文档文本内容
培优点3 解三角形中的范围与最值问题
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................4
题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解................................................................................4
题型二：利用余弦定理及基本不等式求解........................................................................................5
题型三：换元法求解范围....................................................................................................................6
题型四：坐标法....................................................................................................................................7
题型五：三角形中的平方问题............................................................................................................8
题型六：等面积法................................................................................................................................9
题型七：常见数学史问题..................................................................................................................10
题型八：四心问题..............................................................................................................................12
04 课时精练........................................................................................................................................14
解三角形范围与最值是高考中档难点，多在解答题中后段或选填压轴，分值 5-12 分。常以边长、面积
角的三角函数值为目标，依托正余弦定理转化为函数或不等式问题。常用方法有：三角函数有界性、基本
不等式、二次函数最值。近年常与几何约束（如固定边、角）结合，侧重转化思想与代数求最值能力。
在解三角形专题中，求其范围
“
与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，
通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解
【例题1】在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求角
；
(2)若
，且边
的中线
的长为
，求
的面积；
(3)若
是锐角三角形，求
的范围．
【例题2】在锐角
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
．
(1)求证：
；
(2)若
，求a 边的范围；
(3)求
的取值范围．
【变式1】（2025·高三·浙江丽水·期末）已知锐角
内角
的对边分别为
.若
.
(1)求
；
(2)若
，求
的范围.
【变式2】（2025·江西南昌·三模）在锐角
中，
，
，
(1)求角A；
(2)求
的周长l 的范围.
题型二：利用余弦定理及基本不等式求解
【例题3】（2025·高三·河北石家庄·期中）在
中，角
所对的边为
且满足
.
(1)求
；
(2)当
时，求
边上中线
的范围.
【例题4】在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且a，b，c 满足
，
.
(1)求B；
(2)若D 为线段BC 上一点，且满足
，
，求CD 的长；
(3)若
为锐角三角形，求
面积的范围.
【变式3】在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
周长的范围
【变式4】（2025·高三·河北邢台·开学考试）已知在
中，角
所对的边分别是
，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的外接圆半径为1，求
面积的最大值.
【变式5】在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，当
的面积取得最大值时，求
内切圆的半径．
题型三：换元法求解范围
【例题5】在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
(1)若
，求证：
；
(2)若
，求
的最大值．
【例题6】在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)若
，且边
的中线
长为
，求
的面积；
(2)若
是锐角三角形，求
的范围.
【变式6】在
中，角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
周长为6，求
的面积；
(3)若
为锐角三角形，求
的范围．
【变式7】在锐角三角形
中，
分别为角
所对的边，
.
(1)证明：
.
(2)求
的范围.
题型四：坐标法
【例题7】（2024·山东·二模）已知△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，点G 是△ABC 的重心，且
.
(1)若
，求tan∠GAC 的值；
(2)求cos∠ACB 的取值范围.
【例题8】在
中，
，
，点
在
内部，
，则
的最小值为______．
【变式8】（2025·江西·模拟预测）设
的面积为，内角
的对边分别为
为
中点，已
知
．
(1)求
；
(2)若
，求的范围．
题型五：三角形中的平方问题
【例题9】（2024·高三·江苏常州·期末）已知
中，
，
所在平面内存在点
使得
，则
面积的最大值为 ．
【例题10】（2024·辽宁辽阳·一模）在
中，内角
的对边分别为
，且
，
则
的最小值为 .
【变式9】在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
，则
的取值范围
是___________.
题型六：等面积法
【例题11】在
中，
，且
．
(1)求角
；
(2)求
面积的最大值；
(3)若
是
边
上的一点，且
证明
，并求
的最小值. 提
示：函数
在区间
上单调递减．
【例题12】在
中，角
的对边分别为
，且
，
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
为锐角三角形.
（
）求
ⅰ
的取值范围；
（
）若
ⅱ
是
的角平分线，求
的取值范围.
【变式10】（2025·高三·山东·开学考试）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
(1)求
；
(2)若
的面积为
，且∠BAC 的平分线交边BC 于点D，求AD 的最大值．
【变式11】已知函数
，
，且
在区间
上单调递增，
记
的最大值为
，设
.
(1)求
的解析式；
(2)在
中，
，
，其内切圆半径为r，点P 满足
.
求
①
r 的最大值；
当
②
r 取得最大值时，求
长的取值范围.
题型七：常见数学史问题
【例题13】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在
中，
对应的边分别为
，
.
(1)求角
的大小；
(2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都
以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中
有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式：
，
其中
，当且仅当
时等号成立，在（1）的条件下，若
.
求
①
的最小值；
若
②
是
内一点，过点
作
的垂线，垂足分别为
，设
的面积为，求
的最小值.
【例题14】（2025·湖北·三模）
内一点O，满足
，则点O 称为三角形的布
洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如
，请你和他一起解决如下问题：
(1)若a，b，c 分别是A，B，C 的对边，
，证明：
；
(2)在（1）的条件下，若
的周长为4，试把
表示为a 的函数
，并求
的取值范围．
【变式12】已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也
构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角
中，角
，
，
所
对的边分别为
，
，，且
，以
的边
，
，
分别向外作的三个等边三角形的中心
分别记为
，
，
，记
为
的外接圆半径.
