文档文本内容
第 04 讲 幂函数与二次函数
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：幂函数的定义.........................................3
角度1：求幂函数的值...........................................3
角度2：求幂函数的解析式.......................................3
角度3：由幂函数求参数.........................................4
高频考点二：幂函数的值域.........................................6
高频考点三：幂函数图象...........................................8
角度1：判断幂函数图象.........................................8
角度2：幂函数图象过定点问题..................................10
高频考点四：幂函数单调性........................................13
角度1：判断幂函数的单调性....................................13
角度2：由幂函数单调性求参数..................................14
角度3：由幂函数单调性解不等式................................15
高频考点五：幂函数的奇偶性......................................18
高频考点六：二次函数............................................20
角度1：二次函数值域问题......................................20
角度2：求二次函数解析式......................................21角度3：由二次函数单调性（区间）求参数........................22
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数........................23
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题......................23
第四部分：新定义题（解答题）.......................................28
第一部分：基础知识
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数．
（2）五种常见幂函数
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性 在 上
在 和
质 在 上单 单调递减； 在 上单调 在 上单
单调性 上单
调递增 在 上 递增 调递增
调递减
单调递增
公共点
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数 ，在
①当 时， 在 单调递增；
②当 时， 在 单调递减；
2、二次函数
形如 的函数叫做二次函数.第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）已知 是幂函数，则
（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】由幂函数的性质得出结果即可.
【详解】由题知 ，解得 ，且 ，解得 .
故选：D
例题2．（2024上·河北承德·高一统考期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 .
【答案】16
【分析】由题意可求出幂函数的解析式，再代入求值，即可求得答案【详解】设 ，因为幂函数 的图象过点 ，故 ，
所以 ，
故答案为：16
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）若幂函数 的图象经过点 ，则
．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和过点，求解解析式.
【详解】根据幂函数 ，则 ，
又由 过点 ，所以 ，
故 ，所以 .
故答案为： .
例题2．（2024上·河北保定·高一统考期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 .
【答案】4
【分析】利用待定系数法求得函数解析式，进一步计算即可.
【详解】设 ，因为 ，所以 ,
则 ，
故答案为：4.
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）已知幂函数 在 上单调递增，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由幂函数的定义即可得解.
【详解】由题意得幂函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 或 （舍）.
故选：D.
例题2．（2024上·安徽阜阳·高一阜阳市第三中学校考期末）已知幂函数 的图象
不经过第二象限，则 （ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的概念求出 ，再由函数图象不经过第二象限得出即可．
【详解】解：因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
当 时， ，显然其图象不经过第二象限，满足题意；
当 时， ，其图象经过第二象限，不满足题意；
综上， ．
故选：D．
练透核心考点
1．（2024上·河南商丘·高一校考期末）若 是定义域为 的幂函数，则
．
【答案】2
【分析】由幂函数的性质求解即可.
【详解】解：因为 为幂函数，
则有 ，解得 ，
又因为函数 的定义域为 ，所以 ．
故答案为：2
2．（2024上·安徽淮南·高一深圳市高级中学校联考期末）若幂函数 在区间
上单调递减，则 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义求出 值，再根据在 上单调递减求值即可.
【详解】因为 为幂函数，所以 ；解得 或 ，又因为 在 上递减，所以 ，故 .
故答案为：
3．（2024下·湖北·高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）已知幂函数 在
上单调递减，则 ．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义求出 值，再根据在 上单调递减求得 值.
【详解】因为 为幂函数，所以 ；解得 或 ，
又因为 在 上递减，所以 ，故 ．
故答案为：
4．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 等于
.
【答案】2
【分析】首先求幂函数的解析式，再代入求值.
【详解】设 ， ，得 ，
即 ，所以 .
故答案为：2
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即
可.
【详解】由已知 值域为 ，故A错误；时，等号成立，所以 的值域是 ，B错
误；
因为定义域为 ， ，函数值域为 ，故C正确；
， ， ，所以 ，故D错误.
