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2.3 函数的周期性及对称性
1
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2
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3
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考点一 函数的对称性
【例1-1】（1）（2024·四川南充·二模）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于点
对称
D．关于点
对称
（2）（2024·河北唐山·一模）已知函数
的图像关于点
对称，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
（3）（2024 江苏扬州）定义在
上的函数
和
的图象关于
轴对称，且函数
是
奇函数，则函数
图象的对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）A（2）C（3）D
【解析】（1）函数
的定义域为
，又
，
所以
为奇函数，则函数
的图象关于原点
对称，
又
的图象是由
的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
所以函数
的图象关于点
对称.故选：A
（2）
图象关于点
对称，
，
又
，
，
，解得：
，
.故选：C.
（3）由题意得函数
是奇函数，则
关于
对称，
另知函数
和
的图象关于
轴对称，故
关于
对称，故选：D
4
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【例1-2】（1）（2024·云南昆明）设
是定义域为
的奇函数，且
，当
时，
，
．
（2）（2024·广西南宁）若函数
的图象关于直线
对称，则
．
【答案】（1）
（2）7
【解析】（1）因为
，且
是定义在
上的奇函数所以
，因为当
时，
，
所以
.故答案为：
（2）由题意
，即
，所以
，即
，解得
，
此时
，
，满足题意．
所以
，
．故答案为：7．
【一隅三反】
1．（2024 安徽合肥）已知
是定义在
上的奇函数，满足
，
，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．6
【答案】B
5
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【解析】因为
，所以
关于直线
对称；
又因为
是定义在
上的奇函数，
所以
，
，
则
，因此
，
所以
是周期为
的函数，因此
，
；
又
关于直线
对称，所以
；
因此
。
故选：B.
2．（2024 上海）若直线
过函数
图象的对称中心，则
最
小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
【答案】D
【解析】由题意得，函数
图象的对称中心为
，
∴
，即
，
∴
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：D.
3．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为R 的函数
的图象关于点
成中心对称，且当
时，
，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
6
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【答案】C
【解析】依题意，
，又
，
所以
①，而
②，
联立①②，解得：
，
，则
．
故选：C
4．（2023·河北衡水·一模）（多选）已知函数
的图象的对称轴方程为
，则函数
的解析式可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】若
的图象的对称轴方程为
，则
；
对于A，
，A 错误；
对于B，
，B 正确；
对于C，
，
，
，
即
不恒成立，C 错误；
对于D，
，D 正确.
故选：BD.
5．（2024 江苏）写出一个同时具有下列性质①②③的函数
.①
是定义域为
的奇函
数；②
；③
.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】由条件①②③可知函数对称轴为
，定义域为R 的奇函数，可写出满足条件的函数
.
7
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故答案为：
（答案不唯一）
考点二 函数的周期性
【例2-1】（2023·上海嘉定·三模）函数
，
满足
，当
，
，
则
.
【答案】1
【解析】因为
满足
，所以
的周期为
，
.
故答案为：1.
【例2-2】．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为
的函数
满足
，且当
时，
，则
.
【答案】
【解析】由已知可得
，所以
，
所以
，即
是函数
的一个周期，
所以
.
故答案为：
【例2-3】（2024·陕西榆林·二模）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．-2
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
所以
是以4 为周期的周期函数，所以
.故选：B
【例2-4】（2024·陕西西安·一模）已知定义在
上的奇函数
满足
，则以下说法错误的是
8
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（ ）
A．
B．
是周期函数，且2 是其一个周期
C．
D．
【答案】C
【解析】选项A，因为
是定义在
上的奇函数，所以
，即
，所以选项A 正确，
选项B，由
，知
是周期函数，且2 是其一个周期，所以选项B 正确，
选项C，因为
，又
，
，得到
，所
以选项C 错误，
选项D，
，所以选项D 正确，
故选：C.
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知
是定义在R 上的偶函数，且周期
.若当
时，
，
则
（ ）
A．4
B．16
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
.故选：B.
2．（2024 山东淄博市）已知定义在
上的奇函数
满足
，且在
上有
，
则
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为定义在
上的奇函数
满足
，
所以
，
9
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所以
，即函数
是周期为4 的周期函数，
又
时有
，
所以
故选：D.
3（2024 广西柳州）已知
是定义域为
的奇函数，且满足
.若
，则
_______________.
【答案】0
【解析】由
知：
，即
的周期为4，
∵
是定义域为
的奇函数，有
，又
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
.
