 是直线l 上异于B
的定点，P 是椭圆C 上一动点，且PAB
面积最大值是它的最小值的5倍.当椭圆C 的四个顶点构成四边形面
积最大值时，椭圆C 的离心率为（
）
A．2 6
3
B．
3
2
C．
2
2
D．
1
2
【答案】D
【分析】分析可知直线l 与椭圆C 相离，将直线l 与椭圆C 的方程联立，由Δ
0
可得出
2
2
3
4
36
a
b
，设点
cos , sin
P a
b
，其中0
2π
，计算出点P 到直线l 的距离d ，分析可得
max
min
5
d
d
，可得出
2
2
3
4
16
a
b
，
利用基本不等式求出ab 的最大值，可得出椭圆C 的四个顶点构成四边形面积最大值，利用等号成立的条件
求出a 、b 的值，由此可求得椭圆C 的离心率的值.
【详解】若直线l 与椭圆C 有公共点时，PAB
的面积不存在最小值，不合乎题意，
故直线l 与椭圆C 相离，联立
2
2
2
2
2
2
3
2
6
0
x
y
b x
a y
a b
可得
2
2
2
2
2
2
3
4
12 3
4
9
0
a
b
x
a x
a
b
，
2
4
2
2
2
2
12
3
16
3
4
9
0
a
a
a
b
b
，可得
2
2
3
4
36
a
b
，
设点
cos , sin
P a
b
，其中0
2π
，
点P 到直线l 的距离为
6
2 sin
3 cos
3 cos
2 sin
6
7
7
b
a
a
b
d
2
2
6
3
4
sin
7
a
b
，为锐角，且
3
tan
2
a
b
，
所以，
2
2
max
6
3
4
7
a
b
d
，
2
2
min
6
3
4
7
a
b
d
，
因为PAB
面积最大值是它的最小值的5倍，则
max
min
5
d
d
，可得
2
2
3
4
4
a
b
，
所以，
2
2
3
4
16
a
b
，由基本不等式可得
2
2
16
3
4
4 3
a
b
ab
，即
4 3
3
ab
，
当且仅当
2
2
3
2
3
4
16
a
b
a
b
时，即当
2 6
3
a
，
2
b
时，等号成立，
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所以，椭圆C 的四个顶点构成四边形面积为
1
8 3
2
2
2
2
3
S
a
b
ab
，
此时，
2
2
6
3
c
a
b
，椭圆C 的离心率为
1
2
c
e
a
.
故选：D.
（3）.如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为
“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球
1
O ，
球
2
O 的半径分别为4 和1，球心距
1
2
6
O O
，截面分别与球
1
O ，球
2
O 切于点E ，F ，（E ，F 是截口椭圆
的焦点），则此椭圆的离心率等于（
）
A．
33
9
B．
6
3
C．
2
2
D．1
6
【答案】A
【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.
【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球
1
O ，球
2
O 的截面大圆，如图，
点
,
A B 分别为圆
1
2
,
O O 与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段MN 是椭圆长轴，
椭圆长轴长2a
MN
MF
FN
MF
ME
MB
MA
AB
，
过
2
O 作
2
1
O D
O A
^
于D，连
2
O B ，显然四边形
2
ABO D 为矩形，
又
2
1
1
2
|
| 1,|
| 4,|
| 6
O B
O A
O O
，
则
2
2
2
2
2
1
2
1
2
|
| |
|
|
|
|
|
6
3
3 3
a
AB
O D
O O
O D
，
过
2
O 作
2
1
O C
O E
交
1
O E 延长线于C，显然四边形
2
CEFO 为矩形，
椭圆焦距
2
2
2
2
2
1
2
1
2
|
| |
|
|
|
|
|
6
5
11
c
EF
O C
O O
O C
，
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所以椭圆的离心率
2
11
33
2
9
3 3
c
e
a
．
故选：A.
练习题
（1）
1
2
F F
､
是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的左､右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N 在x 轴上，满足
1
2
60
F MN
F MN
，若
1
2
3
5
MF
MF
MN
，则椭圆E 的离心率为（
）
A．8
9
B．5
6
C．2
3
D．7
8
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定
1
|
|
MF 与
2
|
|
MF 的关系，再利用椭圆定义结合
余弦定理求解作答.
【详解】由
1
2
3
5
MF
MF
MN
得，以
1
3MF
、
2
5MF
为一组邻边的平行四边形的以点M 为起点的对角线对
应的向量与MN
共线，
由
1
2
60
F MN
F MN
知，MN 平分
1
2
F MF
，
因此这个平行四边形是菱形，有
1
2
3|
5
|
|
|
MF
MF
，
又
1
2
|
|
| 2
|
MF
MF
a
，于是得
1
2
5
3
|
,|
4
|
|
4
MF
a MF
a
，
令椭圆E 的半焦距为c，在
1
2
F MF
△
中，
1
2
120
F MF
，
由余弦定理得：
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
2 |
||
| cos
F F
MF
MF
MF
MF
F MF
，
即
2
2
2
2
5
3
5
3
49
4
(
)
(
)
4
4
4
4
16
c
a
a
a
a
a
，
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则有
2
2
2
49
64
c
e
a
，解得
7
8
e
，所以椭圆E 的离心率为7
8 .
故选：D
（2）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在椭圆C 上，若离心率
1
2
PF
e
PF
，则
椭圆C 的离心率的取值范围为（
）
A．
0, 2
1
B．
2
0, 2
C．
2 ,1
2
D．
2
1,1
【答案】D
【分析】由题意可知
1
2
PF
e
PF
，结合椭圆的定义解得
2
2
1
a
PF
e
，再由
2
a
c
PF
a
c
求解.
【详解】因为
1
2
PF
e
PF
，所以
1
2
PF
e PF
，
由椭圆的定义得：
1
2
2
PF
PF
a
，解得
2
2
1
a
PF
e
，
因为
2
a
c
PF
a
c
，所以
2
1
a
a
c
a
c
e
，
两边同除以a 得
2
1
1
1
e
e
e
，解得
2
1
e
，
因为0
1
e
，所以
2 1
1
e
，
所以该离心率e的取值范围是[ 2
1,1)
故选：D.
（3）已知焦点在x 轴上的椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点
（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A．
2
0, 2
B．
2 ,1
2
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C．
6
0, 3
D．
6 ,1
3
【答案】A
【分析】设AB 所在直线方程为x
ty
c
，与椭圆方程联立，利用弦长公式及两平行线间的距离公式求出平
行四边形的面积，换元后求出面积最大值，再由矩形面积最大列式求得e的范围．
【详解】椭圆C：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的焦点在x 轴上，
设AB 所在直线方程为x
ty
c
，其中
2
2
c
a
b
为椭圆的半焦距.
则由
2
2
2
2
1
x
ty
c
x
y
a
b
得
2 2
2
2
2
4
2
0
b t
a
y
b tcy
b
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
2
4
1
2
1
2
2 2
2
2 2
2
2
,
b tc
b
y
y
y
y
b t
a
b t
a
，
所以
2
2
4
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
1
1
4
1
b tc
b
ab
t
AB
t
t
b t
a
b t
a
b t
a
，
因为CD 所在直线方程为x
ty
c
，
所以直线AB 与CD 的距离为：
2
2
1
c
d
t
2
2
2
2 2
2
2
2
1
2
1
1
ab
t
c
S
AB d
t
b t
a
t
2 2
2
2 2
2
4
b t
b
abc
b t
a
，
设
2 2
2
b t
b
m
b
，则
2 2
2
2
b t
m
b
，
则
2 2
2
2
2 2
2
2
2
1
b t
b
m
c
b t
a
m
c
m
m
要使得S最大值，则只需
2
1
c
m
m
的值最大，即
2c
m
m
的值最小即可.
根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大.
即当
0
t
时S有最大值，也即是m
b
时
2c
m
m
最小，
由函数
0
a
y
x
a
x
在
0, a 上单调递减，在
,
a 上单调递增.
所以函数
2c
y
m
m
在
0,c 上单调递减，在
,c 上单调递增.
因为函数
2c
y
m
m
在
,b 上，当m
b
时取得最小值，则b
c
.
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所以a
b
c
，即
2
2
2
a
b
c
，所以
2
2
2
2
a
a
c
c
，
同时除以
2
a 可得
2
2
1
1 e
e
，解得
2
0
2
e
,
故选：A
（4）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F 、
2
F ，以
2
F 为圆心的圆与x 轴交于
1F ，B 两
点，与y 轴正半轴交于点A ，线段
1
AF 与C 交于点M .若BM 与C 的焦距的比值为
31
3
，则C 的离心率为（
）
A．
3
1
2
B．
1
2
C．
3
1
4
D．
7
1
2
【答案】D
【分析】先求出以
2
F 为圆心的圆的方程，求出
0, 3
A
c ，
3 ,0
B
c
，求出直线
1F A的方程后结合距离公式可
求M 的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.
【详解】
设椭圆的半焦距为c ，因为以
2
F 为圆心的圆过
1F ，故该圆的半径为2c ，
故其方程为：
2
2
2
4
x
c
y
c
，
令
0
x
，则
3
y
c
，结合A 在y 轴正半轴上，故
0, 3
A
c ，
令
0
y
，则x
c
或
3
x
c
，故
3 ,0
B
c
.
