微专题6 与平面向量有关的最值、范
围问题
近几年高考：1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现,
多以小题形式考查,难度中档; 2.主要考查向量模、夹角、数量
积、系数的最值或范围.
一、高考真题
1.(2025·北京卷)已知平面直角坐标系xOy 中,|⃗OA|=|⃗OB|=❑√2,
|⃗AB|=2,设C(3,4),则|2⃗CA+⃗AB|的取值范围是( )
A.[6,14]
B.[6,12]
C.[8,14]
D.[8,12]
2.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点
C 为圆心且与BD 相切的圆上.若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD,则λ+μ 的最
大值为( )
A.3
B.2❑√2
C.
❑√5
D.2
3.(2024·天津卷)在边长为1 的正方形ABCD 中,E 为线段CD 的
三等分点,CE=1
2
DE,⃗BE=λ⃗BA+μ⃗BC,则λ+μ= ;F 为
线段BE 上的动点,G 为AF 的中点,则⃗AF·⃗DG的最小值为
.
4.(2022·浙江卷)设点P 在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边
A1A2上,则⃗PA1
2+⃗PA2
2+…+⃗PA8
2的取值范围是 .
二．典型例题
1.向量模的最值、范围
例1(1)(2025·广州调研)已知向量a,b,c 满足|a|=1,|b|=❑√3
,a·b=-3
2
,<a-c,b-c>=30°,则|c|的最大值为( )
A.2❑√7
B.❑√7
C.2
D.❑√2
(2)已知向量a,b,单位向量e,若a·e=1,b·e=2,a·b=3,则|a+b|的
最小值为 .
规律方法 求向量模的范围或最值常见方法:
(1)通过|a|2=a2转化为实数问题;(2)数形结合;(3)坐标法.
训练1 (1)已知单位向量a,b 满足|a-b|+2❑√3a·b=0,则|ta+b|
(t∈R)的最小值为( )
A.
❑√2
3
B.
❑√3
2
C.2❑√2
3
D.
❑√2
2
(2)已知△ABC 是边长为4❑√3的正三角形,点P 是△ABC 所在
平面内的一点,且满足|⃗AP+⃗BP+⃗CP|=3,则|⃗AP|的取值范围
是 .
2.向量数量积的最值、范围
例2 (1)(2025·北京延庆区模拟)在△ABC 中,A=90°,AB=AC=4,
点M 为边AB 的中点,点P 在边BC 上,则⃗MP·⃗CP的最小值为
.
(2)(2025·哈尔滨调研)已知平面向量a,b,c 满足|a|=|b|=1,且cos
<a,b>=-1
2
,|c-a+b|=1,则b·(a-c)的最小值为 .
规律方法 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化:利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的
最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断.
(2)数化:利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数
最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题,然后利用函数、
不等式或方程的有关知识来解决.
训练2(1)如图,已知正方形ABCD 的边长为4,若动点P 在以AB
为直径的半圆上(含边界),则⃗PC·⃗PD的取值范围为( )
A.(0,16]
B.[0,16]
C.(0,4)
D.[0,4]
(2)(2025·江西五市九校联考)如图,已知圆O 的半径为2,弦长
AB=2,C 为圆O 上一动点,则⃗AC·⃗BC的取值范围为 .
3.向量夹角的最值、范围
例3 (2025·太原调研)已知点P(1,0),C(0,❑√3),O 是坐标原点,
点B 满足|⃗BC|=1,则⃗OP与⃗PB夹角的最大值为( )
A.5 π
6
B.2π
3
C.π
2
D.π
3
规律方法 1.解答本题的关键是确定动点B 的轨迹后,数形结
合求解,把两向量夹角的最值问题转化为直线与圆的位置关系
问题.
2.求向量夹角的最值、范围,往往要将夹角与其某个三角函数
值用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,要注意变量之间
的关系.
训练3 (2025·合肥段考)在平行四边形ABCD 中,⃗AB
|⃗AB|
+
2⃗AD
|⃗AD|
= λ⃗AC
|⃗AC |
,λ∈[❑√2,2],则cos ∠BAD 的取值范围是
.
4.向量系数的最值、范围
例4 (2025·铜川模拟)在△ABC 中,D 是AB 边上的点,满足
AD=2DB,E 在线段CD 上(不含端点),且⃗AE=x⃗AB+y⃗AC
(x,y∈R),则x +2 y
xy
的最小值为 .
