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第 02 讲 函数的单调性与最大（小）值(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·广东茂名·高一统考期末）下列函数中，在 上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂指对函数的增减性的判定即可得出答案．
【详解】 ，因为 ，所以 在 上为增函数，故A错误；
在 上为减函数，所以 在 上为增函数，故B错误；
，所以 在 上为减函数，故C正确；
，所以 在 上为增函数，故D错误；
故选：C．
2．（2024上·四川凉山·高一统考期末）如果函数 在区间 上单调递减，
那么实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得.
【详解】函数 的单调递减区间是 ，依题意， ，则
，解得 ，
所以实数k的取值范围是 .
故选：D
3．（2024上·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）记函数f(x)= 在区间[3，4]上的最
大值和最小值分别为M和m，则 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将函数 分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.
【详解】因为f(x)= =2+ ，
所以f(x)在[3，4]上是减函数.
所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.
所以 = .
故选：D.
【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断，考查了利用函数单调性求函数最值，属于基
础题.
4．（2024上·浙江金华·高一统考期末）若对于任意 ，不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出函数 在 上的最大值即得.
【详解】令函数 ，显然 在 上单调递减， ，
因为任意 ，不等式 恒成立，于是 ，
所以 .
故选：A
5．（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）已知函数 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性和单调性解不等式．
【详解】由已知 ，∴ 是偶函数，
又 时， 是增函数，所以不等式 化为 ，则 ，解得 ，
故选：C．
6．（2024上·浙江湖州·高一统考期末）已知函数 ，则使
成立的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数 的单调性，再根据函数的单调性转化不等式 ，再
求解不等式.
【详解】函数 单调递增，函数 单调递减，所以函数 单调递增，
所以 ，
即 ， ，得 ，
解得：
所以不等式的解集为 .
故选：C
7．（2024上·湖北·高一校联考期末）若函数 在区间
内单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可.
【详解】由已知得 ，解之得 ，即 的定义域为 ，
又 在区间 内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得： ，解得 ．
故选：D
8．（2024下·全国·高二专题练习）若 是区间 上的单
调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于 的不等式
组，解出即可．
【详解】由题意， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递减，
若函数 在区间 上单调，
则 或 或 ，解得 或 或 ，
即 或 .
故选：C.
二、多选题
9．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 满足对任意 ，都有
成立，则实数 的取值可以是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】CD
【分析】由题意可知函数 在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答
案.
【详解】由对任意 ， ，可得函数 在定义域上单调递减，
则 ，即 ，可得 ，
结合选项可知AB错误，CD正确.
故选：CD.
10．（2023上·湖北恩施·高二恩施市第一中学校联考阶段练习）已知 ，
，若对任意 ，存在 ，使 ，则实数 的取值可
以是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】ABC【分析】结合函数单调性求得 的最小值，由题意可推出 ，故得
到相应不等式，求出a的范围，即可求得答案.
【详解】由题意 时， ，即 ；
而 ，
故 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 ，
由于对任意 ，存在 ，使 ，
过 ，即 ，
结合选项，故实数 的取值可以是 ，
故选：ABC
三、填空题
11．（2024上·广东茂名·高一高州市第四中学校考期末）已知函数 ，若
，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由解析式的和式结构判断函数的单调性，再利用函数单调性解抽象不等式.
【详解】 的定义域为 ，
又 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
12．（2024上·云南昆明·高二校考期末）已知关于 的不等式 在 上有
解，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由参变量分离法可知， 在 有解，则 ，利用双勾函数的单调性求出函数 在 上的最大值，即可得出实数 的取值范围.
【详解】原不等式等价于 在 有解，则 ，
又因为函数 在 上单调递增，则 ，所以 ．
故答案为： .
四、解答题
13．（2024上·天津·高一校联考期末）若函数 为幂函数，且在
单调递减．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 ，且 ，
（ⅰ）写出函数 的单调性，无需证明；
（ⅱ）求使不等式 成立的实数 的取值范围．
【答案】(1)1
(2)（ⅰ） 在区间 单调递增；（ⅱ）
【分析】（1）根据幂函数的定义求出 的值再由题设条件取舍；
（2）（ⅰ）根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得；
（ⅱ）利用（ⅰ）的结论求解抽象不等式即得.
【详解】（1）由题意知 ，解得： 或 ，
当 时，幂函数 ，此时幂函数在 上单调递减，符合题意；
当 时，幂函数 ，此时幂函数在 上单调递增，不符合题意；
所以实数 的值为1．
（2）（ⅰ） ， 在区间 单调递增.证明如下：
任取 ，则
，
由 可得： ， ，则 ，即 ，
故 在区间 单调递增.
（ⅱ）由（ⅰ）知， 在区间 单调递增，又由 可得：则 ，解得 .
14．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的值，并求此时函数 的最小值；
(2)若 为偶函数，求实数 的值；
(3)若 在 上是减函数，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）由 求出 的值，再利用二次函数的性质可求出其最小值；
（2）根据偶函数的定义可求出 的值；
（3）先求出 的减区间，再根据 在 上是减函数，可求出实数 的取值范
围.
【详解】（1）由题可知， ，即 ，
此时函数 ，
故当 时，函数 .
（2）若 为偶函数，则有对任意 ，
都有 ，
即 ，故 .
（3）函数 的单调减区间是 ，
而 在 上是减函数，
，即 ，
故实数 的取值范围为 .
15．（2024上·陕西安康·高一校考期末）已知函数 （ 为常数）是奇函数.