故
1
3
0
3
0
(
)
F A
c
k
c
，故直线
1 :
3
3
F A y
x
c
.
设
, 3
3
0
M m
m
c
m
，
因为A 在y 轴的正半轴上，
1F 在x 轴的负半轴上，故
0
m
，
而
31
2 31
2
3
3
BM
c
c
，
故
2
2
2
124
3
3
3
9
c
m
m
c
c
，整理得到：
2
2
16
4
9
m
c
，
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故
2
3
m
c
，故
3
3
c
y
，
所以
2
2
2
2
4
1
9
3
1
c
c
a
b
，故
2
2
2
4
1
9
3 1
e
e
e
，
整理得到：
4
2
4
16
9
0
e
e
，故
7
1
2
e
，
故选：D.
题型四直线与椭圆的位置关系
例4（1）已知2b
a
c
，则直线
0
ax by
c
+
+ =
与椭圆
2
2
1
6
5
x
y
的位置关系是（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上三种情况均有可能
【答案】A
【分析】结合题意得直线
0
ax by
c
+
+ =
过定点(
)
1, 2
-
，再结合点(
)
1, 2
-
在椭圆内部即可判断.
【详解】解：因为2b
a
c
，所以直线
0
ax by
c
+
+ =
可化为
2
2
0
a
x
y
y
c
，
所以，直线
0
ax by
c
+
+ =
过定点(
)
1, 2
-
，
因为点(
)
1, 2
-
在椭圆
2
2
1
6
5
x
y
内部，
所以，直线
0
ax by
c
+
+ =
与椭圆
2
2
1
6
5
x
y
的位置关系是相交.
故选：A
（2）若直线
4
mx
ny
+
=
与圆
2
2
4
x
y
没有交点，则过点
,
P m n 的直线与椭圆
2
2
1
9
4
x
y
的交点的个数为
（
）
A．0 或1
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【分析】由直线与圆相离得到P 点位置后判断
【详解】由题意
2
2
| 4|
2
m
n
，得
2
2
4
m
n
，故点
,
P m n 在以原点为圆心，2 为半径的圆内，即在椭圆内
部，过P 点的直线与该椭圆必有2 个交点．
故选：B
（3）已知动点
( , )
M x y 到定点
( 1,0)
F
的距离和
( , )
M x y 到直线:
2
l x 的距离的比是常数．
(1)求点M 的轨迹C ；
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(2)点B 为轨迹C 与y 轴正半轴交点，过点B 的直线PB 交轨迹C 于P 、B 两点，且弦PB的长为4 6
5
，求直线
PB 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
(2)直线PB 的方程为
2
1
y
x
或
2
1
y
x
【分析】（1）由题意得
2
2
(
1)
MF
x
y
，点
( , )
M x y 到直线:
2
l x 的距离
|
2 |
d
x
，可得
2
2
(
1)
2
|
2 |
2
x
y
x
，化简即可得出答案；
（2）由（1）的轨迹
2
2
:
1
2
x
C
y
，则
(0,1)
B
，结合题意可设直线PB的方程为
1
y
kx
，联立直线PB 与轨
迹C 可得
2
2
(2
1)
4
0
k
x
kx
，求出
2
2
2
4
2
1
,
2
1
2
1
k
k
P
k
k
，利用两点之间距离列出关于k 的方程，求解即可
得出答案．
【详解】（1）解：由题意得
2
2
(
1)
MF
x
y
，点
( , )
M x y 到直线:
2
l x 的距离
|
2 |
d
x
，
则
2
2
(
1)
2
|
2 |
2
x
y
x
，整理得
2
2
1
2
x
y
，
故点M 的轨迹
2
2
:
1
2
x
C
y
；
（2）解：由（1）的轨迹
2
2
:
1
2
x
C
y
，则
(0,1)
B
，
弦PB 的长为4 6
5
，故直线PB 不垂直x 轴，即斜率k 存在，
设直线PB的方程为
1
y
kx
，
联立
2
2
1
2
1
x
y
y
kx
，整理得
2
2
(2
1)
4
0
k
x
kx
，解得
0
x
或
2
4
2
1
k
x
k
，
P
点的横坐标为
2
4
2
1
k
x
k
，则P 点的纵坐标为
2
2
2
1
2
1
k
y
k
，
2
2
2
2
2
2
2
4
2
1
4 6
|
|
1
2
1
2
1
5
k
k
PB
k
k
，即
4
2
6
0
k
k
，
2
2
k
，解得
2
k
，
直线PB 的方程为
2
1
y
x
或
2
1
y
x
．
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（4）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的焦点分别为
1
1,0
F
和
2 1,0
F
，离心率为1
2 .不过
2
F 且与x 轴垂
直的直线交椭圆于A ，M 两个不同的点，直线
2
AF 与椭圆的另一交点为点B .
(1)求椭圆E 的方程；
(2)①若直线MB 交x 轴于点N ，求以ON 为直径的圆的方程；
②若过
2
F 与AB 垂直的直线交椭圆E 于D ，G 两个不同的点，当
2
2
AB
DG
取最小值时，求直线AB 的方
程.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
(2)①
2
2
(
2)
4
x
y
；②
1
y
x
或
1
y
x
.
【分析】（1）根据椭圆的定义，可求其方程；
（2）①联立直线AB 与椭圆方程，表示出直线BM 的方程，再由根与系数的关系求出N 点坐标，即可求出
圆的方程；②根据弦长公式可求AB 长度,进而得DG 长度，根据不等式即可求解最值，得直线AB 的方程.
【详解】（1）由题意可知，
1
1,
2
c
c
e
a
，得
2
a
，由
2
2
2
a
b
c
，得
2
3
b ，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
（2）①显然直线AB 的斜率必存在，且
0
AB
k
，则设直线AB 的方程为
1
1
2
2
(
1)(
0),
,
,
,
y
k x
k
A x y
B x
y
，
则
1
1
,
M x
y
，联立有
2
2
(
1)
1
4
3
y
k x
x
y
，可得
2
2
2
2
4
3
8
4
12
0
k
x
k x
k
，
所以
2
2
1
2
1
2
2
2
8
4
12
,
4
3
4
3
k
k
x
x
x x
k
k
，直线BM 的方程为
2
1
1
1
2
1
,
y
y
y
y
x
x
x
x
令
0
y
可得N 点的横坐标
为
1
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
N
k x
x
x
x x
x
x
x
x
x
y
x
x
y
y
k x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
4
12
8
2
4
3
4
3
4
8
2
4
3
k
k
k
k
k
k
.
所以N 为一个定点，其坐标为(4,0) ，则圆心坐标为
2,0 ，半径为2，
则以ON 为直径的圆的方程为
2
2
(
2)
4
x
y
.
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②根据①可进一步求得:
2
2
2
2
1
2
1
1
2
|
|
1
1
4
AB
k
x
x
k
x
x
x x
2
2
2
2
2
2
2
2
12
1
8
4
12
1
4
4
3
4
3
4
3
k
k
k
k
k
k
k
，
因为AB
DG
, 所以
1
DG
k
k
, 则
2
2
12
1
|
|
3
4
k
DG
k
,
由
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12
1
12
1
288
1
|
|
2
2
4
3
3
4
4
3
3
4
k
k
k
AB
DG
AB
DG
k
k
k
k
2
2
2
2
2
288
1
1152
49
4
3
3
4
2
k
k
k
，
当且仅当
2
2
4
3
3
4
k
k
时取等号，即
1
k 时，
2
2
|
|
|
|
AB
DG
取得最小值1152
49 ，此时直线AB 的方程为
1
y
x
或
1
y
x
.
（5）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，
2 2,0
F
为椭圆E 的右焦点，三点3 3 1
,
2
2
，
3 3 1
,
2
2
，
1
2, 3
中恰有两点在椭圆E 上.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设点
,
A B 为椭圆E 的左右端点，过点
2,0
M
作直线交椭圆E 于P ，Q 两点（不同于
,
A B ），求证：直线AP
与直线BQ 的交点N 在定直线上运动，并求出该直线的方程.
【答案】(1)
2
2
1
9
x
y
(2)证明见解析，
9
2
x
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【分析】（1）由对称性得到点3 3 1
,
2
2
，
3 3 1
,
2
2
在椭圆E 上，结合焦点坐标，得到方程组，求出
2
9
a
，
2
1
b ，求出椭圆方程；
（2）设直线PQ的方程为
2
x
my
，联立椭圆方程，设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
0
0
,
N x
y
，得到两根之和，
两根之积，由
, ,
A P N 和
,
,
B Q N 共线得到方程组，联立后得到
0
0
3
5
3
x
x
，求出
0
9
2
x
，得到交点N 在定直线
上，并求出该直线的方程.
【详解】（1）因为
2 2,0
F
为椭圆E 的右焦点，所以
2
2
8
a
b
①,
由对称性得，点3 3 1
,
2
2
，
3 3 1
,
2
2
在椭圆E 上，代入得
2
2
27
1
1
4
4
a
b
②,
联立①②解得，
2
9
a
，
2
1
b ，
所以椭圆E 的标准方程为：
2
2
1
9
x
y
.
