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专题05 三角函数
任意角的三角函数
1．（2024·辽宁沈阳·统考一模）
的一个充分不必要条件是 .
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据三角函数的性质结合充分不必要条件即可求解.
【详解】因为
时
，
由
可得
,
故
的一个充分不必要条件是
，
故答案为：
（答案不唯一）
2．（2024·重庆·统考一模）英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开
成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示
一个函数，如：
，其中
．根据该展开式可知，与
的值最接近的是（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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【答案】C
【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.
【详解】原式
，
故选：C.
3．（2024·福建厦门·统考一模）若
，则
．
【答案】
/
【分析】应用诱导公式有
，即可求值.
【详解】
.
故答案为：
4．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）下列说法正确的是 （ ）
A．
B．若圆心角为
的扇形的弧长为
，则扇形的面积为
C．终边落在直线
上的角的集合是
D．函数
的定义域为
，
为该函数的一个周期
【答案】ABD
【分析】根据三角函数在各象限内的符号可判断出A 正确；根据扇形弧长和面积公式可知B 正确；
由终边相同的角的集合表示方法可知C 错误；根据正切型函数定义域和周期的判断方法可知D 正确.
【详解】对于A，
均为第二象限角，
，
，
，A 正确；
对于B，设扇形的半径为，则
，解得：
，
2
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扇形的面积
，B 正确；
对于C，终边落在直线
上的角的集合为
，C 错误；
对于D，由
得：
，
的定义域为
；
又
，
是
的一个周期，D 正确.
故选：ABD.
5．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）已知函数
，若
，
是锐角
的
两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，根据余弦函数的单调性，得出
，由
的单
调性即可判断选项.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，所以
，即
，
所以
在
上单调递减.
因为
，
是锐角
的两个内角，所以
，则
，
因为
在
上单调递减，
3
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所以
，
故
，故D 正确.
同理可得
，C 错误；
而
的大小不确定，故
与
，
与
的大小关系均不确定，
所以
与
，
与
的大小关系也均不确定，AB 不能判断.
故选：D
6．（2024·河北·校联考一模）在
中，若
，则（ ）
A．对任意的
，都有
B．对任意的
，都有
C．存在
，使
成立
D．存在
，使
成立
【答案】AD
【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC.
【详解】在
中，当
时，
，取
，则
，
，
，
，则
，B 错，D 对；
显然
，即
，则
，
令
，
，
，
因此函数
在
上单调递减，则
，即
，从而
，
A 对，C 错.
故选：AD
【点睛】思路点睛：涉及不同变量的数式大小比较，细心挖掘问题的内在联系，构造函数，分析并
运用函数的单调性求解作答.
4
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两角和与差的三角函数
7．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据二倍角的余弦公式和诱导公式即可.
【详解】
,
所以
，
故选：A.
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】设
，则
.
故选：A
9．（2024·辽宁沈阳·统考一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
5
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【分析】根据和差角公式以及诱导公式可得
，由辅助角公式以及二倍角公式即
可求解.
【详解】由
得
，进而可得
，
结合辅助角公式得
，
则
，
故选：B.
10．（2024·浙江·校联考一模）已知
是第二象限角，
，现将角
的终
边逆时针旋转
后得到角
，若
，则
．
【答案】
/
【分析】由两角和的正切公式先得
，进一步由两角差的正切公式即可求解.
【详解】由题意
，且
，
，
解得
，
所以
.
故答案为：
.
11．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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【答案】A
【分析】先由已知条件求出
的值，再利用三角函数恒等变换公式求出
的值，然
后对
利用两角和的正弦公式化简计算即可
【详解】由
，得
，
所以
，
，
所以
，
故选：A
12．（2024·江西吉安·吉安一中校考一模）已知
，且
，则
可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
得
，化简后可求出
，再利用同角三角函数
的关系可求出
.
【详解】由
，得
，
所以
，
所以
，
整理得
，
，
所以
或
，
7
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所以
或
，
①当
时，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
②当
时，
，
因为
，所以
，
由于
，所以解得
，
③当
时，
，
因为
，所以
，
由于
，所以解得
，
综上，
，或
，或
，
故选：B
13．（2024·吉林延边·统考一模）已知函数
的最小正周期为
．
8
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(1)求
的值，并写出
的对称轴方程；
(2)在
中角
的对边分别是
满足
，求函数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数
，再根据周期求出
的值,利用
整体法即可求解对称轴.
