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第 06 讲 函数定义域与最值求法
1.常见函数的定义域：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)y＝ax (a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.
(5)y＝tan x的定义域为 .
(6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.
2.求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法；
3.增函数与减函数的定义 ：
条件
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D I.如果∀x
1
,x
2
∈D,当x
1
<x
2
时
都有f(x)<f(x) 都有f(x)>f(x)
1 2 1 2
⊆
那么就称函数f(x)在区间D上 那么就称函数f(x)在区间D上
结论 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时, 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,
称它是 函数 称它是 函数
图示
如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单
结论
调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间
4.常用结论
(1)基本初等函数的单调区间
函数 条件 单调递增区间 单调递减区间
正比例函数(y=kx,k≠0)与 k>0 R 无
一次函数(y=kx+b,k≠0) k<0 无 R
( k ) k>0 无 (-∞,0)和(0,+∞)
反比例函数 y= ,k≠0
x k<0 (-∞,0)和(0,+∞) 无
二次函数(y=ax2+bx+c,a≠0) a>0
(2)单调函数的运算性质
1)若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则f(x)+g(x)也在区间A上单调递增(减);
2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反;
3)函数 在公共定义域内与y=f(x)的单调性相反;
4)函数 在公共定义域内与y=f(x)的单调性相同.注意:f(x)g(x), 的单调性与f(x),g(x)的单调性之间的关系并不确.
考点一 具体函数定义域求法
考点二 抽象函数定义域求法
考点三 求解对数函数复合型函数的定义域
考点四 单调性法求函数值域
考点五 分离常数法求函数值域
考点一：具体函数定义域求法
例1．函数 的定义域是______.
对点变式．函数 的定义域是_____________.
考点二：抽象函数定义域求法
例2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
对点变式．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
考点三：求解对数函数复合型函数的定义域
例3．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．对点变式．已知函数 的定义域为_______．
考点四：单调性法求函数值域
例4．当 时，函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
对点变式．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为__________
考点五：分离常数法求函数值域
例5．高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿
并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为： ， 表示不超过 的最大整数，
如 ， ， ，已知 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
对点变式．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为__________
一、单选题
1．已知集合 则 （ ）
A． B． C． D．
2．若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ）A． B．
C． D．
3．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021秋·上海徐汇·高三校考阶段练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，则 的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．设 的定义域是 ，则函数 的值域中含有整数的个数为（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
9．取整函数： 不超过x的最大整数，如 ， ，已知函数 ，则函数
的值域是（ ）A． B． C． D．
10．下列命题中，正确的个数为（ ）
①“ ”是“ ”的一个充分不必要条件
②函数 既是奇函数又是增函数
③函数 与 是同一函数
④函数 的值域是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
11．下列函数中，与 的定义域和值域都相同的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．函数 的定义域为__________.
13．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为__________.
14．函数 的定义域是______．
15．函数 的单调递减区间为______.
16．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ， ，若所有点
， 构成一个正方形区域，则 ________.
17．已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是_____________．
18．（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知 ，则的最小值___________，此时 ___________.