故选：C.
例题2．（2024·全国·高一假期作业）已知幂函数 在区间 上是减函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)讨论函数 的奇偶性和单调性；
(3)求函数 的值域．
【答案】(1) 或 或
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）依题意可得 ，求出 的取值范围，再根据 ，即可得到 ，再代入求出
函数解析式；
（2）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；
（3）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；
【详解】（1）解：依题意 ，即 ，解得 ，因为 ，所以
或 或 ，所以 或 或
（2）解：若 定义域为 ，则 为奇函数，且在 和 上单调递
减；
若 定义域为 ，则 为偶函数，且在 上单调递增，在 上单
调递减；
若 定义域为 ，则 为奇函数，且在 和 上单调递减；
（3）若 ，则 为奇函数，当 时 ，所以 时 ，所以函数的
值域为 ；
若 ，则 为偶函数，当 时 ，所以 时 ，所以函数的值
域为 ；若 ，则 为奇函数，当 时 ，所以 时 ，所以函数的值域
为 ；
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】对于A：函数 的定义域为 ，值域也为 ，不符合题意；
对于B：函数 的定义域和值域都为 ，不符合题意；
对于C： 的定义域和值域都为 ，不符合题意；
对于D： 的定义域为 ；
当 时， ；当 时， ；
所以值域为 ，定义域和值域不相同，符合题意；
故选：D．
2．（2024下·河北承德·高二承德县第一中学校联考开学考试）函数 的值域为
．
【答案】 /
【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可
【详解】当 时， 在 上单调递减，
所以 ；
当 时， 在 上单调递减，
所以 ；
所以函数 的值域为 ，故答案为：
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一假期作业）函数 与 在同一平面直角坐标系中的图
象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对B选项，根据 确定 ，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数
性质，得到答案.
【详解】 ，当 时，二次函数对称轴为 ，
对选项A：根据 确定 ，二次函数开口向下，对称轴在 轴右边，满足；
对选项B：根据 确定 ，二次函数开口向下，不满足；
对选项C：根据 确定 ，二次函数开口向上，对称轴在 轴左边，满足；
对选项D：取 ，则 ， ，满足图像；
故选：B
例题2．（2024·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故 满足；
图象（2）关于 轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故 满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故 满足；
图象（4）关于 轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故 满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故 满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随 增大递减，故 满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随 增大递增，故 满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题例题1．（2024上·上海·高一上海市吴淞中学校考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．当 时，函数 的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过 ， 两点
C．幂函数 图象不可能在第四象限内
D．若幂函数 为奇函数，则 是定义域内的严格增函数
【答案】C
【分析】由幂函数的图象与性质判断即可.
【详解】对A，当 时，函数 的图象是一条直线除去点 ，所以A项不正确；
对B，幂函数的幂指数小于0时，图象不经过 ，所以B项不正确；
对C，幂函数 的图象不可能在第四象限内，所以C项正确；
对D，当 时，幂函数 为奇函数，但在定义域内不是严格的增函数，所以D项不正确；
故选：C.
例题2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 ， 的图象恒过定点A，若点A在一次函数
的图象上，其中m， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】求出定点A的坐标，并求出 的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】依题意， ，则 ，因此 ，
当且仅当 时取等号，
所以当 时， 取得最小值4.
故选：D
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数 （ 且 互质）的图象关于y轴对称，如图所
示，则（ ）A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出 ；根据函数的奇偶性及 ， 互质可判断出 为偶数， 为奇数.
【详解】因为函数 的定义域为 ，且在 上单调递减，
所以 0，
因为函数 的图象关于y轴对称，
所以函数 为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
2．（多选）（2024上·重庆北碚·高一统考期末）函数 与 在同一直角坐标系中的
图象不可能为（ ）
A． B．C． D．
【答案】BD
【分析】结合二次函数与幂函数的性质，逐一分析各选项即可得解.
