文档文本内容
微专题拓展07 三次函数常考模型
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 4
题型一：三次函数图象分析................................................................................................................4
题型二：三次函数单调性判定............................................................................................................5
题型三：三次函数对称性应用............................................................................................................6
题型四：切线条数判断........................................................................................................................7
题型五：三次函数零点分布................................................................................................................8
题型六：三次函数极最值求解............................................................................................................8
题型七：等高线相关问题..................................................................................................................10
题型八：三次函数综合应用.............................................................................................................. 11
03 课后拓展精练............................................................................................................................14
1、三次函数的图象
对于三次函数
的判别式为
，则
的定义域为
，值域为
，图象如下：
参数范
围
图象
2、三次函数的零点
对于三次函数
（
、
、
、
且
），其导数为
当
，其导数
有两个解
，
，原函数有两个极值
，
．
①当
时，原方程有且只有一个实根
②当
时，原方程有两个实数根
③当
时，原方程三个实数根．
3、三次函数的对称性
对于三次函数
，
（1）若
，则
；
（2）
的对称中心是
．
4、三次函数的切线问题
对于任意三次函数
，过
图象的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数
的图
象分割为四个区域，有以下结论：
（1）过区域II、区域III 内的点以及对称中心作
的切线，有且仅有
条；
（2）过切线或函数
图象（除去对称中心）上的点作
的切线，有且仅有2 条．
（3）过区域I、区域IV 内的点作（x）的切线，有且仅有3 条．
5、三次函数的切割线性质
（1）如图所示，点
是函数
图象上任意一点（非对称中心），过
作函数
图象的切线
和割线
，其中
是切点，
是交点，则
成等差数列，即
；
（2）如图所示，点
是函数
的两个极值点，且方程
为
图象的对称中心的横坐标，则
成等差数列．
6、其它性质
设三次函数
的对称中心横坐标为
，若
存在两个极值点
，则
．
题型一：三次函数图象分析
例1．（2026·贵州黔南·一模）三次函数
的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
例2．（2026·高三·广西钦州·阶段检测）下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数
及其导函数的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．设三次函数
的导函数为
，函数
图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数
为（ ）
①函数
有极大值
②函数
有极小值
③函数
有极大值
④函数
有极小值
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
变式1．（2026·高三·福建宁德·阶段检测）已知三次函数
的图象如图，则不正确的是（ ）
A．
B．
C．
的解集为
D．若
，则
变式2．已知函数
的图象如图所示，则
（ ）．
A．0
B．l
C．2
D．
题型二：三次函数单调性判定
例4．已知三次函数
在
是增函数，则
的取值范
围是
A．
或
B．
C．
D．以上皆不正确
例5．已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2026·四川泸州·一模）若函数
在
单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2026·高三·山西大同·阶段检测）已知三次函数
在
上单调递增，
则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．若函数
在
上单调递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：三次函数对称性应用
例7．（2026·浙江杭州·一模）设函数
，若
，则
（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2
例8．定义：若函数
在
上可导，即
存在，且导函数
在
上也可导，则称
在
上存
在二阶导函数.记
，人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数
都有对称中心，其对
称中心为
（其中
）.已知函数
.若
关于点
对称，则
（ ）
A．4
B．3
C．
D．1
例9．对于三次函数
，给出如下定义：设
是函数
的导函数，
是
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.经
过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是
对称中心.设函数
，则
（ ）
A．2026
B．2025
C．1012
D．1013
变式5．对于三次函数
给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.某同学经过探
究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给
定函数
，请你根据上面探究结果，计算