故答案为：0
考点三 函数对称性与周期性的综合运用
【例3-1】（2022·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，用
代
,得
，
又
，所以
，得
，故
的周期为
,
10
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所以
.故选：A．
【例3-2】（2023·贵州黔西·一模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
的图象关于
对称．若
，则
（ ）
A．3
B．2
C．0
D．50
【答案】C
【解析】因为函数
是定义在
上的奇函数，所以
，且
，
又
的图象关于
对称，则
，
即
①，则
，
，
在①中，令
，得
，
则
，所以函数
的周期为
，即
，
则有
，
所以
，
故选：C.
【例3-3】（2024·河南·模拟预测）已知
是定义在
上的函数，满足
，且满足
为
奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数
图象关于直线
对称
B．函数
的周期为2
C．函数
图象关于点
中心对称
D．
【答案】D
【解析】因为
满足
，所以
，
11
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所以函数
图象关于直线
对称，
因为
为奇函数，所以
，即
，
则函数
图象关于
对称，则
，
令
得
，由
，得
，所以函数
的周期为4，
所以
，故选：D
【一隅三反】
1．（2024 海南省）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．3
D．6
【答案】A
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
，
因为
，所以
，则
，
所以
，所以
是以为周期的一个周期函数，
所以
.
故选：A．
2．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，若
为偶函数且
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
【答案】D
【解析】因为
是定义在R 上的奇函数，则
，且
，
又
为偶函数，则
，即
，
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于是
，则
，即
是以为周期的周期函数，
由
，得
，
，
，
，
所以
.
故选：D
3．（2024·山东菏泽）（多选）已知函数
的定义域为R，
为奇函数，且对
，
恒成立，则（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为
为奇函数，所以
，故
又
，所以
，故
，
所以
，
为偶函数，A 错误；
为奇函数，所以
，
，所以
，B 正确；
，又
的图象关于点
对称，所以
，所以
，C 正确；
又
，所以
是以4 为周期的函数，
，D 正确．故选：BCD．
4．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
=（ ）
A．4036
B．4040
C．4044
D．4048
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【答案】D
【解析】由题意得
为奇函数，所以
，即
，所
以函数
关于点
中心对称，
由
为偶函数，所以可得
为偶函数，则
，所以函数
关于直线
对称，
所以
，从而得
，所以函数
为周期为4 的函数，
因为
，所以
，则
，
因为
关于直线
对称，所以
，
又因为
关于点
对称，所以
，
又因为
，又因为
，所以
，
所以
，故D 正确.故选：D.
考点四 函数四大性质综合运用
【例4-1】（1）（2023·河北邯郸·一模）已知函数
为偶函数，且函数
在
上单调递增，则关
于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2023·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为R，
，且
在
上单调递减，
则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）A（2）C
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【解析】（1）因为
为偶函数，所以
的图象关于y 轴对称，则
的图象关于直线
对称．
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减．
因为
，所以
，解得
．
故选：A.
（2）因为
，
，所以函数
的图象关于直线
对称，
又
在
上单调递减，所以
在
上单调递增，
结合草图可知：要使
，则
到
的距离小于
到
的距离，故不等式
等价于
，两边同时平方后整理得
，解得
或
.
故选：C．
【例4-2】（1）（2024 广东）已知定义在
上的奇函数
满足
，且在区间
上是增函
数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2023·新疆·校联考二模）已知函数
，若
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）D（2）A
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【解析】（1）由题意可知
，故函数
是周期函数，且周期为，
则
，
，
，
因为奇函数
在区间
上是增函数，则该函数在区间
上也为增函数，
故函数
在区间
上为增函数，所以
，即
.故选：D.
（2）因为
，所以
的对称轴为
，则有
，
又当
时，得
，
而
和
均在区间
上单调递增，所以
在区间
上单调递增，
又
，
，即
，
所以
，即
.故选：A
【一隅三反】
1．（2024 江西宜春·开学考试）已知定义在R 上的函数
在
上单调递增，且
为偶函数，则
不等式
的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
对称轴为
，且在
上单调递减.则由
，可得出
，即
，
即
，解得
或
.
所以，不等式
的解集为
.
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故选：B.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知定义域为
的函数
在
单调递减，且
，则使
得不等式
成立的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
【解析】
，则
关于
对称，
因为
在
单调递减，∴
在
上单调递减，
又
∴
，
∴
，∴
或
，故选：D.
