文档文本内容
【第3 讲：不等式的性质及基本不等式】
【知识点清单】
1．等式与不等式的性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
题型梳理
总览
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒n√a＞
n√b（ n∈N，且n＞1）．
2．不等式比较大小
【知识点的认识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
3．运用基本不等式比较大小
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为：a+b
2
≥❑√ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b
2
）2或者a+b≥2❑√ab
．
【解题方法点拨】
运用均值不等式比较大小时，需要将待比较的数值代入不等式．例如，要比较两个数a 和 b 的大小，可
以使用 a+b
2
≥❑√ab在具体题目中，通常会将两个数构造成可以应用均值不等式的形式，然后进行比较．
例如，比较 x
2+ 1
x
2 和 2 的大小，可以利用均值不等式得出 x
2+ 1
x
2 ≥2
4．运用基本不等式求最值
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为：a+b
2
≥❑√ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b
2
）2或者a+b≥2❑√ab
．
【解题方法点拨】
在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式 x+ 1
x
的最小值，可以利用均值不等式 x + 1
x ≥2从而得出最小值为 2，并且在 x＝1 时取到最小值．需要注意
的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证．
5．运用“1”的代换构造基本不等式
【知识点的认识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或
等于它们的算术平均数．公式为：a+b
2
≥❑√ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b
2
）2或者a+b≥2❑√ab
．
【解题方法点拨】
在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，
从而构造均值不等式，简化问题．
【命题方向】
运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式．
已知实数x，y∈R+，且x+y＝4，求1
x + 3
y 的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，
∴1
x + 3
y = x + y
4 x + 3( x + y)
4 y
= 1
4 + y
4 x + 3 x
4 y + 3
4 ≥1+
❑√3
2 ，当且仅当y
4 x = 3 x
4 y ，即y = ❑√3 x时取等号，
∴1
x + 3
y 的最小值为：1+
❑√3
2 ．
故答案为：1+
❑√3
2 ．
6．分式不等式
【知识点的认识】
分式不等式指的是含有分式的数学不等式．解分式不等式时，关键是注意分母不为零．
【解题方法点拨】
将分式不等式转化为普通不等式，并限定分母部分不为零，找出符合不等式的区间．综合各区间解，写出
最终解集．
7．指、对数不等式的解法
【知识点的认识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b 解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：
8．不等式的综合
【知识点的认识】
1、不等式的性质
2、不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
3、利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”．
4、常用不等式
5、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法．
比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1 的大小，然后作出
结论．
常用的放缩技巧有：
6．常系数一元二次不等式的解法：判别式﹣图象法
步骤：（1）化为一般形似：ax2+bx+c≥0，其中a＞0；
（2）求根的情况：ax2+bx+c＝0
→
能否因式分解
△＞0（＝0，＜0）；
（3）由图写解集：考虑y＝ax2+bx+c（a＞0）图象得解．
7．简单的一元高次不等式的解法：标根法：
其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线（奇穿偶回）；
（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集．
8．分式不等式的解法：
分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高
次项的系数为正，最后用标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去
分母．
9．绝对值不等式的解法：（了解）
（1）分域讨论法（最后结果应取各段的并集）
（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；（4）两边平方．
10、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”