【详解】因为 ， ，
对于A，当 时， ，其图象开口向下，对称轴为 ，
，其图象关于原点对称，且在 上单调递减，故A满足要求；
对于B，当 开口向上时， ，
此时 在 上单调递增，故B不满足要求；
对于C，当 时， ，其图象开口向上，对称轴为 ，
，其图象在 上单调递增，且越来越缓，故C满足要求；
对于D，当 开口向上时， ，
此时其对称轴为 ，故D不满足要求.
故选：BD.
3．（多选）（2024·全国·高一专题练习）已知幂函数 的图象经过函数 （ 且
）的图象所过的定点，则幂函数 具有的特性是（ ）
A．在定义域内单调递减 B．图象过点
C．是奇函数 D．定义域是
【答案】BC
【分析】求出函数 的图象所过定点的坐标，代入函数 的解析式，求出 的值，再利用幂函数的
基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】由 ，即 ，可得 ，
故函数 （ 且 ）的图象过定点 ，则 ，解得 ，则 ，定义域为 ，且为奇函数，
函数 在 上单调递减，在 上单调递减，但在定义域内不单调递减.
因为 ，所以函数 的图象经过点 ，所以选项B、C正确.
故选：BC.
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023上·北京海淀·高一统考期末）下列函数中，既是奇函数，又在 上单调递减的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断；利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D
判断.
【详解】对A、C：由 ，定义域为 ，所以 不是奇函数，故A错误；
定义域为 ， ，所以 是偶函数，故C错误；
对B、D： ，定义域为 ， ，所以 为奇函数，
当 时， ，且 在 上单调递减，故B正确；
，定义域为 ，且 ，所以 为奇函数，且在定义域上为增函
数，故D错误；
故选：B.
例题2．（2023上·湖南常德·高一湖南省桃源县第一中学校考期中）函数 的单调递减
区间为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】令 ， ，利用复合函数的单调性求解.
【详解】解：由 ，得 ，即 ，
解得 ，所以 的定义域为 ，
令 ，在 上递增，在 上递减，又 ，在 上递减，
所以 在 上递减，
所以函数 的单调递减区间为 ，
故选：C
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023上·江苏镇江·高一江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若 是幂函数，
且在 上单调递增，则 的值为（ ）
A． 或 3 B．1 或 C． D．3
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】因为 是幂函数，
则 ，则 或 ，
当 ， ，不符合题意，
当 ， ，则 在区间 上是单调递增函数，符合题意，则 ；
故选：D.
例题2．（2023上·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考阶段练习）已知幂函数 单调
递减，则实数 .
【答案】
【分析】由幂函数的定义及性质列方程求解.
【详解】因为幂函数 单调递减，
所以 ，解得 .
故答案为：角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023上·高一课时练习）已知幂函数 的图象关于y轴对称，且在 上单调递
减，求满足 的a的取值范围.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质求得 ，利用幂函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数 在 上单调递减，所以 ，即 .
又 ，所以 或 .
又函数 的图象关于y轴对称，所以 是偶数，所以 ，即 .
则原不等式可化为 .
因为函数 在R上是增函数，所以 ，解得 .
故实数a的取值范围是 .
例题2．（2023上·广西钦州·高一校考期中）已知 是幂函数.
(1)求 、 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义列出关于 的方程组，由此求解出 的值；
（2）分析 的定义域和单调性，然后列出关于 的不等式组，由此求解出结果.
【详解】（1）因为 是幂函数，
所以 ，解得 ；（2）由（1）可知 ，定义域为 ，且 ，
所以 是 上的单调递增函数，
又因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
练透核心考点
1．（多选）（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.
【详解】对于A， 是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确；
对于B， 是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误；
对于C， ，故 在其定义域上不单调递减，故C错误；
对于D， 是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误.
故选：AD.
2．（2023上·河北沧州·高一统考期中）若幂函数 在 上单调递增，则实数
.
【答案】6
【分析】根据幂函数定义及性质求解即可.
