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2026 年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）
专题04 平面向量
考点01：平面向量的投影向量与数量投影
1．（2024·上海奉贤·二模）已知向量
，
，则
在
方向上的投影向量为 ．
2.（2026 届高三长宁区一模）设
，则向量
在
方向上的投影向量的坐标为_____.
3. （2025 上海宝山区高三三模）已知
，则
在
上的数量投影是__________.
4. （2025 华东师大三附中高三三模）若向量
在向量
上的投影向量为
，则
等于
______．
1
5.（2025 上海市进才中学高三5 月模拟）已知向量
，则向量
在向量
上的投影向
量为__________.
6.（2025 年华东师范大学第一附属中学高三三模）同一平面内的两个不平行的单位向量
，
，
在
上的
投影向量为
，则
________．
7. （24-25 大同中学高一下期中）已知
，
，其中
，
的夹角为
，则
在
方向上的投影向
量为（ ）
A.
B.
C.
D.
考点02：平面向量基本定理的应用
8．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量
、
，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底
的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
9. （2025 进才中学高三模拟）下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A.
，
B.
C.
D.
10. （24-25 复旦附中高一下期中）在平行四边形
中，
是对角线
上靠近点
的三等分点，设
，
，则用
，
表示
为________
11. （24-25 南汇中学高一下期中）在
中，点
在边
上，且
，设
，
，则
2
A.
B.
C.
D.
考点03：平面向量的线性运算
12. （24-25 上师大附中闵行分校高一下期中）在平行四边形
中，
为
边上靠近点
的三等分
点，
，则
_____.
13. （2025 上海市育才中学高三三模）在
中，
，
，
平分线交BC 于
点D，若
，则
______．
考点04：平面向量的数量积
14.（2025 杨浦区高三5 月质量检测）
中，
，若
在
上的投影为
．则
______．
15. （2025 届上海市大同中学高三三模）已知非零向量
在向量
上的投影向量为
，
，则
________
16.已知平面向量
，
，
满足
与
的夹角为锐角，
，
，
，且
的最小值为，则向量
的取值范围是__________
17. （2024-25 长宁区高三监测练习试卷）已知
是单位圆上任意不同三点，则
的取值范围
是_____.
18.（2026 届嘉定区高三一模）已知向量
为直线
上的一个动点，
当
取最小值时,向量
的坐标为_____.
3
19.（2026 届高三闵行区一模）若点
是边长为1 的正三角形
外接圆上的一点，则
的最大值
为_____.
考点05：平面向量的共线问题
20. 已知向量
，若
，则
_________．
21.（2026 届高三浦东新区一模）已知向量
，若
，则实数
的值为_____.
22. （24-25 南汇中学高一下期中）已知向量
与
不平行，
与
平行，则实数
__________．
23. （24-25 大同中学高一下期中）已知
，
，
，若
，
，
三点共线，则
________.
考点06：平面向量的垂直问题
24．（2026 届高三杨浦区一模）已知向量
，
，且
，则实数
.
25. （24-25 上师大附中闵行分校高一下期中）已知向量
满足
，
，
与
的夹角为
，
且
，则
的值为（ ）
A
B.
C. 1
D. 2
26.（2026 届高三松江区一模）已知平面内两个非零向量
相互垂直,
,若
,
则实数
的值为_____.
27. （24-25 南汇中学高一下期中）在
中，若
，则
的最大值是
____________．
考点07：平面向量的模长问题
28. （24-25 南汇中学高一下期中）已知
，
，
，则
__________．
4
29. （2025 进才中学高三模拟）已知向量
满足
，且
与
夹角的余弦值为
，则
__________．
30. （2025 上海市崇明中学高三三模）已知向量
，
满足
，
，
，则
等
于____________．
31.若
，
是两个互相垂直的单位向量，且向量满足
，则
的取值范围是_______
32.（2026 届高三奉贤区一模）在平面中,
和
是互相垂直的单位向量,向量
满足
,向量
满足
，则
的最大值是_____.
33. （2026 届高三崇明区一模）在平面直角坐标系
中,
. 设
，则
的最小值是 .
34. （2026 届高三金山区一模）已知非零向量
、
的夹角为
，若
，
，则
的最小值为_____.
考点08：平面向量的夹角问题
35. （2024 上海市曹杨第二中学高三三模）已知向量
、
满足
，
，
，则
________．
36. （2025 复旦大学附属中学高三期末）已知
，
为单位向量，且
在
上的投影向量为
，则
与
的夹角为_________．
37. （2025 七宝中学高三三模）已知两个单位向量
满足
则
的夹角为______
5
38.（2025 行知中学高三6 月模拟） 设两向量
、
，满足
，
，它们的夹角为60°，若向量
与向量
夹角为钝角，则实数t 的取值范围是_____.
考点09：平面向量结论辨析
39. （2025 上海市育才中学高三三模）设
是两个非零向量
的夹角，若对任意实数t，
的最小值
为1．命题p：若
确定，则
唯一确定；命题q：若
确定，则
唯一确定．下列说法正确的是（ ）
A. 命题p 是真命题，命题q 是假命题
B. 命题p 是假命题，命题q 是真命题
C. 命题p 和命题q 都是真命题
D. 命题p 和命题q 都是假命题
40. （2025 复旦大学附属中学高三6 月检测）已知
是平面内两个非零向量，那么“
”是“存在
，使得
”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
1. （2025 上海秋季高考）已知
，
是平面内三个不同的单位向量．若
，则
的取值范围是_______．
2．（2025 全国二卷高考）已知平面向量
若
，则
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
4．（2025 北京高考）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取
6
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 上海高考）已知
，且
，则
的值为 ．
6．（2024 北京高考）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2024 全国甲卷高考）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
8．（2024 新课标Ⅱ卷高考）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
9．（2024 新课标Ⅰ卷高考）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
10．（2023 上海高考）已知
,
，则
11．（2023 新课标Ⅱ卷高考）已知向量
，
满足
，
，则
．
12．（2023 北京高考）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
13．（2023 全国乙卷高考）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
14．（2023 全国甲卷高考）已知向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7
15．（2023 新课标Ⅰ卷高考）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．【2022 年上海市高考数学第11 题】若平面向量| |＝| |＝| |＝λ，且满足•
0，•
2，•
1，则
λ＝ ．
17．【2021 年上海市高考数学第4 题】如图正方形ABCD 的边长为3，求
•
．
18.设向量
，则
在
上的数量投影为_____.
8