（2）由条件知直线PQ 与直线AB 不重合，故直线PQ的斜率不为0，
设直线PQ的方程为
2
x
my
，
联立
2
2
1
9
2
x
y
x
my
，可得
2
2
9
4
5
0
m
y
my
，
设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
0
0
,
N x
y
，
则
1
2
2
4
9
m
y
y
m
，
1
2
2
5
9
y y
m
，
1
2
1
2
5
4
y
y
m
y y
，
由（1）可得
3 0
A , ，
3,0
B
，
由
, ,
A P N 共线得：
0
1
1
0
1
1
3
3
5
x
x
my
y
y
y
③，
由
,
,
B Q N 共线得：
0
2
2
0
2
2
3
3
1
x
x
my
y
y
y
④，
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由③÷④消去
0y 并整理得，
1
2
2
0
1
2
2
0
1
2
1
1
2
1
5
5
3
5
4
5
5
3
4
y
y
y
x
my y
y
x
my y
y
y
y
y
，
即
0
0
3
5
3
x
x
，所以
0
9
2
x
，
综上所述，直线AP 与直线BQ 的交点N 在定直线
9
2
x
上运动.
练习题
（1）直线
1
y
kx
和曲线
2
2
2
3
6
x
y
的位置关系为_____.
【答案】相交
【分析】根据直线过点且在椭圆内部可得出结论.
【详解】曲线
2
2
2
3
6
x
y
为：
2
2
1
3
2
x
y
，可得
3
2
a
b
，
，
直线
1
y
kx
恒过
01，，由
2
2
0
1
1
3
2
知定点
01，在椭圆内部，
所以直线
1
y
kx
与椭圆
2
2
2
3
6
x
y
的位置关系为相交.
故答案为：相交.
（2）已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
的一个顶点为
(0,4)
B
，离心率
5
5
e
，直线
4
l
y
x
：
交椭圆于M，N
两点.求弦MN 的长.
【答案】40 2
9
【分析】根据定点坐标得到b 值，再根据离心率和, ,
a b c 关系即可求出
2
a ，最后联立直线方程解出交点横坐
标，最后利用弦长公式即可得到答案.
【详解】由已知得
4
b
，且
5
5
c
a
，
即
2
2
1
5
c
a
，所以
2
2
2
1
5
a
b
a
，即
2
2
16
1
5
a
a
，
解得
2
20
a
，所以椭圆方程为
2
2
1
20
16
x
y
.
将
2
2
4
5
80
x
y
与
4
y
x
联立，
消去y 得
2
9
40
0
x
x
，
所以
1
2
40
0,
9
x
x
，
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所以所求弦长
2
2
1
40 2
1 1
9
MN
x
x
.
（3）已知
,
A B 是椭圆C 上的两点，
2,1 ,
A
A
B
、
关于原点O对称，M 是椭圆C 上异于
,
A B 的一点，直线MA
和MB 的斜率满足
1
2
MA
MB
k
k
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线l 交椭圆C 于
,
P Q 两点( ,
P Q 异于椭圆C 的上、下顶点），当
OPQ
△
的面
积最大时，求
OP
OQ
k
k
的值.
【答案】(1)
2
2
1
6
3
x
y
(2)
1
2
【分析】（1）利用两点的斜率公式计算化简即可；
（2）设直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式计算面积，结合基本不等式求出面积最大时的
关系式，再计算斜率之积即可.
【详解】（1）设
,
M x y ，易知
2, 1
B
，由
1
2
MA
MB
k
k
，
得
2
2
1
1
1
2
2
4
2
2
2
y
y
y
x
x
x
，
化简得
2
2
1
6
3
x
y
，
故椭圆C 的标准方程为
2
2
1
6
3
x
y
.
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（2）
设l 的方程为
0
y
kx
t t
，
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
将y
kx
t
代入椭圆方程整理得，
2
2
2
1
2
4
2
6
0
k
x
ktx
t
，
2 2
2
2
2
2
16
4 1 2
2
6
8 6
3
0
k t
k
t
k
t
，
1
2
2
4
1 2
kt
x
x
k
，
2
2
1
2
2
2
6
3
1
2
t
x
x
t
k
，
则
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
8 6
3
1
4
1
1
2
k
t
PQ
k
x
x
x x
k
k
，
又原点O到l 的距离为
2
1
t
d
k
，
故
2
2
2
2
2
2
2
2
3
6
3
6
1
2
2
3 2
2
2
1
2
2
1
2
2
OPQ
t
k
t
t
k
t
S
d PQ
k
k
，
当且仅当
2
2
3
6
t
k
t
时取等号，
此时
2
2
2
3
6
2
3
k
t
t
，
OPQ
△
的面积最大.
故
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
OP
OQ
kx
t
kx
t
k x x
kt x
x
t
y y
k
k
x x
x x
x x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
2
4
6
1
2
6
2
6
2
6
2
6
2
t
k
t
t
kt
k
t
k
kt
t
t
t
t
.
题型五椭圆综合应用题
例5（1）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l 处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.
此时拱顶离水面2m，水面宽6m ，那么当水位上升1m 时，水面宽度为（
）
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A．3 3m
B．3 3 m
2
C．4 2m
D．4 2 m
3
【答案】A
【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：
2
2
1
9
4
x
y
，求直线
1
y 被椭圆所截得的弦
长，代入椭圆方程即可求解.
【详解】以图中水面所在的直线为x 轴，水面的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，根据已
知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：
2
2
1
9
4
x
y
，
当水位上升1m 时，水面的宽度也即当
1
y 时，直线
1
y 被椭圆所截的弦长.
把
1
y 代入椭圆方程可得：
3 3
2
x
，
所以当水位上升1m 时，水面的宽度为3 3m ，
故选：A .
（2）已知荒漠上有两定点A，B，它们相距2km，现准备在荒漠上围垦出一片以AB 为一条对角线的平行四
边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.又该荒漠上有一条直水沟l 恰好经过点A，且与AB 成30°
角.现要对整条水沟进行加固，但考虑到今后农艺园的水沟要重新设计改造，所以对水沟可能被农艺园围进
的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？
【答案】48 km
13
【分析】由题意得，可画出四边形简图并建立直角坐标系，根据已知条件求出椭圆的标准方程
2
2
1(
0)
4
3
x
y
y
，再将直线
3 (
1)
3
y
x
与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理求出PQ 即可得出结论.
【详解】以AB 所在直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴,建立直角坐标系，如图:
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设四边形的顶点
( , ),
( ,
)
C x y D x
y
,且
( 1,0),
(1,0)
A
B
,
根据题意得|
|
|
| 4 |
| 2
CA
CB
AB
,
则点C 轨迹为椭圆,且2
4,2
2
a
c
则
2,
1,
3
a
c
b
,
故所求椭圆的标准方程为
2
2
1(
0)
4
3
x
y
y
.
由直线形小溪刚好通过点A ,且与AB 成30角,得直线l 的方程为
3 (
1)
3
y
x
,
设直线l 与椭圆
2
2
1
4
3
x
y
相交于点
,
P Q 两点,
则水沟可能被农艺园围进的部分为PQ;
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
则
2
2
3 (
1)
3
1
4
3
y
x
x
y
,
整理得
2
13
8
32
0
x
x
则
1
2
1
2
8
32
,
13
13
x
x
x
x
,
则
2
2
1
2
1
2
3
48
1
4
3
13
PQ
x
x
x x
,
所以暂不加固的部分长48 km
13
.
（3）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太
阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H 看作一个质点，H 绕太阳的运动轨迹近似成曲线
2
2
1(
0)
x
y
m
n
m
n
，行星H 在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称
为远日点距离.若行星H 的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点
距离之积是16，则m
n
（
）
A．39
B．52
C．86
D．97
【答案】D
【分析】根据椭圆方程表示近日点距离与远日点距离，再根据条件得到两个方程求解即可.
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【详解】根据椭圆方程
2
2
1
x
y
m
n
，得长半轴a
m
，半焦距c
m
n
，
近日点距离为a
c
m
m
n
，远日点距离为a
c
m
m
n
，
近日点距离和远日点距离之和是
18
m
m
n
m
m
n
，
近日点距离和远日点距离之积是
16
m
m
n
m
m
n
，
解得
81,
16
m
n
，则
97
m
n
.
故选：D.
练习题
（1）某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖．如图所示，
4
AB
（单位：十米，下同），O 为
AB 的中点，椭圆的焦点P 在对称轴OD 上，点M，N 在椭圆上，MN 平行AB 交OD 于G，且G 在P 的右
侧，
MNP
△
为灯光区，用于美化环境．
(1)若椭圆的离心率为
5
5 ，且
1
PG ，求
MNP
△
的面积；
(2)若学校的另一条道路EF 满足
3
OE ，tan
2
OEF
，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF
的距离都不小于
5
5 ，求半椭圆形状的小湖的最大面积．（椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的面积为πab ）
【答案】(1) 2 5
5
百平方米
(2) 3π 百平方米
【分析】（1）依题意以AB 所在的直线为y 轴，OD 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设椭圆方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，根据所给条件求出a 、c ，即可求出椭圆方程，再由
2
G
x
，求出
M
y
，
即可得解；
（2）首先求出EF 的方程，设平行于直线EF 且与椭圆相切的直线为
:
2
0
6
l x
y
m
m
，根据两平行
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线之间的距离公式求出m ，再设椭圆的方程为
2
2
2
1
0
4
x
y
a
a
，联立直线l 与椭圆方程，消元，根据Δ
0
求出参数a 的值，再根据面积公式计算可得.