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
变式6．关于三次函数
的图象，下列叙述中正确的是（ ）．
A．仅有一个对称中心
B．仅有一条对称轴
C．仅有一个对称中心
D．没有对称轴，但对称中心不止一个
题型四：切线条数判断
例10．定义：设
是
的导函数，
是函数
的导函数．若方程
有实数解
，则
称点
为函数
的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”
就是三次函数图象的对称中心．已知函数
的对称中心为
，过
可以作
三条直线与
图象相切，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例11．过点
的直线与曲线
相切，则直线的斜率为（ ）
A．1
B．-1
C．3 或1
D．3 或
例12．已知过原点
的直线与函数
的图象相切，则的斜率为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
变式7．函数
过点
的切线条数为（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
变式8．（2026·高三·安徽阜阳·阶段检测）若过点
可作曲线
的三条切线，则a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：三次函数零点分布
例13．（2026·甘肃天水·模拟预测）设三次函数
的导函数
，且
，则函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
例14．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
.若关于
的方程
在区间
内恰有
两个不同实根，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．
或2
例15．已知函数
有两个零点，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
变式9．设函数
，则“
”是“
与
轴有3 个公共点”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
变式10．已知函数
在
上有3 个不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：三次函数极最值求解
例16．已知函数
．
(1)求
的单调区间和极值；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值．
例17．已知函数
，
．
(1)求
的单调区间；
(2)求
在闭区间
上的最大值与最小值．
例18．已知函数
在
处取得极小值．
(1)求
；
(2)若关于
的不等式
在
恒成立，求
的取值范围．
变式11．（2026·高三·陕西西安·阶段检测）已知三次函数
，
，若函数
的图象在
处的切线方程为
(1)求函数
的解析式；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
变式12．（多选题）（2026·陕西铜川·一模）已知三次函数
，下列说法正确的是
（ ）
A．若
的极大值为4，则
B．
的极小值为0，则
C．
，则
D．存在
，使
在
的值域为
变式13．（2026·四川绵阳·模拟预测）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分
界点）．设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数．若方程
有实数解
，并且在点
左右两侧二阶导数符号相反，则称
为函数
的“拐点”．经
研究发现所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的
图象的对称中心．已知三次函数
(1)过点
作曲线
的切线，求切线方程：
(2)若对于任意实数
，都有
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)已知函数
，其中
．求
的拐点．
变式14．已知三次函数
，若不等式
的解集为
，则实数
的值为
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
题型七：等高线相关问题
例19．（2026·浙江·一模）已知三次函数
，若不等式
的解集为
，则
的值
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
例20．（多选题）（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）已知三次函数
有三个不同的零
点
，
，
（
），函数
也有三个零点
，
，
（
），则（ ）
A．
B．若
，
，
成等差数列，则
C．
D．
例21．（多选题）（2026·重庆北碚·模拟预测）设三次函数
，其中
，则下列说
法正确的是（ ）
A．当
时，若函数
的对称中心为
，则
B．当
时，函数
的图象关于点
中心对称
C．当
时，若
的两个极值点为
，且
，则
D．当
时，若
有三个相异且成等差数列的零点，则实数
的取值范围为
变式15．（多选题）（2026·高三·山东泰安·期中）已知三次函数
，则下列说
法正确的是（ ）
A．若
有两个极值，则
B．若
，则
C．若函数
有3 个零点
，且
，则
D．当函数
的图象经过的象限最多时，
的取值范围是
变式16．（多选题）（2026·高三·江苏·阶段检测）已知三次函数
有三个不同的零
点
，
，
，函数
也有三个零点
，
，
，则（ ）
A．若
，则
且
B．若
，
，
，
，则
C．若
，则
对称中心为
D．设曲线
在点
处的切线斜率为
，若
，则
的最小值为9
题型八：三次函数综合应用
例22．已知三次函数
(1)当
时，试求
的单调区间和零点．
(2)若函数
存在3 个不同的零点
，证明下列结论：
（i）
；
（ii）当
时，
成等差数列的充要条件是
；
（iii）某同学课外研究时发现了一个有趣的结论：
，请同学
们结合本题中
的关系证明如下命题：记
，
是函数
的导函数，
令
，证明：对任意
是一个次数不超过2 的
多项式函数．
例23．给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的“固点”．经研究发现所有的三次函数
都有“固点”，且该“固点”也是函数
的图象的对称中心．根据以上
信息和相关知识回答下列问题：已知三次函数
．
(1)当
时，求
的对称中心；
(2)若函数
存在极大值
与极小值
，
，求
的值域．
例24．已知三次函数
过点
，且函数
在点
处的切线恰
好是直线
．
(1)求函数
的解析式；
(2)设函数
，若函数
在R 上有三个不同零点，求实数
的取值范围．
变式17．设
是函数
的导函数，若
可导，则称函数
的导函数为
的二阶导函数，
记为
.若
有变号零点
，则称点
为曲线
的“拐点”.
(1)研究发现，任意三次函数
，曲线
都有“拐点”，且该“拐点”也
是函数
的图象的对称中心.已知函数
的图象的对称中心为
，求函数
的解析式，并讨论
的单调性；
(2)已知函数
.
（i）求曲线
的“拐点”；
（ii）若
，求证：
.
变式18．已知函数
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
有三个零点，求实数
的取值范围.