【详解】由函数为幂函数可知， ，
解得 或 ，
因为幂函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为：63．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数 在 上是增函数.
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用幂函数的定义与单调性可得出关于实数 的等式与不等式，解出 的值，即可得出函
数 的解析式；
（2）分析函数 的定义域与单调性，根据 可得出关于实数 的不等式组，由此可解
得实数 的取值范围.
【详解】（1）因为函数 为幂函数，则 ，
即 ，即 ，解得 或 ，
又因为函数 在 上是增函数，则 ，解得 ，
所以， ，故 .
（2）由（1）可知， ，该函数的定义域为 ，
对任意的 ， ，则函数 为 上的奇函数，
因为函数 在 上为增函数，则该函数在 上也为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
由 可得 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 .
4．（2023上·湖南长沙·高一长沙一中校考期中）已知幂函数 在定义域内单调递
增．
(1)求 的解析式；
(2)求关于x的不等式 的解集．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）取 ，再验证单调性得到答案.
（2）根据函数的单调性和定义域得到不等式，解得答案.
【详解】（1）幂函数 在定义域内单调递增，
故 ，解得 或 ，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，不满足；
当 时， 在 上单调递增，满足；
故 .
（2） 在 上单调递增， ，
故 ，解得 或 ，即 .
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）“幂函数 在 上为增函数”是“函数
为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】要使函数 是幂函数，且在 上为增函数，求出 ，可得函数 为
奇函数，即充分性成立；函数 为奇函数，求出 ，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数 是幂函数，且在 上为增函数，
则 ，解得： ，当 时， ， ，
则 ，所以函数 为奇函数，即充分性成立；
“函数 为奇函数”，则 ，即 ，
解得： ，故必要性不成立，
故选：A．
例题2．（2024上·上海虹口·高一统考期末）设 ，若幂函数 的图像关于 轴对称，
且在区间 上是严格增函数，则实数 ．
【答案】
【分析】利用幂函数的性质来解答即可.
【详解】 ，
若幂函数 的图像关于 轴对称，则 ，
又幂函数 在区间 上是严格增函数，则 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（多选）（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知函数 为幂函数，则下列结论正确
的为（ ）
A． B． 为偶函数
C． 为单调递增函数 D． 的值域为
【答案】AC
【分析】根据幂函数的性质可得 ，进而可得 ，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】由 为幂函数可得 ，解得 ，
所以 ，故A正确，C正确；
由于 ，故 为奇函数，故B错误；
的值域为 ，D错误，
故选：AC.
2．（2024上·福建南平·高一统考期末）已知幂函数 ．若 是奇函数，则 的值
为 ．
【答案】3【分析】由幂函数的定义结合奇函数的定义即可求解.
【详解】由题意 ，解得 或 ，又 是奇函数，
当 时， 不满足题意；当 时， 满足题意.
故答案为：3.
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2024上·江西·高一校联考期末）已知函数 ，则 在区间 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由二次函数的单调性计算即可得.
【详解】 ，
则 在 上单调递减，在 单调递增，
又 ， ， ，
故 在区间 的值域为 .
故选：C.
例题2．（2024上·河南新乡·高一统考期末）已知函数 满足 ，且 的图象经过点
.
(1)求 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数和对数的互化公式，代入点的坐标即可求解；
（2）利用换元法直接求解函数值域即可.
【详解】（1）因为 ，所以 .又因为 的图象经过点 ，所以 ，
解得 ，
故 的解析式为 .
（2）当 时， ，令 ，
则 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则当 时， 取得最小值 ，
又 ，
所以 的值域为 .
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知二次函数 的图象过点 ，且最小值为
．
(1)求函数的解析式；
【答案】(1)
(2)1或3
【分析】（1）先根据题意设出二次函数的两点式形式，再由条件得到其顶点坐标，代入即可得解；
（2）根据二次函数的图象性质，分类讨论 、 与 三种情况下 在 的单
调情况，从而得到关于 的方程，解之即可.