(1)求 的值与函数 的定义域；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，函数的定义域为
(2)【分析】（1）根据 求出参数的值，再根据对数函数的性质求出函数的定义
域；
（2）由（1）可得 ，则 对任意的 恒成
立，根据对数函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为函数 （ 为常数）是奇函数，
所以 ，则 ，
即 ，所以 ，
即 ，解得 ，
当 时 ，则令 ，解得 ，
即函数的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，符合题意，
当 时 函数无意义，故舍去；
综上可得 ，函数的定义域为 .
（2）因为 ，则 ，
因为 恒成立，
所以 对任意的 恒成立，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
B能力提升
1．（2024下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知函数 ，若不等式
在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断函数 的奇偶性以及单调性，从而将不等式在 上恒成立，转化为 在 上恒成立，参变分
离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.
【详解】由于函数 ，定义域为R，满足 ，
得 是奇函数，且在R上为减函数.
在 上恒成立， 在 上恒
成立，
在 上恒成立， 在 上恒成立.
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即a的取值范围为 ，
故选：D.
2．（2024上·江苏常州·高一统考期末）已知函数 的定义域为 ，若
存在 ，满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知结合函数的单调性可求 的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最
值关系的转化即可求解.
【详解】令 ，且 在 单调递减，所以 的最小值为
，
可得 ，且 ，
所以 在 上单调递增，所以
因为存在 ，满足 ，
则 ，所以
解得： ，
故选：D.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集.
3．（2024上·辽宁大连·高一统考期末）已知函数 ，对于任意
且 ，都有 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意通过构造函数 ，说明其在 上单调递
减，对 分类讨论即可得解.
【详解】由题意不妨设 ，
又对于任意 且 ，都有 ，
即对于任意 且 ，都有 ，即
，
所以 在 上单调递减，
当 时，则 在 上单调递减，满足题意；
当 时， 在 上单调递减，此时对称轴为 ，
若 ，则 ，即 ，故 满足题意；若 ，则 ，即 满足题意；
综上所述，实数a的取值范围是 .
故选：D.
4．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数 ，若
，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】定义法证明 为偶函数，结合对勾函数的性质可得 在 上单调递
增，不等式 等价于 ，即 ，求解
即可.
【详解】因为 的定义域为R，又 ，所以 为偶函数．
设 ，当 时， ，则 ，
由对勾函数性质知， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
则 等价于 ，
所以 ，解得 ，
故实数a的取值范围为 ．
故答案为： ．
5．（2024上·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）若幂函数
为偶函数，则不等式 的解集为 .
【答案】
【分析】由幂函数的概念和性质确定 的值，再根据单调性求解不等式.
【详解】因为 为幂函数，则 ，解得 ，或 ，
当 时， ，为奇函数，不符合题意；
当 时， ，为偶函数，符合题意，
且在 上单调递减，在 上单调递增，
若 ，则 ，
解得 或 ，即不等式的解集为 .
故答案为： .
6．（2024上·云南·高一统考期末）若不等式 对任意 恒成
立，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将问题化为 对任意 恒成立，结合一次函数性质
求 的取值范围.
【详解】令 ，
所以 对任意 恒成立，
当 ，即 ，只需 ，显然满足；
当 ，即 ，只需 ，可得 ；
综上， .
故答案为：
C综合素养
7．（2024上·江西抚州·高一统考期末）对于区间 ，若函数 同时满足：
① 在 上是单调函数，②函数 的定义域为 时，值域也为 ，则称
区间 为函数 的“保值”区间．
(1)求函数 的所有“保值”区间．
(2)函数 的一个“保值”区间为 ，当 变化时，求 的最大值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的单调区间，利用“保值”区间的定义分类讨论求解即得.（2）分析函数的单调性，利用“保值”区间的定义建立方程，再转化为一元二次方程求解
即可.
【详解】（1）函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
令区间 为函数 的“保值”区间，则 在 上单调，即有 或
，
当 时， 在区间 上单调递增，则 ，即 ，
于是 是方程 ，即 的两个不同的非正实根，
显然 ，方程两根异号，与 矛盾，即 不符合题意；
当 时， 在区间 上单调递减，则 ，即 ，则有
，
所以函数 的“保值”区间为 .
（2）令 ，显然函数 在 上单调递增，
由 是函数 的一个“保值”区间，得 或 ，且 在
上单调递增，
则 ，即 是方程 ，即 的两个同号的不等根，
于是 ，解得 ，且 ，
因此 ，当且仅当 时取
等号，
所以当 时， 取得最大值 .
【点睛】关键点睛：根据新定义构造满足条件的方程（组），将新定义转化为熟悉的数学
模型求解是解题的关键.
8．（2024上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校考期末）定义：若对定义域内任意 ，都有
，（ 为正常数），则称函数 为“ 距”增函数.(1)若 ， ，判断 是否为“1距”增函数，并说明理由；
(2)若 ， ，其中 （ ）为常数.若 是“2距”增的数，求
的最小值.
【答案】(1)函数 是“1距”增函数；理由见解析
(2)当 时， ；当 时，
【分析】（1）根据题意，只需判断 是否成立，即可求解；
（2）根据题意，当当 时， 恒成立，根据 为增函数，得到
，再分 和 ，两种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）解：函数 是“1距”增函数.
理由如下：
由函数 ，
则
，
当 时，可得 ，
所以 ，即 ，所以 是“1距”增函数.
（2）解：由 ， ，
因为函数 是“2距”增的数，所以当 时， 恒成立，
又因为 为增函数，所以 ，
当 时， ，即 恒成立，
所以 ，解得 ；
当 时， ，即 恒成立，
所以 ，解得 ，
综上可得， ，所以 ，
令 ，则 ，
①当 时，即 时，当 时， ；
②当 时，即 时，当 时， ，综上可得，当 时， ；当 时， .