（2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得
，故
，故
，
根据正弦函数的定义域和值域求出
的取值范围．
【详解】（1）
．
，
．
故
令
，解得
，
故对称轴方程为：
（2）由
得
，
．
，
，
,
．
，
，
9
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，
三角函数的图象与性质
14．（2024·福建厦门·统考一模）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于点
成中心对称
C．
在区间
上单调递增
D．若
的图象关于直线
对称，则
【答案】BC
【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.
【详解】由
，最小正周期
，A 错；
由
，即
是对称中心，B 对；
由
，则
，显然
在区间
上单调递增，C 对；
由题意
，故
，D 错.
故选：BC
15．（2024·吉林延边·统考一模）将函数
的图象向左平移
个单位长度
后得到曲线
，若
关于
轴对称，则
的最小值是（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.
【详解】结合题意可得
，
因为曲线
关于
轴对称，所以
，
解得
,因为
，所以当
时，
有最小值
.
故选：B.
16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知函数
，则下列说法正确的有
（ ）
A．当
时，
的最小正周期为
B．当
时，
的最小值为
C．当
时，
在区间
上有4 个零点
D．若
在
上单调递减，则
【答案】AB
【分析】根据三角函数的周期性、含
的二次项函数的值域、三角函数的零点、单调性等知识
对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】当
时，
，所以
的最小正周期为
，A 选项正确；
当
时，
，
所以
的最小值为
，B 选项正确；
当
时，
，
11
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令
，解得
或
，此时
或
或
，
在区间
上有3 个零点，C 选项错误；
，设
，
在
上单调递减，则
，根据复合函数的单调性，
在
上单调递增，所以
，解得
，D 选项错误.
故选：AB
17．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知函数f(x)=sin
(
>0)满足:f(
)=2,f(
)=0,则( )
A．曲线y=f(x)关于直线
对称
B．函数y=f(
)是奇函数
C．函数y=f(x)在(
,
)单调递减
D．函数y=f(x)的值域为[-2,2]
【答案】ABD
【分析】用辅助角公式化简
,再利用
,得出
的取值集合,再结合三角函数
性质逐项判断即可.
【详解】
,所以函数
的值域为
,故D 正确；
因为
,所以
,所以
，
因为
,所以
,所以
，
所以
,即
，
所以
，
12
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因为
，
所以曲线
关于直线
对称,故A 正确；
因为
即
，
所以函数
是奇函数,故B 正确；
取
,则最小正周期
,故C 错误.
故选：ABD
18．（2024·辽宁沈阳·统考一模）如图，点
是函数
的图象与直线
相邻的三个交点，且
，则（ ）
A．
B．
C．函数
在
上单调递减
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D．若将函数
的图象沿
轴平移
个单位，得到一个偶函数的图像，则
的最小值为
【答案】ACD
【分析】令
求得
根据
求得
，根据
求得
的
解析式，再逐项验证BCD 选项.
【详解】令
得，
或
，
，
由图可知：
，
，
，
所以
，
，
所以
，所以
，故A 选项正确，
所以
，由
得
，
所以
，
，
所以
，
，
所以
，
，故B 错误.
当
时，
，
因为
在
为减函数，故
在
上单调递减，故C 正确；
将函数
的图象沿
轴平移
个单位得
，（
时向右平移，
时
向左平移），
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为偶函数得
，
，
所以
，
，则
的最小值为
，故D 正确.
故选：ACD.
19．（2024·重庆·统考一模）已知
的部分图象如
图所示，当
时，
的最大值为 ．
【答案】
【分析】由图象求出函数
的解析式，然后利用正弦型函数的基本性质可求得函数
在
上的最大值.
【详解】因为
，
设
，
由图可知，函数
的最小正周期为
，则
，
又因为
，则
，
因为
，可得
，
所以，
，则
，
15
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则
，
当
时，
，
故
.
故答案为：
.
20．（2024·云南曲靖·统考一模）函数
（其中
，
，
）的部分
图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数
的最小正周期是
C．函数
的图象关于直线
对称
D．将函数
的图象向左平移
个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称
【答案】AC
【分析】利用图象求出函数
的解析式，代值计算可判断A 选项；利用正弦型函数的周期性可
判断B 选项；利用正弦型函数的对称性可判断C 选项；利用三角函数图象变换可判断D 选项.
【详解】由图可知，
，
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函数
的最小正周期
满足
，则
，
，B 错；
所以，
，
，可得
，
因为
，所以，
，则
，可得
，
所以，
，则
，A 对；
，
所以，函数
的图象关于直线
对称，C 对；
将函数
的图象向左平移
个单位长度以后，
得到函数
的图象，所得函数为非奇非偶函数，D 错.
故选：AC.
21．（2024·浙江·校联考一模）已知函数
，该图象上最高点与最低点的最近距离为
5，且点
是函数的一个对称点，则
和
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意首先得
，进一步由
，对比选项即可得解.