(1)若
，求
的值；
(2)在（1）的条件下，求
边长的最大值；
(3)若
的面积为
，且
，求
面积的取值范围.
【变式13】在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
，求a；
(3)拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：
以任意三角形的三条边为边
“
，
向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为
拿破仑三角形）的顶点．
如图，以
”
BC，AC，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为
A'，B'，C'，若
，求△A'B'C'的面积的最大值．
题型八：四心问题
【例题15】
为锐角三角形，内角
的对边分别为
.已知
为
的外心，
为
上一
点，且
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的取值范围；
(3)若
，求
的取值范围.
【例题16】已知
内角
的对边为
，点
是
的内心，若
．
(1)求角
；
(2)延长
交
于点
，若
，求
的周长；
(3)求
的取值范围．
【变式14】记
的内角
所对的边分别为
，向量
，且
.
(1)求角A；
(2)若
，点
为
的内心，求
面积的最大值.
【变式15】在
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，已知
，
点
是
的中点，点
在线段
上，且
，线段
与线段
交于点
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的值；
(3)若
的面积
，点
是
的重心，求
的最小值．
1．在
中，若
边上的高为
，求
的范围.
2．记△
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的范围.
3．在
中，角
所对的边分别为
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求
的范围.
4．在
中，内角
所对的边分别是
且
．
(1)求角A；
(2)若
，求
周长的范围．
5．（2025·四川德阳·模拟预测）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的面积范围.
6．（2025·广东广州·一模）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c 且满足
，
．
(1)求角A 的大小；
(2)求
周长的范围．
7．（2025·高三·安徽·开学考试）已知
的内角
满足
，
且
的面积大小为4.
(1)求边
长的最大值；
(2)当边
长取到最大值时，求
的周长.
8．（2025·高三·河北·开学考试）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
边
上的中线
的长度为
，求
面积的最大值．
9．（2025·高三·山东烟台·开学考试）
满足：
(1)求角
的大小；
(2)
为
的中点，且
，求
的最大值
(3)若
为
外一点，
，求四边形
面积的最大值
10．（2025·高三·江苏南通·开学考试）在锐角三角形
中，记
分别为内角
的对边，
．
(1)求
的值；
(2)求角
的最大值．
11．已知
的内角
的对边分别为
，
的面积为，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积的最大值.
12．在①
，②
，③
，三个条件中
任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计
分．）
在锐角
中，
的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________．
(1)求角A 的大小；
(2)若E 为BC 中点，且
，
，求AC 的值；
(3)如图所示，作
（A、D 位于直线BC 异侧），使得四边形
满足
，
，
求AC 的最大值．
13．在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，向量
，
，且
.
(1)若
，
，求
面积的最大值；
(2)若
，求
的取值范围.
14．如图，平面上有四点
，其中
为定点，
，
为动点，满足
，
设
与
的面积分别为
．
(1)若
，求角
的值；
(2)求
的最大值．
15．
我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一
“
个大人，我是说
除了我
《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠
……
”
的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形
的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD
连接，设
中边
所对的角为
，
中边
所对的角为
，经测量知
，
．
(1)若
，求
；
(2)霍尔顿发现无论
多长，
为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记
与
的面积分别为
和
，为了更
好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出
的最大值．
16．已知
，
，
，设
的内角
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)若
，
，
为角A 的平分线，且交
于点
，求
的长；
(2)若
的面积为
，
为
的中点，求
长的最小值；
(3)若
，求
周长的取值范围．
17．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若
，
(1)求证：
是等腰三角形；
(2)己知
的面积为18，点D 满足
，求线段AD 的最小值．
18．在
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，若
，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
且
，点
，
是边
上的两个动点，
且
.
（i）设
，用
表示
；
（ii）设
的面积为，求的最小值.
19．在
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积
，求
面积的最小值.
20．在等腰直角三角形
中，斜边
，点
，
均在线段
上（不含端点），且
.
(1)若
，求
的长；
(2)求
的面积的最小值.
21．
费马点
是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题
“
”
.该问题是：在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小
于
时，使得
的点
即为费马点；当
有一个内角大于或等于
时，
最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题：
(1)若
是边长为
的等边三角形，求该三角形的费马点
到各顶点的距离之和；
(2)
的内角
所对的边分别为
，且
，点
为
的费马点.
（i）若
，求
的值；
（ii）求
的最小值.
22．
费马点
是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的
“
”
费马点，当
的三个内角均小于
时，使
的点
即为费马点．已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
，点
是
的
费马点．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积；
(3)求
周长的取值范围．
23．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，满足
．
(1)求角
．
(2)
为边
上一点，且
．
若
①
，求当
取最小值时
的值；
若
②
为角平分线，求
的取值范围．
24．已知
的内角
，
，
的对边为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
；
①
为
的中点，求
底边
上中线
长的最小值；
求内角
②
的角平分线
长的最大值.
25．已知函数
的最小正周期为
.
(1)求
的解析式；
(2)在
中，O 为
的外心，角A 所对边的长为a，若
的外接圆半径为1，且
，求
面积的最大值.
26．在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
.
(1)求
；
(2)若
为_______，线段
的延长线交
于点
，求
的最大值或最小值.
（从条件
内心，
①
，
垂心，
②
重心，
③
，任选一个作答）
