文档文本内容
第 01 讲 数列的概念与简单表示法
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................2
第二部分：高考真题回顾........................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................3
高频考点一：利用 与 的关系求通项公式(角度1：利用 替换 ).....3
高频考点二：利用 与 的关系求通项公式(角度2：利用 替换 ).....4
高频考点三：角利用 与 的关系求通项公式(角度3：作差法求通项).........5
高频考点四：利用递推关系求通项公式（角度1：累加法）..........................6
高频考点五：利用递推关系求通项公式（角度2：累乘法）..........................8
高频考点六：利用递推关系求通项公式（角度3：构造法）..........................9
高频考点七：利用递推关系求通项公式（角度4：倒数法）........................10
高频考点八：数列的性质及其应用（角度1：数列的周期性）.....................12
高频考点九：数列的性质及其应用（角度2：数列的单调性）.....................12
第四部分：新定义题.............................................................................................13第一部分：基础知识
1、数列的有关概念
概念 含义
数列 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列 的第 项
如果数列 的第 项 与序号 之间的关系能用公式
通项公式
表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和 数列 中， 叫做数列的前 项和
2、数列的表示方法
（1）列表法
列出表格来表示序号与项的关系．
（2）图象法
数列的图象是一系列孤立的点 ．
（3）公式法
①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如 ．
②递推公式法：使用初始值 和 或 ， 和 来表示数列的方法．
3、 与 的关系
若数列 的前 项和为 ，则 ．
4、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列
项与项间
的大小关 递减数列 其中
系
常数列第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
2．（2024·全国·高考真题（甲卷理））记 为数列{a )的前 项和，已知 ．
n
(1)求 的通项公式；
{a )
n
(2)设 ，求数列{b )的前 项和 ．
n
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用 与 的关系求通项公式(角度1：利用 替换 )
典型例题例题1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且满足
， ，则数列 的通项公式是 ．
例题2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列 的前n项和为 ，且 ，则数列 通
项公式 ．
练透核心考点
1．（23-24高一下·上海·期末）已知数列 的前 项和 ，则它的通项公式 ．
2．（23-24高二下·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知数列{a )的前n项和为 .
n
(1)求 ， ；
(2)求数列 的通项公式.
{a )
n
高频考点二：利用 与 的关系求通项公式(角度2：利用 替换 )
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设 是数列 的前 项和，且 .若对 满足，数列 的前 项和为 ．
例题2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知正项数列 的首项 ，前 项和 满足
．
(1)求数列 的通项公式；
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知数列 满足 ，
(1)求数列 的通项公式;
2．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知各项均为正数的数列 前 项和为 ，且 ，
.
(1)求数列 的通项公式；高频考点三：角利用 与 的关系求通项公式(角度3：作差法求通项)
方法总结：已知等式中左侧含有： ，作差法（类似 ）（注意记忆该模型）
典型例题
例题1．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列 满足 ，则
.
例题2．（23-24高二下·辽宁·期中）已知正项等差数列 ， 为数列 的前 项和，且满足 ，
，设数列 满足 .
(1)分别求数列 和 的通项公式；
练透核心考点1．（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024 高三下·全国·专题练习）数列 满足 ，则
．
高频考点四：利用递推关系求通项公式（角度1：累加法）
累加法（叠加法）(记忆累积法模型)
a −a =f(n)(n∈N¿ )
若数列 满足 ，则称数列 为“变差数列”，求变差数列 的通项时，利
{a } n+1 n {a } {a }
n n n
用恒等式
a =a +(a −a )+(a −a )+¿⋅¿+(a −a )=a +f(1)+f(2)+f(3)+¿⋅¿+f(n−1)(n≥2)求
n 1 2 1 3 2 n n−1 1
通项公式的方法称为累加法。
具体步骤：
将上述 个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得： =
典型例题例题1．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）若数列{a )满足 ，数列 的前n项和为
n
，则
例题2．（23-24高二下·广东深圳·期末）设数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式;
练透核心考点
1．（2024·四川·模拟预测）数列 满足 ，且 ，则 等于（ ）
A．148 B．149 C．152 D．299
2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列{a )满足 ，当 时， .
n
(1)求 的通项公式；
{a )
n
高频考点五：利用递推关系求通项公式（角度2：累乘法）
累乘法（叠乘法）（记忆累乘法模型）
a
若数列 满足 n+1 =f(n)(n∈N¿)，则称数列 为“变比数列”，求变比数列 的通项时，利用
{a } a {a } {a }
n n n n
a a a a
a =a⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅¿⋅¿ n =a⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅¿⋅¿f(n−1)(n≥2)求通项公式的方法称为累乘法。
n 1 a a a a 1
1 2 3 n−1
具体步骤：将上述 个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
典型例题
例题1．（23-24高二下·四川达州·期中）在数列 中，若 ，且对任意 有 ，则数列
的前30项和为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024高三·全国·专题练习）记 为数列 的前 项和， ，.