（1）
解：以AB 所在的直线为y 轴，OD 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设椭圆的方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
．
由题意可知，
2
b
，
5
5
c
e
a
，又
2
2
2
a
b
c
，∴
5
a
，
1
c ，
∴椭圆的方程为
2
2
1
5
4
x
y
，易知
2
G
x
，∴
2
2
2
1
5
4
M
y
，解得
2 5
5
M
y
或
2 5
5
M
y
（舍去），
所以
1
4 5
2 5
1
2
5
5
PMN
S
△
（百平方米）．
（2）
解：由题意可知
0,2
E
，
2
tan
1
1
EF
k
OEF
，
所以直线EF 的方程为
2
6
0
x
y
，
设平行于直线EF 且与椭圆相切的直线为
:
2
0
6
l x
y
m
m
．
因为椭圆上任意一点到道路EF 的距离都不小于
5
5 ，
所以椭圆的面积最大时，直线l 与直线EF 之间的距离为
5
5 ，可得
6
5
5
5
m
，解得
5
m 或
7
m （舍去）．
设椭圆的方程为
2
2
2
1
0
4
x
y
a
a
，由
2
2
2
1
4
2
5
0
x
y
a
x
y
，
得
2
2
2
2
16
10
9
0
a
x
a x
a
，
∴Δ
0
，∴
2
9
a
，即
3
a
，∴1
3 2
π
3π
2
（百平方米），
即半椭圆形状的小湖的最大面积为3π 百平方米．
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（2）1970 年4 月24 日，我国发射了自己的第一颗人连地球卫星“东方红一号”，从此我国开向了人造卫层
的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普物行星运动定律；卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运
行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同
的时间内扫过的面积相等，如图建系，设椭圆道的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，下列结论正
确的是（
）
A．卫星向径的最大值为2a
B．卫星向径的最小值为2b
C．卫星绕行一周时在第三象阻内运动的时间小于在第四象限内运动的时间
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆
【答案】D
【分析】选项AB，由卫星向径的最小值为a-c，最大值为a+c 判断；选项C，由开普勒行星运动定律卫星
的向径在相同的时间内扫过的面积相等判断；选项D，由
1
2
1
1
1
a
c
e
a
c
e
e
判断.
【详解】解：由题意得：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离，
由椭圆的几何性质可知卫星向径的最小值为a-c，最大值为a+c，故AB 错误；
由开普勒行星运动定律卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，
在第二象限运动时扫过的面积大于在第一象限运动时扫过的面积，
故卫星在第二象限内运动的时间大于在第一象限运动时扫过的时间，
由椭圆的对称性可知，卫星绕行一周时在第三象限内运动的时间大于在第四象限运动的时间，故C 错误；
当卫星向径的最小值与最大值的比值越大时，由
1
2
1
1
1
a
c
e
a
c
e
e
，可得e 越小，椭圆越圆，故D 正
确，
故选：D
（3）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，
过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点
1F 上，片门位于另一个焦点
2
F 上.由椭圆一
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个焦点
1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点
2
F .已知
1
2
BC
F F
，
1
16
3
F B
，
1
2
4
F F
，
则截口BAC 所在椭圆的离心率为______.
【答案】1
3
【解析】取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有BC 为椭圆通径，得
2
16
3
b
a
，结合2
4
c
及
2
2
2
a
b
c
解出, ,
a b c 代入离心率公式计算即可.
【详解】解：取焦点在x 轴建立平面直角坐标系，由
1
2
BC
F F
及椭圆性质可得，BC 为椭圆通径，
所以
2
1
16
3
b
F B
a
，
1
2
2
4
F F
c
又
2
2
2
a
b
c
，解得
6,
2,
4 2
a
c
b
所以截口BAC 所在椭圆的离心率为1
3
故答案为：1
3
【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：
（1）求, ,
a b c 的值，由
2
2
2
2
2
2
2
1
c
a
b
b
a
a
a
直接求e；
（2）列出含有, ,
a b c 的齐次方程(或不等式)，借助于
2
2
2
a
b
c
消去b ，然后转化成关于e的方程(或不等式)
求解．
（4）某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4 米，要求通行车辆限高5 米，隧道全长1.5 千米，
隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.
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（1）若最大拱高h 为6 米，则隧道设计的拱宽l 至少是多少米？（结果取整数）
（2）如何设计拱高h和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）
参考数据：11
3.3
，椭圆的面积公式为S
ab
，其中a ，b 分别为椭圆的长半轴和短半轴长.
【答案】（1）此隧道设计的拱宽l 至少是22 米（2）当拱高为7 米、拱宽为18 米时，土方工程量最小
【分析】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，根据对称性
6
b
，将点(6,5) 代入椭圆
方程，即可求解；
（2）由点(6,5) 在椭圆上或在椭圆内，得
2
2
36
25
1
a
b
，利用基本不等式，即可求出椭圆的面积S 的最小值，
根据体积公式，即可求解.
【详解】（1）建立直角坐标系xOy 如图所示，
则点
6,5
P
在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
上，
将
6
b
h
与点
6,5
P
代入椭圆方程，得
36
11
a
，
此时
72
2
21.8
11
l
a
，
因此隧道设计的拱宽l 至少是22 米.
（2）由椭圆方程
2
2
2
2
1
x
y
a
b
，得
2
2
36
25
1
a
b
，
因为
2
2
36
25
2 6 5
1
a
b
ab
，即
60
ab
，
30
2
ab
S
，
由于隧道长度为1.5 千米，故隧道的土方工程量
1.5
45
V
S
，
当V 取得最小值时，有6
5
a
b
且
60
ab
，得
6 2
a
，
5 2
b
，
此时
2
12 2
16.97
l
a
，
7.07
h
b
.
①若
8
h
b
，此时
2
17
l
a
，此时
1
3
3 17 8
51
4
8
ab
V
，
②若
7
h
b
，此时
2
18
l
a
，此时
2
3
3 9 7
47.25
4
4
ab
V
，
因为
1
2
V
V
，故当拱高为7 米、拱宽为18 米时，土方工程量最小.
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【点睛】本题考查椭圆的实际运用，考查椭圆的标准方程，并以椭圆为背景，考查利用利用基本不等式求
值，属于较难题.
题型六能力提升创新题
1.已知椭圆
2
2
2
:
1(
0)
6
x
y
C
b
b
的左右焦点分别为
1
2
,
,
F F C 是椭圆的中心，点M 为其上的一点满足
1
2
5,
2
MF
MF
MC
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设定点
,0
T t
，过点T 的直线l 交椭圆C 于,
P Q 两点，若在C 上存在一点A ，使得直线AP 的斜率与直线
AQ 的斜率之和为定值，求t 的范围．
【答案】(1)
2
2
1
6
3
x
y
(2)
6
t
或
6
t
【分析】（1）在
1
2
MF F
△
中，根据余弦定理及MC
可得
2
2
2
9
a
c
，从而求得椭圆方程.
（2）设
0
0
1
1
2
2
,
,
,
,
,
A x
y
P x y
Q x
y
，直线l 的方程为x
y
t
，代入椭圆方程得韦达定理，要使
0
1
0
2
0
1
0
2
y
y
y
y
x
x
x
x
2
0
0
0
0
0
2
2
2
0
0
2
2
12
4
6
2
x y
tx
y
x
t
x
x
t
为常数，则
0
2
12
0
tx
，根据
0x 范围得到t 的范围及点
A 坐标.
【详解】（1）设
1
1
2
2
,
MF
r MF
r
，在
1
2
MF F
△
中，设
1
2
F MF
，
2
2
2
2
1
2
1
2
1 2
2
cos
4
F F
r
r
rr
c
，
2
2
2
1 2
1
2
1
2
1
2
cos
4
,
2
rr
r
r
c
MC
MF
MF
又
，
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1 2
1
1
2
2
cos
4
4
2
2
r
r
MC
MF
MF
MF
MF
r
r
rr
c
，
2
2
2
1
2
1 2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
5
4
2
2
2
r
r
rr
r
r
MC
c
c
a
c
2
2
2
2
2
2
9,
6,
3,
3
a
c
a
c
b
，
所以椭圆C 的方程为：
2
2
1
6
3
x
y
（2）设
0
0
1
1
2
2
,
,
,
,
,
A x
y
P x y
Q x
y
，直线l 的方程为x
y
t
，
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2
2
2
2
2
1
2
2
6
0
6
3
x
y
y
t y
t
x
y
t
，
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
6
,
,
,
2
2
t
t
y
y
y y
x
y
t x
y
t
，
2
2
1
2
1
2
2
2
4
2
6
,
2
2
t
t
x
x
x x
，
设
0
1
0
2
0
2
0
1
0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
0
2
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
0
0
0
1
2
1
2
0
1
2
2
0
1
2
0
1
2
2
2
x y
y
x
x
y y
t
x
y
y
x
x
x
x
x x
2
0
0
0
0
0
2
2
2
0
0
2
2
12
4
6
2
x y
tx
y
x
t
p
x
x
t
，
若p 为常数，则
0
2
12
0
tx
，
即
0
6
tx
，而此时
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
4
2
2
6
2
y
x
t
x y
y
x
t
x
x
t
，
又
0
6
6
6,
6
6
x
t
，即
6
t
或
6
t
，
综上所述，
6
t
或
6
t
，存在点
2
6
18
,
3
A t
t
，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值
0
0
2y
x
t
【点睛】关键点点睛：
2
0
0
0
0
0
2
2
2
0
0
2
2
12
4
6
2
x y
tx
y
x
t
x
x
t
对任意恒为定值，因为分子分母中同时含有，
这种情况下分子分母的对应系数成比例则整体可以为定值，故需要
0
2
12
0
tx
且
0
0
0
0
2
2
0
0
4
2
6
2
y
x
t
x y
x
x
t
即
2
项、常数项对应成比例.