【详解】由题意函数的周期
满足，
，所以
，
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又点
是函数的一个对称点，所以
，
所以
或
，对比选项可知，只有当
时满足题意.
故选：D.
22．（2024·广东深圳·校考一模）已知函数
的最小正周期为
，则
在区间
上的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】由周期公式求得
，结合换元法即可求得最大值.
【详解】由题意
，解得
，所以
，
当
时，
，
所以
在区间
上的最大值为
，当且仅当
时等号成立.
故选：C.
23．（2024·山西晋城·统考一模）若函数
在
上至少有两个极大值
点和两个零点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解.
【详解】令
，
，得
的极大值点为
，
，则存在整数
，使得
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，
解得
．
因为函数
在两个相邻的极大值点之间有两个零点，
所以
．
当
时，
．当
时，
．
当
时，
．又
，
所以
的取值范围为
．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出
并赋值计
算是解决问题关键.
24．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）
正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可
以用函数
的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A．
，频率为
，初相为
B．函数
的图象关于直线
对称
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C．函数
在
上的值域为
D．若把
图像上所有点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，再向左平移
个单位，
则所得函数是
【答案】BCD
【分析】根据图象求出三角函数解析式，再根据正弦函数图象与性质以及函数平移的原则即可判断.
【详解】由图象可得
，
频率是
，
即
，
，
对于A，
，初相是
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，
在
上的值域为
，故C 正确；
对于D，把
的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到的函数为
，
又向左平移
个单位，得到的函数为
，故D 正确；
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故选：BCD.
解三角形
25．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）如图，为了测量某湿地A，B 两点间的距离，
观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D 点测得∠ADC＝67.5°，从C 点测得∠ACD＝45°，
∠BCE＝75°，从E 点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2
，CE＝
(单位：百米)，则A，B 两点的
距离为（ ）
A．
B．2
C．3
D．2
【答案】C
【分析】在
中，求得
；在
中，利用正弦定理求得
；再在
中，利用
余弦定理即可求得结果.
【详解】根据题意，在△ADC 中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2
，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2
，
在△BCE 中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝
，
则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有
＝
，变形可得BC＝
＝
＝
，
在
中，AC＝2
，BC＝
，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，
21
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则AB＝3．
故选：
.
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题.
26．（2024·广东深圳·校考一模）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝
5，c＝2acosA，则cosA＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知结合余弦定理进行化简即可求解.
【详解】解：因为c＝2acosA，
由余弦定理可得
，将a＝3，b＝5 代入整理得
，
所以
.
故选：D.
27．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）在锐角
中，角
所对的边分别为
，且
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
的取值范围为
C．
的取值范围为
D．
的最小值为
【答案】AC
【分析】用正弦定理可判断A 项，由锐角三角形可判断B 项，用倍角公式可判断C 项，切化弦后用
取等条件即可判断D 项.
【详解】在
中，由正弦定理可将式子
化为
，
22
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把
代入整理得，
，
解得
或
，即
或
（舍去），所以
，选项
正确；
选项
：因为
为锐角三角形，
，所以
，由
解得
，
故选项B 错误；
选项C：
，因为
，所以
，
，
即
的取值范围为
，故选项C 正确；
选项D：
，当且仅当
即
时取等，但因为
，所以
，无
法取到等号，故D 错.
故选：AC.
28．（2024·福建厦门·统考一模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求
；
(2)若
，且
的周长为
，求
的面积．
【答案】(1)
；
(2)
.
23
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【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有
，再由三角形内角性质即
可求边长；
（2）应用余弦定理及已知得
且
，进而求得
，最后应用面积公式求面
积.
【详解】（1）由题设
，由正弦定理有
，
所以
，而
，故
，又
，
所以
.
（2）由（1）及已知，有
，可得
，
又
，即
，
所以
，故
.
29．（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
周长的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理进行边角转化，进而可得结果；
（2）根据
，结合基本不等式运算求解.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
整理得
，
24
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由余弦定理可得
，
且
，所以
.
（2）由（1）可知：
，整理得
，即
，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
则
，可得
，即
，
所以
周长的最大值为
.
30．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）在
中，内角
的对边分别是
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
的周长为18，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角结合同角三角函数关系求解;
（2）由余弦定理解方程得边长，再利用面积公式求解.
【详解】（1）因为
，
，所以
因为
，所以
，
则
.
25
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（2）因为
，所以
.
因为
，所以
，解得
.
因为
的周长为18，所以
，解得
，
则
.
故
的面积为
.