注意：①解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．
②按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集．
含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法．
一般地，设关于x 的含参数a 的一元二次形式的不等式为：
．
（1）第一级讨论：讨论二次项系数f（a）是否为零；
（2）第二级讨论：若f（a）≠0 时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论△的符号；
（3）第三级讨论：若f（a）≠0 时，△＞0 时，先观察两根x1，x2大小是否确定，否则讨论两根的大小．
注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“＞”，“＝”，“＜”，应做到不重不漏．
11．不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题
常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合
法．
1）恒成立问题
若不等式f（x）＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f（x）min＞A，
若不等式f（x）＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f（x）max＜B．
10．二维形式的柯西不等式
【知识点的认识】
柯西不等式的二维形式
1．柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则（a1
2+a2
2）（b1
2+b2
2）≥（a1b1+a2b2）2 （当且
仅当a1b2＝a2b1时，等号成立）．
2．柯西不等式的向量形式：设α，β 为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α•β|．
3．二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么❑√x1
2+ y1
2+
❑√x2
2+ y2
2≥
❑√( x1−x2)
2+( y1−y2)
2．
【解题方法点拨】
柯西不等式的形式特点
从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标
运算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”．
11．平均值不等式
【知识点的认识】
平均值不等式
1．定理1（重要不等式）：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b 时，等号成立．
2．定理2（基本不等式）：如果a，b 是正数，那么a+b
2
≥❑√ab，当且仅当a＝b 时，等号成立．
3．我们常把叫做正数a+b
2
的算术平均，把叫做正数❑√ab的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：两个
正数的算术平均值不小于（即大于或等于）它们的几何平均值．
4．关于用不等式求函数最大、最小值
（1）若x≥0，y≥0，且xy＝p（定值），则当x＝y 时，x+y 有最小值2❑√p．
（2）若x≥0，y≥0，且x+y＝s（定值），则当x＝y 时，xy 有最大值s
2
4 ．
5．定理3：对任意三个正数a，b，c，有 a3+b3+c3≥3abc（此式当且仅当a＝b＝c 时取“＝”号）．
6．定理4：对任意三个正数a，b，c 有a+b+c
3
≥
3√abc （此式当且仅当a＝b＝c 时取“＝”号）．
1 ．均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为
Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过
平方平均数．
2．特殊情形：
①对实数a，b，有a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b 时取＝号）；
②对非负实数a，b，有a+b≥2❑√ab，即a+b
2
≥❑√ab；
③对非负实数a，b，有（a+b）≥2❑√ab；
④对实数a，b 有a（a﹣b）≥b（a﹣b）；
⑤对实数a，b 有a2+b2≥(a+b)
2
2
≥2ab；
⑥对实数a，b，c 有a2+b2+c2≥(a+b+c)
2
3
；
⑦对非负数a，b 有，a2+ab+b2≥3
4 (a+b)
2；
特殊到一个简单结论：
2
1
a + 1
b
≤❑√ab≤a+b
2
≤
❑√
a
2+b
2
2
．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/3 10:22:25；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663
一．等式与不等式的性质（共4 小题）
1．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．（a﹣b）c2≥0
B．ac＞bc
C．a+b≥b﹣c
D．c
2
a−b ＞0
2．已知x＜0，﹣1＜y＜0，则（ ）
A．xy＜xy2＜x
B．xy2＜x＜xy
C．x＜xy＜xy2
D．x＜xy2＜xy
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
B．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
C．若1
a ＜1
b ，则a＞b
D．若a＞b＞c＞0，则a
b ＞a+c
b+c
知识讲解与常考题型
题型分类
（多选）4．下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＜b，c＞d，则a﹣c＜b﹣d
