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第 04 讲 一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式
目录
第一部分：题型篇....................................................1
题型一：重点考查因式分解法解一元二次不等式.......................1
题型二：重点考查将分式不等式化为整式不等式.......................2
题型三：重点考查绝对值（单个）不等式的解法.......................3
题型四：重点考查含参数的一元二次不等式与分类讨论.................4
题型五：重点考查一元二次不等式与韦达定理.........................6
第二部分：方法篇....................................................7
一元二次不等式恒成立（有解）问题.................................7
方法一：二次函数在 上恒成立问题： 法.........................7
方法二：二次函数在 上有解问题： 法...........................8
方法三：二次函数在非 上恒成立：分离参数法....................9
方法四：二次函数在非 上有解问题：分离参数法..................9
方法五：已知参变量范围，求自变量范围：变更主元法.............10
第三部分：易错篇...................................................12
易错点一：一元二次不等式首项系数未化“正”......................12
不等式左右两边同除一个负数，不等号要改变........................12第一部分：题型篇
题型一：重点考查因式分解法解一元二次不等式
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）解下列不等式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
精练核心考点
1．（2023秋·云南怒江·高一校考期末）解一元二次不等式：
(1) ；
(2) .
题型二：重点考查将分式不等式化为整式不等式
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）解关于 的不等式 ．
例题2．（2023·高一课时练习）求不等式 的解集．例题3．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）解下列不等式：
.
精练核心考点
1．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）（1）解不等式 ；
2．（2023·高一课时练习）解下列不等式：
；
3．（2023·全国·高三专题练习）解关于 的不等式 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式
(1)
(2)
(3)题型三：重点考查绝对值（单个）不等式的解法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023·高一课时练习）解不等式 ．
精练核心考点
1．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·高一课时练习）解绝对值不等式
题型四：重点考查含参数的一元二次不等式与分类讨论
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式： ．例题2．（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知函数 ，解不等式
.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
例题4．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）已知 ，解关于 的不等式
．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）解关于 的不等式
精练核心考点
1．（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数
(1)解关于x的不等式 ；
(2)若关于x的不等式 的解集为 ，求 的最小值．2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ．
(1)若对于一切实数x， 恒成立，求m的取值范围；
(2)解不等式 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式 ．
4．（2023·高一课时练习）若 ，解关于 的不等式 ．
5．（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式 ．题型五：重点考查一元二次不等式与韦达定理
典型例题
例题1．（多选）（2023春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）已知关于 的不等式
的解集为 或 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．不等式 的解集为
C． D．不等式 的解集为 或
例题2．（2023·高一课时练习）已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解
集为______．
例题3．（2023春·新疆昌吉·高三校考阶段练习）已知不等式 的解集为 ，则不等式
的解集为______________．
例题4．（2023·高一单元测试）已知关于 的不等式 的解集为 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)解关于 的不等式 ．
精练核心考点
1．（多选）（2023秋·江西新余·高一统考期末）已知关于 的不等式 解集为
，则（ ）
A． B．
C． D．不等式 的解集为
2．（2023·高一课时练习）知关于x的不等式 的解集为 ，其中 ，则 的最
小值为______．
3．（2023·高一课时练习）已知不等式 的解集为 ，求不等式 的解集.
4．（2023·高一课时练习）若关于 的不等式 的解集为 ,则 ______，______．
第二部分：方法篇
一元二次不等式恒成立（有解）问题
方法一：二次函数在 上恒成立问题： 法
典型例题
例题1．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）若不等式 对一切实数 都成立，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
例题2．（2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考开学考试）函数 的定义域
为 ，则实数 的取值范围是_______________.
例题3．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式 对 恒成立，则 的取值范围是
__________， 的最小值为__________．
精练核心考点
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）若关于x的不等式 在 上恒成立，则实数
a的范围是____________.
2．（2023春·广东汕头·高一校考阶段练习）若关于x的不等式 的解集为R，则实数a的取
值范围是__________．
3．（2023·高一课时练习）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是______．方法二：二次函数在 上有解问题： 法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“ ， ”是真命题，则实数
的取值范围（ ）
A． B．
C． ） D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围
是____________．
精练核心考点
1．（2023春·江西吉安·高一江西省泰和中学校考期末）若命题“ ，使得不等式
”成立，则实数 的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·高一课时练习）（1）若关于 的不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
方法三：二次函数在非 上恒成立：分离参数法
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的 ，不等式
都成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023秋·高一课时练习）若不等式 对一切 都成立，则 的取值范围是
______．例题3．（2023·江苏·高一专题练习）若 时， 恒成立，则 的取值范围为
______.
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 时， 恒成立，则实数a
的取值范围是_________．
2．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式 对 恒成立，则a的取值范围是
____________．
方法四：二次函数在非 上有解问题：分离参数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 在区间 上有解，则实数
的取值范围是______.精练核心考点
1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式 在 上有解，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）关于 的不等式 在 内有解，则 的取值范围为
________．
3．（2023·高三课时练习）若关于 的不等式 在区间(0，2]上有解，则实数 的取值范围
是____________
方法五：已知参变量范围，求自变量范围：变更主元法
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）已知对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023·江苏·高一专题练习）已知 ， ，不等式 恒成立，则 的取
值范围为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，若 恒成立，则实数 的
取值范围是___________．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范
围．精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知当 时， 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·江苏·高一专题练习）若命题“ ”为假命题，则实数x的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为
___________.
第三部分：易错篇
易错点一：一元二次不等式首项系数未化“正”
不等式左右两边同除一个负数，不等号要改变
典型题1．（2023·全国·高三专题练习）若命题“对任意 ，使得 成立”是真命题，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）不等式 的解集为（ ）
A． B． C． 或 D．
4．（2023秋·广东广州·高一统考期末）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）不等式 的解集是______.