【详解】（1）由题意设函数的解析式为 ，
由已知可得二次函数的顶点坐标为 ，
代入得 ，解得 ，
所以二次函数解析式为 ，即 ．
例题2．（2024上·青海西宁·高一统考期末）设 ，已知函数过点 ，且函数的对称轴
为 .(1)求函数的表达式；
(2)若 ，函数的最大值为 ，最小值为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据函数过点 及二次函数的对称轴，得到方程组，解得 、 即可求出函数解析式；
（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.
【详解】（1）解：依题意 ，解得 ，所以 ；
（2）解：由（1）可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以 ， ，
即 、 ，所以 .
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（2024下·云南红河·高一蒙自一中校考开学考试）已知二次函数 在区间 内是单
调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质求解.
【详解】二次函数 的对称轴为 ，
欲使得 时是单调的，
则对称轴 必须在 区间之外，
即 或者 .
故选：A.
例题2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）已知幂函数 为偶函数，若函数在区间 上为单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】幂函数 为偶函数，解得 ，函数 在区间
上为单调函数，利用二次函数的性质，列不等式求实数a的取值范围.
【详解】 为幂函数，则 ，解得 或 ，
时， ； 时， .
为偶函数，则 .
函数 在区间 上为单调函数，
则 或 ，解得 或 ，
所以实数a的取值范围为 .
故选：D.
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2024上·广东中山·高一统考期末）已知函数 在 上的值域是 ，则
的最大值是（ ）
A．3 B．6 C．4 D．8
【答案】B
【分析】根据二次函数图像特点，要使得区间长度最大，则对称轴两边（能取到对称轴的前提下）距离越
大，区间长度越大
【详解】 ，
因为值域为 ，所以要取到最小值1，必须取到对称轴，
又对称轴两边距离越大，则区间长度越大，
令 ，得 或 ，
所以当 时 ，
故选：B
例题2．（2024上·江西九江·高一江西省庐山市第一中学校考期末）设二次函数
的值域是 ，则 的最小值是 .【答案】2
【分析】由二次函数值域确定参数关系，结合基本不等式即可求解.
【详解】根据题意知， ， ，即 ，
所以 ，当且仅当 即 时等号成立.
所以 的最小值是2.
故答案为：2.
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（2023上·北京·高一北京市第十二中学校考期中）已知函数 .
(1)若对任意 ，都有 ，则 的解析式；
(2)若函数在区间 上不单调，求实数 的取值范围；
(3)若 ，求 的最小值 .
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据条件列出等量关系，由此求解出 的值，则 解析式可知；
（2）根据区间与对称轴的关系列出不等式，由此求解出 的取值范围；
（3）分析对称轴与区间的关系，结合二次函数的单调性求解出 .
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
化简得 ，且 不恒为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ；（2）因为 的对称轴为 ，又 在区间 上不单调，
所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ；
（3） 的对称轴为 ，
当 时，即 时， 在 上单调递增，所以 ；
当 时，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
；
当 时，即 时， 在 上单调递减，所以 ，
综上可知， .
例题2．（2023上·广东惠州·高一校考阶段练习）已知二次函数 ， ， .
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在区间 的最大值 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可设 ，结合 进而可得 的解析式；
（2） ，对称轴为 ，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解.
【详解】（1）由已知函数 是二次函数，且 ，
∴函数 图象的对称轴为 ，
又 ，设 ，
又 ，∴ ．
∴ ；（2）由（1）知， 图象的对称轴为 ，开口朝下，
若 ，则 在 上是减函数，最大值 ；
若 ，即 ，则 在 上是增函数， ；
若 ，即 ，则 ；
综上所述，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
练透核心考点
1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 在 上具有单调性，则k的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由二次函数对称轴及单调性列出不等式来求解即可.