C．若a＞b，则1
a ＜1
b
D．若a3＞b3，则a＞b
二．不等关系与不等式（共4 小题）
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．若a＞b＞0＞c＞d，则ab＞cd
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＞b＞0 且c＜0，则c
a
2 ＞c
b
2
D．若a＞b 且1
a ＞1
b，则ab＜0
6．设a，b∈R，则a＜b 的一个必要不充分条件是（ ）
A．1
a ＞1
b
B．a3＜b3
C．a2＜b2
D．a3b2≤a2b3
7．设x，y，z＞0，a= 4 x + 1
y ，b= 4 y + 1
z ，c = 4 z + 1
x ，则a，b，c 三个数（ ）
A．都小于4
B．至少有一个不大于4
C．都大于4
D．至少有一个不小于4
8．若a＜0，﹣1＜b＜0，则下列不等关系正确的是（ ）
A．ab＞ab2＞a
B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2
D．a＞ab＞ab2
三．不等式比较大小（共5 小题）
9．当0＜x＜y＜1 时，下列不等式中正确的是（ ）
A．(1−x)
1
y ＞(1−x)
y
B．（1+x）x＞（1+y）y
C．(1−x)
y＞(1−x)
y
2
D．（1﹣x）x＞（1﹣y）y
10．已知a＝3π，b＝eπ，c＝πe，则它们的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
11．a=e
−ln3，b=lo g2
3
2 ，c = ❑√2−1，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
12．已知a，b 满足0＜a＜b＜e，则ab+ lna
a 与ba+ lnb
b 的大小关系为（ ）
A．ab+ lna
a ＞ba+ lnb
b
B．ab+ lna
a =ba+ lnb
b
C．ab+ lna
a ＜ba+ lnb
b
D．不能确定
（多选）13．若a＞b＞0，则（ ）
A．aa＞bb
B．2a2＞b2+ab
C．blna＞alnb
D．aa+1＞bb+1
四．运用基本不等式比较大小（共5 小题）
14．已知a＞0，b＞0，则a+b
2
，❑√ab，❑√
a
2+b
2
2
，2ab
a+b 中最大的是（ ）
A．❑√
a
2+b
2
2
B．❑√ab
C．a+b
2
D．2ab
a+b
（多选）15．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）
A．a
2+b
2≥1
2
B．2a﹣b＞2
C．log2a+log2b≥﹣2
D．❑√a+ ❑√b≤❑√2
（多选）16．已知xy＞0 且2x+y＝2，则（ ）
A．0＜x＜1
B．2
x + 1
y ≤9
2
C．16x×4y＝16
D．16x+4y≥8
（多选）17．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列结论正确的是（ ）
A．2a•2b＝16
B．❑√ab≤2
C．log2a+log2b≥2
D．1
a + 1
b ≥1
18．已知α、β、γ 均为锐角，在sinαcosβ、sinβcosγ、sinγcosα 三个值中，大于1
2的个数的最大值为m，小
于1
4 的个数的最大值为n，则m+n＝ ．
五．运用基本不等式求最值（共9 小题）
19．已知x＞1，x +
2
x−1的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．2❑√2+1
D．5
20．已知a＞0，b＞0 且a+b＝1，则16a+9b
ab
的最小值是（ ）
A．49
B．50
C．51
D．52
21．已知ln（x+4y）＝2lnx+lny，则12
x + 1
y 的最小值为（ ）
A．❑√2
B．2
C．2❑√2
D．4 ❑√2
22．若x2+y2＝8（x＞1，y≠0），则
1
x
2−1
+ 36
y
2 的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．12
D．49
23．函数y = x
2+3 x +3
x +1
( x＜−1)的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．﹣1
24．若正实数x，y 满足xy+x﹣3y＝﹣1，则x﹣y 的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
25．已知a，b 为正数，1
a + 2
b =1，则ab+a+b 的最小值为（ ）
A．4 ❑√3
B．8
C．7+ 4 ❑√3
D．8+ 4 ❑√3
26．已知实数x、y 满足x＞y＞0，且x+y＝2，则
2
x +3 y +
1
x−y 的最小值为（ ）
A．3+2❑√2
B．3+2❑√2
4
C．3−2❑√2
D．3−2❑√2
4
27．若x，y∈[0，+∞），且2x﹣y＝4﹣xy，则
1
x−1 +
2
y +2的最小值是（ ）
A．2❑√2
B．2
C．❑√2
D．
❑√2
2
六．运用“1”的代换构造基本不等式（共4 小题）
28．已知正数x，y 满足1
x + 1
y =1，则x+4y 的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
29．已知3x＞y＞0，且7x+5y＝1，则
1
3 x−y +
2
2 x +3 y 的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
30．已知x＞0，y＞0，且xy＝2x+y，则3x+2y 的最小值为 ．
31．已知正实数x，y 满足x+y＝1，则6 x +2
xy
的最小值为 ．
七．不等式的综合（共5 小题）