规律方法 解决平面向量中涉及系数的范围问题常利用共线向
量定理及推论
(1)a∥b⇔a=λb(b≠0).
(2)⃗OA=λ⃗OB+μ⃗OC(λ,μ 为实数),则A,B,C 三点共线⇔λ+μ=1,
进行转化,列不等式或等式得到关于系数的关系式,从而求系数
的取值范围.
训练4 (2025·南京模拟)已知点P 是△ABC 所在平面内的一点,
且⃗AP=1
3⃗AB+t⃗AC(t∈R),若点P 在
△ABC 的内部(不包含边界),则实数t 的取值范围是 .
【精准强化练】
一、单选题
1.已知非零向量a,b 的夹角为π
6
,|a|=2,λ∈R,则|a+λb|的最小值
为( )
A.2
B.❑√3
C.1
D.1
2
2.(2025·南通质检)如图所示,单位圆上有动点A,B,则|⃗OA-⃗
OB|的最大值为( )
A.0
B.-1
C.1
D.2
3.(2025·齐齐哈尔)已知向量a,b 不共线,⃗AB=λa+b,⃗AC
=a+μb,
其中λ>0,μ>0.若A,B,C 三点共线,则λ+4μ 的最小值为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
4.设向量⃗OA=(1,-2),⃗OB=(a,-1),⃗OC=(-b,0),其中O 为坐标
原点,a>0,b>0,若A,B,C 三点共线,则1
a
+2
b
的最小值为( )
A.4
B.6
C.8
D.9
5.(2025·广州三校联考)已知正方形ABCD 的边长为1,设点
M,N 满足⃗AM=λ⃗AB,⃗AN =μ⃗AD.若⃗CM·⃗CN =1,则λ2+2μ2
的最小值为( )
A.2
B.1
C.2
3
D.3
4
6.已知a,b 是互相垂直的两个单位向量,若向量c 满足|c-a-b|
=2,则|c|的最大值为( )
A.2-❑√2
B.2+❑√2
C.❑√2
D.2❑√2
7.已知菱形ABCD 的边长为1,cos ∠BAD=1
3
,O 为菱形的中心,
E 是线段AB 上的动点,则⃗DE·⃗DO的最小值为( )
A.1
3
B.2
3
C.1
2
D.1
6
8.(2025·开封调研)在平面直角坐标系xOy 中,设A(2,4),B(-2,-
4),动点P 满足⃗PO·⃗PA=-1,则tan ∠PBO 的最大值为( )
A.2❑√21
21
B.4 ❑√29
29
C.2❑√41
41
D.
❑√2
2
二、多选题
9.(2025·杭州质检)在平面直角坐标系xOy 中,已知点P(3,4),长
度为2 的线段AB 的端点分别落在x 轴和y 轴上,则⃗PA·⃗PB的
取值可以为( )
A.10
B.15
C.25
D.35
10.(2025·泉州调研)平面向量m,n 满足|m|=|n|=1,对任意的实数
t,|m−1
2 n|≤|m+tn|恒成立,则( )
A.m 与n 的夹角为60°
B.(m+tn)2+(m-tn)2为定值
C.|n-tm|的最小值为1
2
D.m 在m+n 上的投影向量为1
2
(m+n)
11.(2025·菏泽模拟)如图,已知△ABC 中,B=2π
3
,AB=BC=2,M
是AC 的中点,动点P 在以AC 为直径的半圆弧上.则( )
A.2⃗BM=⃗BA+⃗BC
B.⃗BP·⃗BC的最小值为-2
C.⃗BM在⃗BC上的投影向量为1
3⃗BC
D.若⃗BP=x⃗BA+y⃗BC,则x+y 的最大值为1+❑√3
三、填空题
12.在△ABC 中,CA=CB=2,D 为AC 的中点,则⃗DC·⃗DB的取值
范围是 .
13.(2025·昆明调研)已知非零向量a,b 的夹角为θ,|a+b|=2,且|a||
b|≥4
3
,则夹角θ 的取值范围为 .
14.(2025·天津部分区模拟)已知平行四边形ABCD 的面积为6
❑√3,∠BAD=2π
3
,且⃗BE=2⃗EC.若F 为线段DE 上的动点,且⃗
AF=λ⃗AB+5
6⃗AD,则实数λ 的值为 ;|⃗AF|的最小值
为 .