2.椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的离心率是
2
2
，点
2,1
M
是椭圆E 上一点，过点
0,1
P
的动直线l 与椭圆
相交于
,
A B 两点.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求AOB
面积的最大值；
(3)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使
QA
PA
QB
PB
恒成立？存在，求出点Q 的
坐标；若不存在，请说明理由.
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【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
(2)
2
(3)存在，
0,2
Q
.
【分析】（1）由离心率及过点
2,1
M
列方程组求解,a b .
（2）设直线l 为
1
y
kx
与椭圆方程联立，将
1
2
1
2
AOB
S
x
x
表达为k 的函数，由基本不等式求最大值即
可.
（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出
0,2
Q
，设点B 关于y 轴的对称点B，证得
, ,
Q A B三点共线得到
QA
PA
QB
PB
成立.
【详解】（1）根据题意，得
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
c
a
a
b
c
a
b
，解得
2
2
2
4
2
2
a
b
c
，椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
.
（2）依题意，设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，直线l 的斜率显然存在，
故设直线l 为
1
y
kx
，联立
2
2
1
1
4
2
y
kx
x
y
，消去y ，得
2
2
1 2
4
2
0
k
x
kx
，
因为直线l 恒过椭圆内定点
0,1
P
，故
0
恒成立，
1
2
1
2
2
2
4
2
,
1 2
1 2
k
x
x
x x
k
k
，
故
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
4
2
1
2
1
1
1
2
1
4
4
1
4
2
2
2
1
2
2
AOB
k
S
x
x
x
x
x x
k
k
k
k
，
令
2
1 4
,
1
t
k
t
，所以
2
2
2
2
2
2
1
1
AOB
t
S
t
t
t
=
ਮ
祝
+
+
，当且仅当
1
t ，即
0
k
时取得等号，
综上可知：AOB
面积的最大值为
2 .
（3）当l 平行于x 轴时，设直线与椭圆相交于
,
C D 两点，如果存在点Q 满足条件，
则有|
|
|
|
1
|
|
|
|
QC
PC
QD
PD
，即QC
QD
，所以Q 点在y 轴上，可设Q 的坐标为
0
0, y
；
当l 垂直于x 轴时，设直线与椭圆相交于
,
M N 两点，如果存在点Q 满足条件，
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|
|
|
|
|
|
|
QM
PM
QN
PN
，即
0
0
2
2
1
2
1
2
y
y
，解得
0
1
y 或
0
2
y
，
所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则点Q 的坐标为
0,2 ；
当l 不平行于x 轴且不垂直于x 轴时，设直线l 方程为
1
y
kx
，
由（2）知
1
2
1
2
2
2
4
2
,
1
2
1
2
k
x
x
x x
k
k
，
又因为点B 关于y 轴的对称点B的坐标为
2
2
,
x
y
，
又
1
1
1
1
1
2
1
1
QA
y
kx
k
k
x
x
x
，
2
2
2
2
2
2
1
1
QB
y
kx
k
k
x
x
x
，
则
1
2
1
2
2
0
QA
QB
x
x
k
k
k
x x
，
所以
QA
QB
k
k
，则
, ,
Q A B三点共线，所以
1
2
QA
QA
x
PA
QB
QB
x
PB
；
综上：存在与点P 不同的定点Q ，使
QA
PA
QB
PB
恒成立，且
0,2
Q
.
.
3.已知过点
2,1
M
的椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
2
2
，过点
2
1
,
3
3
N
且不过点M 的直线
l 与椭圆C 交于A，B 两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：以线段AB 为直径的圆经过点M．
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，得出关于, ,
a b c 的方程，结合
2
2
2
a
b
c
，求得,a b 的值，即可求解；
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（2）若直线l 斜率存在时，设直线l 的方程
2
1
3
3
k
y
kx
，令
2
1
3
3
k
m
，即y
kx
m
，联立方
程组，由由韦达定理得
1
2
2
4
2
1
km
x
x
k
，
2
1
2
2
2
4
2
1
m
x x
k
，结合向量的数量积的运算，求得
0
MA MB
，得
出MA
MB
；若直线l 斜率不存在，得到
,
A B 两点的坐标，得到
0
MA MB
，即可得证.
【详解】（1）解：由题意知，离心率
2
2
c
a
，又因为椭圆过点
2,1
M
，可得
2
2
2
1
1
a
b
，
且
2
2
2
a
b
c
，解得
2,
2
a
b
c
，所以椭圆方程为
2
2
1
4
2
x
y
．
（2）解：若直线l 斜率存在，则其方程为
1
2
3
3
y
k x
，即
2
1
3
3
k
y
kx
，
令
2
1
3
3
k
m
，即y
kx
m
，
联立方程组
2
2
1
4
2
y
kx
m
x
y
，整理得
2
2
2
2
1
4
2
4
0
k
x
kmx
m
，
设
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，则由韦达定理得
1
2
2
4
2
1
km
x
x
k
，
2
1
2
2
2
4
2
1
m
x x
k
，
所以
2
1
2
1
2
2
2
4
2
2
2
2
1
2
1
k m
m
y
y
k x
x
m
m
k
k
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y y
kx
m
kx
m
k x x
km x
x
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
2
1
2
1
2
1
m
km
m
k
k
km
m
k
k
k
，
又由
1
1
2,
1
MA
x
y
，
2
2
2,
1
MB
x
y
，
可得
1
2
1
2
2
2
1
1
MA MB
x
x
y
y
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
x x
x
x
y y
y
y
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
m
km
m
k
m
k
k
k
k
2
2
2
1
3
2
2
2 2
1
1
2
1
m
k
m
k
k
2
1
3
2
1
2
1
2
1
m
k
m
k
k
，
因为
2
1
3
3
k
m
，可得3
2
1
2
1
2
1
0
m
k
k
k
所以
0
MA MB
，所以MA
MB
，
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显然
,
,
A M B 三点不同，所以
90
AMB
，所以线段AB 为直径的圆经过点M；
若直线l 斜率不存在，则
,
A B 两点的坐标分别为
2
17
,
3
3
A
，
2
17
,
3
3
B
，
可得
2 2
17
2 2
17
(
,
1),
(
,
1)
3
3
3
3
MA
MB
，
则
0
MA MB
，所以
90
AMB
．此时线段AB 为直径的圆经过点M，
综上可得，以线段AB 为直径的圆经过点M．
4.已知P 为平面上的动点，记其轨迹为Γ.
(1)请从以下三个条件中选择一个，求对应的Γ的方程；①以点P 为圆心的动圆经过点
1,0
F
，且内切于圆
2
2
:
1
16
K
x
y
；②已知点
1,0
T
，直线
4
l
x
：
，动点P 到点T 的距离与到直线l 的距离之比为
1
2 ；
③设E 是圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点，过E 作直线EG 垂直于x 轴，垂足为G，且
3
2
GP
GE
.
(2)在（1）的条件下，设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A，B，若过点
1,0
K
的直线m 的斜率存在且不为0，
设直线m 交曲线Γ于点M，N，直线n 过点
1,0
T
且与x 轴垂直，直线AM 交直线n 于点P，直线BN 交直
线n 于点Q，则线段的比值
TP
TQ 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
(2)是为定值，1
9
【分析】（1）选①，则由椭圆的定义得长轴为4，焦距为2，求出轨迹Γ的方程即可；选②，直接设动点坐
标P ，代入关系化简可得轨迹Γ的方程；选③，相关点代入法求动点P 轨迹方程.
（2）设过点K 的直线m 的方程为
1
x
ty
，与方程
2
2
1
4
3
x
y
联立，由韦达定理得
1
2
1
2
2
9
3 (
)( )
3
4
2
t
ty y
y
y
t
，由题意可解得
,
P
Q
y
y ，则
TP
TQ
1
2
1
1
2
2
3
ty y
y
ty y
y
，将( )
代入整理可得定值.
【详解】（1）选①，则由
4
PK
PF
得
4
2
PK
PF
，
由椭圆的定义得长轴为4，焦距为2，所求轨迹Γ的方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
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选②，设
,
P x y ，由
2
2
1
1
4
2
x
y
x
，
化简得
2
2
1
4
3
x
y
即所求轨迹Γ的方程为
2
2
1
4
3
x
y
.