(1)求 的通项公式；
练透核心考点
1．（2024高三下·全国·专题练习）在数列 中， ，前 项和 ，则数列 的通项
公式为 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列 满足 .(1)求 的通项公式.
高频考点六：利用递推关系求通项公式（角度3：构造法）
用“待定系数法”构造等比数列
形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为
n+1 n
p
（其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出 的通项，从而
a +m=k(a +m) k−1 {a +m} {a +m}
n+1 n n n
{a }
求出数列 的通项公式.
n
标准模型：a =ka+p（k,p为常数，kp≠0）或 （k,p为常数，kp≠0）
n+1 n
典型例题
例题1．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列{a )的递推公式为 且 ，则数
n
列{a )的前n项和 =
n
例题2．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列{a )的首项为 ，且满足 ，则
n
．
例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，且 ， .求数
列 的通项公式；练透核心考点
1．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列 满足 ， .
(1)证明：数列 为等比数列；
2．（2024高三下·四川成都·专题练习）已知数列{a )的前 项和为 ，且满足 ．
n
(1)求证：数列 为等比数列；
高频考点七：利用递推关系求通项公式（角度4：倒数法）
用“倒数变换法”构造等差数列
qa
类型1：形如a = n （ 为常数， ）的数列，通过两边取“倒”，变形为
n+1 pa+q
p,q
pq≠0
n
1 1 p 1 1 p {1 } {1 }
= + ，即： − = ，从而构造出新的等差数列 ，先求出 的通项，即可求得 .
a a q a a q a a a
n+1 n n+1 n n n n
类型2：形如 （ 为常数， ， ， ）的数列，通过两边取“倒”，
p,q
变形为 ，可通过换元： ，化简为： （此类型符构造法类型1： 用
“待定系数法”构造等比数列：形如 a =ka+p （k,p为常数，kp≠0）的数列，可用“待定系数
n+1 n
p
法”将原等式变形为 （其中：m= ），由此构造出新的等比数列 ，先求出
a +m=k(a +m) k−1 {a +m}
n+1 n n{a }
{a
n
+m}的通项，从而求出数列
n
的通项公式.）
典型例题
例题1．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式.
练透核心考点
1．（23-24高一下·上海·期末）在数列 中，已知 ．
(1)求 的通项公式；
2．（2024·陕西咸阳·三模）数列 满足 ， .
(1)求数列 通项公式；
高频考点八：数列的性质及其应用（角度1：数列的周期性）
典型例题例题1．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）数列 中， ，则 的值为
（ ）
A． B． C．5 D．
例题2．（23-24高二下·河南信阳·期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波
那契数列.数列 满足 ， .现从数列的前2023项中随机抽取1项，能被3除余1的
概率是（ ）
A． B． C． D．
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列 满足 ， （ ），则 （ ）
A．2 B． C． D．2023
2．（23-24高二下·河南焦作·期中）记数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，若 且
，则 .
高频考点九：数列的性质及其应用（角度2：数列的单调性）
方法总结：求数列最值的常用方法
(1)利用数列的单调性:根据单调性求数列的最值.
(2)通过建立不等式组求解:若设第 ( )项最大,则有 解该不等式组确定 的值即得数列的
最大值（注意 ）.
(3)通过建立不等式组求解:若设第 ( )项最大,则有 解该不等式组确定 的值即得数列的
最小值（注意 ）.
典型例题例题1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列 ，则数列 的前100项中
的最小项和最大项分别是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
例题2．（23-24高二下·北京房山·期末）设无穷数列 的通项公式为 .若 是单调
递减数列，则 的一个取值为 .
练透核心考点
1．（23-24高一下·天津）已知 ，则数列 的最大项（ ）
A． B． C． 或 D．不存在
2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列 满足： ，且数列
是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第四部分：新定义题
1．（多选）（山东省青岛市2024-2025学年高三上学期期初调研检测数学试题）设数列{a )和{b )的项数
n n
均为 ，称 为数列{a )和{b )的距离．记满足 的所有数列{a )构成的集合为 ．已知
n n n
数列 和 为 中的两个元素，项数均为 ，下列正确的有（ ）
A．数列 和数列 的距离为
B．若 ，则
C．若 ，则D．若 ， ，数列 和 的距离小于 ，则 的最大值为
2．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知数集 具有性质 ：
对任意的 与 两数中至少有一个属于 .
(1)分别判断数集 与 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)（i）证明： 且 ；
（ii）当 时，若 ，写出集合 .
3．（2024·海南·模拟预测）定义：已知数列 为有穷数列， 对任意 （ ），总存在
，使得 ，则称数列 为“乘法封闭数列”；①对任意 （ ），总存在
②
，使得 ，则称数列 为“除法封闭数列”，
(1)若 ，判断数列 是否为“乘法封闭数列”.
(2)已知递增数列 ，为“除法封闭数列"，求 和 .
(3)已知数列是以1为首项的递增数列，共有项，，且为“除法封闭数列”，探究：数列是否为等比数列，
若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列的通项公式.