【详解】易知 的对称轴为直线 ，因为 在 上具有单调性，所以 或 ，解得
或 ．
故选:C
2．（2024上·山东日照·高一统考期末）已知幂函数 为偶函数．
(1)求 的解析式；
(2)若 在 上是单调函数，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据函数 为幂函数得 ，从而求出 代入解析式检验，进而可求出
的解析式；
（2）求出 的对称轴，然后由 在 上是单调函数，得 或 ，从而可求出实数 的取值范围.
【详解】（1）由题意 ，解得 或3，
若 是偶函数，代入检验可得 ，故 ；
（2） ， 对称轴是 ，
若 在 上是单调函数，则 或 ，解得 或 ．
所以实数 的取值范围为 或 ．
3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求 的值域；
(2)若 的最大值为9，求a的值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据二次函数、指数函数单调性求复合函数的值域；
（2）令 ，由指数函数单调性得 ，结合二次函数性质列方程求参数.
【详解】（1）由题设 ，若 ，则 ，
在 上递减，在 上递增，则 ，
在定义域上递增，则 ，
所以 的值域为 .
（2）令 ，则 ，
又 在定义域上递增，而 的最大值为9，即 ，
则 开口向下且对称轴为 ， ，
所以 .
4．（2024上·江西·高一校联考期末）已知 是二次函数，且 ， .
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最大值.
【答案】(1)
(2)答案见解析【分析】（1）设 ，由 ，求得 ，再由 ，列出方程组，求
得 ，即可求得函数 的解析式；
（2）由（1）知 ，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，设 ，
因为 ，可得 ，即 ，
又由 ，
且 ，
又因为 ，即 ，
所以 ，
可得 ，解得 ，所以 .
（2）解：由（1）知 ，
可得函数 的图象开口向上，且对称轴为 ，所以 ，
当 时，根据二次函数的对称性，可得 ，
所以函数 在区间 上的最大值为 ；
当 时，根据二次函数的对称性，可得 ，
所以函数 在区间 上的最大值为 ，
综上可得，当 时， 的最大值为 ；当 时， 的最大值为 .
5．（2024上·河南周口·高一统考期末）已知函数 ， 的图象关于直线 对称，
(1)求 的解析式；
(2)若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据条件求出 的值得到解析式；
（2）讨论区间 与对称轴的关系，根据最小值为 求 的值.【详解】（1） 的对称轴是直线 ，即 ①，
由 ，得 ②，
联立①②解得
所以 .
（2）画出函数 的图象，抛物线对称轴为直线
当区间 在对称轴左侧时，即 时， ，
解得 或 （舍去）
当区间 在对称轴右侧时，即 时， ，
解得 或 （舍去），
当对称轴在区间 内时，即 时， ，不符合题意，
综上所述， 或
第四部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·湖北·高一校联考期末）对于函数 ，若 的图象上存在关于原点对称的点，则称
为定义域上的“G函数”．
(1)试判断 ，（ ）是否为“G函数”，简要说明理由；
(2)若 是定义在区间 上的“G函数”，求实数m的取值范围；
(3)试讨论 在 上是否为“G函数”？并说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由 可判断；
（2）由题意，得 ，即 在 有
解，分离参数可得m的取值范围；
（3）若为“G函数”，则 在定义域上有解，令 ，则 ，
， 在 有解，再分类讨论即可得出结果.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ 是“G函数”．
（2）∵ 为“G函数”，故存在 ，
使 ，
∴ ，
即 在 有解．
∵ ，
∴ ．
又∵ 在 恒成立，
∴ ．
∴
（3）当 为定义域 上
的“G函数”时，则 在定义域上有解，
可化为 在定义域上有解，令 ，则 ， ，
从而 在 有解，即可保证 为“G函数”，
令 ，则 的图象是开口向上的抛物线，
对称轴为 ．则
①当 即 时，
解得 所以
②当 ，即 时，
解得 ，所以 ，
综上，当 时，
为定义域 上的“G函数”，否则不是．
【点睛】思路点睛：根据题目新定义转化为存在定义域内的 ，使得 ，进而判断方程是否
有解.
