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培优点04 切（割）线放缩
题型方法
题型一 单切线放缩
题型二 双切线放缩
导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x
进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0 时取等号；
(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1 时取等号．
【题型一】单切线放缩
【例1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，证明：
恒成立；
(2)若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围.
题型梳理
知识清单
题型方法
解题技巧
该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的问题(拆成两个函数)，两函数有斜率相同的切线，这
是切线放缩的基础，引入一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传递性即可，难点在
合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板．
【举一反三】【变式1】（2025·四川资阳·模拟预测）已知正项数列
满足
，
，记
…
，
(1)证明
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)证明
【变式2】（2025·河北邯郸·二模）已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)证明：
.
【变式3】（2025·河北·模拟预测）设
，
，
，若各项均为正数的数列
满足
，则称数列
具有性质“
”．
(1)已知数列
的前n 项和为
，且
，试判断数列
是否具有性质“
”，并说明理由；
(2)若数列
满足
，且
．
（i）证明：数列
具有性质“
”；
（ii）记数列
的前n 项和为
，证明：
．
【题型二】双切线放缩
【例2】已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若不等式
有且只有两个整数解，求实数
的取值范围；
(3)若方程
有两个实数根
，且
，求证：
．
解题技巧
含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数x1，x2)，告知方程f(x)＝b 有两个实根，要证明两个实根之
差小于(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零
点处)的切线方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或
所找直线)的上方或下方，进而对x1，x2作出放大或者缩小，从而实现证明
【举一反三】【变式1】（23-24 高三上·黑龙江哈尔滨）已知函数
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，证明:
在
上恒成立；
(3)若方程
有两个实数根
，且
，
求证:
.
【变式2】（2021·广东茂名·二模）已知函数
，
.
（1）当
时，若不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）若存在两个不相等的正数
，
，使得
，证明：
.
【变式3】（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数
，
，
(1)当
，
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若
且
恒成立，求
的取值范围：
(3)当
时，记
，
（其中
）为
在
上的两个零点，证明：
.
一、解答题
1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）设函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
的最小正周期及单调递增区间；
(2)记函数
在
上的最大值为
．
（i）求
关于
的表达式；
好题必刷
（ⅱ）证明：当
时，
在
上恒成立．
2．（2024·贵州六盘水·三模）若函数
在
上有定义，且对于任意不同的
，都有
，则称
为
上的“k 类函数”
(1)若
，判断
是否为
上的“4 类函数”；
(2)若
为
上的“2 类函数”，求实数a 的取值范围；
(3)若
为
上的“2 类函数”且
，证明：
，
，
.
3．（2024·四川·模拟预测）已知函数
，且
恒成立．
(1)求实数
的取值集合；
(2)证明：
．
4．（2025·甘肃平凉·模拟预测）定义函数
.
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)若
对任意的
恒成立，求
的取值范围；
(3)讨论函数
的零点个数，并判断
是否有最小值.若
有最小值
，证明：
；若
没有最
小值，请说明理由.
5．（2025·浙江·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在
，使得
.证明：
.
6．（2023·河南·模拟预测）已知函数
．
(1)若
恒成立，求a 的取值范围；
(2)
有两个零点
，
，证明：
．
7．（2023·山东·二模）已知函数
在点
处的切线方程为
．
(1)求
，
；
(2)若函数
有两个零点
，
，且
，证明：
．