3.（2023 春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数
在
上单调递减，
，
为偶函数，当
时，
，若
，
，
，则a，b，c 的大
小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
为偶函数，得
的图象关于直线
对称，
且
，由
得
，
所以
，即
，则
，
所以函数
的一个周期为6，则
，
当
时，
，又
的图象关于直线
对称，
所以
，
17
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由
得
，
的图象关于点
对称，
又函数
在
上单调递减，所以函数
在
上单调递减，又
，
所以
，所以
.故选：A
4．（2024 湖南长沙）已知定义在
上的奇函数
满足
，且在区间
上
是增函
数，令
，
，
，则
，
，
的大小关系为 .
【答案】
【解析】
是定义在
上的奇函数，
，
所以
关于
对称.
由于
在
上递增，所以
在
递减.
，
在
上递增，所以
，
所以
.
故答案为：
5．（2024·四川达州·二模）已知函数
满足
，且
在
上单调递增，当
时，
，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
满足
，所以函数
图象关于点
中心对称，
又函数
在
上单调递增，所以函数
在
上单调递增，
18
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因为
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
，
易知
在
上单调递增，所以
，所以
，
所以m 的取值范围为
，故选：A.
考点五 抽象函数的性质
【例5-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数
的定义域为
，设
为
的导函数，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
【答案】ABD
【解析】函数
，对任意
，
，
对于A，令
，得
，而
，则
，A 正确；
对于B，令
，得
，
则
，两边求导得，
，即
，
因此
关于
对称，
，B 正确；
对于C，由
，得
，
令
，得
，两边求导得
，
即
，因此
，函数
是偶函数，C 错误；
对于D，由
，得
，则
，
因此函数
的周期为4，
，D 正确.
故选：ABD
【例5-2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数
的定义域为
，且
，
19
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，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
的图象关于点
对称
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，令
，则
，
因为
，所以
，则
，故A 错误；
对于B，令
，则
，则
，故B 正确；
对于C，令
得，
，所以
，
令
得，
，则
的图象关于点
对称，故C 正确；
对于D，由
得
，
又
，所以
，则
，
，
所以
，则函数
的周期为
，
又
，
，则
，
，则
，
所以
，故D 正确，故选：BCD.
【一隅三反】
1．（2024·河南新乡·二模）已知函数
满足
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【答案】B
20
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【解析】因为
，
令
，可得
，则
；
令
，则
，
故
的图象关于点
对称，
则
的图象关于点
对称，即
是奇函数，故B 正确；
对于C，令
，可得
，则
，
当
时，
，此时
不可能是奇函数，
由于无法确定
的值，故
不一定是奇函数，故C 错误；
对于AD，取
，满足题意，但易知D 错误；
故选：B.
2．（2024·吉林·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【解析】由题意知函数
的定义域为
，且
，
，
令
，则
，即
，故
为偶函数；
又
，令
，则
，
又由
，得
，
即
的图象关于点
成中心对称，则
；
，即
，又结合
为偶函数，
则
，故
，即4 为
的周期，
故
，
21
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故
，故选：
D
3．（2024·山西吕梁·一模）已知函数
满足
，则下列结论不正
确的是（ ）
A．
B．函数
关于直线
对称
C．
D．
的周期为3
【答案】D
【解析】解法一：
令
，
，则
，解得
，A 正确；
令
，则
，
所以
，即
是偶函数，
所以
，所以函数
关于直线
对称，B 正确；
令
，则
，
令
，则
，所以
，C 正确；
令
，则
①，
所以
②，
①②联立得
，
所以
，
，即
的周期为，D 错误；
解法二：
构造函数
，
满足
，且
，
22
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，A 正确；
，
因为
表示
的图象向右平移
个单位，且
的图象关于
轴对称，
所以
关于直线
对称，B 正确；由余弦函数的图象和性质可知
，C 正
确；
的周期
，D 错误；故选：D
考点六 奇函数+常数模型
【例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知函数
，若
，则
．
【答案】﹣2
【解析】∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
＝1－3＝－2.故答案为：－2.