31．（2024·浙江·校联考一模）在
中，内角
所对的边分别是
，已知
．
(1)求角
；
(2)设边
的中点为
，若
，且
的面积为
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到
，再结合余弦定理即可
求出角
；
（2）根据三角形面积公式得到
和
，再结合中线向量公式计算即可.
【详解】（1）在
中，由正弦定理得，
，
因为
，所以
，
化简得，
，
26
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在
中，由余弦定理得，
，
又因为
，所以
（2）由
，得
，
由
，得
，所以
．
又因为边
的中点为
，所以
，
所以
32．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知在△ABC 中，
sin（A+B）＝1+2sin2
．
（1）求角C 的大小；
（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．
【答案】（1）
；（2）4+2
．
【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin（C+
）＝1，再根据角的范围可得
解；
（2）利用正弦定理求出
，求出
，设出
，将
用
表示，根据三角函数知识
求出
的最大值可得解.
【详解】（1）∵
sin（A+B）＝1+2sin2
，且A+B+C＝π，
∴
sinC＝1+1
cos
﹣
C＝2
cos
﹣
C，即
sinC+cosC＝2，
sin
∴
（C+
）＝1．
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∵C∈（0，π），∴C+
∈（
，
），∴C+
＝
，即C＝
．
（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，
∴由正弦定理知，
＝
＝2×2＝4，∴AB＝
，
∵∠ACB＝
，∴∠ABC+∠BAC＝
，
∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，
∴∠ABI+∠BAI＝
，∴∠AIB＝
，
设∠ABI＝θ，则∠BAI＝
﹣θ，且0＜θ＜
，
在△ABI 中，由正弦定理得，
＝
＝
＝
＝4，
∴BI＝4sin（
﹣θ），AI＝4sinθ，
∴△ABI 的周长为2
+4sin（
﹣θ）+4sinθ＝2
+4（
cosθ﹣
sinθ）+4sinθ
＝2
+2
cosθ+2sinθ＝4sin（θ+
）+2
，
0
∵＜θ＜
，∴
＜θ+
＜
，
∴当θ+
＝
，即
时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为4+2
，
故△ABI 的周长的最大值为4+2
．
【点睛】关键点点睛：将
用
表示，根据三角函数知识求出
的最大值是解题关键.
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33．（2024·辽宁沈阳·统考一模）在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求证：
；
(2)当
取最小值时，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.
（2）利用基本不等式求得
的最小值时的取等条件
，再结合余弦定理从而求解.
【详解】（1）证明：由余弦定理知
，又因为
，
所以
，化简得
，
所以
，因为
，
所以
，
所以
，
所以
，因为
，
所以
或
（舍），所以
.
（2）由题知，
，
当且仅当
时取等，又因为
，所以
，
所以
.
34．（2024·重庆·统考一模）在梯形
中，
为钝角，
，
29
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．
(1)求
；
(2)设点
为
的中点，求
的长．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）在
中利用余弦定理求出
，再利用二倍角的余弦公式计算即得.
（2）利用（1）的结论，借助向量数量积求出
的长.
【详解】（1）在梯形
中，由
为钝角，得
是锐角，
在
中，
，则
，
由余弦定理得
，即
为等腰三角形，
所以
.
（2）由
，得
，由点
为
的中点，得
，
所以
.
35．（2024·山西晋城·统考一模）在
中，
，
，
．
(1)求A 的大小；
(2)求
外接圆的半径与内切圆的半径．
【答案】(1)
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(2)
【分析】（1）由余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径.
【详解】（1）由余弦定理得
，
因为
，所以
．
（2）设
外接圆的半径与内切圆的半径分别为
，，由正弦定理得
，
则
．
的面积
，
由
，得
．
36．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，求
边上的中线长.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得
.
（2）根据三角形
的面积求得
，根据同角三角函数的基本关系式求得
，利用正弦
定理、向量数量积运算来求得
边上的中线长.
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【详解】（1）由正弦定理可得
，所以
，
即
，又
，
所以
，
整理得
，解得
；
（2）依题意，
，解得
，
又
，
所以
为钝角，所以由
,
解得
，
由正弦定理可得
，又
，
所以
，
设
的中点为
，则
，
所以
，
所以
边上的中线长为
.
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37．（2024·云南曲靖·统考一模）在
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)线段
上一点
满足
，求
的长度．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由余弦边角关系及已知得
，再由余弦定理即可求
；
（2）由题设得
，且
，
，在
、
应用正弦定
理得
、
，即可求
的长度．
【详解】（1）由题设及余弦定理知：
，
所以
，又
，
，
所以
.
（2）
由题设
，且
，
，
在
中
，则
，
在
中
，则
，
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综上，可得
，则
，故
.
34
