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专题07 函数的单调性与最大(小)值
知
识
梳
理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题
型
归
类
题型一：求具体函数的单调区间
题型二：判断或证明函数的单调性
题型三：比较函数值的大小
题型四：求函数的最值
题型五：解函数不等式
题型六：求参数的取值范围
题型七：抽象函数单调性
培
优
训
练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强
化
测
试
单选题：共8 题
多选题：共4 题
填空题：共4 题
解答题：共6 题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
【考点预测】
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f ( x 1) ＜
f ( x 2)，那
当x1＜x2时，都有f ( x 1) ＞
1
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么就称函数f(x)在区间D 上单调
递增，特别地，当函数f(x)在它
的定义域上单调递增时，我们就
称它是增函数
f ( x 2)，那么就称函数f(x)在区
间D 上单调递减，特别地，
当函数f(x)在它的定义域上单
调递减时，我们就称它是减
函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格
的)单调性，区间
D 叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足
条件
(1)∀x∈I，都有f ( x ) ≤
M
；
(2)∃x0∈I，使得f ( x 0) ＝
M
(1)∀x∈I，都有f ( x ) ≥
M
；
(2)∃x0∈I，使得f ( x 0) ＝
M
结论
M 为最大值
M 为最小值
【常用结论】
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝
增函数；减函数－增函数＝减函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0 或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
【方法技巧】
1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同
增异减”的原则.
3.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求
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出最值.
4.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
5.利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个
单调区间内，然后利用单调性比较大小.
6.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为
关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.
7.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等
式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
二、【题型归类】
【题型一】求具体函数的单调区间
【典例1】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝
【典例2】函数y＝的递减区间为__________．
【典例3】函数y＝log1
2
(2 x
2－3 x＋1)的单调递减区间为( )
A．(1，＋∞)
B.
C.
D.
【题型二】判断或证明函数的单调性
【典例1】试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
【典例2】判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．
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【典例3】判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性．
【题型三】比较函数值的大小
【典例1】已知函数f(x)为R 上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－
f(x2)]<0 成立，若a＝f(ln )，b＝f(3
1
3)，c＝f(e
1
3)，则a，b，c 的大小关系是( )
A．c<b<a
B．a<c<b
C．a<b<c
D．c<a<b
【典例2】设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(a＋1)>f(2)
B．f(a＋1)<f(2)
C．f(a＋1)＝f(2)
D．不能确定
【典例3】已知函数f(x)的图象向左平移1 个单位后关于y 轴对称，当x2>x1>1 时，[f(x2)－
f(x1)]·(x2－x1)<0 恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c 的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c
【题型四】求函数的最值
【典例1】函数y＝的最大值为________．
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【典例2】函数y＝的值域为____________．
【典例3】函数y＝x＋的最大值为________．
【题型五】解函数不等式
【典例1】已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x 的取值范围是______________．
【典例2】已知函数f(x)＝x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a 的取值范围是________．
【典例3】已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－
1)>f(x＋1)的解集为________．
【题型六】求参数的取值范围
【典例1】函数f(x)＝且满足对任意的实数x1≠x2都有>0 成立，则实数a 的取值范围是( )
A．[4,8)
B．(4,8)
C．(1,8]
D．(1,8)
【典例2】函数f(x)＝ln(x2－ax－3)在(1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－2)
C．(－∞，2]
D．(－∞，2)
【典例3】若f(x)＝cos x－sin x 在[0，a]上是减函数，则a 的最大值是( )
A. B. C. D．π
【题型七】抽象函数单调性
【典例1】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0 时，f(x)<0，f(1)
＝－.
(1)求证：f(x)在R 上是减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
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【典例2】f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x＞0，y＞0 都有f＝f(x)－f(y)，当x＞1 时，有
f(x)＞0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋5)－f＜2.
【典例3】已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当x>1 时，f(x)>0，且对于任意的正数x，y 都
有f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)证明：函数f(x)在定义域上是单调增函数；
(2)如果f＝－1 且f(x)－f≥2，求x 的取值范围．
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三、【培优训练】
【训练一】函数g(x)＝ax＋2(a>0)，f(x)＝x2－2x，对∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝
f(x0)成立，则a 的取值范围是( )
A.
B．[1,2)
C.
D.
【训练二】已知函数f(x)＝x2＋lnx－ax 在(0，1)上是增函数．
(1)求a 的取值范围；
(2)在(1)的结论下，设g(x)＝e2x＋，x∈[0，ln3]，求函数g(x)的最小值．
【训练三】已知函数f(x)＝2 020x＋ln(＋x)－2 020－x＋1，则不等式f(2x－1)＋f(2x)>2 的解集为
____________．
【训练四】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)是增函数，f(1)＝0，f(3)＝1.
(1)解不等式0<f(x2－1)<1；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1 对所有x∈(0,3]，a∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．
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【训练五】已知函数f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log30.9，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为
________.
【训练六】已知函数f(x)＝lg(a>0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a 的取值范围.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ln(x＋2)
B．y＝－
C．y＝x
D．y＝x＋
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2. 函数f(x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
3. 设a∈R，函数f(x)在R 上是增函数，则( )
A．f(a2＋a＋2)>f
B．f(a2＋a＋2)<f
C．f(a2＋a＋2)≥f
D．f(a2＋a＋2)≤f
4. 已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x 的取值范围是( )
A．(－1，1)
B．(0，1)
C．(－1，0)∪(0，1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
5. 已知函数f(x)是定义域为[0，＋∞)上的减函数，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1 的实数
x 的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，3)
C．[2,3)
D．[0,3)
6. 函数f(x)＝－x＋在上的最大值是( )
A．
B．－
C．－2
D．2
7. 函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x＝2 对称，则下列结论成立
的是( )
A．f(1)<f<f
B．f<f(1)<f
C．f<f<f(1)
D．f<f<f(1)
8. 已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0 成立，则实数a 的取值范围是(
)
A．(－∞，3]
B．(－∞，3)
C．(3，＋∞)
D．[1，3)
【多选题】
9. 若f(x)＝－x2＋2ax 与g(x)＝在区间[1,2]上都单调递减，则实数a 的取值可以是( )
A．－1 B. C．1 D．2
10. 已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
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A．f(x)在R 上为增函数
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1 或a≥0
D．当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2]
11. 已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是( )
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
12. 定义新运算⊕：当a≥b 时，a⊕b＝a；当a<b 时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－
(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于( )
A．－1
B．1
C．6
D．12
【填空题】
13. 函数f(x)＝|x－2|x 的单调递减区间是________．
14. 如果函数f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
15. 已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a 的取值范围为
________．
16. 设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为________．
【解答题】
17. 求下列函数的值域．
(1)f(x)＝
(2)y＝x－.
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18. 已知函数f(x)＝.
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在x∈[2，8]上的最大值和最小值．
19. 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1).
(1)求方程f(x)＝0 的解；
(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a 的值.
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20. 已知函数f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x 的取值范围.
21. 已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)在区间[2，3]上有最大值4 和最小值1.设f(x)＝.
(1)求a，b 的值；
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0 在x∈[－1，1]上有解，求实数k 的取值范围．
22. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x>0 时，f(x)>－1.
(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R 上是增函数；
(2)若f(1)＝1，解关于x 的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.
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