【一隅三反】
1．（2024·山西临汾）已知函数
，若
，则
．
【答案】﹣3
【解析】根据题意，函数
，
则
，则
，
若
，则
，故答案为：﹣3．
2．（2024 河南省）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
23
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【答案】D
【解析】
定义域为R，且
，又
，所以
，所以
.故选：D
一．单选题
1．（2024 江西上饶）已知
，若
，则
（ ）
A．4042
B．2024
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
，故
，
.故选：A
2（2024·山东烟台·一模）已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在
上的奇函数
满足
，则
，
于是
，即函数
的周期为4，
而
，则
，
，又当
时，
，
所以
.故选：A
3．（2023·广西·模拟预测）已知定义在
上的函数
在
上单调递减，且
为偶函数，则不等
式
的解集为（ ）
24
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵函数
为偶函数，∴
，即
，
∴函数
的图象关于直线
对称，
又∵函数
定义域为
，在区间
上单调递减，∴函数
在区间
上单调递增，
∴由
得，
，解得
.故选：D.
4．（2024·山东青岛·一模）
，
，
，则
的值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．－1
【答案】B
【解析】由题意知
，
，
，
令
，则
显然
时，
不成立，故
，
故
，则
，即6 为函数
的周期，
则
，故选：B
5.（2024·江苏连云港）函数
的定义域为
，且
与
都为奇函数，则说法不正确的是
（ ）
A．
为奇函数
B．
为周期函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
【答案】D
25
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【解析】由题意知：
且
，
∴
，即
，可得
，
∴
是周期为2 的函数，且
、
为奇函数，故A、B 正确，D 错误；
由上知：
，即
为奇函数，C 正确.故选：D
6．（2024 黑龙江））已知定义在R 上的偶函数
满足
，当
时
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，函数
满足
，可得
，
即函数
是以4 为周期的周期函数，又由函数
是
上的偶函数，即
，
又由当
时
，则
，
,
所以
.故选：B.
7.（2023·四川成都·校考三模）已知函数
,则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
，
26
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所以
，令
， 可得
令
且
，
可得
在
上恒成立，所以
，
所以
在
上单调递增，
又由
，
所以函数
为偶函数，则在
上单调递减，
又由
，即
，即
，
整理得
，解得
或
，
即不等式
的解集为
.
故选：B.
8（2023·河南·三模）我们称
为“二阶行列式”，规定其运算为
．已知函数
的定义域
为
，且
，若对定义域内的任意
都有
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是周期函数
D．
没有极值点
【答案】D
【解析】由于
，则
，即为：
（*），
将
替换为代入（*）式，得
，且
，得：
，
对于A，取
，显然满足（*）式，此时
，故A 错误；对于B，
定义域为
，
则
成立，所以
是奇函数，故B 错误；
27
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对于C，假设非零常数
为函数
的周期，即
，
则
，其中
，即得
，
，这与假设
为非零常数矛盾，
所以
不是周期函数，故C 错误；对于D，由于
，则
，显然
没有实数解，
所以
没有极值点，故D 正确；故选：D.
二．多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
，
均为奇函
数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A 中，由函数
是奇函数，可得
的图象关于点
对称，则
，所以A 正确；
对于B 中，因为
的图象关于点
对称，可得
，
则
，可得
的图象关于直线
对称，
但不能确定
，所以B 错误；
对于C 中，因为
的图象关于点
对称，可得
，所以C 错误；对于D 中，因为
的图象关于直线
对称，可得
，
又因为
是奇函数，所以
，所以
，所以
，所以D 正确.
故选：AD．
10．（2024·新疆·二模）已知
是定义域为
的函数，满足
，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
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A．
的最小正周期为4
B．
的图象只关于直线
对称
C．当
时，函数
有5 个零点
D．当
时，函数
的最小值为
【答案】AC
【解析】由
得，
，故函数
的周期为4，A
正确；
由
可得
，
所以函数
的图象关于直线
对称，且关于直线
对称（周期性），B 不正确；
作出函数
在
上的大致图象如图所示，
由图可知，当
时，函数
有5 个零点，C 正确；
当
时，函数
的最小值为
，D 错误.
故选：AC.