选③，设
0
0
(
,
)
P x
y
，由
3
2
GP
GE
，得
0
0
2
,
3
E x
y
，
代入圆O 的方程
2
2
:
4
O x
y
，得
2
2
0
0
1
4
3
x
y
，即所求轨迹Γ的方程为
2
2
1
4
3
x
y
（2）已知直线m 的斜率存在且不为0，设过点K 的直线m 的方程为
1
x
ty
，设
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x y
N x
y
，
与方程
2
2
1
4
3
x
y
联立得：
2
2
3
4
6
9
0
t
y
ty
，
∴
1
2
1
2
2
2
6
9
,
3
4
3
4
t
y
y
y y
t
t
.
且
1
2
1
2
2
9
3 (
)( )
3
4
2
t
ty y
y
y
t
直线AM 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
，∴
1
1
2
P
y
y
x
.同理，
2
2
3
2
Q
y
y
x
，
∴
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
3
2
3
2
TP
y
x
y
x
TQ
y
x
y
x
其中，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
3
3
y
x
y ty
ty y
y
y
x
y
ty
ty y
y
，
将( )
代入可得，
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
3
1
3
1
2
2
3
3
3
3
3
3
2
2
y
y
y
y
y
ty y
y
ty y
y
y
y
y
y
y
，
∴
1
1
1
3
3
9
TP
TQ
.
5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点
0
0
(
,
)
M x
y
是椭圆C：
2
2
1
4
x
y
上一点，从原点O 向圆
2
2
2
0
0
:
M
x
x
y
y
r
作两条切线，分别与椭圆C 交于点,
P Q ，直线
,
OP OQ 的斜率分别记为
1
2
,
k k .
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(1)若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；
(2)若
2 5
5
r
，求证：
1
2
1
4
k k
；
(3)在（2）的情况下，求OP
OQ
的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
1
3
2
4
x
y
(2)证明见解析
(3) 5
2
【分析】（1）根据椭圆方程确定圆心坐标和半径即可求解；
（2）分别联立两条切线与椭圆方程，根据直线与圆相切时判别式等于零，可确定
1
2
,
k k 是方程
2
2
2
0
0
0
0
2
4
4
0
5
5
k
k
y
x
x
y
的两个不相等的实数根，即可求解；
（3）结合（2）可得
2
2
5
OP
OQ
，利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）椭圆C 的右焦点是
3,0 ，将
3
x
，代入
2
2
1
4
x
y
，可得
1
2
y
，
所以
1
3,
2
M
，所以圆M 的方程为
2
2
1
1
3
2
4
x
y
.
（2）证明：因为直线
1
2
:
,
:
OP y
k x OQ y
k x与圆M 相切，
所以直线
1
:
OP y
x
k
与圆
2
2
0
0
:
4
5
x
x
y
y
M
联立，
可得
2
2
2
0
0
0
2
1
1
0
4
1
2
2
0
5
k
k y
x
x
x
x
y
，
由
2
2
2
2
1
0
1
1
0
0
0
4
2
2
4 1
0
5
k
x
x
y
k y
，即
2
2
0
0
0
2
1
1
0
2
4
4
0
5
5
k
k
y
x
x
y
,
同理
2
2
2
0
0
0
2
2
2
0
4
1
2
2
0
5
k
k y
x
x
x
x
y
，
由
2
2
2
2
2
0
2
2
0
0
0
4
2
2
4 1
0
5
k
x
x
y
k y
，即
2
2
0
0
0
2
2
2
0
2
4
4
0
5
5
k
k
y
x
x
y
可得
1
2
,
k k 是方程
2
2
2
0
0
0
0
2
4
4
0
5
5
k
k
y
x
x
y
的两个不相等的实数根，
所以
2
0
2
2
0
1
4
5
4
5
k
y
x
k
，因为点
0
0
(
,
)
M x
y
在椭圆C 上，所以
2
2
0
0
1
4
x
y
，
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所以
1
2
1
4
k k
得证；
（3）①当直线
,
OP OQ 不落在坐标轴上时，设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，
因为
1
2
4
1
0
k k
，所以
2
2
2
2
1
2
1
2
1
16
y y
x x
，
因为
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
在椭圆C 上，所以
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
4
4
16
x
x
y y
x x
，
整理得
2
2
1
2
4
x
x
，所以，
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
4
4
4
x
x
x
x
y
y
,
所以
2
2
5
OP
OQ
.
②当直线
,
OP OQ 落在坐标轴上时，显然有
2
2
5
OP
OQ
，
综上：
2
2
5
OP
OQ
,
所以
2
2
1
5
2
2
OP
OQ
OP
OQ
，
当且仅当OP
OQ
时取得等号，
所以OP
OQ
的最大值为5
2 .
1.如图，已知椭圆C 的中心为原点O，( 2 5,0)
F
为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足|
| |
|
OP
OF
，
且|
| 4
PF
，则椭圆C 的方程为（
）
A．
2
2
1
25
5
x
y
B．
2
2
1
45
25
x
y
C．
2
2
1
30
10
x
y
D．
2
2
1
36
16
x
y
【答案】D
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【分析】设椭圆的右焦点为F ，连接PF，由|
| |
|
OP
OF
OF
可得PF
PF
，可求得
8
PF
，由椭圆的
定义可求得
6
a
，利用, ,
a b c 之间的关系可求得
2
b ，即可得到答案
【详解】如图，设椭圆的右焦点为F ，则
(2 5,0)
F
，连接PF，
因为|
| |
|
OP
OF
OF
，所以PF
PF
，
所以
2
2
2
2
|
|
(4 5)
4
8
PF
FF
PF
，
由椭圆的定义可得2
|
|
12
a
PF
PF
，则
6
a
，
又因为
|
| 2 5
c
OF
，所以
2
2
2
2
2
6
(2 5)
16
b
a
c
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
36
16
x
y
，
故选：D
2．点P 为椭圆
2
2
1
8
4
x
y
上一点，曲线
1
2
x
y
与坐标轴的交点为A ，B ，C ，D ，若
8 2
PA
PB
PC
PD
，则点P 到x 轴的距离为（
）
A．2 2
3
B．8
9
C．2 19
13
D．9
13
【答案】A
【分析】先求出A ，B ，C ，D 的坐标，得到A ，B 为椭圆
2
2
1
8
4
x
y
的焦点，得到
4 2
PA
PB
，
从而判断出P 为椭圆
2
2
1
7
8
x
y
上一点，联立方程组，即可求解.
【详解】由曲线
1
2
x
y
与坐标轴的交点为A ，B ，C ，D ，
不妨设
2 0
A ，，
2 0
B
，，
0
1
C
，
，
0 1
D
，.
则A ，B 为椭圆
2
2
1
8
4
x
y
的焦点，而P 为椭圆
2
2
1
8
4
x
y
上一点，
所以
4 2
PA
PB
.
因为
8 2
PA
PB
PC
PD
，所以
4 2
PC
PD
，
又
4 2
2
PC
PD
CD
，
根据椭圆定义知点P 的轨迹为以C、D 为焦点的椭圆，
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所以轨迹方程为
2
2
1
7
8
x
y
，
联立
2
2
2
2
1
8
4
1
7
8
x
y
x
y
，消去
2x 得
2
8
9
y
，则
2 2
3
y
，
故点P 到x 轴的距离为2 2
3
.
故选：A.
3．已知椭圆
2
2
:
1
16
7
x
y
C
的左焦点为
,
F P 是C 上一点，
3,1
M
，则PM
PF
的最大值为（
）
A．7
B．8
C．9
D．11
【答案】C
【分析】把P 到左焦点的距离转化为P 到右焦点的距离，再利用平面两点间距离的性质可得．
【详解】因为
2
2
3
1
1
16
7
，所以
3,1
M
在椭圆C 内部，
设椭圆C 的右焦点为F，由椭圆
2
2
:
1
16
7
x
y
C
，得
3,0
F
，
由椭圆的定义可得
2
8
PF
PF
a
，
所以
8
8
9
PM
PF
PM
PF
MF
，
当且仅当P 是射线MF与椭圆的交点时取等号．
故选：C.
.
4．
1F 、
2
F 分别为椭圆
2
2
1
4
3
x
y
的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，设点
1 1
,
2 2
A
，则
2
MA
MF
的最
小值为（
）
A．
10
4
2
B．
10
2
2
C．
10
4
2
D．
10
2
2
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义可得出
2
1
4
MA
MF
MA
MF
，分析可知当点M 为射线
1F A与椭圆的交点时，
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2
MA
MF
取最小值，即可得解.
【详解】在椭圆
2
2
1
4
3
x
y
中，
2
a
，
3
b
，
1
c ，则
1
1,0
F
、
2 1,0
F
，连接
1
MF ，
所以，
2
2
2
1
1
1
1
1
2
4
4
4
1
0
2
2
MA
MF
MA
a
MF
MA
MF
AF
0
4
2
1
，
当且仅当点M 为射线
1F A与椭圆的交点时，等号成立，故
2
MA
MF
的最小值为
10
4
2
.
故选：A.