32．已知a＞0，b∈R，若关于x 的不等式（ax﹣2）（x2+bx﹣6）≥0 在区间（0，+∞）上恒成立，则4a﹣
b 的最小值是（ ）
A．2
B．2❑√2
C．3
D．3 ❑√2
33．若不等式(m x
2−2 x
3)ln
1
x +n ≥0恒成立，则m2+4n2的最小值为（ ）
A．❑√2
B．2
C．4
D．6
34．已知不等式ln（x+1）a＞x3﹣2x2（其中x＞0）的解集中恰有三个正整数，则实数a 的取值范围是（
）
A．（3，8]
B．[3，8）
C．[ 9
ln 4 ，32
ln5 )
D．( 9
ln 4 ，32
ln5 ]
35．设a＝log34+log43，3a+4a＝5b，则（ ）
A．a＞b＞2
B．a＞2＞b
C．b＞a＞2
D．b＞2＞a
（多选）36．若a＞1，b＞1，且ab＝e2，则（ ）
A．2e≤a+b＜e2+1
B．0＜lna•lnb≤1
C．2❑√2−1≤lna+lo gab＜2
D．alnb的最大值为e
八．二维形式的柯西不等式（共5 小题）
37．已知，m，n∈R+，满足m2n+2mn2﹣4m﹣n＝0，则m+2n 的最小值为（ ）
A．2❑√2+1
B．❑√15
C．3 ❑√6
2
D．4 ❑√2+9
38．若a，b，c＞0 且a（a+b+c）+bc＝7﹣2❑√10，则2a+b+c 的最小值为（ ）
A．2❑√3+2
B．2❑√3−2
C．2❑√5+2❑√2
D．2❑√5−2❑√2
39．已知x2﹣3xy+2y2＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（ ）
A．❑√10−6
B．❑√10+6
C．2❑√10+6
D．2❑√10−6
40．已知a2+2ab﹣b2＝1，则a2+b2的最小值为 ．
41．已知x，y∈R，且满足x2+2y2+2xy＝5．
（1）求x+2y 的取值范围；
（2）求3x2+xy+2y2的取值范围．
九．平均值不等式（共4 小题）
42．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名的．其具体内容为：设
an＞0，bn＞0，n∈N
∗，m＞0，则
a1
m+1
b1
m + a2
m+1
b2
m + a3
m+1
b3
m +⋯+ an
m+1
bn
m ≥(a1+a2+a3+⋯+an)
m+1
(b1+b2+b3+⋯+bn)
m ，
当且仅当
a1
b1
= a2
b2
= a3
b3
=⋯= an
bn
时，等号成立．根据权方和不等式，若x∈(0，π
2 )，当3 ❑√3
sinx +
1
cosx 取
得最小值时，x 的值为（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
3
D．5 π
12
43．已知α，β∈（0，π
2 ），sin（2α+β）＝2sinβ，则tanβ 的最大值为（ ）
A．
❑√3
3
B．2
3
C．1
D．
❑√3
2
44 ．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b2+c2﹣a2 ＝bc ，则A ＝
；若a＝2，则△ABC 面积的最大值为 ．
45．在①asinB+ ❑√3bcosA＝0，②（a+b+c）（a﹣b﹣c）＝﹣bc，③bsin2A+asinB＝0 这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且____．
（1）求A；
（2）若角A 的角平分线AD＝1，且c≥3，求△ABC 面积的最小值．
一、单选题
1．（2022·上海·高考真题）若实数
、
满足
，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·福建·模拟预测）已知
，
，则使
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．2
课后针对训练
4．（2025·福建泉州·二模）若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·北京·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·浙江·模拟预测）已知实数
满足
，当
取到最小值时，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·福建宁德·模拟预测）若正实数a，b 满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值为2
B．
的最大值为4
C．
的最小值为1
D．
的最小值为
二、多选题
8．（2025·浙江温州·模拟预测）已知实数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·福建三明·模拟预测）若
，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
11．（23-24 高一上·江苏盐城·期末）设
，
，已知
，
，则下列说法正确
的是（ ）
A．
有最小值
B．
没有最大值
C．
有最大值为
D．
有最小值为
12．（2025·福建漳州·模拟预测）已知正实数x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2020·山东·高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
15．（2020·江苏·高考真题）已知
，则
的最小值是 ．
16．（2021·上海·高考真题）已知函数
的最小值为，则
.
17．（2021·天津·高考真题）若
，则
的最小值为 ．
18．（2025·上海·高考真题）设
，则
的最小值为 ．
19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数
满足
，若
的最小值为4，则实数
的取值范围是 ．
20．（2020·天津·高考真题）已知
，且
，则
的最小值为