11 ．（2024· 广东韶关· 二模）已知定义在R 上的函数
的导函数分别为
，且
，
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．
C．
的周期为4
D．
【答案】ACD
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【解析】由
，得
①，
②，得
③，
由①②③，得
，所以函数
图象关于直线
对称，故A 正确；
由
，得
，令
，得
；
由
，得
，
令
，得
，
∴
④，
又
⑤，令
，得
，故B 错误；
④⑤两式相加，得
，得
，
所以
，即函数
的周期为4，故C 正确；
由
，令
，得
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD
三．填空题
12．（2023·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点
对称的函数的解析式 ．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】
的图象关于原点对称，则
的图象关于点
对称．同样如函数
也满足题意．
故答案为：
（答案不唯一）．
13．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，若
，
，且当
时
单调递减，则
的解集为 ．
【答案】
【解析】因为
，
所以
，即
，
所以
，故
关于直线
对称，且
，
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因为当
时
单调递减，所以当
时
单调递增，
由
知，
，
所以由
可知
，
故答案为：
14．（2024·吉林白山·一模）已知函数
的定义域为
，且
，
，请
写出满足条件的一个
（答案不唯一），
．
【答案】
（答案不唯一）；
【解析】令
，则
，解得
或
，
若
，令
，
，则
，即
与已知矛盾,
∴
，令
，则
，
则
，∴
为偶函数；
令
，则
，
则
，
则
，
所以
以6 为周期，
结合以上特征，找到满足条件的一个函数为
，
结合
以6 为周期，则
．
故答案为：（答案不唯一）
；
四．解答题
15．（2024 重庆·阶段练习）函数
对任意的实数a，b，都有
，且当
时，
.
31
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(1)求
的值；
(2)求证：
是R 上的增函数；
(3)解关于实数x 的不等式
.
【答案】(1)3；
(2)证明见解析；
(3)
.
【解析】（1）对任意的实数a，b，都有
，
取
，则
，所以
.
（2）任取实数
，且
，则
，由当
时，
，得
，
依题意，
，
所以函数
是R 上的增函数.
（3）由（1）知，
，由（2）知，函数
是R 上的增函数，
不等式
，
因此
，即
，解得
或
，
则
或
，即
或
，
所以原不等式的解集是
.
16．（2024 上海·阶段练习）设函数
的定义域
,若对任意
，均有
成立，则称
为“无奇”函数．
(1)判断函数①
和②
是否为“无奇”函数，说明理由；
(2)若函数
是定义在
上的“无奇”函数，求实数a 的取值范围；
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(3)若函数
是“无奇”函数，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)①不是，②是；理由见解析
(2)
(3)
【解析】（1）①因为
，符合
，
所以
不是"无奇"函数；
②
恒成立，
所以
是“无奇”函数；
（2）
在
无解，
即
在
无解，
所以
（3）若
不是“无奇”函数，
则
有解，
即
，
即
有解，
令
，
则
所以
，即
，
所以
是“无奇”函数时，实数
的取值范围是
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17．（2024 江苏淮安·期末）已知
是定义在R 上的函数，满足：
，
，且
当
时，
．
(1)求
的值；
(2)当
时，求
的表达式；
(3)若函数
在区间
（
）上的值域为
，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
(3)
或或.
【解析】（1）因为
，
，
所以
，
故
是奇函数，且
为其一个周期，且关于
轴对称，
所以
；
（2）结合（1）的结论可令
，则
，
所以
；
（3）由（1）（2）可知
，
由二次函数单调性可知
在
上单调递增，且
，
所以
，则
，
若
，则
，此时
，
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若
，则
，此时
，
若
，则
，此时
.
故
的值为
或或.
18．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
是定义在
上的周期函数，周期
，函数
（
）是奇函数．又已知
在
上是一次函数，在
上是二次函数，且在
时函数取得最
小值
．
(1)证明：
；
(2)求
的解析式；
(3)求
在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴
，
又∵
是奇函数，∴
，∴
（2）当
时，由题意可设
，
由
，得
，∴
，
∴
.
（3）根据（2）中所求，可知
；又
在
上是奇函数，故
，
故当
时，设
，则
，解得
.
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故当
时，
.
又
在
上是奇函数，故当
时，
.
综上，则
时，
.
因为
时，
.
所以当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
，
综上所述，
.
19．（2024 上海·期中）已知定义在全体实数上的函数
满足：①
是偶函数；②
不是常值函数；
③对于任何实数
，都有
．
(1)求
和
的值；
(2)证明：对于任何实数
，都有
；
(3)若
还满足对
有
，求
的值．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）
取
，
得到
，即
；
取
得到
，
不是常值函数，故
；
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（2）
，
取
得到
，
是偶函数，故
，即
，
.
（3）
，
为偶函数，
取
，则
，即
；
取
，则
，即
；
故
，
，
，
，
故
，
取
得到
，
取
，
得到
，
，
，解得
，
，
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