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1
【全等辅助线之角平分线类】题集【B】
1. 垂两边
1.
【解析】
【标注】
如图，已知
，
为
上的一点，
于
，
．求证：
．
【答案】证明见解析．
如图，过点
作
于
，
∵
，
于
，
∴
，
，
在
与
中，
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】角分线有关的辅助线
2. 已知：如图，在
中，
是
的角平分线，
、
分别是
、
上一点，并且有
．试判断
和
的大小关系并说明理由．
2
【解析】
【标注】
【答案】
．
过
作
于
，
于
，
∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
≌
，
∴
．
【知识点】角分线有关的辅助线
3. 如图，在四边形
中，
平分
，
于
，且
．请你猜想
和
有什么数量关系？并证明你的猜想．
3
【解析】
【标注】
【答案】
；证明见解析．
猜想：
，
过
点作
延长线于点
，
∵
，
平分
，
∴
，
，
在
和
中，
∵
，
∴
≌
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
．
【知识点】角分线有关的辅助线
4. 已知四边形
是正方形，
、
分别在
、
的延长线上，
为
的角平分线．求
证：
．
【答案】证明见解析．
4
【解析】
【标注】
作
，
∵四边形
是正方形，
∴
，
，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
在
和
中
，
∴
≌
（
），
∴
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
（
），
∴
．
∵
，
∴
．
【知识点】角分线有关的辅助线
5. 如图，在直角坐标系中，
点的坐标为
且、满足
．
5
（1 ）
（2 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
求
点的坐标．
点
为轴上一动点，过
点作
交轴正半轴于点
，求证：
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
证明见解析．
∵
．
∴
．
∴
，
，
∴
，
∴点
坐标为
．
过点
作
轴于点
，
轴于点
，
∵
，
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
≌
(
)，
∴
．
【知识点】ASA
（1 ）
（2 ）
6. 在四边形
中，对角线
平分
．
如图，当
，
时，发现：
（填写“
”，“
” ，“
”）．
图
如图，当
，
和
互补时，线段
、
、
在（）式中的数量关系
是否还成立，写出你的猜想，并给予证明．
6
（3 ）
（1 ）
（2 ）
【解析】
图
如图，当
，
和
互补，
，
时，
．
图
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
成立，证明见解析．
∵
平分
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
成立，
，证明：
过点
作
，
于点
、
．
7
（3 ）
图
∵
平分
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
过点
作
，
于点
、
．
图
∵
平分
，
∴
，
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【标注】
∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
≌
，
∴
．
延长
至
，使
，连接
．
∵
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
．
【知识点】对角互补模型
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7. 如图，在平面直角坐标系中，点
在轴上，点
和点
在轴上，且轴平分
，点
为射线
上一动点，且
，过
作
于点
．
求证：
．
求证：
平分
．
当点
运动时，
的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，说明理
由．
9
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
证明见解析．
证明见解析．
的值是不发生变化，其值为．
∵
，
关于轴对称，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
过点
作
垂直
于点
∵
，
∴
，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∴
平分
，
由（）可知：
≌
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】ASA
2. 垂自己
1. 如图，已知在
中，
，
，
．求证：
．
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【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
延长
交
于
．
∵
，
∴
．
在
和
中，
，
∴
≌
，
∴
，
，
，
∴
，
．
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】角分线有关的辅助线
2. 如图，在
中，
是
的角平分线，
，垂足为
．求证：
．
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【解析】
【标注】
【答案】证明见解析．
如图，延长
交
于
．
因为
，
，
，
所以
≌
．
于是
．
因为
，
所以
．
【知识点】延长构对称
3.
【解析】
如图，在
中，
为
的平分线，
于
，且
，请判断
和
的位置关系，并证明．
【答案】
；证明见解析．
．理由如下：
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【标注】
延长
、
交于点
，
∵
为
的平分线，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
≌
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
【知识点】延长构对称