变式19．已知
在
处取得极大值
.
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)若
，讨论
零点的个数.
变式20．已知曲线
在点
处的切线的斜率为12，且在
处取得极值．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的单调区间；
(3)讨论方程
的解的个数．
变式21．已知函数
，其中
．
(1)若
在
处的导数为0．
（i）求实数
的值；
（ii）求
在区间
上的值域；
(2)若
有3 个不同的零点，求
的取值范围．
1．对于三次函数
，给出定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．经过探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数
，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
2．（2026·高三·江苏·阶段检测）已知三次函数
的定义域和值域都为
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
3．（2026·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢
量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数
的图象是可由
，
，
，
四点确定的贝塞尔曲线，
其中
，
在
的图象上，
在点
，
处的切线分别过点
，
.若
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知点
不在函数
的图象上，且过点
仅有一条直线与
的图象相切，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．过点
作曲线
的切线，不同的切线条数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．过点
作曲线
的切线，若切线有3 条，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若函数
有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（多选题）三次函数
，定义：
是
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称
为
的“拐点”.某同学经探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
拐点处的切线方程为
B．若经过点
可以向曲线
作三条切线，则
的取值范围是
C．对任意实数
，直线
与曲线
有唯一公共点
D．存在等差数列
，使
9．（多选题）（2026·高三·江苏无锡·阶段检测）对于三次函数
，给出定义：
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的对称中心．已知函数
．若
有三个零点
，
且在点
处切线的斜率为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的极大值点为
B．
的极小值为
C．
D．
10．（多选题）（2026·四川眉山·模拟预测）定义：设
是
的导函数，
是函数
的导函
数.若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个
三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数
图
象的对称中心为
，则下列说法正确的是（ ）.
A．
，
B．函数
有三个零点
C．
D．若
过点
可以作三条直线与
的图象相切，则实数
的取值范围为
11．（多选题）定义：设
为三次函数，
是
的导函数，
是
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为三次函数
图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函
数
图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数
的极大值点和极小值点分别为
，且有
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
，
B．方程
有三个根
C．若关于
的方程
在区间
上有两解，则
D．若函数
在区间
上有最大值，则
12．（多选题）已知三次函数
在区间
上的值域也为
，那么下列说法正确的是
（ ）
A．
且
B．当
时，满足要求的
不存在
C．当
时，有
D．当
时，有
13．（多选题）（2026·高三·辽宁·期中）设
是
的导函数，
是
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有
“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数
，则（ ）
A．若
有极值点，则
B．若当
时，
有极值
，则
对应的拐点为
或
C．若当
时，
在
上无极值点，则的取值范围为
D．若当
，
时，曲线
与轴分别交于
、
、
，则
14．（多选题）已知三次函数
，若不等式
的解集为
，则
下列说法正确的有（ ）
A．
B．函数
的极小值为4
C．若函数
在
上既有最大值又有最小值，则
D．若函数
有3 个零点
，函数
有3 个零点
，则
15．（多选题）对于三次函数
，给出定义：
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称
为函数
的“拐点”.某同学
经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中
心.若函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的极大值为
B．
有且仅有2 个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．
16．（多选题）（2026·高三·浙江·开学考试）三次函数
叙述正确的是（ ）
A．函数
可能只有一个极值点
B．当
时，函数
的图象关于点
中心对称
C．当
时，过点
的切线可能有一条或者两条
D．当
时，在点
处的切线与函数
的图象有且仅有两个交点
17．（多选题）（2026·高三·江苏·阶段检测）已知三次函数
，则（ ）
A．函数
一定有两个极值点
B．当
时，
C．当
时，
的极小值为0
D．
在区间
上的值域为
18．设
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数
都
有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数
，利用上述
探究结果计算：
________．
19．对于三次函数
，定义：设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
图象的“拐点”．探究发现：
任何一个三次函数的图象都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中
心．设函数
，则函数
图象的对称中心的坐标为____，
____．
20．（2026·陕西榆林·模拟预测）对于三次函数
，给出定义：设
是函
数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的拐点．研究发现，任何三次函数
都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设
，数列
的通项公式为
，则
__________．
21．如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设
函数
的一个零点
，先取定一个初值
，曲线
在
处的切线为，记与x 轴的交点横坐
标为
，曲线
在
处的切线为
，记
与x 轴的交点横坐标为
，以此类推，每进行一次切线
求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到
的近似值
，设
函数
，令
．进行三次迭代得到的
________．