5．已知椭圆
2
2
1
9
6
x
y
，
1
2
,
F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，
1
2
3
cos
5
F PF
，则|
|
PO （
）
A．2
5
B．
30
2
C．3
5
D．
35
2
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出
2
2
1
2
1
2
,
PF PF
PF
PF
的值，利用
1
2
1
2
PO
PF
PF
，根据向
量模的计算即可求得答案.
【详解】由题意椭圆
2
2
1
9
6
x
y
，
1
2
,
F F 为两个焦点，可得
3,
6,
3
a
b
c
，
则
1
2
2
6
PF
PF
a
①，即
2
2
1
2
1
2
2
36
PF
PF
PF PF
，
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由余弦定理得
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
(2 3)
F F
PF
PF
PF PF
F PF
，
1
2
3
cos
5
F PF
，故
2
1
2
1
2
3
(
)
2
(1
)
12
5
PF
PF
PF PF
，②
联立①②，解得：
2
2
1
2
1
2
15 ,
21
2
PF PF
PF
PF
，
而
1
2
1
2
PO
PF
PF
，所以
1
2
1
2
PO
PO
PF
PF
，
即
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
15
3
30
2
21 2
2
2
2
2
5
2
PO
PF
PF
PF
PF PF
PF
，
故选：B
6．过椭圆
2
2
1
16
4
x
y
C
：
上一点M 作圆
2
2
3
x
y
的两条切线，A、B 为切点，过A、B 的直线l 与x 轴和y
轴分别交于P、Q 两点，则
OPQ
△
（O 为坐标原点）面积的最小值为（
）
A．9
16
B．9
8
C．
3
4
D．
3
2
【答案】B
【分析】设点
0
0
(
,
)
M x
y
，结合圆的切线方程求得直线AB 的方程，即可求得
OPQ
△
面积的表达式，结合基
本不等式即可求解答案.
【详解】设点
0
0
0
0
(
,
),
0
M x
y
x y
，则
2
2
0
0
1
16
4
x
y
，
设
( , ), ( , )
A a b B c d ，则点A 处
2
2
3
x
y
的切线方程为
3
ax
by
，
点B 处
2
2
3
x
y
的切线方程为
3
cx
dy
，
由于这两条切线都过点
0
0
(
,
)
M x
y
，则
0
0
0
0
3,
3
ax
by
cx
dy
，
故直线AB 的方程为
0
0
3
x x
y y
，
令
0
3
0,
x
y
y
，令
0
3
0,
y
x
x
，
即
0
0
3
3
(
,0),
(0,
)
P
Q
x
y
，则
0
0
0
0
3
3
9
1
|
| |
|
|
|
2
1
2
OPQ
S
x
y
x y
，
由于
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
|
|
1
2
, |
| 4
16
4
16
4
4
x
y
x
y
x y
x y
，
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当且仅当
2
2
0
0
16
4
x
y
，即
2
2
0
0
8,
2
x
y
时等号成立，
故
0
0
9
1
9
1
9
|
|
2
2
4
8
OPQ
x y
S
，
即
OPQ
△
面积的最小值为9
8 ，
故选：B
7.已知
0
0
,
x
y
是圆
2
2
2
x
y
r
上一点，则直线
2
0
0
x x
y y
r
与圆
2
2
2
x
y
r
相切，且
0
0
,
x
y
为切点，类似
的，点
0
0
,
x
y
是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一点，则以
0
0
,
x
y
为切点，与椭圆相切的切线方程为（
）
A．
0
0
1
x x
y y
B．
2
2
0
0
x x
y y
a b
C．
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
D．
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
【答案】D
【分析】利用换元法，设
,
,
x
x
a
y
y
b
将椭圆转化为圆，先求出过圆上一点圆的切线方程，再转化回椭圆的切线
方程.
【详解】对于椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，
设
,
,
x
x
a
y
y
b
，则椭圆方程
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
变为圆
2
2
1
x
y
，
椭圆上的点
0
0
,
x
y
的坐标变为
0
0
(
,
)
x
y
，
且
0
0
0
0
,
x
y
x
y
a
b
，
因为过圆
2
2
1
x
y
上点
0
0
(
,
)
x
y
的切线方程为
0
0
1
x x
y y
，
所以可得
0
0
1
x
y
x
y
a
a
b
b
，
即过椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上点
0
0
,
x
y
的切线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
.
故选：D
8.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左，右焦点分别为
1
2
,
F F ，上顶点为
0,1
A
，离心率为
2
2
，直线
(
0)
y
kx
m k
将
1
2
AF F
△
分成面积相等的两部分，则m 的取值范围是（
）
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A．
1
, 2
B．
1
, 3
C．
2 1
,
4
2
D．
2 1
1
,
2
2
【答案】D
【分析】先由题目条件求出椭圆方程，对直线
(
0)
y
kx
m k
进行分类讨论，求直线与
2
AF 或
1
AF 的交点，
利用面积求m 的取值范围.
【详解】由题意可得
2
2
2
1
2
2
b
c
a
a
b
c
解得
2
2
a
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
2
x
y
，
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
.
设直线
(
0)
y
kx
m k
与x 轴的交点为
,0
m
M
k
.
因为直线
(
0)
y
kx
m k
将
1
2
AF F
△
分成面积相等的两部分，
所以
0,
0
m
m
k
，点M 在射线
1
OF 上.
设直线y
kx
m
和
2
AF 的交点为N ，由
1
y
kx
m
x
y
可得
1
1
1
m
x
k
k
m
y
k
，即点N 的坐标为1
,
1
1
m k
m
k
k
.
①如图1，若点M 和点
1F 重合，则点N 为线段
2
AF 的中点，即
1 1
,
2 2
N
，此时
1
3
k
m
.
②如图2，若点M 在点O和点
1F 之间，此时
1
3
m
，点N 在点
2
F 和点A 之间.
易得
1
2
1
AF F
S
，则
2
2
1
1
2
2
NMF
N
S
MF
y
，即1
1
1
2
1
2
m
k
m
k
k
，整理得
2
0
1 2
m
k
m
，解得
1
2
m
，所
以1
1
3
2
m
.
③如图3，若点M 在点
1F 的左侧，则
1
m
k
且
1
3
m
，即1
0
3
m
k
.
设直线y
kx
m
和
1
AF 的交点为P ，
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由
1
y
kx
m
y
x
，得
1
1
1
m
x
k
k
m
y
k
，即点P 的坐标为1
,
1
1
m k
m
k
k
.
1
1
1
2
2
APN
N
P
S
m
x
x
，即
1
1
1
1
1
2
1
1
2
m
m
m
k
k
，化简可得
2
2
2
2(1
)
1
1
m
k
k
，两边开方可得
2
2 1
1
1
m
k
，解得
2
1
2
m
，所以
2
1
1
2
3
m
.
综上，m 的取值范围是
2 1
1
,
2
2
.
故选：D
9.椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的内接四边形ABCD的对角线
,
AC BD 交于点
1,1
P
，满足
2
AP
PC
，
2
BP
PD
，若直线AB 的斜率为
1
4
，则椭圆的离心率等于（
）
A．1
4
B．
3
2
C．
1
2
D．1
3
【答案】B
【分析】设出点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，由已知求出
1
1
3
3
,
2
2
x
y
C
，利用
,
A C 两点在椭圆E 上，化简计算解
出直线AB 的方程，可得直线AB 的斜率，解方程求出离心率．
【详解】设点
1
1
2
2
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
C x y ，
1,1
P
，且
2
AP
PC
，
可得
1
1
1
,1
2
1,
1
x
y
x
y
，即
1
1
1
2
1
1
2
1
x
x
y
y
，解得
1
1
3
3
,
2
2
x
y
C
，
由
,
A C 两点在椭圆E 上，
有
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1 1
3
3
1 2
4
4
x
y
a
b
x
y
a
b
，
1
2
4
得：
1
1
2
2
3 2
3
3 2
3
3
x
y
a
b
，
即
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
3
3
0
b x
a y
a b
a
b
，
同理可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
0
b x
a y
a b
a
b
，
因此，直线AB 的方程为
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
0
b x
a y
a b
a
b
，
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从而直线AB 的斜率为
2
2
1
4
b
a
，
由
2
2
2
1
3
1
1 4
4
b
e
a
，可得
3
2
e
故选：B
10．若椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
上存在一点D ，使得函数
1
2
1
x
f x
x
图象上任意一点关于点D 的对称
点仍在
f
x 的图象上，且椭圆C 的长轴长大于2，则C 的离心率的取值范围是（
）
A．
210
0, 15
B．
210 ,1
15
C．
6
0, 3
D．
6 ,1
3
【答案】D
【分析】首先求出函数
f
x 的对称中心，即可得到椭圆经过点
1 1
,
2 2
D
，从而得到
2
2
2
2
4
a
b
a b
，再根据
2
2
a
，即可得到关于离心率
2e 的不等式，解得即可.
【详解】因为
1
1
3
1
2
1
2
4
2
x
f
x
x
x
，
所以
1
2
1
x
f x
x
的图象可由奇函数
3
4
y
x
的图像向右平移
1
2 个单位，再向上平移
1
2 个单位得到，
所以
1
2
1
x
f x
x
的图象关于点1 1
,
2 2
对称，
所以椭圆经过点
1 1
,
2 2
D
，则
2
2
1
1
1
4
4
a
b
，即
2
2
2
2
4
a
b
a b
，
即
2
2
2
2
2
2
4
a
c
a
a
c
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
a
c
e
a
a
c
e
，又因为2
2
a
，所以
2
2
2
4
1
e
e
，解得
2
2
3
e
，
又0
1
e
，所以
6
1
3
e
，即
6 ,1
3
e
.
故选：D
11.一个动圆与圆
2
2
1 :
(
3)
1
C
x
y
外切，与圆
2
2 :
(
3)
81
C
x
y
内切，则这个动圆圆心的轨迹方程
为
．
【答案】
2
2
1
25
16
y
x
【分析】计算得到
1
2
1
2
|
|
|
| 10 |
| 6
MC
MC
C C
，故轨迹为椭圆，计算得到答案.
【详解】设动圆圆心为M ，半径为r ，根据题意知：
1
|
|
1
MC
r
，
2
|
| 9
MC
r
，
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所以
1
2
1
2
|
|
|
| 10 |
| 6
MC
MC
C C
，所以圆心M 的轨迹为椭圆.
其中2
10
a
，2
6
c
，故
5,
4
a
b
，
因为焦点在y 轴上，故圆心轨迹方程为：
2
2
1
25
16
y
x
.
故答案为：
2
2
1
25
16
y
x
.
12.已知F 是椭圆C：
2
2
1
25
16
x
y
的右焦点，P 是椭圆上一点，
36
(0,
)
5
A
，当△APF 周长最大时，该三角形的
面积为
.
【答案】144
5 /
4
28 5 / 28.8
【分析】根据椭圆的定义，结合三角形的几何性质，可得当
, ,
A P F共线时APF
周长最大，由截距式求得直
线AF方程，可得此时P 点的纵坐标，由三角形面积公式可得结果.
【详解】
由
2
2
1
25
16
x
y
得右焦点
3,0
F
，左焦点
3,0
F
，
APF
周长AF
AP
PF
2
AF
AP
a
PF
10
AF
AF
，
当
, ,
A P F共线时APF
周长最大，
此时直线AF方程为
1
36
3
5
x
y
与
2
2
1
25
16
x
y
联立，
解得
12
5
P
y
，可得
1
2
APF
A
P
S
FF
y
y
1
36
12
144
6
2
5
5
5
，
故答案为：144
5 .
13.设
1
2
A
A
、
分别是椭圆
2
2
2
Γ :
1(
1)
x
y
a
a
的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．
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(1)若Γ 的离心率为
6
3
，求Γ 的方程；
(2)设
2
2,
a
F
是Γ 的右焦点，点Q 是Γ 上的任意动点（不在直线
2
BF 上），求
2
QBF
△
的面积S 的最大值；
(3)设
3
a ，点P 是直线
6
x
上的动点，点C 和D 是Γ 上异于左、右顶点的两点，且C
D
、
分别在直线
1
PA 和
2
PA 上，求证：直线CD 恒过一定点．
【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
(2)
3
1
2
(3)证明见解析
【分析】（1）由椭圆离心率公式可求得
2
a 的值即可.
（2）写出直线
2
BF 的方程，设出点Q 的参数坐标，结合点到线的距离公式及辅助角公式可求得点Q 到直线
2
BF 的距离的最大值，进而可求得三角形面积的最大值.
（3）联立直线
1
PA 方程与椭圆方程可求得点C 坐标，同理可求得点D 坐标，分别研究
C
D
x
x
与
C
D
x
x
时直
线CD 恒过的定点即可.
【详解】（1）由题意知，
2
1
b ，
所以
2
1
6
1
3
c
e
a
a
，解得：
2
3
a ，
所以椭圆方程为
2
2
1
3
x
y
.
（2）当
2
a
时，椭圆方程为
2
2
1
2
x
y
，则
(0,1)
B
，
2(1,0)
F
，如图所示，
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所以
2
|
|
2
BF
，直线
2
BF 的方程为：
(
1)
y
x
，即
1
0
x
y
，
设
( 2 cos ,sin )
Q
，且|
2 cos
sin
1| 0
，
则点Q 到直线
2
BF 的距离为
|
2 cos
sin
1|
|
3sin(
) 1|
2
2
d
（tan
2
），
当sin(
)
1
时，d 取得最大值为
3
1
2
，
所以△
2
QBF
△
面积的最大值为
2
max
1
1
3
1
3
1
|
|
2
2
2
2
2
BF
d
.
（3）证明：如图所示，
由题意知，
1( 3,0)
A
，
2(3,0)
A
，设点P 的坐标为(6,
)
m ，
直线
1
PA ：
(
3)
9
m
y
x
，与椭圆方程
2
2
1
9
x
y
联立消去y 得：
2
2
2
2
(9
)
6
9
81
0
m
x
m x
m
，
由韦达定理得
2
2
3
27
9
C
m
x
m
，即
2
2
2
3
27
6
(
,
)
9
9
m
m
C
m
m
，
同理可得
2
2
2
3
3
2
(
,
)
1
1
m
m
D
m
m
，
当
C
D
x
x
，即
2
2
2
2
3
27
3
3
9
1
m
m
m
m
，即
2
3
m
时，直线CD 的方程为
3
2
x
；
当
C
D
x
x
时，直线CD 的方程为
2
2
2
2
2
4
3
3
(
)
1
3(3
)
1
m
m
m
y
x
m
m
m
，
即
2
4
3
(
)
3(3
)
2
m
y
x
m
，恒过点3
( ,0)
2
，
综述：直线CD 恒过点3
( ,0)
2
.
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14.已知圆
1
O ：
2
2
1
1
4
x
y
，圆
2
O ：
2
2
49
1
4
x
y
，圆M 与圆
1
O 外切，且与圆
2
O 内切．
(1)求圆心M 的轨迹C 的方程；
(2)若A，B，Q 是C 上的三点，且直线AB 不与x 轴垂直，O 为坐标原点，OQ
OA
OB
，则当AOB
的
面积最大时，求
2
2
的值．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
(2)1
【分析】（1）设动圆M 的半径为r ，由圆与圆的位置关系分析可得
1
2
1
2
4
2
MO
MO
OO
，由椭圆的
定义分析可得轨迹M 是以
1
1,0
O
，
2 1,0
O
为焦点的椭圆，由椭圆的定义分析可得轨迹M 的方程，即可
得答案；
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，直线AB 的方程为y
kx
t
，联立直线AB 与椭圆C 的方程可得
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
ktx
t
，利用根与系数的关系可以表示AB 的值，进而可以表示AOB
面积，由基本
不等式的性质求得△AOB 面积的最大值，由OQ
OA
OB
，得
0
1
2
0
1
2
,
x
x
x
y
y
y
，代入
2
2
0
0
1
4
3
x
y
，整理
可得
2
2
的值．
【详解】（1）由题意设圆M 的半径为r，则
1
1
2
MO
r
，
2
7
2
MO
r
，所以
1
2
1
2
4
2
MO
MO
OO
，
故圆心M 的轨迹是以
1
1,0
O
，
2 1,0
O
为焦点，4 为长轴长的椭圆，
所以
1
c ，
2
a
，则
2
3
b
，
所以C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
．
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（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
0
0
,
Q x
y
，直线AB 的方程为y
kx
t
．
将y
kx
t
代入
2
2
1
4
3
x
y
，整理得
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
ktx
t
，
2
2
2
8
4 3
4
4
12
0
kt
k
t
，即
2
2
4
3
0
k
t
，
则
1
2
2
8
3
4
kt
x
x
k
，
2
1
2
2
4
12
3
4
t
x x
k
，
所以
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x x
2 2
2
2
2
64
4 3
4
4
12
3
4
k t
k
t
k
2
2
2
48 3
4
3
4
k
t
k
，
故
2
2
2
2
1
2
2
1
48 3
4
1
3
4
k
k
t
AB
k
x
x
k
．
又原点O 到直线AB 的距离为
2
1
t
d
k
，
所以
1
2
AOB
S
AB
d
△
2
2
2
2
2
1
2 3
3
4
3
4
1
t
k
k
t
k
k
2
2
2
2
2 3
3
4
3
4
k
t
t
k
2
2
2
2
3
4
2 3
2
3
3
4
k
t
t
k
，
当且仅当
2
2
2
3
4k
t
t
，即
2
2
3
4
2
k
t
（*）时，等号成立．
由OQ
OA
OB
，得
0
1
2
0
1
2
,
x
x
x
y
y
y
，
代入
2
2
0
0
1
4
3
x
y
，整理得
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
1
4
3
4
3
4
3
x
y
x
y
x x
y y
，
即
2
2
1
2
1
2
2
1
4
3
x x
y y
（**）．
而
1
2
1
2
1
2
1
2
4
3
4
3
kx
t
kx
t
x x
y y
x x
2
2
1
2
1
2
3
4
4
4
12
k
x x
kt x
x
t
2
2
2
2
2
4
12
8
3
4
4
4
3
4
3
4
12
t
kt
k
kt
t
k
k
2
2
2
2
3
4
3
4
t
k
k
，
由（*）可知
1
2
1
2
0
4
3
x x
y y
，代入（**）式得
2
2
1
．
故
2
2
的值为1.
版小初高资料
2027
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